مشكلة الناسك

مشكلة هيرميت هي مشكلة مفتوحة في الرياضيات طرحها تشارلز هيرميت في عام 1848. وقد طلب طريقة للتعبير عن الأعداد الحقيقية كمتتاليات من الأعداد الطبيعية ، بحيث تكون المتتالية دورية في النهاية عندما يكون العدد الأصلي عددًا غير نسبي مكعب .

إحدى الطرق القياسية لكتابة الأعداد الحقيقية هي تمثيلها العشري ، مثل:

${\displaystyle x=a_{0}.a_{1}a_{2}a_{3}\ldots \ }$

حيث يمثل 0 عددًا صحيحًا ، وهو الجزء الصحيح من x ، و a1 ، a2 _، a3 _، ... أعداد صحيحة بين 0 و9 _{. وبناءً على هذا التمثيل ،} فإن العدد x يساوي

${\displaystyle x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}}{10^{n}}}.}$

يكون العدد الحقيقي x عددًا نسبيًا فقط إذا كان تمثيله العشري دوريًا في النهاية، أي إذا كانت هناك أعداد طبيعية N و p بحيث يكون لكل n ≥ N أن a _{n + p} = a _n .    

هناك طريقة أخرى للتعبير عن الأرقام وهي كتابتها على شكل كسور مستمرة بسيطة ، كما في:

${\displaystyle x=[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ],\ }$

حيث يمثل 0 عددًا صحيحًا، و ₁ ، ₂ ، ₃ ، ... أعدادًا طبيعية. ومن هذا التمثيل ، يمكننا استعادة _قيمة x لأن

${\displaystyle x=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+\ddots }}}}}}.}$

إذا كان x عددًا نسبيًا، فإن المتتالية ( a_{_n} ) تنتهي بعد عدد محدود من الحدود. من جهة أخرى، أثبت أويلر أن الأعداد غير النسبية تتطلب متتالية لانهائية للتعبير عنها ككسور مستمرة. ^{[ 1 ]} علاوة على ذلك، تكون هذه المتتالية دورية في النهاية (أي أن هناك عددين طبيعيين N و p بحيث يكون لكل n ≥ N لدينا a _{_n + p} = a _{_n} )، إذا وفقط إذا كان x عددًا غير نسبي تربيعي .    

الأعداد النسبية هي أعداد جبرية تحقق متعددة حدود من الدرجة الأولى، بينما الأعداد غير النسبية التربيعية هي أعداد جبرية تحقق متعددة حدود من الدرجة الثانية. بالنسبة لكلتا المجموعتين من الأعداد، لدينا طريقة لإنشاء متتالية من الأعداد الطبيعية ( a _n ) بحيث تعطي كل متتالية عددًا حقيقيًا فريدًا، وينتمي هذا العدد الحقيقي إلى المجموعة المقابلة إذا وفقط إذا كانت المتتالية دورية في النهاية.

في عام 1848، كتب تشارلز هيرميت رسالة إلى كارل غوستاف جاكوب جاكوبي يسأله فيها عما إذا كان من الممكن تعميم هذه الحالة، أي هل يمكن تخصيص متتالية من الأعداد الطبيعية لكل عدد حقيقي x بحيث تكون المتتالية دورية في النهاية تحديدًا عندما يكون x عددًا غير نسبي من الدرجة الثالثة؟ ^{[ 2 ] [ 3 ]} أو، بشكل أعم، هل توجد طريقة لتخصيص متتالية من الأعداد الطبيعية لكل عدد حقيقي x لكل عدد طبيعي d بحيث يمكن تحديد متى يكون x عددًا جبريًا من الدرجة d ؟

تُسمى المتتاليات التي تحاول حل مسألة هيرميت بالكسور المستمرة متعددة الأبعاد . وقد قدم جاكوبي نفسه مثالًا مبكرًا، حيث وجد متتالية تُقابل كل زوج من الأعداد الحقيقية ( س ، ص ) والتي تُمثل نظيرًا للكسور المستمرة في بُعد أعلى. ^{[ 4 ]} كان يأمل في إثبات أن المتتالية المرتبطة بـ ( س ، ص ) تكون دورية في النهاية إذا وفقط إذا كان كل من س و ص ينتميان إلى حقل عددي مكعب ، لكنه لم يتمكن من ذلك، ولا يزال هذا الأمر غير محسوم.

في عام ٢٠١٥، ولأول مرة، تم تقديم تمثيل دوري لأي عدد غير نسبي من التكعيب باستخدام الكسور المستمرة الثلاثية، أي تم حل مشكلة كتابة الأعداد غير النسبية من التكعيب كسلسلة دورية من الأعداد النسبية أو الصحيحة. ومع ذلك، فإن التمثيل الدوري لا يُشتق من خوارزمية مُعرَّفة على جميع الأعداد الحقيقية، وإنما يُشتق فقط انطلاقًا من معرفة الحد الأدنى لكثير الحدود للعدد غير النسبي من التكعيب. ^{[ ٥ ]}

بدلاً من تعميم الكسور المستمرة، يتمثل أحد الحلول الأخرى في تعميم دالة علامة الاستفهام لمينكوفسكي . هذه الدالة  ?  :  [0, 1] → [0, 1] تحدد أيضاً الأعداد غير النسبية التربيعية، لأن ?( x ) يكون عدداً نسبياً إذا وفقط إذا كان x إما عدداً نسبياً أو عدداً غير نسبي تربيعي، وعلاوة على ذلك، يكون x عدداً نسبياً إذا وفقط إذا كان ?( x ) عدداً نسبياً ثنائياً ، وبالتالي يكون x عدداً غير نسبي تربيعي عندما يكون ?( x ) عدداً نسبياً غير ثنائي. وقد طُورت تعميمات مختلفة لهذه الدالة إما للمربع الواحدي [0, 1] × [0, 1] أو للمُعقَّد ثنائي الأبعاد ، إلا أنه لم يتم حل مسألة هيرميت حتى الآن. ^{[ 6 ] [ 7 ]}       

اقترح أوليغ كاربينكوف خوارزميتين طرحيتين لإيجاد ممثل دوري للمتجهات التكعيبية. ^{[ 8 ]} الأولى (${\displaystyle \sin ^{2}}$تعمل هذه الخوارزمية فقط في حالة الأعداد الحقيقية تمامًا. مدخلات الخوارزمية هي ثلاثية من المتجهات التكعيبية. المتجه التكعيبي هو أي متجه يُولّد امتدادًا من الدرجة الثالثة لـ${\displaystyle \mathbb {Q} }$في هذه الحالة، تكون المتجهات التكعيبية مترافقة إذا وفقط إذا كان ناتج الخوارزمية دوريًا. أما الخوارزمية الثانية ( خوارزمية HAPD ) فيُفترض أنها تعمل في جميع الحالات (بما في ذلك المتجهات التكعيبية المركبة) وفي جميع الأبعاد.${\displaystyle d\geq 3}$.

• خوارزمية جاكوبي-بيرون