المسألة العاشرة لهيلبرت

الموسوعة الحرة

المسألة العاشرة لهيلبرت هي المسألة العاشرة في قائمة المسائل الرياضية التي طرحها عالم الرياضيات الألماني ديفيد هيلبرت في عام 1900. وتتمثل في تقديم خوارزمية عامة يمكنها، لأي معادلة ديوفانتية معطاة ( معادلة متعددة الحدود ذات معاملات صحيحة وعدد محدود من المجاهيل)، أن تقرر ما إذا كانت المعادلة لها حل مع أخذ جميع المجاهيل قيمًا صحيحة.

على سبيل المثال، معادلة ديوفانتين3x2-2xy-y2z-7=0{\displaystyle 3x^{2}-2xy-y^{2}z-7=0}له حل صحيح:x=1، y=2، z=-2{\displaystyle x=1,\y=2,\z=-2}على النقيض من ذلك، فإن معادلة ديوفانتينx2+y2+1=0{\displaystyle x^{2}+y^{2}+1=0}ليس لديه حل من هذا القبيل.

يُظهر حلّ المسألة العاشرة لهيلبرت استحالة وجود خوارزمية عامة كهذه. هذا الحلّ هو ثمرة عمل مشترك بين مارتن ديفيس ، ويوري ماتياسيفيتش ، وهيلاري بوتنام ، وجوليا روبنسون، امتدّ على مدى 21 عامًا، حيث أكمل ماتياسيفيتش النظرية عام 1970. [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] تُعرف النظرية الآن باسم نظرية ماتياسيفيتش أو نظرية MRDP (اختصار لألقاب المساهمين الأربعة الرئيسيين في حلّها).

عندما تقتصر جميع المعاملات والمتغيرات على كونها أعدادًا صحيحة موجبة ، فإن المشكلة ذات الصلة باختبار هوية كثير الحدود هي شكل قابل للتقرير (خالٍ من الأسس) من مسألة تارسكي في الجبر للمرحلة الثانوية ، والتي يُشار إليها أحيانًا بـحSأنا¯.{\displaystyle {\overline {HSI}}.}[ 4 ]

خلفية

التركيبة الأصلية

صاغ هيلبرت المشكلة على النحو التالي: [ 5 ]

بالنظر إلى معادلة ديوفانتية مع أي عدد من الكميات المجهولة ومع معاملات عددية صحيحة نسبية: وضع عملية يمكن من خلالها تحديد ما إذا كانت المعادلة قابلة للحل في عدد محدود من العمليات في الأعداد الصحيحة النسبية.

يُفهم من كلمتي "عملية" و"عدد محدود من العمليات" أن هيلبرت كان يطلب خوارزمية . ويشير مصطلح "التكامل النسبي" ببساطة إلى الأعداد الصحيحة، سواء كانت موجبة أو سالبة أو صفر: 0، ±1، ±2، ... . لذا، كان هيلبرت يطلب خوارزمية عامة لتحديد ما إذا كانت معادلة ديوفانتية متعددة الحدود ذات معاملات صحيحة لها حل في مجموعة الأعداد الصحيحة.

لا يتعلق سؤال هيلبرت بإيجاد الحلول، بل يسأل فقط عما إذا كان بإمكاننا، بشكل عام، تحديد ما إذا كان هناك حل واحد أو أكثر. والإجابة على هذا السؤال هي النفي، بمعنى أنه لا يمكن ابتكار أي "آلية" للإجابة عليه. وبعبارة أخرى، يُعدّ سؤال هيلبرت العاشر سؤالاً غير قابل للحسم .

مجموعات ديوفانتين

في المعادلة الديوفانتية، يوجد نوعان من المتغيرات: المعاملات والمجاهيل. تتكون مجموعة ديوفانتية من قيم المعاملات التي تجعل المعادلة الديوفانتية قابلة للحل. ومن الأمثلة النموذجية على ذلك المعادلة الديوفانتية الخطية ذات المجهولين.

أ1x+أ2y=أ3،{\displaystyle a_{1}x+a_{2}y=a_{3},}

حيث تكون المعادلة قابلة للحل إذا وفقط إذا كان القاسم المشترك الأكبرالقاسم المشترك الأكبر(أ1،أ2){\displaystyle \gcd(a_{1},a_{2})}يقسم بالتساويأ3{\displaystyle a_{3}}مجموعة جميع الثلاثيات المرتبة(أ1،أ2،أ3){\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3})}تُسمى المجموعة التي تستوفي هذا القيد بالمجموعة الديوفانتية، وهي المجموعة المحددة بواسطةأ1x+أ2y=أ3{\displaystyle a_{1}x+a_{2}y=a_{3}}. بهذه المصطلحات، تسأل مسألة هيلبرت العاشرة عما إذا كانت هناك خوارزمية لتحديد ما إذا كانت المجموعة الديوفانتية المقابلة لكثير الحدود التعسفي غير فارغة.

يُفهم هذا السؤال عمومًا من منظور الأعداد الطبيعية (أي الأعداد الصحيحة غير السالبة) بدلًا من الأعداد الصحيحة العشوائية. مع ذلك، فإن السؤالين متكافئان: أي خوارزمية عامة قادرة على تحديد ما إذا كانت معادلة ديوفانتية معينة لها حل صحيح يمكن تعديلها لتصبح خوارزمية تحدد ما إذا كانت معادلة ديوفانتية معينة لها حل عددي طبيعي، والعكس صحيح. وفقًا لنظرية لاغرانج للمربعات الأربعة ، فإن كل عدد طبيعي هو مجموع مربعات أربعة أعداد صحيحة، لذا يمكننا إعادة كتابة كل وسيط ذي قيمة طبيعية بدلالة مجموع مربعات أربعة وسائط جديدة ذات قيم صحيحة. وبالمثل، بما أن كل عدد صحيح هو الفرق بين عددين طبيعيين، فيمكننا إعادة كتابة كل وسيط صحيح كفرق بين وسيطين طبيعيين. [ 3 ] علاوة على ذلك، يمكننا دائمًا إعادة كتابة نظام المعادلات الآنية.ص1=0،...،صك=0{\displaystyle p_{1}=0,\ldots ,p_{k}=0}(حيث كلصأنا{\displaystyle p_{i}}(متعددة الحدود) كمعادلة واحدةص12+⋯+صك2=0{\displaystyle p_{1}^{\,2}+\cdots +p_{k}^{\,2}=0}.

المجموعات القابلة للتعداد بشكل متكرر

يمكن تعريف المجموعة القابلة للتعداد التكراري بأنها مجموعة يوجد لها خوارزمية تتوقف عند إدخال عنصر من عناصرها، ولكنها تستمر إلى ما لا نهاية عند إدخال عنصر غير من عناصرها. وقد ساهم تطوير نظرية الحوسبة (المعروفة أيضًا بنظرية التكرار) في تقديم شرح دقيق لمفهوم الحوسبة الخوارزمية البديهي، مما جعل مفهوم التعداد التكراري مفهومًا دقيقًا تمامًا. من الواضح أن المجموعات الديوفانتية قابلة للتعداد التكراري (أو شبه قابلة للتقرير). وذلك لأنه يمكن ترتيب جميع أزواج القيم الممكنة للمجاهيل في تسلسل، ثم، لقيمة معينة للمعامل (أو المعاملات)، يتم اختبار هذه الأزواج، واحدًا تلو الآخر، لمعرفة ما إذا كانت حلولًا للمعادلة المقابلة. إن عدم قابلية حل مسألة هيلبرت العاشرة هو نتيجة لحقيقة مدهشة، وهي أن العكس صحيح.

كل مجموعة قابلة للتعداد بشكل متكرر هي مجموعة ديوفانتية.

تُعرف هذه النتيجة بأسماء مختلفة، منها نظرية ماتياسيفيتش (لأنه قدّم الخطوة الحاسمة التي أكملت البرهان) ونظرية MRDP (نسبةً إلى يوري ماتياسيفيتش ، وجوليا روبنسون ، ومارتن ديفيس ، وهيلاري بوتنام ). ولأن هناك مجموعة قابلة للتعداد التكراري غير قابلة للحساب، فإن عدم قابلية حل مسألة هيلبرت العاشرة هو نتيجة مباشرة لذلك. في الواقع، يمكن القول أكثر من ذلك: هناك متعددة حدود

ص(أ،x1،...،xن){\displaystyle p(a,x_{1},\ldots ,x_{n})}

بمعاملات صحيحة بحيث تكون مجموعة قيمأ{\displaystyle a}والتي المعادلة

ص(أ،x1،...،xن)=0{\displaystyle p(a,x_{1},\ldots ,x_{n})=0}

إن وجود حلول في الأعداد الطبيعية غير قابل للحساب. لذا، لا توجد خوارزمية عامة لاختبار قابلية حل المعادلات الديوفانتية فحسب، بل لا توجد خوارزمية حتى لهذه المجموعة من المعادلات ذات المعامل الواحد.

تاريخ

سنةالفعاليات
1944يصرح إميل ليون بوست بأن مشكلة هيلبرت العاشرة "تستدعي برهانًا على عدم إمكانية حلها".
1949يستخدم مارتن ديفيس طريقة كورت غودل لتطبيق نظرية الباقي الصينية كحيلة برمجية للحصول على شكله الطبيعي للمجموعات القابلة للتعداد بشكل متكرر:
{أ|∃y∀ك⩽y∃x1،...،xن:ص(أ،ك،y،x1،...،xن)=0}{\displaystyle \left\{a\mid \exists y\,\forall k\leqslant y\,\exists x_{1},\ldots ,x_{n}:p\left(a,k,y,x_{1},\ldots ,x_{n}\right)=0\right\}}

أينص{\displaystyle p}هي متعددة حدود ذات معاملات صحيحة. من الناحية الشكلية البحتة، فإن المُكمِّم الشامل المحدود هو فقط ما يحول دون اعتبار هذا تعريفًا لمجموعة ديوفانتية.

باستخدام برهان بسيط ولكنه غير بنائي، يستنتج كنتيجة طبيعية لهذا الشكل الطبيعي أن مجموعة المجموعات الديوفانتية ليست مغلقة تحت التتميم، وذلك بإثبات وجود مجموعة ديوفانتية متممتها ليست ديوفانتية. ولأن المجموعات القابلة للتعداد التكراري ليست مغلقة تحت التتميم أيضًا، فإنه يخمن أن الفئتين متطابقتان.

1950تقوم جوليا روبنسون ، غير مدركة لعمل ديفيس، بالتحقيق في صلة الدالة الأسية بالمشكلة، وتحاول إثبات أن EXP هي مجموعة الثلاثيات(أ،ب،ج){\displaystyle (a,b,c)}والتيأ=بج{\displaystyle a=b^{c}}، هي ديوفانتين. ولعدم نجاحها، وضعت الفرضية التالية (التي سُميت لاحقًا JR):
توجد مجموعة ديوفانتيند{\displaystyle D}أزواج(أ،ب){\displaystyle (a,b)}بحيث(أ،ب)∈د⇒ب<أأ{\displaystyle (a,b)\in D\Rightarrow b<a^{a}}ولكل إيجابيك،{\displaystyle k,}يوجد(أ،ب)∈د{\displaystyle (a,b)\in D}بحيثب>أك.{\displaystyle b>a^{k}.}

باستخدام خصائص معادلة بيل، تثبت أن JR تعني أن EXP هي ديوفانتين، وكذلك معاملات ذات الحدين، والمضروب، والأعداد الأولية.

1959درس ديفيس وبوتنام، بالتعاون فيما بينهما، المجموعات الديوفانتية الأسية : وهي مجموعات يمكن تعريفها بمعادلات ديوفانتية قد تكون بعض أسسها مجهولة. وباستخدام الصيغة المعيارية لديفيس مع طرق روبنسون، وبافتراض الفرضية التي لم تكن مثبتة آنذاك، وهي وجود متتابعات حسابية طويلة كيفما كانت تتكون من أعداد أولية ، أثبتا أن كل مجموعة قابلة للتعداد التكراري هي مجموعة ديوفانتية أسية. كما أثبتا، كنتيجة حتمية، أن JR يستلزم أن كل مجموعة قابلة للتعداد التكراري هي مجموعة ديوفانتية، مما يعني بدوره أن مسألة هيلبرت العاشرة غير قابلة للحل.
1960يُبسّط روبنسون برهان النتيجة الشرطية للمجموعات الديوفانتية الأسية، ويجعلها مستقلة عن التخمين المتعلق بالأعداد الأولية، وبالتالي نظرية رسمية. وهذا يجعل فرضية JR شرطًا كافيًا لعدم إمكانية حل مسألة هيلبرت العاشرة. مع ذلك، شكّك كثيرون في صحة فرضية JR. [ أ ]
1961–1969خلال هذه الفترة، توصل ديفيس وبوتنام إلى عدة قضايا تستلزم صحة JR، وقام روبنسون، بعد أن أثبت سابقًا أن JR تستلزم أن تكون مجموعة الأعداد الأولية مجموعة ديوفانتية، بإثبات أن هذا شرطٌ شرطيٌّ فقط . ونشر يوري ماتياسيفيتش بعض الاختزالات للمسألة العاشرة لهيلبرت.
1970بالاستناد إلى العمل المنشور حديثًا لنيكولاي فوروبييف حول أعداد فيبوناتشي، [ 6 ] يثبت ماتياسيفيتش أن المجموعةP={(أ،ب)|أ>0،ب=F2أ}،{\displaystyle P=\{(a,b)\mid a>0,b=F_{2a}\},}أينFن{\displaystyle F_{n}}هو العدد النوني في متتالية فيبوناتشي ، وهو مجموعة ديوفانتية، ويُظهر نموًا أُسّيًا. [ 7 ] يُثبت هذا فرضية JR، التي كانت آنذاك مسألة مفتوحة لمدة 20 عامًا. بدمج JR مع نظرية أن كل مجموعة قابلة للتعداد التكراري هي مجموعة ديوفانتية أُسّية، يُثبت أن المجموعات القابلة للتعداد التكراري هي مجموعات ديوفانتية. هذا يجعل المسألة العاشرة لهيلبرت غير قابلة للحل.

التطبيقات

تربط نظرية ماتياسيفيتش/MRDP بين مفهومين - أحدهما من نظرية الحوسبة، والآخر من نظرية الأعداد - ولها بعض النتائج المفاجئة. ولعلّ أكثرها إثارة للدهشة هو وجود معادلة ديوفانتية شاملة .

توجد متعددة حدودص(أ،ن،x1،...،xك){\displaystyle p(a,n,x_{1},\ldots ,x_{k})}بحيث، بالنظر إلى أي مجموعة ديوفانتيةS{\displaystyle S}يوجد عددن0{\displaystyle n_{0}}بحيث
S={أ|∃x1،...،xك[ص(أ،ن0،x1،...،xك)=0]}.{\displaystyle S=\{\,a\mid \exists x_{1},\ldots ,x_{k}\,[p(a,n_{0},x_{1},\ldots ,x_{k})=0]\,\}.}

هذا صحيح ببساطة لأن المجموعات الديوفانتية، كونها مساوية للمجموعات القابلة للتعداد التكراري، هي أيضاً مساوية لآلات تورينج . ومن الخصائص المعروفة لآلات تورينج وجود آلات تورينج شاملة، قادرة على تنفيذ أي خوارزمية.

أشارت هيلاري بوتنام [ 8 ] إلى أنه بالنسبة لأي مجموعة ديوفانتيةS{\displaystyle S}بالنسبة للأعداد الصحيحة الموجبة، يوجد كثير حدود

q(x0،x1،...،xن){\displaystyle q(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})}

بحيثS{\displaystyle S}يتكون من الأعداد الموجبة تحديدًا من بين القيم التي يفترضهاq{\displaystyle q}باعتبارها المتغيرات

x0،x1،...،xن{\displaystyle x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}}

النطاق يشمل جميع الأعداد الطبيعية. ويمكن توضيح ذلك على النحو التالي: إذا

ص(أ،y1،...،yن)=0{\displaystyle p(a,y_{1},\ldots ,y_{n})=0}

يقدم تعريفًا ديوفانتيًا لـS{\displaystyle S}إذاً يكفي أن تحدد

q(x0،x1،...،xن)=x0[1-ص(x0،x1،...،xن)2].{\displaystyle q(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})=x_{0}[1-p(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})^{2}].}

فعلى سبيل المثال، توجد كثيرة حدود يكون الجزء الموجب من مداها هو الأعداد الأولية تحديدًا. (من جهة أخرى، لا يمكن أن تأخذ أي كثيرة حدود قيمًا أولية فقط). وينطبق الأمر نفسه على مجموعات الأعداد الطبيعية الأخرى القابلة للتعداد التكراري: المضروب، ومعاملات ذات الحدين، وأعداد فيبوناتشي، وما إلى ذلك.

وتتعلق تطبيقات أخرى بما يشير إليه علماء المنطق باسمΠ10{\displaystyle \Pi _{1}^{0}}القضايا، التي تُسمى أحيانًا قضايا من نوع غولدباخ . [ ب ] تُشبه هذه القضايا حدسية غولدباخ ، إذ تنص على أن جميع الأعداد الطبيعية تمتلك خاصية معينة يُمكن التحقق منها خوارزميًا لكل عدد على حدة. [ ج ] تنص نظرية ماتياسيفيتش/MRDP على أن كل قضية من هذا النوع تُكافئ عبارة تُؤكد أن معادلة ديوفانتية معينة ليس لها حلول في الأعداد الطبيعية. [ د ] عدد من المسائل المهمة والشهيرة تتخذ هذا الشكل: على وجه الخصوص، نظرية فيرما الأخيرة ، وفرضية ريمان ، ونظرية الألوان الأربعة . بالإضافة إلى ذلك، يُمكن التعبير عن التأكيد على أن أنظمة شكلية معينة مثل حساب بيانو أو ZFC متسقة على النحو التالي:Π10{\displaystyle \Pi _{1}^{0}}الجمل. الفكرة هي اتباع كورت غودل في ترميز البراهين بالأعداد الطبيعية بطريقة تجعل خاصية كونها العدد الذي يمثل البرهان قابلة للتحقق خوارزميًا.

Π10{\displaystyle \Pi _{1}^{0}}تتميز الجمل بخاصية فريدة، وهي أنه إذا كانت خاطئة، فإنه يمكن إثبات هذه الحقيقة في أي من الأنظمة الرسمية المعتادة. وذلك لأن الخطأ يعني وجود مثال مضاد يمكن التحقق منه بعمليات حسابية بسيطة. لذا، إذا كانتΠ10{\displaystyle \Pi _{1}^{0}}إذا كانت الجملة بحيث لا يمكن إثباتها ولا نفيها في أحد هذه الأنظمة، فيجب أن تكون تلك الجملة صحيحة.

يُعد أحد الأشكال اللافتة للنظر بشكل خاص لنظرية عدم اكتمال غودل نتيجة لنظرية ماتياسيفيتش/MRDP:

يترك

ص(أ،x1،...،xك)=0{\displaystyle p(a,x_{1},\ldots ,x_{k})=0}

قدّم تعريفًا ديوفانتيًا لمجموعة غير قابلة للحساب.أ{\displaystyle A}خوارزمية تُخرج سلسلة من الأعداد الطبيعيةن{\displaystyle n}بحيث تكون المعادلة المقابلة

ص(ن،x1،...،xك)=0{\displaystyle p(n,x_{1},\ldots ,x_{k})=0}

ليس لها حلول في الأعداد الطبيعية. إذن يوجد عددن0{\displaystyle n_{0}}هذا ليس ناتجًا عنأ{\displaystyle A}بينما في الواقع المعادلة

ص(ن0،x1،...،xك)=0{\displaystyle p(n_{0},x_{1},\ldots ,x_{k})=0}

ليس لها حلول في الأعداد الطبيعية.

لإثبات صحة النظرية، يكفي أن نلاحظ أنه لو لم يكن هناك مثل هذا العددن0{\displaystyle n_{0}}يمكن للمرء اختبار انتماء عدد ما باستخدام الخوارزمياتن{\displaystyle n}في هذه المجموعة غير القابلة للحساب عن طريق تشغيل الخوارزمية في وقت واحدأ{\displaystyle A}لمعرفة ما إذان{\displaystyle n}يتم إخراج النتائج مع التحقق من جميع الاحتمالات الممكنة.ك{\displaystyle k}- مجموعات من الأعداد الطبيعية التي تبحث عن حل للمعادلة

ص(ن،x1،...،xك)=0{\displaystyle p(n,x_{1},\ldots ,x_{k})=0}

ويمكننا ربط ذلك بخوارزميةأ{\displaystyle A}باستخدام أي من الأنظمة الرسمية المعتادة مثل حساب بيانو أو ZFC، وذلك عن طريق السماح لها بتوليد نتائج البديهيات بشكل منهجي ثم إخراج رقمن{\displaystyle n}كلما كانت الجملة على شكل

¬∃x1،...،xك[ص(ن،x1،...،xك)=0]{\displaystyle \neg \exists x_{1},\ldots ,x_{k}\,[p(n,x_{1},\ldots ,x_{k})=0]}

يتم توليدها. ثم تخبرنا النظرية أنه إما يتم إثبات عبارة خاطئة من هذا الشكل أو تبقى عبارة صحيحة غير مثبتة في النظام المعني.

نتائج إضافية

يمكننا تعريف درجة المجموعة الديوفانتية بأنها أقل درجة لكثير الحدود في المعادلة التي تُعرّف تلك المجموعة. وبالمثل، يمكننا تعريف بُعد هذه المجموعة بأنه أقل عدد من المجاهيل في المعادلة المُعرّفة لها. وبسبب وجود معادلة ديوفانتية شاملة، يتضح وجود حدود عليا مطلقة لكلتا الكميتين، وقد حظي تحديد هذه الحدود باهتمام كبير.

في عشرينيات القرن العشرين، أثبت ثورالف سكوليم أن أي معادلة ديوفانتية تُكافئ معادلة من الدرجة الرابعة أو أقل. وكانت حيلته تكمن في إدخال مجاهيل جديدة عن طريق معادلات تُساويها بمربع مجهول أو حاصل ضرب مجهولين. يؤدي تكرار هذه العملية إلى نظام من المعادلات من الدرجة الثانية؛ ثم تُستنتج معادلة من الدرجة الرابعة بجمع مربعاتها. لذا، فإن كل مجموعة ديوفانتية هي بالضرورة من الدرجة الرابعة أو أقل. ولا يُعرف ما إذا كانت هذه النتيجة هي الأمثل.

أثبتت جوليا روبنسون ويوري ماتياسيفيتش أن بُعد كل مجموعة ديوفانتية لا يتجاوز 13. وفي وقت لاحق، حسّن ماتياسيفيتش أساليبهما ليُثبت أن 9 مجاهيل كافية. ورغم أن هذه النتيجة قد لا تكون الأمثل، إلا أنه لم يُحرز أي تقدم إضافي. [ هـ ] لذا، على وجه الخصوص، لا توجد خوارزمية لاختبار قابلية حل المعادلات الديوفانتية التي تحتوي على 9 مجاهيل أو أقل في الأعداد الطبيعية. أما بالنسبة لحلول الأعداد الصحيحة النسبية (كما طرحها هيلبرت في الأصل)، فإن خدعة المربعات الأربعة تُظهر أنه لا توجد خوارزمية للمعادلات التي لا يزيد عدد مجاهيلها عن 36. لكن زي-وي صن أثبت أن المسألة بالنسبة للأعداد الصحيحة غير قابلة للحل حتى بالنسبة للمعادلات التي لا يزيد عدد مجاهيلها عن 11.

درس مارتن ديفيس مسائل حسابية تتعلق بعدد حلول معادلة ديوفانتية. وتسأل المسألة العاشرة لهيلبرت عما إذا كان هذا العدد يساوي صفرًا أم لا.أ={0،1،2،3،...،ℵ0}{\displaystyle A=\{0,1,2,3,\ldots ,\aleph _{0}\}}ودعج{\displaystyle C}ليكن مجموعة جزئية غير فارغة منأ{\displaystyle A}أثبت ديفيس أنه لا توجد خوارزمية لاختبار معادلة ديوفانتية معينة لتحديد ما إذا كان عدد حلولها ينتمي إلى المجموعةج{\displaystyle C}وبالتالي، لا توجد خوارزمية لتحديد ما إذا كان عدد حلول المعادلة الديوفانتية محدودًا أو فرديًا أو مربعًا كاملًا أو عددًا أوليًا، وما إلى ذلك.

تمت صياغة برهان نظرية MRDP بشكل رسمي في Rocq (المعروفة سابقًا باسم Coq ). [ 9 ]

امتدادات لمسألة هيلبرت العاشرة

ألكسندرا شلابينتوخ (في الوسط) عام 2003

على الرغم من أن هيلبرت طرح المسألة للأعداد الصحيحة النسبية، إلا أنه يمكن طرحها بنفس الكفاءة للعديد من الحلقات (وخاصةً أي حلقة يكون عدد عناصرها قابلاً للعد ). ومن الأمثلة الواضحة على ذلك حلقات الأعداد الصحيحة في حقول الأعداد الجبرية ، بالإضافة إلى حلقات الأعداد النسبية .

أُجريت دراساتٌ كثيرةٌ حول مسألة هيلبرت العاشرة لحلقات الأعداد الصحيحة في حقول الأعداد الجبرية. وبالاستناد إلى أعمالٍ سابقةٍ لجان دينيف وليونارد ليبشيتز، وباستخدام نظرية حقول الأصناف، تمكّن هارولد ن. شابيرو وألكسندرا شلابينتوخ من إثبات ما يلي:

إن المسألة العاشرة لهيلبرت غير قابلة للحل بالنسبة لحلقة الأعداد الصحيحة لأي حقل عددي جبري تكون مجموعة غالوا الخاصة به على الأعداد النسبية تبديلية .

حصل كل من شلابينتوخ وثاناسيس فيداس (بشكل مستقل عن بعضهما البعض) على نفس النتيجة بالنسبة لحقول الأعداد الجبرية التي تقبل زوجًا واحدًا بالضبط من التضمينات المترافقة المعقدة.

لا تزال مسألة حلقة الأعداد الصحيحة لحقول الأعداد الجبرية الأخرى غير تلك التي تغطيها النتائج المذكورة أعلاه مفتوحة. وبالمثل، على الرغم من الاهتمام الكبير، لا تزال مسألة المعادلات على الأعداد النسبية مفتوحة. وقد افترض باري مازور أنه لأي تنوع على الأعداد النسبية، فإن الإغلاق الطوبولوجي على الأعداد الحقيقية لمجموعة الحلول لا يحتوي إلا على عدد محدود من المكونات. [ 10 ] ويشير هذا الافتراض إلى أن الأعداد الصحيحة ليست ديوفانتية على الأعداد النسبية، وبالتالي إذا كان هذا الافتراض صحيحًا، فإن الإجابة السلبية على مسألة هيلبرت العاشرة ستتطلب منهجًا مختلفًا عن ذلك المستخدم في الحلقات الأخرى.

في عام ٢٠٢٤، نشر بيتر كويمانس وكارلو باجانو برهانًا مزعومًا على أن مسألة هيلبرت العاشرة غير قابلة للحل لأي حلقة من الأعداد الصحيحة باستخدام التوافقية الجمعية . [ ١١ ] [ ١٢ ] ثم ادعى فريق آخر من علماء الرياضيات لاحقًا برهانًا آخر للنتيجة نفسها، باستخدام طرق مختلفة. [ ١١ ] [ ١٣ ]

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ افترضت مراجعة المنشور المشترك الذي قام به ديفيس وبوتنام وروبنسون في مجلة Mathematical Reviews ( MR 0133227 ) في الواقع أن JR كان خاطئًا. 
  2. ↑Π10{\displaystyle \Pi _{1}^{0}}تُعتبر الجمل من أدنى مستويات ما يسمى بالتسلسل الهرمي الحسابي .
  3. ↑ وبالتالي، يمكن التعبير عن حدسية غولدباخ نفسها على أنها تقول أنه لكل عدد طبيعين{\displaystyle n}الرقم2ن+4{\displaystyle 2n+4}هو مجموع عددين أوليين. بالطبع، توجد خوارزمية بسيطة لاختبار ما إذا كان عددٌ ما مجموع عددين أوليين.
  4. ↑ في الواقع، يمكن إثبات التكافؤ في حساب بيانو .
  5. ↑ عند هذه النقطة، لا يمكن استبعاد الرقم 3 كحد أقصى مطلق.

مراجع

  1. ↑ ماتياسيفيتش، يو. خامسا (1970). "غموض المجموعات التي لا تعد ولا تحصى" . دوكلادي أكاديمي ناوك SSSR (بالروسية). 191 : 279 – 282.
  2. ↑ كوبر، إس. باري (17 نوفمبر 2003). نظرية الحوسبة . تشابمان آند هول/سي آر سي للرياضيات. ص 98. ISBN  9781584882374. OCLC 909209807 . 
  3. 1 2 ماتياسيفيتش 1993 .
  4. ↑ ستانلي بوريس، سيمون لي، متطابقات تارسكي للمدرسة الثانوية ، المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية ، 100 ، (1993)، العدد 3 ، ص 231-236.
  5. ↑ هيلبرت 1902 ، ص 458.
  6. ↑ ماتياسيفيتش، يوري (1992). "تعاوني مع جوليا روبنسون" . مجلة الرياضيات الذكية . 14 (4): 38-45 . doi : 10.1007/bf03024472 . S2CID 123582378. مؤرشف من الأصل في 12 نوفمبر 2020. تم الاطلاع عليه في 8 ديسمبر 2014 . 
  7. ↑ ساكس، جيرالد إي. (2003). المنطق الرياضي في القرن العشرين . وورلد ساينتيفيك. ص 269-273 . 
  8. ↑ هـ. بوتنام، "مشكلة غير قابلة للحل في نظرية الأعداد". مجلة المنطق الرمزي المجلد 25، العدد 3 (1960).
  9. ^ دومينيك لارشي ويندلينج ويانيك فورستر (2019). مشكلة هيلبرت العاشرة في Coq (PDF) (التقرير الفني). جامعة سارلاند .
  10. ↑ بونين، بيورن (2003). "مسألة هيلبرت العاشرة وتخمين مازور للحلقات الفرعية الكبيرة منسؤال{\displaystyle \mathbb {Q} }( ملف PDF) . مجلة الجمعية الرياضية الأمريكية . 16 (4): 981-990 . doi : 10.1090/ S0894-0347-03-00433-8 . MR 1992832. S2CID 8486815 .  
  11. 1 2 هاوليت، جوزيف. "براهين جديدة توسع حدود ما لا يمكن معرفته" . وايرد . ISSN 1059-1028 . تاريخ الاسترجاع: 14 مارس 2025 . 
  12. ↑ كويمانس، بيتر؛ باجانو، كارلو (2 ديسمبر 2024). "مسألة هيلبرت العاشرة عبر التوافقية الجمعية". arXiv : 2412.01768 [ math.NT ].
  13. ↑ ألبوج، ليفنت ؛ بهارجافا، مانجول ؛ هو، وي ؛ شنيدمان، آري (30 يناير 2025). "استقرار الرتبة في الامتدادات التربيعية ومسألة هيلبرت العاشرة لحلقة الأعداد الصحيحة لحقل عددي". arXiv : 2501.18774 [ math.NT ].

المراجع

للمزيد من القراءة