الشكل التربيعي المحدد

في الرياضيات ، الصيغة التربيعية المحددة هي صيغة تربيعية على فضاء متجهي حقيقي V ، ولها نفس الإشارة (موجبة دائمًا أو سالبة دائمًا) لكل متجه غير صفري في V. وبناءً على هذه الإشارة، تُسمى الصيغة التربيعية موجبة التحديد أو سالبة التحديد .

يُعرَّف الشكل التربيعي شبه المحدد (أو شبه المحدد) بطريقة مشابهة، باستثناء استبدال "موجب دائمًا" و"سالب دائمًا" بـ "غير سالب أبدًا" و"غير موجب أبدًا" على التوالي. بعبارة أخرى، قد يأخذ قيمًا صفرية لبعض المتجهات غير الصفرية في V.

تأخذ الصيغة التربيعية غير المحددة قيمًا موجبة وسالبة وتسمى الصيغة التربيعية المتساوية الخواص .

وبشكل أعم، تنطبق هذه التعريفات على أي فضاء متجهي فوق حقل مرتب . ^{[ 1 ]}

تُقابل الأشكال التربيعية أشكالًا ثنائية الخطية متناظرة على نفس الفضاء. ^{[ 2 ]} يُوصف الشكل الثنائي الخطي المتناظر أيضًا بأنه محدد ، أو شبه محدد ، وما إلى ذلك، وفقًا لشكله التربيعي المرتبط به. يرتبط الشكل التربيعي Q وشكله الثنائي الخطي المتناظر B بالمعادلات التالية:

${\displaystyle {\begin{aligned}Q(x)&=B(x,x)\\B(x,y)&=B(y,x)={\tfrac {1}{2}}[Q(x+y)-Q(x)-Q(y)]~.\end{aligned}}}$

تنشأ الصيغة الأخيرة ( هوية الاستقطاب ) من توسيع${\displaystyle \;Q(x+y)=B(x+y,x+y)~.}$

على سبيل المثال، لنفترض${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{2}}$وانظر إلى الشكل التربيعي

${\displaystyle Q(x)=c_{1}{x_{1}}^{2}+c_{2}{x_{2}}^{2}}$

أين${\displaystyle ~x=[x_{1},x_{2}]\in V}$و c1 و c2 ثابتان. إذا كان _{c1 >} 0 و c2 > 0، فإن الصيغة التربيعية Q موجبة تمامًا، لذا _{فإن قيمة} Q تساوي عددًا موجبًا كلما${\displaystyle \;[x_{1},x_{2}]\neq [0,0]~.}$_{إذا كان} أحد الثابتين موجبًا والآخر يساوي صفرًا، فإن Q تكون شبه موجبة، وقيمتها دائمًا إما صفر أو عددًا موجبًا. أما إذا كان _c₁ > صفرًا و c₂ < صفرًا، أو العكس، فإن Q تكون غير موجبة، وقيمتها أحيانًا عدد موجب وأحيانًا عدد سالب. وإذا كان c₁ < صفرًا و c₂ < صفرًا، _فإن الصيغة التربيعية تكون سالبة، وقيمتها دائمًا عدد سالب _.${\displaystyle \;[x_{1},x_{2}]\neq [0,0]~.}$وإذا كان أحد الثوابت سالبًا والآخر يساوي صفرًا، فإن Q يكون شبه محدد سالبًا ويقيّم دائمًا إما إلى صفر أو إلى عدد سالب.

بشكل عام، يتضمن الشكل التربيعي في متغيرين أيضًا حدًا للضرب الاتجاهي في x ₁ · x ₂ :

${\displaystyle Q(x)=c_{1}{x_{1}}^{2}+c_{2}{x_{2}}^{2}+2c_{3}x_{1}x_{2}~.}$

تكون هذه الصيغة التربيعية موجبة التحديد إذا${\displaystyle \;c_{1}>0\;}$و${\displaystyle \,c_{1}c_{2}-{c_{3}}^{2}>0\;,}$إذا كانت النتيجة سلبية محددة${\displaystyle \;c_{1}<0\;}$و${\displaystyle \,c_{1}c_{2}-{c_{3}}^{2}>0\;,}$وغير محدد إذا${\displaystyle \;c_{1}c_{2}-{c_{3}}^{2}<0~.}$تكون شبه محددة إيجابية أو سلبية إذا${\displaystyle \;c_{1}c_{2}-{c_{3}}^{2}=0\;,}$مع تطابق علامة شبه التحديد مع علامة${\displaystyle \;c_{1}~.}$

يظهر هذا الشكل التربيعي ذو المتغيرين في سياق القطوع المخروطية المتمركزة حول نقطة الأصل. إذا ساوينا الشكل التربيعي العام أعلاه بالصفر، فإن المعادلة الناتجة هي معادلة قطع ناقص إذا كان الشكل التربيعي موجبًا أو سالبًا، وقطع زائد إذا كان غير محدد، وقطع مكافئ إذا كان موجبًا أو سالبًا.${\displaystyle \;c_{1}c_{2}-{c_{3}}^{2}=0~.}$

مربع المعيار الإقليدي في الفضاء ذي الأبعاد n ، وهو المقياس الأكثر شيوعًا للمسافة، هو

${\displaystyle {x_{1}}^{2}+\cdots +{x_{n}}^{2}~.}$

في بُعدين، هذا يعني أن المسافة بين نقطتين هي الجذر التربيعي لمجموع مربعي المسافات على طول${\displaystyle x_{1}}$المحور و${\displaystyle x_{2}}$محور.

يمكن كتابة الصيغة التربيعية بدلالة المصفوفات على النحو التالي:

${\displaystyle x^{\mathsf {T}}A\,x}$

حيث x هو أي متجه ديكارتي n × 1${\displaystyle \;[x_{1},\cdots ,x_{n}]^{\mathsf {T}}\;}$حيث يكون عنصر واحد على الأقل غير صفري؛ و A مصفوفة متناظرة من الرتبة n × n ؛ ويشير الرمز ^{T إلى} منقولة المصفوفة . إذا كانت A قطرية، فإن هذا يكافئ صيغة غير مصفوفية تحتوي فقط على حدود تتضمن متغيرات مربعة؛ ولكن إذا كانت A تحتوي على أي عناصر غير صفرية خارج القطر الرئيسي، فإن الصيغة غير المصفوفية ستحتوي أيضًا على بعض الحدود التي تتضمن حاصل ضرب متغيرين مختلفين.

إن التحديد الإيجابي أو السلبي أو شبه التحديد أو عدم التحديد لهذا الشكل التربيعي يعادل نفس خاصية A ، والتي يمكن التحقق منها من خلال النظر في جميع القيم الذاتية لـ A أو من خلال التحقق من إشارات جميع المحددات الرئيسية لها .

تُعدّ الصيغ التربيعية المحددة مناسبةً جدًا لمسائل التحسين . لنفترض أن الصيغة التربيعية للمصفوفة مُعززة بحدود خطية، كما يلي:

${\displaystyle x^{\mathsf {T}}A\,x+b^{\mathsf {T}}x\;,}$

حيث b هو متجه ثوابت من الرتبة n × 1. يتم إيجاد شروط الرتبة الأولى للقيمة العظمى أو الصغرى عن طريق جعل مشتقة المصفوفة تساوي متجه الصفر:

${\displaystyle 2A\,x+b={\vec {0}}\;,}$

أعطِ

${\displaystyle x=-{\tfrac {1}{2}}\,A^{-1}b\;,}$

بافتراض أن المصفوفة A غير منفردة ، إذا كانت الصيغة التربيعية، وبالتالي المصفوفة A ، موجبة التحديد، فإن شروط الرتبة الثانية لوجود قيمة صغرى تتحقق عند هذه النقطة. أما إذا كانت الصيغة التربيعية سالبة التحديد، فإن شروط الرتبة الثانية لوجود قيمة عظمى تتحقق.

يظهر مثال مهم على هذا التحسين في الانحدار المتعدد ، حيث يتم البحث عن متجه من المعلمات المقدرة التي تقلل من مجموع مربعات الانحرافات عن التوافق المثالي داخل مجموعة البيانات.

• دالة موجبة محددة
• مصفوفة موجبة محددة

• كيتاوكا، يوشيوكي (1993). حساب الأشكال التربيعية . سلسلة كامبريدج في الرياضيات. المجلد  106. مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 0-521-40475-4. Zbl 0785.11021 . 
• لانغ، سيرج (2004)، الجبر ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات ، المجلد  211 (الطبعة الرابعة المصححة،  الطبعة الثالثة المنقحة)، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ، ص  578، ISBN 978-0-387-95385-4.
• ميلنور، ج . هوسمولر، د. (1973). أشكال ثنائية الخطية متناظرة . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . المجلد.  73. سبرينغر. رقم ISBN 3-540-06009-X. Zbl 0292.10016 .