عدم المساواة بين المتوسط ​​الحسابي والمتوسط ​​الهندسي

لو${\displaystyle a,b,c>0}$ثم تخبرنا متباينة المتوسط ​​الحسابي والمتوسط ​​الهندسي بأن

${\displaystyle (1+a)(1+b)(1+c)\geq 2{\sqrt {1\cdot {a}}}\cdot 2{\sqrt {1\cdot {b}}}\cdot 2{\sqrt {1\cdot {c}}}=8{\sqrt {abc}}}$

حد أعلى بسيط لـ${\displaystyle n!}$يمكن العثور عليها. هذا ما تخبرنا به شركة AM-GM

${\displaystyle 1+2+\dots +n\geq n{\sqrt[{n}]{n!}}}$

${\displaystyle {\frac {n(n+1)}{2}}\geq n{\sqrt[{n}]{n!}}}$

وهكذا

${\displaystyle \left({\frac {n+1}{2}}\right)^{n}\geq n!}$

مع المساواة في${\displaystyle n=1}$.

وبعبارة أخرى،

${\displaystyle (n+1)^{n}\geq 2^{n}n!}$

ضع في اعتبارك الدالة

${\displaystyle f(x,y,z)={\frac {x}{y}}+{\sqrt {\frac {y}{z}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}}$

لجميع الأعداد الحقيقية الموجبة x و y و z . لنفترض أننا نريد إيجاد القيمة الصغرى لهذه الدالة. يمكن إعادة كتابتها على النحو التالي: 

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x,y,z)&=6\cdot {\frac {{\frac {x}{y}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {y}{z}}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {y}{z}}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}}{6}}\\&=6\cdot {\frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}+x_{6}}{6}}\end{aligned}}}$

مع

${\displaystyle x_{1}={\frac {x}{y}},\qquad x_{2}=x_{3}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {y}{z}}},\qquad x_{4}=x_{5}=x_{6}={\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}.}$

بتطبيق متباينة المتوسط ​​الحسابي والمتوسط ​​الهندسي لـ n = 6 ، نحصل على

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x,y,z)&\geq 6\cdot {\sqrt[{6}]{{\frac {x}{y}}\cdot {\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {y}{z}}}\cdot {\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {y}{z}}}\cdot {\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}\cdot {\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}\cdot {\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}}}\\&=6\cdot {\sqrt[{6}]{{\frac {1}{2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 3}}{\frac {x}{y}}{\frac {y}{z}}{\frac {z}{x}}}}\\&=2^{2/3}\cdot 3^{1/2}.\end{aligned}}}$

علاوة على ذلك، نعلم أن الجانبين متساويان تمامًا عندما تكون جميع حدود المتوسط ​​متساوية:

${\displaystyle f(x,y,z)=2^{2/3}\cdot 3^{1/2}\quad {\mbox{when}}\quad {\frac {x}{y}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {y}{z}}}={\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}.}$

جميع النقاط ( x , y , z ) التي تحقق هذه الشروط تقع على نصف خط مستقيم يبدأ من نقطة الأصل، ويتم تحديدها بواسطة

${\displaystyle (x,y,z)={\biggr (}t,{\sqrt[{3}]{2}}{\sqrt {3}}\,t,{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}\,t{\biggr )}\quad {\mbox{with}}\quad t>0.}$

يمكن استخدام مساواة المتوسط ​​الحسابي والمتوسط ​​الهندسي لإثبات متباينة كوشي-شفارتز .

في الرياضيات المالية ، تُظهر متباينة المتوسط ​​الحسابي والمتوسط ​​الهندسي أن العائد السنوي ، أي المتوسط ​​الهندسي، أقل من متوسط ​​العائد السنوي، أي المتوسط ​​الحسابي.

في نظرية المخططات ، يمكن استخدام متباينة المتوسط ​​الحسابي - المتوسط ​​الهندسي لإثبات أن عدد رؤوس مخطط ثنائي الأجزاء على${\displaystyle n}$الرؤوس محدودة من الأعلى بـ${\displaystyle {\frac {n^{2}}{4}}}$[ ^{4 ]} رؤوس الرسم البياني ثنائي الأجزاء ^مع${\displaystyle n}$يمكن تقسيم الرؤوس إلى فئتين${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$بما أنه لا يمكننا رسم حواف إلا بين رؤوس من فئة إلى أخرى، فإن الحد الأقصى لعدد الرؤوس يُعطى بواسطة${\displaystyle |A||B|}$باستخدام متباينة المتوسط ​​الحسابي والمتوسط ​​الهندسي، يمكننا تحديد الحد الأقصى.${\displaystyle |A||B|}$من الأعلى على النحو التالي:

${\displaystyle |A||B|\leq ({\frac {|A|+|B|}{2}})^{2}\leq {\frac {n^{2}}{4}}}$

متعددة حدود موتزكين$${\displaystyle x^{4}y^{2}+x^{2}y^{4}-3x^{2}y^{2}+1}$$هي كثيرة حدود غير سالبة وليست مجموع كثيرات حدود مربعة . ويمكن إثبات أنها غير سالبة باستخدام متباينة الوسط الحسابي والوسط الهندسي.${\displaystyle x_{1}=x^{4}y^{2}}$،${\displaystyle x_{2}=x^{2}y^{4}}$، و${\displaystyle x_{3}=1}$[ ^{5 ]} أي^​$${\displaystyle {\sqrt[{3}]{(x^{4}y^{2})\cdot (x^{2}y^{4})\cdot (1)}}\leq {{(x^{4}y^{2})+(x^{2}y^{4})+(1)} \over {3}}.}$$بتبسيط المعادلة وضرب كلا الطرفين في 3 نحصل على$${\displaystyle {3x^{2}y^{2}}\leq {x^{4}y^{2}+x^{2}y^{4}+1},}$$لذا ^{[ 6 ]}$${\displaystyle {0\leq x^{4}y^{2}+x^{2}y^{4}-3x^{2}y^{2}+1}.}$$

تنص متباينة جنسن على أن قيمة دالة مقعرة للوسط الحسابي أكبر من أو تساوي الوسط الحسابي لقيم الدالة. وبما أن دالة اللوغاريتم مقعرة، فإننا نحصل على

${\displaystyle \log \left({\frac {\sum x_{i}}{n}}\right)\geq {\frac {1}{n}}\sum \log x_{i}={\frac {1}{n}}\log \left(\prod x_{i}\right)=\log \left(\left(\prod x_{i}\right)^{1/n}\right).}$

بأخذ اللوغاريتمات العكسية (الأسية) للطرفين الأيسر والأيمن، نحصل على متباينة AM–GM.

علينا أن نثبت ذلك

${\displaystyle \alpha ={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}=\beta }$

تتحقق المساواة فقط عندما تكون جميع الأرقام متساوية.

إذا لم تكن جميع الأعداد متساوية، فإنه يوجد${\displaystyle x_{i},x_{j}}$بحيث${\displaystyle x_{i}<\alpha <x_{j}}$استبدال x _i بـ${\displaystyle \alpha }$و x _j بواسطة${\displaystyle (x_{i}+x_{j}-\alpha )}$سيُبقي المتوسط ​​الحسابي للأعداد دون تغيير، ولكنه سيزيد المتوسط ​​الهندسي لأن

${\displaystyle \alpha (x_{j}+x_{i}-\alpha )-x_{i}x_{j}=(\alpha -x_{i})(x_{j}-\alpha )>0}$

إذا لم تتساوى الأرقام بعد، نستمر في استبدالها كما سبق. بعد ذلك على الأكثر${\displaystyle (n-1)}$في خطوات الاستبدال هذه، سيتم استبدال جميع الأرقام بـ${\displaystyle \alpha }$بينما يزداد المتوسط ​​الهندسي بشكل مطرد في كل خطوة. بعد الخطوة الأخيرة، سيكون المتوسط ​​الهندسي${\displaystyle {\sqrt[{n}]{\alpha \alpha \cdots \alpha }}=\alpha }$مما يثبت عدم المساواة.

تجدر الإشارة إلى أن استراتيجية الاستبدال تعمل بنفس الكفاءة من الطرف الأيمن. إذا كان أي من الأعداد يساوي صفرًا، فإن المتوسط ​​الهندسي سيكون كذلك، مما يثبت المتباينة بشكل بديهي. لذلك، يمكننا افتراض أن جميع الأعداد موجبة. إذا لم تكن جميعها متساوية، فإنه يوجد ${\displaystyle x_{i},x_{j}}$بحيث${\displaystyle 0<x_{i}<\beta <x_{j}}$استبدال${\displaystyle x_{i}}$بواسطة${\displaystyle \beta }$و${\displaystyle x_{j}}$بواسطة${\displaystyle {\frac {x_{i}x_{j}}{\beta }}}$لا يغير المتوسط ​​الهندسي، ولكنه يقلل المتوسط ​​الحسابي بشكل كبير لأن

${\displaystyle x_{i}+x_{j}-\beta -{\frac {x_{i}x_{j}}{\beta }}={\frac {(\beta -x_{i})(x_{j}-\beta )}{\beta }}>0}$ثم يتبع البرهان نفس النهج كما في الاستبدال السابق.

يعتمد البرهان التالي القائم على الحالات مباشرةً على قواعد الحساب المعروفة، ولكنه يستخدم أسلوب الاستقراء الأمامي-الخلفي النادر الاستخدام. وهو مأخوذ أساسًا من أوغستين لويس كوشي، ويمكن إيجاده في كتابه "دروس في التحليل" . ^{[ 7 ]}

يستخدم البرهان التالي الاستقراء الرياضي وبعض حساب التفاضل والتكامل الأساسي .

أساس الاستقراء : بالنسبة لـ n = 1، تكون العبارة صحيحة مع المساواة.

فرضية الاستقراء : لنفترض أن عبارة AM–GM صحيحة لجميع اختيارات n من الأعداد الحقيقية غير السالبة.

خطوة الاستقراء : لإثبات العبارة لـ n + 1 من الأعداد الحقيقية غير السالبة x1 _، ...، xn _، xn _{+ 1} ، نحتاج إلى إثبات أن

${\displaystyle {\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}+x_{n+1}}{n+1}}-({x_{1}\cdots x_{n}x_{n+1}})^{\frac {1}{n+1}}\geq 0}$

تتحقق المساواة فقط إذا كانت جميع الأعداد n + 1 متساوية.

إذا كانت جميع الأعداد أصفارًا، فإن المتباينة تتحقق مع المساواة. أما إذا كانت بعض الأعداد أصفارًا وليس كلها، فإننا أمام متباينة قطعية. لذلك، يمكننا أن نفترض فيما يلي أن جميع الأعداد n + 1 موجبة.

نعتبر العدد الأخير x _{n +1} متغيرًا ونعرّف الدالة

${\displaystyle f(t)={\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}+t}{n+1}}-({x_{1}\cdots x_{n}t})^{\frac {1}{n+1}},\qquad t>0.}$

إثبات خطوة الاستقراء يُكافئ إظهار أن f ( t ) ≥ 0 لجميع قيم t > 0 ، مع كون f ( t ) = 0 فقط إذا _{كانت x₁} , ..., xₙ _و t متساوية. ويمكن تحقيق ذلك بتحليل النقاط الحرجة للدالة f باستخدام بعض مبادئ حساب التفاضل والتكامل الأساسية.  

المشتقة الأولى للدالة f تُعطى بالصيغة التالية:

${\displaystyle f'(t)={\frac {1}{n+1}}-{\frac {1}{n+1}}({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n+1}}t^{-{\frac {n}{n+1}}},\qquad t>0.}$

يجب أن تحقق النقطة الحرجة t _{0 المعادلة} f′ ( t ₀ ) = 0 ، مما يعني

${\displaystyle ({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n+1}}t_{0}^{-{\frac {n}{n+1}}}=1.}$

بعد إعادة ترتيب بسيطة نحصل على

${\displaystyle t_{0}^{\frac {n}{n+1}}=({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n+1}},}$

وأخيراً

${\displaystyle t_{0}=({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n}},}$

وهو المتوسط ​​الهندسي لـ x₁ _، ...، xₙ . هذه هي النقطة الحرجة الوحيدة للدالة f . بما أن f′′ ( t ) > 0 لجميع قيم t > 0 ، فإن الدالة f محدبة تمامًا ولها قيمة صغرى مطلقة عند t₀ _{. بعد ذلك ،} نحسب قيمة الدالة عند هذه القيمة الصغرى المطلقة:   

${\displaystyle {\begin{aligned}f(t_{0})&={\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}+({x_{1}\cdots x_{n}})^{1/n}}{n+1}}-({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n+1}}({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n(n+1)}}\\&={\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}}{n+1}}+{\frac {1}{n+1}}({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n}}-({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n}}\\&={\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}}{n+1}}-{\frac {n}{n+1}}({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n}}\\&={\frac {n}{n+1}}{\Bigl (}{\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}}{n}}-({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n}}{\Bigr )}\\&\geq 0,\end{aligned}}}$

حيث تتحقق المتباينة النهائية بفضل فرضية الاستقراء. وتنص الفرضية أيضًا على أنه لا يمكن أن تتحقق المساواة إلا عندما تكون x₁ _, ..., xₙ متساوية. في هذه الحالة، يكون متوسطها الهندسي t₀ متساويًا . وبالتالي، ما لم تكن _{x₁ ,} ... _{, xₙ} , xₙ₊₁ متساوية ، فإن _f ( xₙ₊₁ _{) > 0.} وبذلك يكتمل البرهان. 

يمكن استخدام هذه التقنية بنفس الطريقة لإثبات متباينة AM-GM المعممة ومتباينة كوشي-شفارتز في الفضاء الإقليدي R ⁿ .

قدّم جورج بوليا برهانًا مشابهًا لما يلي. ليكن f ( x ) = e ^{^(x -1)} - x لجميع قيم x الحقيقية ، حيث f ′ ( x ) = e ^{^(x -1)} - 1 و f′′ ( x ) = e^ ( ^{x -1} ) . لاحظ أن f (1) = 0 و f′ (1) = 0 و f′′ ( x ) > 0 لجميع قيم x الحقيقية ، وبالتالي فإن f محدبة تمامًا ولها قيمة صغرى مطلقة عند x = 1. ومن ثم ، x ≤ e^ ^{(x -1)} لجميع قيم x الحقيقية، مع تساوي القيمتين فقط عند x = 1 .   

لنفترض قائمة من الأعداد الحقيقية غير السالبة x₁ , x₂ , _... , xₙ _. إذا كانت جميعها تساوي صفرًا، فإن متباينة الوسط الحسابي والوسط الهندسي تتحقق مع المساواة. لذا، يمكننا أن نفترض فيما يلي أن وسطها الحسابي _α > 0. بتطبيق المتباينة السابقة n مرة، نحصل على:

${\displaystyle {\begin{aligned}{{\frac {x_{1}}{\alpha }}{\frac {x_{2}}{\alpha }}\cdots {\frac {x_{n}}{\alpha }}}&\leq {e^{{\frac {x_{1}}{\alpha }}-1}e^{{\frac {x_{2}}{\alpha }}-1}\cdots e^{{\frac {x_{n}}{\alpha }}-1}}\\&=\exp {\Bigl (}{\frac {x_{1}}{\alpha }}-1+{\frac {x_{2}}{\alpha }}-1+\cdots +{\frac {x_{n}}{\alpha }}-1{\Bigr )},\qquad (*)\end{aligned}}}$

يتحقق التساوي إذا وفقط إذا كان xᵢ = α _لكل i ∈ { 1, . . . , n } . يمكن تبسيط وسيط الدالة الأسية:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {x_{1}}{\alpha }}-1+{\frac {x_{2}}{\alpha }}-1+\cdots +{\frac {x_{n}}{\alpha }}-1&={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{\alpha }}-n\\&={\frac {n\alpha }{\alpha }}-n\\&=0.\end{aligned}}}$

بالعودة إلى (*) ،

${\displaystyle {\frac {x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}{\alpha ^{n}}}\leq e^{0}=1,}$

مما ينتج عنه x ₁ x ₂ · · · x _n ≤ α ⁿ ، ومن ثم النتيجة ^{[ 8 ]}

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}\leq \alpha .}$

إذا كان أي من${\displaystyle x_{i}}$نكون${\displaystyle 0}$إذن، لا يوجد ما يُثبت. لذا يمكننا أن نفترض كل شيء.${\displaystyle x_{i}}$إيجابي تماماً.

بما أن المتوسط ​​الحسابي والمتوسط ​​الهندسي متجانسان من الدرجة الأولى، فبدون فقدان للعمومية، نفترض أن${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}x_{i}=1}$. تعيين${\displaystyle G(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=\prod _{i=1}^{n}x_{i}}$، و${\displaystyle F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}}$سيتم إثبات المتباينة (إلى جانب حالة المساواة) إذا استطعنا إثبات أن الحد الأدنى لـ${\displaystyle F(x_{1},x_{2},...,x_{n}),}$رهناً بالقيود${\displaystyle G(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=1,}$يساوي${\displaystyle 1}$ولا يتحقق الحد الأدنى إلا عندما${\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}=1}$لنُظهر أولاً أن مسألة التصغير المقيد لها حد أدنى عالمي.

تعيين${\displaystyle K=\{(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\colon 0\leq x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\leq n\}}$منذ التقاطع${\displaystyle K\cap \{G=1\}}$إذا كانت المجموعة متراصة، فإن نظرية القيمة القصوى تضمن أن الحد الأدنى لـ${\displaystyle F(x_{1},x_{2},...,x_{n})}$رهناً بالقيود${\displaystyle G(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=1}$و${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in K}$يتم الوصول إليها في مرحلة ما في الداخل${\displaystyle K}$من ناحية أخرى، لاحظ أنه إذا كان أي من${\displaystyle x_{i}>n}$، ثم${\displaystyle F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})>1}$، بينما${\displaystyle F(1,1,\ldots ,1)=1}$، و${\displaystyle (1,1,\ldots ,1)\in K\cap \{G=1\}}$وهذا يعني أن الحد الأدنى في الداخل${\displaystyle K\cap \{G=1\}}$في الواقع، يمثل هذا الحد الأدنى العالمي، لأن قيمة${\displaystyle F}$في أي نقطة في الداخل${\displaystyle K\cap \{G=1\}}$بالتأكيد لا تقل عن الحد الأدنى، وقيمة${\displaystyle F}$في أي وقت${\displaystyle (y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})}$ليس في الداخل${\displaystyle K}$أكبر بكثير من القيمة عند${\displaystyle (1,1,\ldots ,1)}$، وهو ليس أصغر من الحد الأدنى.

تنص طريقة معاملات لاغرانج على أن الحد الأدنى العالمي يتم الوصول إليه عند نقطة${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$حيث يكون تدرج${\displaystyle F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$يكون${\displaystyle \lambda }$مضروبًا في تدرج${\displaystyle G(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$بالنسبة للبعض${\displaystyle \lambda }$سنبين أن النقطة الوحيدة التي يحدث عندها هذا هي عندما${\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}=1}$و ${\displaystyle F(x_{1},x_{2},...,x_{n})=1.}$

الحوسبة ${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x_{i}}}={\frac {1}{n}}}$ و

${\displaystyle {\frac {\partial G}{\partial x_{i}}}=\prod _{j\neq i}x_{j}={\frac {G(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}{x_{i}}}={\frac {1}{x_{i}}}}$

على طول القيد. وبالتالي، فإن جعل التدرجات متناسبة مع بعضها البعض يعطي لكل${\displaystyle i}$الذي - التي${\displaystyle {\frac {1}{n}}={\frac {\lambda }{x_{i}}},}$وهكذا${\displaystyle n\lambda =x_{i}.}$بما أن الجانب الأيسر لا يعتمد على${\displaystyle i}$وبناءً على ذلك${\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}}$و منذ ذلك الحين${\displaystyle G(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=1}$وبناءً على ذلك${\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}=1}$و${\displaystyle F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=1}$، حسب الرغبة.

توجد متباينة مماثلة للمتوسط ​​الحسابي المرجح والمتوسط ​​الهندسي المرجح . تحديدًا، لنفترض _{أن لدينا} الأعداد غير السالبة x₁ , x₂ , _... , xₙ والأوزان غير السالبة w₁ , w₂ , _... , wₙ _. نضع w = _w₁ + w₂ + ... + wₙ _. إذا كان _w > 0 _، فإن المتباينة 

${\displaystyle {\frac {w_{1}x_{1}+w_{2}x_{2}+\cdots +w_{n}x_{n}}{w}}\geq {\sqrt[{w}]{x_{1}^{w_{1}}x_{2}^{w_{2}}\cdots x_{n}^{w_{n}}}}}$

يتحقق التساوي إذا وفقط إذا كانت جميع قيم x _k التي تحقق w _k > 0 متساوية. هنا يُستخدم الاصطلاح 0 ⁰ = 1 .

إذا كانت جميع قيم w _k = 1 ، فإن هذا يختزل إلى عدم المساواة المذكورة أعلاه للمتوسطات الحسابية والهندسية.

_{إحدى الصيغ الأقوى لهذه الطريقة} ، والتي تُعطي أيضًا صيغة مُحسّنة للصيغة غير الموزونة، تعود إلى ألدز. تحديدًا، لنفترض أن لدينا الأعداد غير السالبة x₁ , x₂ , _{... , xₙ} والأوزان غير السالبة w₁ _, w₂ , ..., _{wₙ .} ونفترض كذلك أن مجموع الأوزان يساوي 1. عندئذٍ

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}\geq \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}+\sum _{i=1}^{n}w_{i}\left(x_{i}^{\frac {1}{2}}-\sum _{k=1}^{n}w_{k}x_{k}^{\frac {1}{2}}\right)^{2}}$[ ^{9 ]​}

تنطبق معظم تعميمات المصفوفات لمتباينة المتوسط ​​الهندسي الحسابي على مستوى المعايير الثابتة تحت التحويلات الوحدوية، لأنه حتى لو كانت المصفوفات${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$هي مصفوفة شبه موجبة محددة${\displaystyle AB}$قد لا تكون شبه موجبة، وبالتالي قد لا يكون لها جذر تربيعي قانوني. في ^{[ 10 ]} أثبت بهاتيا وكيتانه أنه لأي معيار ثابت تحت التحويلات الوحدوية،${\displaystyle |||\cdot |||}$والمصفوفات شبه المحددة الموجبة${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$من الصحيح أن

${\displaystyle |||AB|||\leq {\frac {1}{2}}|||A^{2}+B^{2}|||}$

وفي وقت لاحق، أثبت المؤلفون أنفسهم في ^{[ 11 ] عدم المساواة الأقوى التي}

${\displaystyle |||AB|||\leq {\frac {1}{4}}|||(A+B)^{2}|||}$

وأخيرًا، تشتهر بأبعادها${\displaystyle n=2}$أن أقوى تعميم ممكن لمصفوفة متباينة المتوسط ​​الحسابي الهندسي صحيح، ويُفترض أنه صحيح لجميع${\displaystyle n}$

${\displaystyle |||(AB)^{\frac {1}{2}}|||\leq {\frac {1}{2}}|||A+B|||}$

وقد أظهر ستيفن دروري هذه المتباينة المفترضة في عام 2012. في الواقع، لقد أثبت ^{[ 12 ]}

${\displaystyle {\sqrt {\sigma _{j}(AB)}}\leq {\frac {1}{2}}\lambda _{j}(A+B),\ j=1,\ldots ,n.}$

في مجال التمويل، يركز جزء كبير من الأبحاث على تقدير معدل العائد على الأصول بدقة على مدى فترات زمنية متعددة في المستقبل. وفي حالة عوائد الأصول ذات التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي، توجد صيغة دقيقة لحساب العائد الحسابي للأصل انطلاقاً من العائد الهندسي.

لتبسيط الأمور، افترض أننا ننظر إلى العوائد الهندسية السنوية r1 _، r2 _، ...، _rN على مدى زمني قدره N سنة ، أي

${\displaystyle r_{n}={\frac {V_{n}-V_{n-1}}{V_{n-1}}},}$

أين:

${\displaystyle V_{n}}$= قيمة الأصل في ذلك الوقت${\displaystyle n}$،

${\displaystyle V_{n-1}}$= قيمة الأصل في ذلك الوقت${\displaystyle n-1}$.

يُعرَّف العائد الهندسي والعائد الحسابي على التوالي كما يلي:

${\displaystyle g_{N}=\left(\prod _{n=1}^{N}(1+r_{n})\right)^{1/N}-1,}$

${\displaystyle a_{N}={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}r_{n}.}$

عندما تكون العوائد الهندسية السنوية للأصول موزعة توزيعًا لوغاريتميًا طبيعيًا، فإنه يمكن استخدام الصيغة التالية لتحويل متوسط ​​العائد الهندسي إلى متوسط ​​العائد الحسابي: ^{[ 13 ]}

${\displaystyle 1+g_{N}={\frac {1+a_{N}}{\sqrt {1+{\frac {\sigma ^{2}}{(1+a_{N})^{2}}}}}},}$

أين${\displaystyle \sigma ^{2}}$يمثل تباين عوائد الأصول المرصودة. يمكن حل هذه المعادلة الضمنية لـ _N بدقة كما يلي. أولاً، لاحظ أنه بوضع

${\displaystyle z=(1+a_{N})^{2},}$

نحصل على معادلة متعددة الحدود من الدرجة الثانية:

${\displaystyle z^{2}-(1+g)^{2}-(1+g)^{2}\sigma ^{2}=0.}$

بحل هذه المعادلة لإيجاد قيمة z وباستخدام تعريف z ، نحصل على 4 حلول ممكنة _لـ N :

${\displaystyle a_{N}=\pm {\frac {1+g_{N}}{\sqrt {2}}}{\sqrt {1\pm {\sqrt {1+{\frac {4\sigma ^{2}}{(1+g_{N})^{2}}}}}}}-1.}$

لكن لاحظ أن

${\displaystyle {\sqrt {1+{\frac {4\sigma ^{2}}{(1+g_{N})^{2}}}}}\geq 1.}$