توزيع هوتلينغ T -squared

كل مصفوفة متناظرة شبه موجبة محددة${\textstyle {\boldsymbol {M}}}$له جذر تربيعي متناظر شبه موجب${\textstyle {\boldsymbol {M}}^{1/2}}$وإذا كانت غير منفردة، فإن معكوسها له جذر تربيعي موجب محدد${\textstyle {\boldsymbol {M}}^{-1/2}}$.

منذ${\textstyle \operatorname {var} \left({\overline {\boldsymbol {x}}}\right)=\mathbf {\Sigma } _{\overline {\mathbf {x} }}}$لدينا $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {var} \left(\mathbf {\Sigma } _{\overline {\boldsymbol {x}}}^{-1/2}{\overline {\boldsymbol {x}}}\right)&=\mathbf {\Sigma } _{\overline {\boldsymbol {x}}}^{-1/2}{\Big (}\operatorname {var} \left({\overline {\boldsymbol {x}}}\right){\Big )}\left(\mathbf {\Sigma } _{\overline {\boldsymbol {x}}}^{-1/2}\right)^{T}\\[5pt]&=\mathbf {\Sigma } _{\overline {\boldsymbol {x}}}^{-1/2}{\Big (}\operatorname {var} \left({\overline {\boldsymbol {x}}}\right){\Big )}\mathbf {\Sigma } _{\overline {\boldsymbol {x}}}^{-1/2}{\text{ because }}\mathbf {\Sigma } _{\overline {\boldsymbol {x}}}{\text{ is symmetric}}\\[5pt]&=\left(\mathbf {\Sigma } _{\overline {\boldsymbol {x}}}^{-1/2}\mathbf {\Sigma } _{\overline {\boldsymbol {x}}}^{1/2}\right)\left(\mathbf {\Sigma } _{\overline {\boldsymbol {x}}}^{1/2}\mathbf {\Sigma } _{\overline {\boldsymbol {x}}}^{-1/2}\right)\\[5pt]&=\mathbf {I} _{p}.\end{aligned}}}$$ بالتالي$${\displaystyle ({\overline {\boldsymbol {x}}}-{\boldsymbol {\mu }})^{T}\mathbf {\Sigma } _{\overline {x}}^{-1}({\overline {\boldsymbol {x}}}-{\boldsymbol {\mu }})=\left(\mathbf {\Sigma } _{\overline {x}}^{-1/2}({\overline {\boldsymbol {x}}}-{\boldsymbol {\mu }})\right)^{T}\left(\mathbf {\Sigma } _{\overline {x}}^{-1/2}({\overline {\boldsymbol {x}}}-{\boldsymbol {\mu }})\right)}$$ وهذا ببساطة هو مجموع مربعات${\textstyle p}$متغيرات عشوائية طبيعية قياسية مستقلة. وبالتالي فإن توزيعها هو${\textstyle \chi _{p}^{2}.}$

ولتوضيح ذلك، استخدم حقيقة أن${\displaystyle {\overline {\mathbf {x} }}\sim {\mathcal {N}}_{p}({\boldsymbol {\mu }},{\mathbf {\Sigma } }/n)}$ واستنباط الدالة المميزة للمتغير العشوائي${\displaystyle \mathbf {y} =({\bar {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\mu }})'{\mathbf {\Sigma } }_{\bar {\mathbf {x} }}^{-1}({\bar {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\mathbf {\mu } }})=({\bar {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\mu }})'({\mathbf {\Sigma } }/n)^{-1}({\bar {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\mathbf {\mu } }})}$وكالعادة، دع${\displaystyle |\cdot |}$يشير إلى محدد الحجة، كما في${\displaystyle |{\boldsymbol {\Sigma }}|}$.

بحسب تعريف الدالة المميزة، لدينا: ^{[ 8 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{\mathbf {y} }(\theta )&=\operatorname {E} e^{i\theta \mathbf {y} },\\[5pt]&=\operatorname {E} e^{i\theta ({\overline {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\mu }})'({\mathbf {\Sigma } }/n)^{-1}({\overline {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\mathbf {\mu } }})}\\[5pt]&=\int e^{i\theta ({\overline {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\mu }})'n{\mathbf {\Sigma } }^{-1}({\overline {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\mathbf {\mu } }})}(2\pi )^{-p/2}|{\boldsymbol {\Sigma }}/n|^{-1/2}\,e^{-(1/2)({\overline {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\mu }})'n{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}({\overline {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\mu }})}\,dx_{1}\cdots dx_{p}\end{aligned}}}$$ يوجد دالتان أُسيتان داخل التكامل، لذلك بضرب الدالتين الأُسيتين نجمع الأسس معًا، فنحصل على: $${\displaystyle {\begin{aligned}&=\int (2\pi )^{-p/2}|{\boldsymbol {\Sigma }}/n|^{-1/2}\,e^{-(1/2)({\overline {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\mu }})'n({\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}-2i\theta {\boldsymbol {\Sigma }}^{-1})({\overline {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\mu }})}\,dx_{1}\cdots dx_{p}\end{aligned}}}$$ والآن خذ المصطلح${\displaystyle |{\boldsymbol {\Sigma }}/n|^{-1/2}}$خارج التكامل، واضرب كل شيء في عنصر محايد${\displaystyle I=|({\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}-2i\theta {\boldsymbol {\Sigma }}^{-1})^{-1}/n|^{1/2}\;\cdot \;|({\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}-2i\theta {\boldsymbol {\Sigma }}^{-1})^{-1}/n|^{-1/2}}$، مما يجعل أحدهما داخل التكامل: $${\displaystyle {\begin{aligned}&=|({\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}-2i\theta {\boldsymbol {\Sigma }}^{-1})^{-1}/n|^{1/2}|{\boldsymbol {\Sigma }}/n|^{-1/2}\int (2\pi )^{-p/2}|({\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}-2i\theta {\boldsymbol {\Sigma }}^{-1})^{-1}/n|^{-1/2}\,e^{-(1/2)n({\overline {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\mu }})'({\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}-2i\theta {\boldsymbol {\Sigma }}^{-1})({\overline {\mathbf {x} }}-{\boldsymbol {\mu }})}\,dx_{1}\cdots dx_{p}\end{aligned}}}$$ لكن الحد الموجود داخل التكامل هو تحديدًا دالة كثافة الاحتمال لتوزيع طبيعي متعدد المتغيرات مع مصفوفة تباين مشتركة${\displaystyle ({\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}-2i\theta {\boldsymbol {\Sigma }}^{-1})^{-1}/n=\left[n({\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}-2i\theta {\boldsymbol {\Sigma }}^{-1})\right]^{-1}}$ويعني${\displaystyle \mu }$لذلك عند التكامل على الكل${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{p}}$، يجب أن يستسلم${\displaystyle 1}$وفقًا لبديهيات الاحتمال ، نصل بالتالي إلى ما يلي: $${\displaystyle {\begin{aligned}&=\left|({\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}-2i\theta {\boldsymbol {\Sigma }}^{-1})^{-1}\cdot {\frac {1}{n}}\right|^{1/2}|{\boldsymbol {\Sigma }}/n|^{-1/2}\\&=\left|({\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}-2i\theta {\boldsymbol {\Sigma }}^{-1})^{-1}\cdot {\frac {1}{\cancel {n}}}\cdot {\cancel {n}}\cdot {\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}\right|^{1/2}\\&=\left|\left[({\cancel {{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}}}-2i\theta {\cancel {{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}}}){\cancel {\boldsymbol {\Sigma }}}\right]^{-1}\right|^{1/2}\\&=|\mathbf {I} _{p}-2i\theta \mathbf {I} _{p}|^{-1/2}\end{aligned}}}$$ أين${\displaystyle I_{p}}$هي مصفوفة الوحدة ذات البعد${\displaystyle p}$وأخيرًا، بحساب المحدد، نحصل على: $${\displaystyle {\begin{aligned}&=(1-2i\theta )^{-p/2}\end{aligned}}}$$ وهي الدالة المميزة لتوزيع كاي تربيع مع${\displaystyle p}$درجات الحرية.${\displaystyle \;\;\;\blacksquare }$