متعدد الشعب الهرميتي

في الرياضيات ، وتحديدًا في الهندسة التفاضلية ، يُعدّ المتشعب الهيرميتي النظير المركب للمتشعب الريماني . وبشكل أدق، المتشعب الهيرميتي هو متشعب مركب ذو جداء داخلي هيرميتي متغير بسلاسة على كل فضاء مماس (هولومورفي) . ويمكن أيضًا تعريف المتشعب الهيرميتي بأنه متشعب حقيقي ذو مقياس ريماني يحافظ على بنية مركبة .

البنية المعقدة هي في جوهرها بنية شبه معقدة مع شرط قابلية التكامل، وهذا الشرط يُنتج بنية وحدوية ( بنية U(n) ) على المتشعب. وبإسقاط هذا الشرط، نحصل على متشعب شبه هيرميتي .

على أي مشعب شبه هيرميتي، يمكننا تعريف شكل ثنائي أساسي (أو بنية تماثلية مشتركة ) يعتمد فقط على المقياس المختار والبنية شبه العقدية. هذا الشكل غير منحل دائمًا. مع شرط التكامل الإضافي المتمثل في كونه مغلقًا (أي أنه شكل تماثلي )، نحصل على بنية شبه كاهلر . إذا كانت كل من البنية شبه العقدية والشكل الأساسي قابلتين للتكامل، فإننا نحصل على بنية كاهلر .

مقياس هيرميتي على حزمة متجهات معقدة${\displaystyle E}$فوق مشعب أملس${\displaystyle M}$هي شكل هيرميتي موجب محدد متغير بسلاسة على كل ليف. ^{[ 1 ]} يمكن اعتبار هذا المقياس مقطعًا عالميًا سلسًا${\displaystyle h}$حزمة المتجهات${\displaystyle (E\otimes {\overline {E}})^{*}}$بحيث يكون لكل نقطة${\displaystyle p}$في${\displaystyle M}$، $${\displaystyle h_{p}{\mathord {\left(\eta ,{\bar {\zeta }}\right)}}={\overline {h_{p}{\mathord {\left(\zeta ,{\bar {\eta }}\right)}}}}}$$ للجميع${\displaystyle \zeta }$،${\displaystyle \eta }$في الألياف${\displaystyle E_{p}}$و $${\displaystyle h_{p}{\mathord {\left(\zeta ,{\bar {\zeta }}\right)}}>0}$$ لجميع القيم غير الصفرية${\displaystyle \zeta }$في${\displaystyle E_{p}}$.

المتشعب الهرميتي هو متشعب معقد ذو مقياس هرميتي على حزمة المماس الهولومورفية الخاصة به . وبالمثل، فإن المتشعب شبه الهرميتي هو متشعب شبه معقد ذو مقياس هرميتي على حزمة المماس الهولومورفية الخاصة به.

على مشعب هيرميتي، يمكن كتابة المقياس في إحداثيات هولومورفية محلية${\displaystyle (z^{\alpha })}$مثل $${\displaystyle h=h_{\alpha {\bar {\beta }}}\,dz^{\alpha }\otimes d{\bar {z}}^{\beta }}$$ أين${\displaystyle h_{\alpha {\bar {\beta }}}}$هي مكونات مصفوفة هيرميتية موجبة التحديد .

يُعرّف المقياس الهرميتي h على مشعب (شبه) معقد M مقياسًا ريمانيًا g على المشعب الأملس الأساسي. ويُعرّف المقياس g بأنه الجزء الحقيقي من h : $${\displaystyle g={1 \over 2}\left(h+{\bar {h}}\right).}$$

الصيغة g هي صيغة ثنائية الخطية متناظرة على TM ^C ، وهي حزمة المماس المعقدة . بما أن g تساوي مرافقها، فهي تعقيد لصيغة حقيقية على TM . ينتج تناظر g وإيجابيتها المحددة على TM من الخصائص المقابلة لـ h . في الإحداثيات الهولومورفية المحلية ، يمكن كتابة المقياس g على النحو التالي:$${\displaystyle g={1 \over 2}h_{\alpha {\bar {\beta }}}\,\left(dz^{\alpha }\otimes d{\bar {z}}^{\beta }+d{\bar {z}}^{\beta }\otimes dz^{\alpha }\right).}$$

يمكن أيضًا ربط h بصيغة تفاضلية مركبة ω من الدرجة (1,1). تُعرَّف الصيغة ω بأنها الجزء التخيلي السالب من h : $${\displaystyle \omega ={i \over 2}\left(h-{\bar {h}}\right).}$$

بما أن ω تساوي مرافقها، فهي تمثل تعقيدًا لصيغة حقيقية على آلة تورينج . تُسمى الصيغة ω بأسماء مختلفة، منها الصيغة (1,1) المرتبطة ، والصيغة الأساسية ، والصيغة الهرميتية . في الإحداثيات الهولومورفية المحلية، يمكن كتابة ω على النحو التالي:$${\displaystyle \omega ={i \over 2}h_{\alpha {\bar {\beta }}}\,dz^{\alpha }\wedge d{\bar {z}}^{\beta },}$$ أين${\displaystyle dz^{\alpha }\wedge d{\bar {z}}^{\beta }=dz^{\alpha }\otimes d{\bar {z}}^{\beta }-d{\bar {z}}^{\beta }\otimes dz^{\alpha }.}$

يتضح من تمثيلات الإحداثيات أن أيًا من الأشكال الثلاثة h و g و ω يحدد الشكلين الآخرين بشكل فريد. يرتبط المقياس الريماني g والشكل (1,1) المرتبط به ω بالبنية شبه المعقدة J كما يلي $${\displaystyle {\begin{align}\omega (u,v)&=g(Ju,v)\\g(u,v)&=\omega (u,Jv)\end{محاذاة}}}$$ لجميع متجهات المماس المركبة u و v . يمكن استعادة المقياس الهرميتي h من g و ω عبر المتطابقة $${\displaystyle h=gi\omega .}$$

تحافظ الأشكال الثلاثة h و g و ω على البنية شبه المعقدة J. أي، $${\displaystyle {\begin{aligned}h(Ju,Jv)&=h(u,v)\\g(Ju,Jv)&=g(u,v)\\\omega (Ju,Jv)&=\omega (u,v)\end{aligned}}}$$ لجميع متجهات المماس المعقدة u و v .

وبالتالي، يمكن تحديد بنية هيرميتية على مشعب معقد (تقريبًا) M إما بواسطة

1. مقياس هيرميتي h كما هو مذكور أعلاه،
2. مقياس ريماني g يحافظ على البنية شبه المعقدة J ، أو
3. شكل ثنائي غير منحل ω يحافظ على J ويكون موجبًا محددًا بمعنى أن ω ( u , Ju ) > 0 لجميع متجهات المماس الحقيقية غير الصفرية u .

لاحظ أن العديد من المؤلفين يطلقون على g نفسها اسم المقياس الهرميتي.

Every (almost) complex manifold admits a Hermitian metric.^[2] This follows directly from the analogous statement for Riemannian metric. Given an arbitrary Riemannian metric g on an almost complex manifold M one can construct a new metric g′ compatible with the almost complex structure J in an obvious manner: $${\displaystyle g'(u,v)={1 \over 2}\left(g(u,v)+g(Ju,Jv)\right).}$$

Choosing a Hermitian metric on an almost complex manifold M is equivalent to a choice of U(n)-structure on M; that is, a reduction of the structure group of the frame bundle of M from GL(n, C) to the unitary group U(n). A unitary frame on an almost Hermitian manifold is complex linear frame which is orthonormal with respect to the Hermitian metric. The unitary frame bundle of M is the principal U(n)-bundle of all unitary frames.

Every almost Hermitian manifold M has a canonical volume form which is just the Riemannian volume form determined by g. This form is given in terms of the associated (1,1)-form ω by $${\displaystyle \mathrm {vol} _{M}={\frac {\omega ^{n}}{n!}}\in \Omega ^{n,n}(M)}$$ where ωⁿ is the wedge product of ω with itself n times. The volume form is therefore a real (n,n)-form on M. In local holomorphic coordinates the volume form is given by $${\displaystyle \mathrm {vol} _{M}=\left({\frac {i}{2}}\right)^{n}\det \left(h_{\alpha {\bar {\beta }}}\right)\,dz^{1}\wedge d{\bar {z}}^{1}\wedge \dotsb \wedge dz^{n}\wedge d{\bar {z}}^{n}.}$$

One can also consider a hermitian metric on a holomorphic vector bundle.

The most important class of Hermitian manifolds are Kähler manifolds. These are Hermitian manifolds for which the Hermitian form ω is closed: $${\displaystyle d\omega =0\,.}$$ In this case the form ω is called a Kähler form. A Kähler form is a symplectic form, and so Kähler manifolds are naturally symplectic manifolds.

An almost Hermitian manifold whose associated (1,1)-form is closed is naturally called an almost Kähler manifold. Any symplectic manifold admits a compatible almost complex structure making it into an almost Kähler manifold.

• غريفيث، فيليب؛ جوزيف هاريس (1994) [1978]. مبادئ الهندسة الجبرية . مكتبة وايلي كلاسيكس. نيويورك: وايلي-إنترساينس. ISBN 0-471-05059-8.
• كوباياشي، شوشيتشي ؛ كاتسومي نوميزو (1996) [1963]. أسس الهندسة التفاضلية، المجلد 2. مكتبة وايلي كلاسيكس. نيويورك: وايلي إنترساينس . ISBN 0-471-15732-5.
• كودايرا، كونيهيكو (1986). المتشعبات المعقدة وتشويه البنى المعقدة . سلسلة كلاسيكيات في الرياضيات. نيويورك: سبرينغر. ISBN 3-540-22614-1.
• هويبرختس، دانيال (18 نوفمبر 2004). الهندسة المعقدة: مقدمة . سلسلة يونيفرسيتكست. سبرينغر ساينس + بيزنس ميديا . رقم ISBN 978-3540212904.{{cite book}}صيانة CS1: السنة ( رابط )