خماسي عشري

في الهندسة ، يُعرف المضلع الخماسي عشر أو الخماسي عشر أو المضلع ذو الخمسة عشر ضلعًا بأنه مضلع ذو خمسة عشر ضلعًا .

يتم تمثيل الشكل الخماسي عشر المنتظم بواسطة رمز شلافلي {15}.

للمضلع الخماسي عشر المنتظم زوايا داخلية قياسها 156 درجة ، وطول ضلعه a ، ومساحته معطاة بالعلاقة التالية:

${\displaystyle {\begin{aligned}A={\frac {15}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{15}}&={\frac {15}{4}}{\sqrt {7+2{\sqrt {5}}+2{\sqrt {15+6{\sqrt {5}}}}}}a^{2}\\&={\frac {15a^{2}}{8}}\left({\sqrt {3}}+{\sqrt {15}}+{\sqrt {2}}{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}\right)\\&\simeq 17.6424\,a^{2}.\end{aligned}}}$

بما أن 15 = 3 × 5، وهو ناتج ضرب أعداد أولية مختلفة من أعداد فيرما ، فإنه يمكن إنشاء شكل خماسي عشر منتظم باستخدام الفرجار والمسطرة : إن عمليات الإنشاء التالية لأشكال خماسية عشر منتظمة مع دائرة محيطة معينة تشبه توضيح القضية السادسة عشرة في الكتاب الرابع من كتاب العناصر لإقليدس . ^{[ 1 ]}

قارن بين الشكل الهندسي وفقًا لإقليدس في هذه الصورة: خماسي عشري الأضلاع

في عملية إنشاء دائرة محيطة معينة: ${\displaystyle {\overline {FG}}={\overline {CF}}{\text{,}}\;{\overline {AH}}={\overline {GM}}{\text{,}}\;|E_{1}E_{6}|}$هو ضلع من أضلاع المثلث متساوي الأضلاع و${\displaystyle |E_{2}E_{5}|}$هو أحد أضلاع خماسي منتظم. ^{[ 2 ]} النقطة${\displaystyle H}$يقسم نصف القطر${\displaystyle {\overline {AM}}}$في النسبة الذهبية :${\displaystyle {\frac {\overline {AH}}{\overline {HM}}}={\frac {\overline {AM}}{\overline {AH}}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\Phi \approx 1.618{\text{.}}}$

بالمقارنة مع الرسوم المتحركة الأولى (ذات الخطوط الخضراء)، تظهر في الصورتين التاليتين قوسان دائريان (للزاويتين 36° و24°) تم تدويرهما 90° عكس اتجاه عقارب الساعة. وهما لا يستخدمان القطعة المستقيمة.${\displaystyle {\overline {CG}}}$لكنهم يستخدمون بدلاً من ذلك مقطعًا${\displaystyle {\overline {MG}}}$كنصف قطر${\displaystyle {\overline {AH}}}$للقوس الدائري الثاني (زاوية 36 درجة).

إنشاء باستخدام الفرجار والمسطرة لطول ضلع معين. يكون الإنشاء مساويًا تقريبًا لإنشاء الخماسي عند طول ضلع معين ، ثم يتم تمديد أحد الأضلاع فينتج عنه قطعة مستقيمة.${\displaystyle {\overline {FE_{2}}}{\text{,}}}$والتي يتم تقسيمها وفقًا للنسبة الذهبية:

${\displaystyle {\frac {\overline {E_{1}E_{2}}}{\overline {E_{1}F}}}={\frac {\overline {E_{2}F}}{\overline {E_{1}E_{2}}}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\Phi \approx 1.618{\text{.}}}$

نصف القطر المحيطي${\displaystyle {\overline {E_{2}M}}=R\;;\;\;}$طول الجانب${\displaystyle {\overline {E_{1}E_{2}}}=a\;;\;\;}$زاوية${\displaystyle DE_{1}M=ME_{2}D=78^{\circ }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}R&=a\cdot {\frac {1}{2}}\cdot \left({\sqrt {5+2\cdot {\sqrt {5}}}}+{\sqrt {3}}\right)={\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {8+2\cdot {\sqrt {5}}+2{\sqrt {15+6\cdot {\sqrt {5}}}}}}\cdot a\\&={\frac {\sin(78^{\circ })}{\sin(24^{\circ })}}\cdot a\approx 2.40486\cdot a\end{aligned}}}$

البناء لطول ضلع معين

إنشاء رسوم متحركة لطول ضلع معين،${\displaystyle {\overline {E_{2}M}}={\overline {CG}}}$

يتمتع الشكل الخماسي عشر المنتظم بتناظر ثنائي السطوح Dih ₁₅ ، من الرتبة 30، ممثلاً بـ 15 خط انعكاس. يحتوي Dih ₁₅ على 3 مجموعات فرعية ثنائية السطوح: Dih ₅ و Dih ₃ و Dih _1. بالإضافة إلى أربعة تناظرات دورية أخرى: Z ₁₅ و Z ₅ و Z ₃ و Z ₁ ، حيث يمثل Z _{n تناظرًا دورانيًا بزاوية} π / n راديان.

يوجد في الشكل الخماسي عشر ثمانية تناظرات مميزة. يرمز جون كونواي لهذه التناظرات بحرف، ويتبع الحرف ترتيب التناظر. ^{[ 3 ]} يرمز إلى التناظر الانعكاسي الكامل بـ r30 ، وإلى التناظر الانعكاسي الكامل بـ Dih _15. ويرمز إلى التناظر القطري بـ d ، وإلى التناظر الانعكاسي العمودي بـ p ، وإلى التناظر الانعكاسي العمودي بـ p، وإلى التناظر الانعكاسي العمودي بـ i، وإلى التناظر الانعكاسي العمودي بـ i ، وإلى التناظر الدوري بـ g . أما التناظر a1 فيشير إلى عدم وجود تناظر.

تتيح هذه التناظرات المنخفضة درجات حرية في تعريف الأشكال الخماسية العشرية غير المنتظمة. المجموعة الفرعية g15 فقط هي التي لا تملك درجات حرية، ولكن يمكن اعتبارها حوافًا موجهة .

الرسوم البيانية الخماسية العشرية

هناك ثلاثة مضلعات نجمية منتظمة : {15/2}، {15/4}، {15/7}، تم إنشاؤها من نفس الرؤوس الـ 15 لمضلع خماسي عشر منتظم، ولكنها متصلة عن طريق تخطي كل رأس ثانٍ أو رابع أو سابع على التوالي.

وهناك أيضًا ثلاثة أشكال نجمية منتظمة : {15/3}، {15/5}، {15/6}، الأول عبارة عن مركب من ثلاثة أشكال خماسية ، والثاني مركب من خمسة مثلثات متساوية الأضلاع ، والثالث مركب من ثلاثة أشكال خماسية .

يمكن اعتبار الشكل المركب {15/3} بشكل فضفاض بمثابة المكافئ ثنائي الأبعاد للمركب ثلاثي الأبعاد المكون من خمسة رباعيات الأوجه .

صورة	{15/2}	{15/3} أو 3{5}	{15/4}	{15/5} أو 5{3}	{15/6} أو 3{5/2}	{15/7}
الزاوية الداخلية	132 درجة	108 درجة	84 درجة	60 درجة	36 درجة	12 درجة

الخماسيات العشرية المتساوية

يمكن أن تؤدي عمليات القطع الأعمق للمضلع الخماسي عشر المنتظم والمضلعات الخماسية العشرية إلى إنتاج أشكال مضلعية نجمية وسيطة متساوية الزوايا ( متعدية الرؤوس ) ذات رؤوس متباعدة بالتساوي وطولين للحواف. ^{[ 4 ]}

اقتطاعات متعدية الرؤوس للخماسي عشر
شبه منتظم	متساوي الزوايا							شبه منتظم
t{15/2}={30/2}								t{15/13}={30/13}
t{15/7} = {30/7}								t{15/8}={30/8}
t{15/11}={30/22}								t{15/4}={30/4}

يمكن للمثلث المنتظم، والشكل العشاري، والشكل الخماسي العشاري أن تملأ رأسًا مستويًا بالكامل . ومع ذلك، نظرًا لأن عدد أضلاع المثلث فردي، لا يمكن للأشكال أن تتبادل حول المثلث، لذا لا يمكن للرأس أن ينتج تبليطًا شبه منتظم .

• إنشاء شكل خماسي عشري الأضلاع بطول ضلع معين، وحساب نصف قطر الدائرة المحيطة به${\displaystyle R}$(ألمانية)
• إنشاء شكل خماسي عشري الأضلاع بطول ضلع معين، مثال: نصف قطر الدائرة المحيطة${\displaystyle {\overline {CG}}=R}$

• وايسشتاين، إريك دبليو. "خماسي عشري الأضلاع" . عالم الرياضيات .