العدد غير النسبي التربيعي

في الرياضيات ، يُعرف العدد غير النسبي التربيعي ( أو الجذر التربيعي ) بأنه عدد غير نسبي يمثل حلاً لمعادلة تربيعية ذات معاملات نسبية ، وهو عدد غير قابل للاختزال على مجموعة الأعداد النسبية . ^{[ 1 ]} وبما أنه يمكن التخلص من الكسور في معاملات المعادلة التربيعية بضرب طرفي المعادلة في المضاعف المشترك الأصغر ، فإن العدد غير النسبي التربيعي هو جذر غير نسبي لمعادلة تربيعية ذات معاملات صحيحة . الأعداد غير النسبية التربيعية، وهي مجموعة جزئية من الأعداد المركبة ، هي أعداد جبرية من الدرجة الثانية ، وبالتالي يمكن التعبير عنها على النحو التالي:

${\displaystyle {a+b{\sqrt {c}} \over d},}$

للأعداد الصحيحة a و b و c و d ؛ حيث b و c و d غير صفرية، و c عدد خالٍ من المربعات . عندما تكون c موجبة، نحصل على أعداد تربيعية غير نسبية حقيقية ، بينما تعطي c السالبة أعدادًا تربيعية غير نسبية مركبة ليست أعدادًا حقيقية . يُعرّف هذا دالة أحادية من الأعداد التربيعية غير النسبية إلى رباعيات الأعداد الصحيحة، لذا فإن عددها على الأكثر قابل للعد ؛ وبما أن كل جذر تربيعي لعدد أولي هو عدد تربيعي غير نسبي مختلف، وهناك عدد قابل للعد من الأعداد الأولية، فإنها على الأقل قابلة للعد؛ ومن ثم فإن الأعداد التربيعية غير النسبية هي مجموعة قابلة للعد . كان أبو كامل أول عالم رياضيات يُقدّم الأعداد غير النسبية كحلول صحيحة للمعادلات التربيعية. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

تُستخدم الأعداد غير النسبية التربيعية في نظرية الحقول لإنشاء امتدادات حقل الأعداد النسبية Q. بفرض وجود عدد صحيح خالٍ من المربعات c ، فإن إضافة الأعداد غير النسبية التربيعية باستخدام √c إلى Q ينتج حقلًا تربيعيًا Q ( √c ). على سبيل المثال، تكون معكوسات عناصر Q ( √c ) من نفس شكل الأعداد الجبرية المذكورة أعلاه .

${\displaystyle {d{\vphantom {\sqrt {c}}} \over a+b{\sqrt {c}}}={ad-bd{\sqrt {c}} \over a^{2}-b^{2}c}.}$

تتمتع الأعداد غير النسبية التربيعية بخصائص مفيدة، خاصة فيما يتعلق بالكسور المستمرة ، حيث نجد أن جميع الأعداد غير النسبية التربيعية الحقيقية، والأعداد غير النسبية التربيعية الحقيقية فقط ، لها أشكال كسور مستمرة دورية . على سبيل المثال

${\displaystyle {\sqrt {3}}=1.732\ldots =[1;1,2,1,2,1,2,\ldots ]}$

يمكن وضع الكسور المستمرة الدورية في تناظر أحادي مع الأعداد النسبية. ويُقدّم هذا التناظر صراحةً بواسطة دالة علامة الاستفهام لمينكوفسكي ، ويُقدّم بناءٌ صريحٌ له في تلك المقالة. وهو مماثلٌ تمامًا للتناظر بين الأعداد النسبية وسلاسل الأرقام الثنائية التي لها ذيلٌ متكررٌ في النهاية، والذي تُقدّمه أيضًا دالة علامة الاستفهام. وتتوافق هذه المتتاليات المتكررة مع المدارات الدورية للتحويل الثنائي (للأرقام الثنائية) وخريطة غاوس.${\displaystyle h(x)=1/x-\lfloor 1/x\rfloor }$للكسور المستمرة.

يمكننا إعادة كتابة اللاعقلانية التربيعية على النحو التالي:

${\displaystyle {\frac {a+b{\sqrt {c}}}{d}}={\frac {a+{\sqrt {b^{2}c}}}{d}}.}$

وبناءً على ذلك، يمكن كتابة كل عدد غير نسبي تربيعي على الصورة التالية:

${\displaystyle {\frac {a+{\sqrt {c}}}{d}}.}$

هذا التعبير ليس فريداً.

حدد عددًا صحيحًا موجبًا غير مربع${\displaystyle c}$متطابق مع${\displaystyle 0}$أو${\displaystyle 1}$modulo${\displaystyle 4}$، وتحديد مجموعة${\displaystyle S_{c}}$مثل

${\displaystyle S_{c}=\left\{{\frac {a+{\sqrt {c}}}{d}}\colon a,d{\text{ أعداد صحيحة، }}\,d{\text{ أعداد زوجية}},\,a^{2}\equiv c{\pmod {2d}}\right\}.}$

كل لا عقلانية تربيعية تنتمي إلى مجموعة ما${\displaystyle S_{c}}$، حيث يمكن تحقيق شروط التطابق عن طريق تغيير حجم البسط والمقام بمعامل مناسب.

مصفوفة​

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{pmatrix}}}$

مع إدخالات عددية صحيحة و${\displaystyle \alpha \delta -\beta \gamma =1}$يمكن استخدامها لتحويل رقم${\displaystyle y}$في${\displaystyle S_{c}}$العدد المحوّل هو

${\displaystyle z={\frac {\alpha y+\beta }{\gamma y+\delta }}}$

لو${\displaystyle y}$هو في${\displaystyle S_{c}}$، ثم${\displaystyle z}$كذلك.

العلاقة بين${\displaystyle y}$و${\displaystyle z}$العلاقة المذكورة أعلاه هي علاقة تكافؤ . (ينتج هذا، على سبيل المثال، لأن التحويل المذكور أعلاه يعطي تأثيرًا جماعيًا لمجموعة المصفوفات الصحيحة ذات المحدد 1 على المجموعة${\displaystyle S_{c}}$.) هكذا،${\displaystyle S_{c}}$تنقسم إلى فئات تكافؤ . تتألف كل فئة تكافؤ من مجموعة من الأعداد غير النسبية التربيعية، حيث يكون كل زوج منها متكافئًا بفعل مصفوفة معينة. تنص نظرية سيريت على أن متسلسلات الكسور المستمرة المنتظمة للأعداد غير النسبية التربيعية المتكافئة تكون متطابقة في النهاية، أي أن متواليات نواتج القسمة الجزئية لها نفس الذيل. وبالتالي، فإن جميع الأعداد في فئة التكافؤ لها متسلسلات كسور مستمرة دورية في النهاية ولها نفس الذيل.

يوجد عدد محدود من فئات التكافؤ للأعداد غير العقلانية التربيعية في${\displaystyle S_{c}}$يتضمن البرهان القياسي على ذلك النظر في الخريطة${\displaystyle \varphi }$من الأشكال التربيعية الثنائية للمميز${\displaystyle c}$ل${\displaystyle S_{c}}$مقدم من

${\displaystyle \varphi (tx^{2}+uxy+vy^{2})={\frac {-u+{\sqrt {c}}}{2t}}}$

تُظهر الحسابات أن${\displaystyle \varphi }$هي دالة تقابلية تحافظ على تأثير المصفوفة على كل مجموعة. وتكون فئات التكافؤ للأعداد غير العقلانية التربيعية متقابلة مع فئات التكافؤ للأشكال التربيعية الثنائية، وقد أثبت لاغرانج أن هناك عددًا محدودًا من فئات التكافؤ للأشكال التربيعية الثنائية ذات المميز المعطى.

من خلال التناظر${\displaystyle \varphi }$، توسيع عدد في${\displaystyle S_{c}}$في الكسر المستمر، يقابل ذلك اختزال الشكل التربيعي. وتنعكس الطبيعة الدورية النهائية للكسر المستمر في الطبيعة الدورية النهائية لمدار الشكل التربيعي عند اختزاله، حيث تتوافق الأعداد غير النسبية التربيعية المختزلة (تلك التي لها كسر مستمر دوري بحت) مع الأشكال التربيعية المختزلة.

يتطلب تعريف الأعداد غير النسبية التربيعية استيفاء شرطين: يجب أن تحقق معادلة تربيعية، ويجب أن تكون غير نسبية. حلول المعادلة التربيعية ^ax² + bx + c = 0 هي  

${\displaystyle {\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}$

إذن، الأعداد غير النسبية التربيعية هي تحديدًا تلك الأعداد الحقيقية التي لا تُعدّ نسبيةً في هذا الشكل. وبما أن b و2 a عددان صحيحان، فإن السؤال عن متى تكون الكمية المذكورة أعلاه غير نسبية يُشابه السؤال عن متى يكون الجذر التربيعي لعدد صحيح غير نسبي. والإجابة هي أن الجذر التربيعي لأي عدد طبيعي ليس مربعًا هو عدد غير نسبي.

كان الجذر التربيعي للعدد 2 أول عدد من هذا النوع يُثبت أنه غير نسبي. أثبت ثيودوروس القيرواني عدم نسبية الجذور التربيعية للأعداد الطبيعية غير المربعة حتى 17، لكنه توقف عند هذا الحد، ربما لأن الجبر الذي استخدمه لم يكن قابلاً للتطبيق على الجذر التربيعي للأعداد الأكبر من 17. يُخصص الكتاب العاشر من كتاب الأصول لإقليدس لتصنيف المقادير غير النسبية. ويعتمد البرهان الأصلي على عدم نسبية الأعداد الطبيعية غير المربعة على مبرهنة إقليدس .

تعتمد العديد من البراهين التي تثبت عدم عقلانية الجذور التربيعية للأعداد الطبيعية غير المربعة ضمنيًا على النظرية الأساسية في الحساب ، والتي أثبتها كارل فريدريش غاوس لأول مرة في كتابه "Disquisitiones Arithmeticae" . تنص هذه النظرية على أن لكل عدد صحيح تحليلًا فريدًا إلى عوامله الأولية. لأي عدد نسبي غير صحيح في أبسط صورة، يجب أن يكون هناك عدد أولي في المقام لا يقسم البسط. حتى عند تربيع البسط، يظل هذا العدد الأولي غير قابل للقسمة عليه بسبب التحليل الفريد. لذلك، فإن مربع أي عدد نسبي غير صحيح هو دائمًا عدد غير صحيح؛ وبالعكس ، فإن الجذر التربيعي لأي عدد صحيح هو دائمًا إما عدد صحيح آخر، أو عدد غير نسبي.

استخدم إقليدس نسخة محدودة من النظرية الأساسية وبعض الحجج الدقيقة لإثبات النظرية. يوجد برهانه في كتاب الأصول لإقليدس، الكتاب العاشر، القضية التاسعة. ^{[ 4 ]}

لا يُشترط في الواقع استخدام النظرية الأساسية للحساب لإثبات النتيجة. توجد براهين مستقلة من تأليف ريتشارد ديديكيند ، ^{[ 5 ]} وغيره. وقد اقتبس كولين ريتشارد هيوز البرهان التالي من برهان على عدم نسبية الجذر التربيعي للعدد 2، والذي توصل إليه ثيودور إسترمان عام 1975. ^{[ 6 ] [ 7 ]}

إذا كان D عددًا طبيعيًا غير مربع، فإنه يوجد عدد طبيعي n بحيث:

${\displaystyle n^{2}<D<(n+1)^{2}}$،

لذلك على وجه الخصوص

${\displaystyle 0<{\sqrt {D}}-n<1}$.

إذا كان الجذر التربيعي لـ D عددًا نسبيًا، فيمكن كتابته على شكل كسر غير قابل للاختزال${\displaystyle p/q}$وبالتالي فإن q هو أصغر مقام ممكن، ومن ثم أصغر عدد يحقق${\displaystyle q{\sqrt {D}}}$وهو أيضًا عدد صحيح. إذن:

${\displaystyle ({\sqrt {D}}-n)q{\sqrt {D}}=qD-nq{\sqrt {D}}}$

وهو بالتالي عدد صحيح أيضاً. لكن${\displaystyle 0<({\sqrt {D}}-n)<1}$لذا${\displaystyle ({\sqrt {D}}-n)q<q}$. لذلك${\displaystyle ({\sqrt {D}}-n)q}$هو عدد صحيح أصغر من q مضروبًا في${\displaystyle {\sqrt {D}}}$يُشكّل عددًا صحيحًا. وهذا تناقض، لأن q عُرّف بأنه أصغر عدد من هذا النوع. لذلك،${\displaystyle {\sqrt {D}}}$لا يمكن أن يكون ذلك عقلانياً.

• حقل الأعداد الجبرية
• أبوتومي (الرياضيات)
• الكسر الدوري المستمر
• القسمة الجزئية المقيدة
• عدد صحيح تربيعي

• وايسشتاين، إريك دبليو. "العدد غير النسبي التربيعي" . عالم الرياضيات .
• حاسبة الكسور المستمرة للأعداد غير النسبية التربيعية
• إثبات أن e ليس عددًا غير نسبي تربيعي