ثورالف سكوليم

كان ثورالف ألبرت سكوليم ( بالنرويجية: [ ˈtûːrɑɫf ˈskûːlɛm ] ؛ 23 مايو 1887 - 23 مارس 1963) عالم رياضيات نرويجي عمل في المنطق الرياضي ونظرية المجموعات ونظرية الأعداد .

على الرغم من أن والد سكوليم كان معلمًا في مدرسة ابتدائية، إلا أن معظم أفراد عائلته الممتدة كانوا مزارعين. التحق سكوليم بالمدرسة الثانوية في كريستيانيا (التي أعيد تسميتها لاحقًا بأوسلو )، واجتاز امتحانات القبول الجامعي في عام 1905. ثم التحق بجامعة الملك فريدريك لدراسة الرياضيات، كما درس أيضًا الفيزياء والكيمياء وعلم الحيوان وعلم النبات .

في عام ١٩٠٩، بدأ العمل مساعدًا للفيزيائي كريستيان بيركلاند ، المعروف بتجاربه في قذف الكرات الممغنطة بالإلكترونات والحصول على تأثيرات شبيهة بالشفق القطبي ؛ ولذا كانت أولى منشورات سكوليم عبارة عن أوراق بحثية في الفيزياء كتبها بالاشتراك مع بيركلاند. في عام ١٩١٣، اجتاز سكوليم امتحانات الدولة بتفوق، وأكمل أطروحة بعنوان " دراسات في جبر المنطق" . كما سافر مع بيركلاند إلى السودان لمراقبة ضوء البروج . أمضى الفصل الدراسي الشتوي من عام ١٩١٥ في جامعة غوتنغن ، التي كانت آنذاك مركز الأبحاث الرائد في المنطق الرياضي ، وما وراء الرياضيات ، والجبر المجرد ، وهي مجالات برع فيها سكوليم لاحقًا. في عام ١٩١٦، عُيّن زميلًا باحثًا في جامعة الملك فريدريك. في عام 1918، أصبح محاضراً في الرياضيات وانتُخب لعضوية الأكاديمية النرويجية للعلوم والآداب .

لم يلتحق سكوليم في البداية رسميًا ببرنامج الدكتوراه، لاعتقاده أن شهادة الدكتوراه غير ضرورية في النرويج. لكنه غيّر رأيه لاحقًا وقدّم أطروحته عام 1926 بعنوان " بعض النظريات حول الحلول التكاملية لبعض المعادلات والمتباينات الجبرية" . وكان المشرف النظري على أطروحته هو أكسل ثو ، على الرغم من وفاة ثو عام 1922.

في عام 1927، تزوج من إديث ويلهلمين هاسفولد.

استمر سكوليم في التدريس بجامعة الملك فريدريك (التي أُعيد تسميتها بجامعة أوسلو عام ١٩٣٩) حتى عام ١٩٣٠، حين أصبح باحثًا مشاركًا في معهد كريستيان ميكلسن في بيرغن . أتاح له هذا المنصب الرفيع إجراء البحوث دون أعباء إدارية أو تدريسية. إلا أن المنصب استلزم أيضًا إقامته في بيرغن ، المدينة التي كانت آنذاك تفتقر إلى جامعة، وبالتالي إلى مكتبة بحثية، مما حال دون اطلاعه على أحدث ما توصلت إليه الأبحاث الرياضية. في عام ١٩٣٨، عاد إلى أوسلو ليتولى منصب أستاذ الرياضيات في الجامعة. هناك، درّس مقررات الدراسات العليا في الجبر ونظرية الأعداد، ودرّس المنطق الرياضي في بعض الأحيان. أما طالب الدكتوراه الذي كان سكوليم يشرف عليه، أويستين أور، فقد انطلق في مسيرة مهنية في الولايات المتحدة الأمريكية.

شغل سكوليم منصب رئيس الجمعية الرياضية النرويجية ، وتولى تحرير مجلة " نورسك ماتيماتيسك تيدسكريفت " (المجلة الرياضية النرويجية) لسنوات عديدة. كما كان المحرر المؤسس لمجلة "ماثيماتيكا سكاندينافيكا" .

بعد تقاعده عام 1957، قام بعدة رحلات إلى الولايات المتحدة، حيث ألقى محاضرات وقام بالتدريس في جامعاتها. وظل نشطاً فكرياً حتى وفاته المفاجئة وغير المتوقعة.

للمزيد حول الحياة الأكاديمية لسكوليم، انظر فينستاد (1970).

نشر سكوليم حوالي 180 بحثًا في المعادلات الديوفانتية ، ونظرية الزمر ، ونظرية الشبكات ، ونظرية المجموعات والمنطق الرياضي ، منها نحو 50 بحثًا في المجالين الأخيرين. وقد نشر معظم أبحاثه في مجلات نرويجية ذات انتشار دولي محدود، مما أدى إلى إعادة اكتشاف نتائجه من قبل باحثين آخرين بين الحين والآخر. ومن الأمثلة على ذلك نظرية سكوليم-نوثر ، التي تُحدد خصائص التشاكلات الذاتية للجبر البسيط. نشر سكوليم برهانًا لهذه النظرية عام 1927، لكن إيمي نوثر أعادت اكتشافها بشكل مستقل بعد بضع سنوات.

كان سكوليم من أوائل من كتبوا عن الشبكات . ففي عام ١٩١٢، كان أول من وصف شبكة توزيعية حرة مولدة من n عنصرًا. وفي عام ١٩١٩، بيّن أن كل شبكة تضمينية (تُسمى الآن أيضًا شبكة سكوليم ) هي شبكة توزيعية، وكنتيجة جزئية عكسية، فإن كل شبكة توزيعية منتهية هي شبكة تضمينية. استخدم سكوليم في هذه الأعمال مصطلحات المنطق الجبري لإرنست شرودر ، مما أدى إلى عدم فهم نتائجه. وبحلول عام ١٩١٩، كان قد عرّف جبر هايتينغ تحت اسم Gruppenkalkül ، وأرسى خصائصه الأساسية، مستبقًا بذلك منطق القضايا الحدسي. بعد أن أعاد آخرون اكتشاف بعض نتائجه، نشر سكوليم ورقة بحثية عام 1936 بعنوان " Über gewisse 'Verbände' oder 'Lattices' " باللغة الألمانية، حيث قام بمسح أعماله السابقة في نظرية الشبكة، لكن هذه الورقة لم تلق استحسانًا من قبل أولئك الذين توقع عملهم. اكتشف في أوائل التسعينيات أن بحث سكوليم لعام 1920، بعنوان طويل للغاية Logisch-kombinatorische Unter suchungen über die Erfüllbarkeit oder Beweisbarkeit mathematischer Sätze, nebst einem Theorem über dichte Mengen، يحتوي على طريقة اتخاذ قرار متعدد الحدود لمشكلة الكلمات للشبكات المولدة بحرية، النتيجة معروفة فقط منذ عام 1988.

كان سكوليم رائدًا في نظرية النماذج . في عام 1920، وفي مقالته الطويلة المذكورة، بسّط بشكل كبير برهان نظرية أثبتها ليوبولد لوفنهايم لأول مرة عام 1915، مما أدى إلى نظرية لوفنهايم-سكوليم ، التي تنص على أنه إذا كانت لنظرية من الدرجة الأولى قابلة للعد نموذج لانهائي، فإن لها نموذجًا قابلًا للعد. استخدم سكوليم في برهانه عام 1920 بديهية الاختيار ، لكنه قدم لاحقًا (عامي 1922 و1928) براهين باستخدام ليمّة كونيغ بدلًا من تلك البديهية. ومن الجدير بالذكر أن سكوليم، مثل لوفنهايم، كتب عن المنطق الرياضي ونظرية المجموعات مستخدماً رموز زملائه الرواد في نظرية النماذج تشارلز ساندرز بيرس وإرنست شرودر ، بما في ذلك Π و Σ كمحددات كمية لربط المتغيرات، على عكس رموز بيانو ، وبرينسيبيا ماثيماتيكا ، ومبادئ المنطق الرياضي .

في عام ١٩١٩، قرأ سكوليم كتاب "مبادئ الرياضيات" (Principia Mathematica)، لكنه لم يقتنع بجانبٍ من معالجة راسل، ألا وهو التكميم الشامل والوجودي على نطاقات لا نهائية. فكان حله تطوير الحساب الابتدائي التكراري . وكانت ورقته البحثية، التي حملت عنوانًا طويلًا أيضًا، بعنوان: "أساس الحساب الابتدائي من خلال نمط التفكير التكراري، دون استخدام متغيرات مقيدة على نطاق لا نهائي" ( Begründung der elementary Arithmetic durch die rekurrierende Denkweise ohne Anwendung scheinbarer Veränderlichen mit unendlichem Ausdehnungsbereich ). لم تُنشر هذه الورقة إلا في عام ١٩٢٣، بعد أن رفضتها مجلة "أكتا ماثيماتيكا" (Acta Mathematica) الرائدة في ستوكهولم ، وهو حدثٌ أثار استياء سكوليم بشدة، كما فعل استيلاء ديفيد هيلبرت على اكتشافه . أدى عدم الاعتراف بعمله في الدول الاسكندنافية إلى عمله لسنوات عديدة بشكل رئيسي على مشاكل الديوفانتين.

في عام 1929، استبق سكوليم نظرية عدم الاكتمال لغودل عام 1931، فكتب:

سيكون من المهم إظهار أن كل مجموعة من القضايا المتعلقة بالأعداد الطبيعية، والمصاغة في منطق الدرجة الأولى، تظل صحيحة عندما يقوم المرء بإجراء تغييرات معينة في معنى "الأعداد".

بعد نشر غودل، قام سكوليم (1934) بتنفيذ النتيجة المتوقعة في عام 1929، من خلال بناء نماذج غير قياسية للحساب ونظرية المجموعات.

قام سكوليم (1922) بتنقيح بديهيات زيرميلو لنظرية المجموعات، وذلك باستبدال مفهوم زيرميلو المبهم عن الخاصية "المحددة" بأي خاصية يمكن ترميزها في منطق الرتبة الأولى . أصبحت البديهية الناتجة الآن جزءًا من البديهيات القياسية لنظرية المجموعات. كما أشار سكوليم إلى أن إحدى نتائج نظرية لوفنهايم-سكوليم هي ما يُعرف الآن بمفارقة سكوليم : إذا كانت بديهيات زيرميلو متسقة، فلا بد أن تكون قابلة للتحقيق ضمن نطاق قابل للعد، حتى وإن كانت تُثبت وجود مجموعات غير قابلة للعد.

إن اكتمال منطق الرتبة الأولى هو نتيجة طبيعية للنتائج التي أثبتها سكوليم في أوائل عشرينيات القرن العشرين وناقشها في كتابه (1928)، إلا أنه لم يشر إلى هذه الحقيقة، ربما لأن علماء الرياضيات والمنطق لم يدركوا تمامًا مفهوم الاكتمال كمشكلة أساسية في ما وراء الرياضيات إلا بعد أن أوضحت الطبعة الأولى من كتاب هيلبرت وأكرمان " مبادئ المنطق الرياضي" هذا المفهوم بوضوح عام 1928. على أي حال، كان كورت غودل أول من أثبت هذا الاكتمال عام 1930.

لم يثق سكوليم باللانهائية الكاملة ، وكان أحد مؤسسي المذهب المحدود في الرياضيات. في عام 1923، وضع سكوليم حسابه التكراري البدائي ، وهو إسهام مبكر جدًا في نظرية الدوال القابلة للحساب ، كوسيلة لتجنب ما يُسمى بمفارقات اللانهاية. طوّر سكوليم هنا حساب الأعداد الطبيعية من خلال تعريف الكائنات أولًا بالتكرار البدائي ، ثم ابتكار نظام آخر لإثبات خصائص الكائنات المُعرّفة في النظام الأول. مكّنه هذان النظامان من تعريف الأعداد الأولية ووضع أسس نظرية الأعداد. إذا أمكن اعتبار النظام الأول لغة برمجة لتعريف الكائنات، والثاني منطق برمجة لإثبات خصائصها، يُمكن اعتبار سكوليم رائدًا غير مقصود في علوم الحاسوب النظرية.

في عام ١٩٢٩، أثبت بريسبرغر أن حساب بيانو بدون الضرب متسق وكامل وقابل للتقرير . وفي العام التالي، أثبت سكولم أن الأمر نفسه ينطبق على حساب بيانو بدون الجمع، وهو نظام سُمّي حساب سكولم تكريمًا له. أما نتيجة غودل الشهيرة عام ١٩٣١ فهي أن حساب بيانو نفسه (مع الجمع والضرب) غير قابل للاكتمال ، وبالتالي غير قابل للتقرير بعديًا .

أشاد هاو وانغ بعمل سكوليم على النحو التالي:

يميل سكوليم إلى معالجة المشكلات العامة بأمثلة ملموسة. وكثيراً ما كان يعرض البراهين بنفس ترتيب اكتشافها، مما يُضفي على أسلوبه طابعاً غير رسمي، فضلاً عن نوع من عدم الحسم. تبدو العديد من أبحاثه كتقارير مرحلية، إلا أن أفكاره غالباً ما تكون غنية بالمعلومات وقابلة للتطبيق على نطاق واسع. لقد كان سكوليم روحاً حرة بامتياز: لم ينتمِ إلى أي مدرسة فكرية، ولم يؤسس مدرسة خاصة به، ولم يعتمد كثيراً على النتائج المعروفة... لقد كان مبتكراً بامتياز، ويمكن قراءة معظم أبحاثه وفهمها حتى لمن لا يملكون معرفة متخصصة واسعة. ويبدو من المرجح أنه لو كان شاباً اليوم، لما استهواه المنطق. (سكوليم 1970: 17-18)

للمزيد حول إنجازات سكوليم، انظر هاو وانغ (1970).

• ليوبولد لوفنهايم
• نظرية النموذج
• حساب سكوليم
• الشكل الطبيعي لسكوليم
• مفارقة سكوليم
• مشكلة سكوليم
• تسلسل سكوليم
• نظرية سكولم-ماهلر-ليخ

• أوكونور، جون J.؛ روبرتسون، إدموند ف. ، “ثورالف سكوليم” ، أرشيف MacTutor لتاريخ الرياضيات ، جامعة سانت أندروز
• ثورالف سكوليم في مشروع علم الأنساب الرياضي
• فينستاد، ينس إريك، 1996، " ثورالف ألبرت سكوليم 1887-1963: رسم سيرة ذاتية "، المجلة الشمالية للمنطق الفلسفي 1 : 99-106.