المسألة الثامنة عشرة لهيلبرت

المسألة الثامنة عشرة لهيلبرت هي واحدة من المسائل الـ 23 الواردة في قائمة شهيرة جمعها عالم الرياضيات ديفيد هيلبرت عام 1900. وهي تطرح ثلاثة أسئلة منفصلة حول المجموعة الفضائية في${\displaystyle n}$الفضاء الإقليدي ذو الأبعاد n ، والتبليط غير المتماثل في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد، وتعبئة الكرات الأكثر كثافة في حدسية كيبلر . ^{[ 1 ]} وقد أجاب على هذه الأسئلة بالإيجاب كل من لودفيج بيبرباخ ، وكارل راينهارت ، وتوماس كاليستر هيلز .

السؤال الأول في مسألة هيلبرت هو ما إذا كان هناك عدد محدود فقط من المجموعات الفضائية المختلفة جوهريًا في${\displaystyle n}$الفضاء الإقليدي ذو الأبعاد n . هنا، تُعرف المجموعة الفراغية أو المجموعة البلورية بأنها مجموعة التناظر لنمط متكرر في الفضاء، عادةً في ثلاثة أبعاد، حيث تمثل عملية التناظر الخاصة بها التحويلات الصلبة للنمط التي تُبقيه دون تغيير. ^{[ 2 ]}

أجاب لودفيج بيبرباخ على هذا السؤال بالإيجاب . ^{[ 2 ]} وقد أثبت بيبرباخ، الذي أطلق على هذه المجموعة اسم مجموعة بيبرباخ، أن المجموعة الفرعية للترجمات لأي مجموعة من هذا القبيل تحتوي على${\displaystyle n}$وهي عبارة عن ترجمات مستقلة خطيًا، و زمرة أبيلية حرة ذات دليل منتهٍ، وهي أيضًا الزمرة الأبيلية الطبيعية القصوى الوحيدة. كما أثبت بيبرباخ أنه في أي بُعد${\displaystyle n}$^{[ 3 ]} لا يوجد سوى عدد محدود من الاحتمالات لفئة التشاكل للمجموعة الأساسية لمجموعة الفضاء، كما أن تأثير المجموعة على الفضاء الإقليدي فريد من نوعه حتى الاقتران بالتحويلات الأفينية .

صورتان للمجسم ثلاثي الأبعاد (إحداهما مسطحة والأخرى على جانبها) كما تم تفسيرهما من كتيب راينهارت لعام 1928

مستوى ثنائي الأبعاد بواسطة بلاطة هيش الجزئية غير المتماثلة

يتناول السؤال الثاني في مسألة هيلبرت ما إذا كان يوجد متعدد السطوح في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد يُغطي المنطقة الأساسية لأي زمرة فضائية، ولكنه لا يُغطيها بالكامل. بعبارة أخرى، يسأل السؤال الثاني عن أنواع البلاطات التي تُغطي المنطقة الأساسية، ولكنها لا تُغطيها بتبليط متساوي الأوجه (بلاطات متعدية ). هذه البلاطات غير متكافئة تحت أي تناظر للتبليط، وتُعرف الآن باسم البلاطات غير متساوية الأوجه . عند طرح المسألة في ثلاثة أبعاد، افترض هيلبرت على الأرجح عدم وجود بلاطة مماثلة في بعدين؛ وقد ثبت لاحقًا خطأ هذا الافتراض. ^{[ 4 ]}

تم العثور على مثل هذا متعدد السطوح ثلاثي الأبعاد بواسطة كارل راينهارت في كتيبه عام 1928 بعنوان Zur Zerlegung der euklidischen Räume in kongruente Polytope . ^{[ 5 ]} تم العثور على المثال الأول في البعدين بواسطة هاينريش هيش في عام 1935. ^{[ 6 ] [ 7 ]}

مسألة أينشتاين ، حيث تعني كلمة "أينشتاين" "حجر واحد" في التورية الألمانية ، هي امتداد طبيعي للسؤال الثاني من مسألة هيلبرت الثامنة عشرة. تطلب المسألة إيجاد شكل يمكنه تبليط الفضاء، ولكن ليس بمجموعة تناظرات دورية لانهائية . ^{[ 8 ]} وبصورة مكافئة، تطلب وجود شكل أولي واحد يشكل مجموعة غير دورية ، أي شكل يمكنه تبليط الفضاء، ولكن بطريقة غير دورية فقط. ^{[ 2 ]} وقد تم حلها في عام 2024 على يد ديفيد سميث وزملائه. ^{[ 9 ]}

يسأل السؤال الثالث في مسألة هيلبرت عن أكثر رصات الكرات كثافة ، أو رصات أشكال أخرى محددة. ورغم أنه يشمل صراحةً أشكالًا أخرى غير الكرات، إلا أنه يُعتبر عمومًا مكافئًا لتخمين كيبلر . سُمّي هذا التخمين نسبةً إلى عالم الرياضيات الألماني يوهانس كيبلر، الذي عاش في القرن السابع عشر، في كُتيبه المعنون Strena, seu, de Nieu Sexangula . وينص على أن رصات الكرات المتساوية الحجم تكون كثافتها أكبر من كثافة رصات المكعب ذي المراكز الوجهية . هذه الكثافة هي ^{[ 10 ]}$${\displaystyle {\frac {\pi} {3{\sqrt {2}}}}=0.74048.}$$

في عام 1998، قدم عالم الرياضيات الأمريكي توماس كاليستر هيلز برهاناً بمساعدة الحاسوب لفرضية كبلر. ويُظهر هذا البرهان أن الطريقة الأكثر كفاءة من حيث المساحة لرص الكرات هي على شكل هرم. ^{[ 11 ]}