مبدأ هيوم

في أسس الرياضيات ، ينص مبدأ هيوم (أو HP ) على أنه، بالنظر إلى مجموعتين من الأشياء${\displaystyle {\mathcal {F}}}$و${\displaystyle {\mathcal {G}}}$مع خصائص${\displaystyle F}$و${\displaystyle G}$على التوالي، عدد الكائنات التي تمتلك الخاصية${\displaystyle F}$يساوي عدد الكائنات التي لها الخاصية${\displaystyle G}$إذا وفقط إذا كان هناك تناظر أحادي (تقابل) بين${\displaystyle {\mathcal {F}}}$و${\displaystyle {\mathcal {G}}}$بمعنى آخر، أن التقابلات هي الطريقة "الصحيحة" لقياس الحجم.

يمكن صياغة مبدأ هيوم-هيوم رسميًا في أنظمة المنطق من الرتبة الثانية . سُمّي هذا المبدأ نسبةً إلى الفيلسوف الاسكتلندي ديفيد هيوم ، وصاغه جورج بولوس . يلعب هذا المبدأ دورًا محوريًا في فلسفة الرياضيات لغوتلوب فريجه . يُبيّن فريجه أن مبدأ هيوم-هيوم والتعريفات المناسبة للمفاهيم الحسابية تستلزم جميع بديهيات ما يُعرف اليوم بالحساب من الرتبة الثانية . تُعرف هذه النتيجة بنظرية فريجه ، وهي أساس فلسفة رياضية تُعرف بالمنطق الجديد .

يظهر مبدأ هيوم في كتاب فريجه أسس الحساب (§63)، ^{[ 1 ]} الذي يقتبس من الجزء الثالث من الكتاب الأول من كتاب ديفيد هيوم " رسالة في الطبيعة البشرية " (1740).

في هذه الرسالة، يحدد هيوم سبع علاقات أساسية بين الأفكار، لا سيما فيما يتعلق بالتناسب في الكمية أو العدد . ويجادل بأن تفكيرنا بشأن التناسب في الكمية، كما هو ممثل في الهندسة ، لا يمكن أن يصل أبدًا إلى "الدقة والتمام التامين"، لأن مبادئه مستمدة من المظهر الحسي. ويقارن ذلك بالتفكير في العدد أو الحساب ، حيث يمكن تحقيق مثل هذه الدقة.

الجبر والحساب هما العلمان الوحيدان اللذان نستطيع فيهما بناء سلسلة من الاستدلالات مهما بلغت درجة تعقيدها، مع الحفاظ على دقة ويقين تامين. لدينا معيار دقيق نستطيع من خلاله الحكم على تساوي الأعداد وتناسبها؛ وبناءً على مدى توافقها أو عدم توافقها مع هذا المعيار، نحدد علاقاتها دون أي احتمال للخطأ. عندما يُجمع عددان بحيث يكون لكل منهما وحدة مقابلة لكل وحدة من وحدات الآخر، نعتبرهما متساويين ؛ وبسبب غياب مثل هذا المعيار للمساواة في الامتداد المكاني، يصعب اعتبار الهندسة علمًا كاملاً لا تشوبه شائبة. (I. III. I.) ^{[ 2 ]}

لاحظ استخدام هيوم لكلمة " عدد" بمعناها القديم، أي مجموعة أو مجموعة من الأشياء، وليس بالمعنى الحديث الشائع "عدد صحيح موجب". فالمفهوم اليوناني القديم للعدد ( أريثموس ) هو عدد محدود يتكون من وحدات. انظر أرسطو ، كتاب الميتافيزيقا ، 1020أ14، وإقليدس ، كتاب الأصول ، الكتاب السابع، التعريفان 1 و2. وقد نُوقش التباين بين المفهوم القديم والحديث للعدد بالتفصيل في مايبيري (2000).

سبق أن استخدم جورج كانتور ، الذي كان فريجه على دراية بكتاباته، مبدأَ وصف الأعداد الأصلية من حيث التناظر الأحادي . ولذلك، اقتُرح تسمية مبدأ هيوم بـ"مبدأ كانتور" أو "مبدأ هيوم-كانتور". إلا أن فريجه انتقد كانتور على أساس أن كانتور يُعرّف الأعداد الأصلية بدلالة الأعداد الترتيبية ، بينما أراد فريجه تقديم وصف للأعداد الأصلية مستقل عن الأعداد الترتيبية. مع ذلك، فإن وجهة نظر كانتور هي المُتأصلة في النظريات المعاصرة للأعداد المتسامية ، كما طُوّرت في نظرية المجموعات البديهية .

• أندرسون، د.؛ زالتا، إ. (2004). "فريجه، بولوس، والأشياء المنطقية" (ملف PDF) . مجلة المنطق الفلسفي . 33 : 1-26 . doi : 10.1023/B:LOGI.0000019236.64896.fd . S2CID 6620015 . 
• بولوس، جورج (1990). "معيار تساوي الأعداد". في بولوس، ج. (محرر). المعنى والمنهج: مقالات تكريمًا لهيلاري بوتنام . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 261-277 . ISBN  978-0-521-36083-8.
• بولوس، جورج (1998). "القسم الثاني: دراسات فريجه". المنطق، المنطق، والمنطق . مطبعة جامعة هارفارد. ص 133-342 . ISBN  978-0-674-53767-5.
• بورغيس، جون (2018) [2005]. إصلاح فريجه . مطبعة جامعة برينستون. ISBN 978-0-691-18706-8.
• فريج ، جوتلوب (1884). Die Grundlagen der Arithmetik: Eine logisch mathematische Unter suchung [ أسس الحساب ] . بريسلاو: فيلهلم كوبنر.
• هيوم، ديفيد (1739-1740). رسالة في الطبيعة البشرية .
• مايبيري، جون ب. (2000). أسس الرياضيات في نظرية المجموعات . موسوعة الرياضيات وتطبيقاتها. المجلد  83. مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-77034-7.

• موسوعة ستانفورد للفلسفة : " منطق فريجه، ونظريته، وأسسه في الحساب " بقلم إدوارد زالتا .
• "الأسس المنطقية والميتافيزيقية للرياضيات الكلاسيكية".
• أرشي: مركز فلسفة المنطق واللغة والرياضيات والعقل في جامعة سانت أندروز.