الشكل الخطي الثنائي المتدهور

في الرياضيات ، وتحديدًا الجبر الخطي ، فإن الشكل الخطي المتدهور f  ( x ، y  ) على فضاء متجه V هو شكل خطي بحيث لا تكون الخريطة من V إلى V ^∗ ( الفضاء المزدوج لـ V  ) المعطاة بواسطة v ↦ ( x ↦ f  ( x ،  v  )) متماثلة . التعريف المكافئ عندما تكون V ذات أبعاد محدودة هو أنها تحتوي على نواة غير تافهة: يوجد بعض x غير الصفر في V بحيث

${\displaystyle f(x,y)=0\,}$للجميع${\displaystyle \,y\in V.}$

الشكل غير المتحلل أو غير المفرد هو شكل ثنائي الخط غير متحلل، أي أنه تماثل ، أو ما يعادله في أبعاد محدودة، إذا وفقط إذا ^[1]${\displaystyle v\mapsto (x\mapsto f(x,v))}$

${\displaystyle f(x,y)=0}$لأن كل ذلك يعني أن .${\displaystyle y\in V}$${\displaystyle x=0}$

أهم الأمثلة على الأشكال غير المتحللة هي الضرب الداخلي والأشكال المتجانسة . الأشكال غير المتحللة المتماثلة هي تعميمات مهمة للضرب الداخلي، حيث غالبًا ما يكون كل ما هو مطلوب هو أن تكون الخريطة متماثلة، وليس إيجابية. على سبيل المثال، فإن متعدد الشعب الذي يحتوي على بنية ضرب داخلي في فضاءاته المماسية هو متعدد شعب ريماني ، بينما يؤدي تخفيف هذا إلى شكل غير متحلل متماثل إلى متعدد شعب شبه ريماني . ${\displaystyle V\to V^{*}}$

إذا كانت V ذات أبعاد محدودة، فبالنسبة إلى بعض أسس V ، يكون الشكل الخطي الثنائي متدهورًا إذا وفقط إذا كان محدد المصفوفة المرتبطة يساوي صفرًا - إذا وفقط إذا كانت المصفوفة مفردة ، وبالتالي تسمى الأشكال المتدهورة أيضًا أشكالًا مفردة . وبالمثل ، فإن الشكل غير المتدهور هو الشكل الذي تكون فيه المصفوفة المرتبطة غير مفردة ، وبالتالي يشار إلى الأشكال غير المتدهورة أيضًا باسم الأشكال غير المفردة . هذه البيانات مستقلة عن الأساس المختار.

إذا كان للشكل التربيعي Q متجه غير صفري v ∈ V بحيث Q ( v ) = 0، فإن Q هي شكل تربيعي متساوي الخواص . إذا كان لـ Q نفس الإشارة لجميع المتجهات غير الصفرية، فهي شكل تربيعي محدد أو شكل تربيعي متباين الخواص .

هناك فكرة وثيقة الصلة بالشكل الأحادي المعياري والاقتران المثالي ؛ تتفق هذه على المجالات ولكن لا تتفق على الحلقات العامة .

تُظهِر دراسة الجبر الحقيقي التربيعي التمييز بين أنواع الأشكال التربيعية. حاصل الضرب zz * هو شكل تربيعي لكل من الأعداد المركبة والأعداد المركبة المجزأة والأعداد الثنائية . بالنسبة إلى z = x + ε y ، فإن شكل العدد الثنائي هو x ² وهو شكل تربيعي متدهور . حالة الأعداد المركبة المجزأة هي شكل متساوي الخواص، والحالة المركبة هي شكل محدد.

أهم الأمثلة على الأشكال غير المتحللة هي الضرب الداخلي والأشكال المتجانسة. الأشكال غير المتحللة المتماثلة هي تعميمات مهمة للضرب الداخلي، حيث غالبًا ما يكون كل ما هو مطلوب هو أن تكون الخريطة متماثلة الشكل، وليس إيجابية. على سبيل المثال، فإن متعدد الشعب الذي يحتوي على بنية ضرب داخلي في فضاءاته المماسية هو متعدد شعب ريماني، في حين أن إرخاء هذا إلى شكل غير متحلل متماثل ينتج متعدد شعب شبه ريماني. ${\displaystyle V\to V^{*}}$

لاحظ أنه في الفضاء اللانهائي الأبعاد، يمكن أن يكون لدينا شكل خطي ثنائي ƒ يكون فيه حقنًا وليس شموليًا . على سبيل المثال، في فضاء الدوال المستمرة على فاصل محدود مغلق ، يكون الشكل ${\displaystyle v\mapsto (x\mapsto f(x,v))}$

${\displaystyle f(\phi ,\psi )=\int \psi (x)\phi (x)\,dx}$

ليس شموليًا: على سبيل المثال، توجد دالة دلتا ديراك في الفضاء الثنائي ولكنها ليست بالشكل المطلوب. من ناحية أخرى، يفي هذا الشكل الخطي الثنائي

${\displaystyle f(\phi ,\psi )=0}$لأن كل هذا يعني أن${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \psi =0.\,}$

في مثل هذه الحالة حيث يلبي ƒ القدرة على الحقن (ولكن ليس بالضرورة القدرة على التجاوز)، يقال أن ƒ غير متحلل بشكل ضعيف .

إذا اختفت f بشكل متطابق على جميع المتجهات، يُقال إنها متدهورة تمامًا . إذا أعطيت أي شكل ثنائي الخط f على V، فإن مجموعة المتجهات

${\displaystyle \{x\in V\mid f(x,y)=0{\mbox{ لجميع }}y\in V\}}$

يشكل فضاءً فرعيًا متدهورًا تمامًا لـ V. تكون الخريطة f غير متدهورة إذا وفقط إذا كانت هذه الفضاء الفرعي تافهة.

هندسيًا، يتوافق الخط المتساوي الخواص للشكل التربيعي مع نقطة من السطح الفائق التربيعي المرتبط في الفضاء الإسقاطي . يكون مثل هذا الخط متساوي الخواص أيضًا للشكل الخطي الثنائي إذا وفقط إذا كانت النقطة المقابلة مفردة . وبالتالي، على حقل مغلق جبريًا ، تضمن Nullstellensatz لهيلبرت أن الشكل التربيعي يحتوي دائمًا على خطوط متساوية الخواص، بينما يحتوي الشكل الخطي الثنائي على هذه الخطوط إذا وفقط إذا كان السطح مفردًا.

• فضاء حاصل داخلي غير محدد  – تعميم فضاء هيلبرت بتوقيع غير محددالصفحات التي تعرض أوصاف ويكي بيانات كبديل
• نظام مزدوج
• الشكل الخطي  – خريطة خطية من فضاء متجه إلى مجاله القياسي