شكل المجلد

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 76 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، يُعرف الشكل الحجمي أو الشكل ذو الأبعاد العليا بأنه شكل تفاضلي من الدرجة التي تساوي بُعد التشعب القابل للتفاضل . وبالتالي، على مشعبم{\displaystyle M}من الأبعادن{\displaystyle n}، شكل الحجم هون{\displaystyle n}-form. وهو عنصر من عناصر فضاء مقاطع حزمة الخط⋀ن(تي*م){\displaystyle \textstyle {\bigwedge }^{n}(T^{*}M)}، المشار إليه بـΩن(م){\displaystyle \Omega ^{n}(M)}تقبل المتشعبات شكلاً حجمياً لا ينعدم في أي مكان إذا وفقط إذا كانت قابلة للتوجيه. وللمتشعبات القابلة للتوجيه عدد لا نهائي من الأشكال الحجمية، إذ أن ضرب شكل حجمي بدالة حقيقية لا تنعدم في أي مكان ينتج شكلاً حجمياً آخر. أما في المتشعبات غير القابلة للتوجيه، فيمكن تعريف مفهوم أضعف يُعرف بالكثافة .

يُتيح شكل الحجم تعريف تكامل دالة على مشعب قابل للتفاضل. بعبارة أخرى، يُنتج شكل الحجم مقياسًا يُمكن من خلاله تكامل الدوال باستخدام تكامل لوبيغ المناسب . القيمة المطلقة لشكل الحجم هي عنصر حجمي ، يُعرف أيضًا باسم شكل الحجم الملتوي أو شكل الحجم الزائف . وهو يُعرّف مقياسًا أيضًا، ولكنه موجود على أي مشعب قابل للتفاضل، سواء كان قابلًا للتوجيه أم لا.

تتميز مشعبات كاهلر ، كونها مشعبات معقدة ، بتوجيه طبيعي، وبالتالي تمتلك شكلاً حجمياً. وبشكل أعم، فإنن{\displaystyle n}القوة الخارجية للشكل التبسيطي على مشعب تبسيطي هي شكل حجمي. تمتلك العديد من فئات المشعبات أشكالًا حجمية أساسية: فهي تتمتع ببنية إضافية تسمح باختيار شكل حجمي مفضل. تمتلك المشعبات شبه الريمانية الموجهة شكلًا حجميًا أساسيًا مرتبطًا بها.

توجيه

سيقتصر ما يلي على توجيه المشعبات التفاضلية (وهو مفهوم أكثر عمومية معرف على أي مشعب طوبولوجي).

تكون المتشعبة قابلة للتوجيه إذا كان لها أطلس إحداثيات تكون جميع دوال انتقالها ذات محددات جاكوبية موجبة . ويُسمى اختيار أطلس إحداثيات أقصى من هذا النوع توجيهًا علىم.{\displaystyle M.}شكل مجلدω{\displaystyle \omega }علىم{\displaystyle M}يُتيح ذلك التوجيه بطريقة طبيعية، كما هو الحال في أطلس خرائط الإحداثيات علىم{\displaystyle M}ذلك الإرسالω{\displaystyle \omega }إلى مضاعف موجب لشكل الحجم الإقليديدx1∧⋯∧دxن.{\displaystyle dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}.}

يسمح نموذج الحجم أيضًا بتحديد فئة الإطارات المفضلة علىم.{\displaystyle M.}نسميها أساس متجهات المماس(X1،...،Xن){\displaystyle (X_{1},\ldots ,X_{n})}إذا كان الشخص يستخدم يده اليمنى ω(X1،X2،...،Xن)>0.{\displaystyle \omega \left(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}\right)>0.}

تتولى المجموعة مسؤولية مجموعة جميع الإطارات المصممة لليمين.جيل+(ن){\displaystyle \mathrm {GL} ^{+}(n)}من التحويلات الخطية العامة فين{\displaystyle n}الأبعاد ذات المحدد الموجب. وهي تشكل مبدأً رئيسياًجيل+(ن){\displaystyle \mathrm {GL} ^{+}(n)}حزمة فرعية من حزمة الإطار الخطي لـم،{\displaystyle M,}وبالتالي فإن التوجيه المرتبط بشكل حجمي يعطي اختزالًا معياريًا لحزمة الإطار لـم{\displaystyle M}إلى حزمة فرعية مع مجموعة هيكليةجيل+(ن).{\displaystyle \mathrm {GL} ^{+}(n).}أي أن شكل الحجم يؤدي إلىجيل+(ن){\displaystyle \mathrm {GL} ^{+}(n)}- هيكل علىم.{\displaystyle M.}من الواضح أنه من الممكن تحقيق المزيد من التخفيض من خلال النظر في الإطارات التي تحتوي على

وبالتالي فإن شكل الحجم يؤدي إلىSل(ن){\displaystyle \mathrm {SL} (ن)}وكذلك البنية. وعلى العكس من ذلك، بالنظر إلىSل(ن){\displaystyle \mathrm {SL} (ن)}-بنية، يمكن استعادة شكل الحجم عن طريق فرض ( 1 ) على الإطارات الخطية الخاصة ثم حلها لإيجاد المطلوبن{\displaystyle n}-استمارةω{\displaystyle \omega }من خلال اشتراط التجانس في حججها.

يكون الفضاء متعدد الشعب قابلاً للتوجيه إذا وفقط إذا كان له شكل حجمي لا يتلاشى في أي مكان. في الواقع،Sل(ن)→جيل+(ن){\displaystyle \mathrm {SL} (n)\to \mathrm {GL} ^{+}(n)}هو انكماش تشوهي لأنجيل+=Sل×R+،{\displaystyle \mathrm {GL} ^{+}=\mathrm {SL} \times \mathbb {R} ^{+},}حيث يتم تضمين الأعداد الحقيقية الموجبة كمصفوفات قياسية. وبالتالي كلجيل+(ن){\displaystyle \mathrm {GL} ^{+}(n)}يمكن اختزال البنية إلىSل(ن){\displaystyle \mathrm {SL} (ن)}-البنية، وجيل+(ن){\displaystyle \mathrm {GL} ^{+}(n)}تتطابق الهياكل مع الاتجاهات علىم.{\displaystyle M.}وبشكل أكثر تحديدًا، تفاهة حزمة المحدداتΩن(م){\displaystyle \Omega ^{n}(M)}يكافئ ذلك قابلية التوجيه، وتكون حزمة الخطوط تافهة إذا وفقط إذا كان لها مقطع لا يتلاشى في أي مكان. وبالتالي، فإن وجود شكل حجمي يكافئ قابلية التوجيه.

العلاقة بالتدابير

بالنظر إلى شكل الحجمω{\displaystyle \omega }على مشعب موجه، الكثافة|ω|{\displaystyle |\omega |}هي شكل زائف للحجم على مشعب غير موجه يتم الحصول عليه بتجاهل التوجيه. ويمكن تعريف الكثافات بشكل أعم على المشعبات غير الموجهة.

أي شكل زائف للحجمω{\displaystyle \omega }(وبالتالي أي شكل حجمي أيضًا) يحدد مقياسًا على مجموعات بوريل بواسطة μω(يو)=∫يوω.{\displaystyle \mu _{\omega }(U)=\int _{U}\omega .}

الفرق هو أنه بينما يمكن تكامل المقياس على مجموعة فرعية (بوريل) ، فإن صيغة الحجم لا يمكن تكاملها إلا على خلية موجهة . في حساب التفاضل والتكامل لمتغير واحد ، كتابة∫بأودx=-∫أبودx{\textstyle \int _{b}^{a}f\,dx=-\int _{a}^{b}f\,dx}يعتبردx{\displaystyle dx}كشكل حجمي، وليس مجرد مقياس، و∫بأ{\textstyle \int _{b}^{a}}يشير إلى "التكامل على مستوى الخلية"[أ،ب]{\displaystyle [a,b]}بالاتجاه المعاكس، والذي يُشار إليه أحيانًا بـ[أ،ب]¯{\displaystyle {\overline {[a,b]}}}".

علاوة على ذلك، لا يلزم أن تكون المقاييس العامة متصلة أو سلسة: فهي لا تحتاج إلى أن تُعرَّف بصيغة حجمية، أو بشكل أكثر رسمية، فإن مشتق رادون-نيكوديم الخاص بها بالنسبة لصيغة حجمية معينة لا يلزم أن يكون متصلاً بشكل مطلق .

التباين

بالنظر إلى شكل الحجمω{\displaystyle \omega }علىم،{\displaystyle M,}يمكن تعريف تباعد حقل متجهX{\displaystyle X}باعتبارها الدالة الوحيدة ذات القيمة العددية، والتي يُرمز لها بـdiv⁡X،{\displaystyle \operatorname {div} X,}مُرضٍ (div⁡X)ω=لXω=د(X⌋ω)،{\displaystyle (\operatorname {div} X)\omega =L_{X}\omega =d(X\mathbin {\!\rfloor } \omega ),} أينلX{\displaystyle L_{X}}يرمز إلى مشتقة لي على طولX{\displaystyle X}وX⌋ω{\displaystyle X\mathbin {\!\rfloor } \omega }يشير إلى الناتج الداخلي أو الانكماش الأيسر لـω{\displaystyle \omega }على امتدادX.{\displaystyle X.}لوX{\displaystyle X}هو حقل متجه ذو دعم مضغوط وم{\displaystyle M}إذا كانت فضاءً متعدد الشعب ذو حدود ، فإن نظرية ستوكس تستلزم ∫م(div⁡X)ω=∫∂مX⌋ω،{\displaystyle \int _{M}(\operatorname {div} X)\omega =\int _{\partial M}X\mathbin {\!\rfloor } \omega ,} وهو تعميم لنظرية التباعد .

الحقول المتجهة اللولبية هي تلك التيdiv⁡X=0.{\displaystyle \operatorname {div} X=0.} يستنتج من تعريف مشتقة لي أن شكل الحجم يبقى محفوظًا تحت تأثير تدفق حقل متجه لولبي. وبالتالي، فإن الحقول المتجهة اللولبية هي تحديدًا تلك التي تتميز بتدفقات تحافظ على الحجم. هذه الحقيقة معروفة جيدًا، على سبيل المثال، في ميكانيكا الموائع ، حيث يقيس تباعد حقل السرعة انضغاطية المائع، والتي بدورها تمثل مدى الحفاظ على الحجم على طول تدفقات المائع.

حالات خاصة

جماعات الكذب

بالنسبة لأي مجموعة لي ، يمكن تعريف شكل الحجم الطبيعي عن طريق الإزاحة. أي، إذاωهـ{\displaystyle \omega _{e}}هو عنصر من⋀نتيهـ*جي،{\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{n}T_{e}^{*}G,}ويمكن تعريف شكل ثابت من اليسار بواسطةωز=لز-1*ωهـ،{\displaystyle \omega _{g}=L_{g^{-1}}^{*}\أوميغا _{e},}أينلز{\displaystyle L_{g}}هو إزاحة يسارية. وكنتيجة لذلك، فإن كل زمرة لي قابلة للتوجيه. هذا الشكل الحجمي فريد حتى عدد قياسي، ويُعرف المقياس المقابل باسم مقياس هار .

المشعبات التبسيطية

أي مشعب سيمبلكتيكي (أو حتى أي مشعب شبه سيمبلكتيكي ) له شكل حجم طبيعي. إذام{\displaystyle M}هو2ن{\displaystyle 2n}متعدد الشعب ذو الأبعاد n ذو الشكل التبسيطيω،{\displaystyle \omega ,}ثمωن{\displaystyle \omega ^{n}}لا يساوي الصفر في أي مكان نتيجةً لعدم انحلال الشكل التبسيطي. وكنتيجة لذلك، فإن أي مشعب تبسيطي قابل للتوجيه (بل وموجه). إذا كان المشعب تبسيطيًا وريمانيًا في آنٍ واحد، فإن شكلي الحجم يتطابقان إذا كان المشعب كاهلريًا .

شكل الحجم الريماني

أي مشعب شبه ريماني موجه (بما في ذلك الريماني ) له شكل حجم طبيعي. في الإحداثيات المحلية ، يمكن التعبير عنه على النحو التالي: ω=|ز|دx1∧⋯∧دxن{\displaystyle \omega ={\sqrt {|g|}}dx^{1}\wedge \dots \wedge dx^{n}} حيثدxأنا{\displaystyle dx^{i}}هي أشكال من الدرجة الأولى تُشكل أساسًا موجب التوجيه لحزمة الظل التمام للمتشعب. هنا،|ز|{\displaystyle |g|}هي القيمة المطلقة لمحدد التمثيل المصفوفي لموتر القياس على المتشعب.

يُشار إلى شكل الحجم بأشكال مختلفة بواسطة ω=voلن=ε=⋆(1).{\displaystyle \omega =\mathrm {vol} _{n}=\varepsilon ={\star }(1).}

هنا،⋆{\displaystyle {\star }}هو نجم هودج ، وبالتالي الشكل الأخير،⋆(1)،{\displaystyle {\star }(1),}يؤكد أن شكل الحجم هو ثنائي هودج للخريطة الثابتة على المتشعب، والذي يساوي موتر ليفي-سيفيتاε.{\displaystyle \varepsilon .}

على الرغم من الحرف اليونانيω{\displaystyle \omega }يُستخدم الرمز بشكل متكرر للدلالة على شكل الحجم، إلا أن هذه الصيغة ليست عالمية؛ω{\displaystyle \omega }غالباً ما يحمل العديد من المعاني الأخرى في الهندسة التفاضلية (مثل الشكل التبسيطي ).

ثوابت شكل الحجم

Volume forms are not unique; they form a torsor over non-vanishing functions on the manifold, as follows. Given a non-vanishing function f{\displaystyle f} on M,{\displaystyle M,} and a volume form ω,{\displaystyle \omega ,}fω{\displaystyle f\omega } is a volume form on M.{\displaystyle M.} Conversely, given two volume forms ω,ω′,{\displaystyle \أوميغا ,\أوميغا ',} their ratio is a non-vanishing function (positive if they define the same orientation, negative if they define opposite orientations).

In coordinates, they are both simply a non-zero function times Lebesgue measure, and their ratio is the ratio of the functions, which is independent of choice of coordinates. Intrinsically, it is the Radon–Nikodym derivative of ω′{\displaystyle \omega '} with respect to ω.{\displaystyle \omega .} On an oriented manifold, the proportionality of any two volume forms can be thought of as a geometric form of the Radon–Nikodym theorem.

No local structure

A volume form on a manifold has no local structure in the sense that it is not possible on small open sets to distinguish between the given volume form and the volume form on Euclidean space (Kobayashi 1972). That is, for every point p{\displaystyle p} in M,{\displaystyle M,} there is an open neighborhood U{\displaystyle U} of p{\displaystyle p} and a diffeomorphismφ{\displaystyle \varphi } of U{\displaystyle U} onto an open set in Rn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} such that the volume form on U{\displaystyle U} is the pullback of dx1∧⋯∧dxn{\displaystyle dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}} along φ.{\displaystyle \varphi .}

As a corollary, if M{\displaystyle M} and N{\displaystyle N} are two manifolds, each with volume forms ωM,ωN,{\displaystyle \omega _{M},\omega _{N},} then for any points m∈M,n∈N,{\displaystyle m\in M,n\in N,} there are open neighborhoods U{\displaystyle U} of m{\displaystyle m} and V{\displaystyle V} of n{\displaystyle n} and a map f:U→V{\displaystyle f:U\to V} such that the volume form on N{\displaystyle N} restricted to the neighborhood V{\displaystyle V} pulls back to volume form on M{\displaystyle M} restricted to the neighborhood U{\displaystyle U}: f∗ωN|V=ωM|U.{\displaystyle f^{*}\omega _{N}\vert _{V}=\omega _{M}\vert _{U}.}

In one dimension, one can prove it thus: given a volume form ω{\displaystyle \omega } on R,{\displaystyle \mathbb {R} ,} define f(x):=∫0xω.{\displaystyle f(x):=\int _{0}^{x}\omega .} Then the standard Lebesgue measuredx{\displaystyle dx}pulls back to ω{\displaystyle \omega } under f{\displaystyle f}: ω=f∗dx.{\displaystyle \omega =f^{*}dx.} Concretely, ω=f′dx.{\displaystyle \omega =f'\,dx.} In higher dimensions, given any point m∈M,{\displaystyle m\in M,} it has a neighborhood locally homeomorphic to R×Rn−1,{\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n-1},} and one can apply the same procedure.

Global structure: volume

A volume form on a connected manifold M{\displaystyle M} has a single global invariant, namely the (overall) volume, denoted μ(M),{\displaystyle \mu (M),} which is invariant under volume-form preserving maps; this may be infinite, such as for Lebesgue measure on Rn.{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.} On a disconnected manifold, the volume of each connected component is the invariant.

In symbols, if f:M→N{\displaystyle f:M\to N} is a diffeomorphism of manifolds that pulls back ωN{\displaystyle \omega _{N}} to ωM,{\displaystyle \omega _{M},} then μ(N)=∫NωN=∫f(M)ωN=∫Mf∗ωN=∫MωM=μ(M){\displaystyle \mu (N)=\int _{N}\omega _{N}=\int _{f(M)}\omega _{N}=\int _{M}f^{*}\omega _{N}=\int _{M}\omega _{M}=\mu (M)\,} and the manifolds have the same volume.

Volume forms can also be pulled back under covering maps, in which case they multiply volume by the cardinality of the fiber (formally, by integration along the fiber). In the case of an infinite sheeted cover (such as R→S1{\displaystyle \mathbb {R} \to S^{1}}), a volume form on a finite volume manifold pulls back to a volume form on an infinite volume manifold.

See also

مراجع

  • كوباياشي، س. (1972)، مجموعات التحويل في الهندسة التفاضلية ، سلسلة كلاسيكيات الرياضيات، سبرينغر، ISBN 3-540-58659-8، OCLC 31374337 .
  • سبيفاك، مايكل (1965)، حساب التفاضل والتكامل على المشعبات ، ريدينغ، ماساتشوستس: دبليو إيه بنجامين، إنك، رقم ISBN 0-8053-9021-9.