المفعول به الحقني

في الرياضيات ، وخاصة في مجال نظرية الفئات ، يُعد مفهوم الكائن الحقني ^{[ 1 ]} تعميمًا لمفهوم الوحدة الحقنية . ويكتسب هذا المفهوم أهمية في علم التماثل ، ونظرية التماثل، ونظرية فئات النماذج . أما المفهوم المقابل له فهو مفهوم الكائن الإسقاطي .

جسم​${\displaystyle Q}$في فئة${\displaystyle \mathbf {C} }$يقال إنها أحادية إذا كان لكل شكل أحادي${\displaystyle f:X\to Y}$وكل شكل من أشكال التشاكل${\displaystyle g:X\to Q}$يوجد تشاكل${\displaystyle h:Y\to Q}$التمديد${\displaystyle g}$ل${\displaystyle Y}$أي بحيث${\displaystyle h\circ f=g}$[ ^{2 ]​}

أي كل تشاكل${\displaystyle X\to Q}$العوامل التي تؤثر على كل شكل أحادي${\displaystyle X\hookrightarrow Y}$.

التشوه${\displaystyle h}$لا يشترط في التعريف أعلاه أن يتم تحديده بشكل فريد بواسطة${\displaystyle f}$و${\displaystyle g}$.

في فئة صغيرة محليًا ، يكون مكافئًا اشتراط أن يكون المؤثر المتجانس${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathbf {C} }(-,Q)}$يحمل أحاديات الشكل في${\displaystyle \mathbf {C} }$إلى خرائط المجموعات الشاملة .

تم صياغة مفهوم الحقنية لأول مرة للفئات الأبيلية ، ولا يزال هذا أحد مجالات تطبيقه الرئيسية. عندما${\displaystyle \mathbf {C} }$هي فئة أبيلية، كائن Q من${\displaystyle \mathbf {C} }$تكون دالة أحادية إذا وفقط إذا كانت دالة التماثل الخاصة بها Hom _C ( – , Q ) دقيقة .

لو${\displaystyle 0\to Q\to U\to V\to 0}$هي متتالية دقيقة في${\displaystyle \mathbf {C} }$بحيث يكون Q أحاديًا، فإن المتتالية تنقسم .

الفئة${\displaystyle \mathbf {C} }$يقال إن لها عددًا كافيًا من الدوال التقابلية إذا كان لكل كائن X من${\displaystyle \mathbf {C} }$، يوجد شكل أحادي من X إلى كائن حقني.

أحادي الشكل g في${\displaystyle \mathbf {C} }$يُطلق عليه اسم أحادي الشكل الأساسي إذا كان لأي شكل f ، يكون المركب fg أحادي الشكل فقط إذا كان f أحادي الشكل.

If g is an essential monomorphism with domain X and an injective codomain G, then G is called an injective hull of X. The injective hull is then uniquely determined by Xup to a non-canonical isomorphism.^[2]

• In the category of abelian groups and group homomorphisms, Ab, an injective object is necessarily a divisible group. Assuming the axiom of choice, the notions are equivalent.
• In the category of (left) modules and module homomorphisms, R-Mod, an injective object is an injective module. R-Mod has injective hulls (as a consequence, R-Mod has enough injectives).
• In the category of metric spaces, Met, an injective object is an injective metric space, and the injective hull of a metric space is its tight span.
• In the category of T₀ spaces and continuous mappings, an injective object is always a Scott topology on a continuous lattice, and therefore it is always sober and locally compact.

If an abelian category has enough injectives, we can form injective resolutions, i.e. for a given object X we can form a long exact sequence

${\displaystyle 0\to X\to Q^{0}\to Q^{1}\to Q^{2}\to \cdots }$

and one can then define the derived functors of a given functor F by applying F to this sequence and computing the homology of the resulting (not necessarily exact) sequence. This approach is used to define Ext, and Tor functors and also the various cohomology theories in group theory, algebraic topology and algebraic geometry. The categories being used are typically functor categories or categories of sheaves of O_X modules over some ringed space (X, O_X) or, more generally, any Grothendieck category.

يترك${\displaystyle \mathbf {C} }$كن فئة ودع${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ليكن فئة من التشكلات لـ${\displaystyle \mathbf {C} }$.

جسم${\displaystyle Q}$ل${\displaystyle \mathbf {C} }$يقال إنه${\displaystyle {\mathcal {H}}}$-حقني إذا كان لكل تشاكل${\displaystyle f:A\to Q}$وكل شكل من أشكال التشاكل${\displaystyle h:A\to B}$في${\displaystyle {\mathcal {H}}}$يوجد تشاكل${\displaystyle g:B\to Q}$مع${\displaystyle g\circ h=f}$.

لو${\displaystyle {\mathcal {H}}}$إذا كانت فئة الأشكال الأحادية ، فإننا نعود إلى الكائنات الحقنية التي تمت معالجتها أعلاه.

الفئة${\displaystyle \mathbf {C} }$يقال إن لديه ما يكفي${\displaystyle {\mathcal {H}}}$-الحقن إذا كان لكل كائن X من${\displaystyle \mathbf {C} }$يوجد${\displaystyle {\mathcal {H}}}$- تشاكل من X إلى${\displaystyle {\mathcal {H}}}$المفعول به الحقني.

أ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$-التشكل g في${\displaystyle \mathbf {C} }$يُطلق عليه اسم${\displaystyle {\mathcal {H}}}$-ضروري إذا كان لأي تشاكل f ، يكون المركب fg في${\displaystyle {\mathcal {H}}}$فقط إذا كانت f في${\displaystyle {\mathcal {H}}}$.

إذا كانت g هي a${\displaystyle {\mathcal {H}}}$- تشاكل أساسي ذو نطاق X و${\displaystyle {\mathcal {H}}}$إذا كان المجال المقابل G أحاديًا ، فإن G يُسمى مجالًا مشتركًا أحاديًا.${\displaystyle {\mathcal {H}}}$الغلاف ^الحقني لـ X. [ ^{2 ]}

• جسم إسقاطي

• جيري أداميك، هورست هيرليش، جورج ستريكر. الفئات المجردة والملموسة: متعة القطط، الفصل 9، الأشياء الحقنية والتضمينات الأساسية، أعيد نشره في إعادة طبع وتطبيقات الفئات، رقم 17 (2006) ص 1-507 ، وايلي (1990).
• ج. روسيكي، الحقنية والفئات المتاحة
• إف. كالياري وإس. مونتوفاني، انعكاس T ₀ والأغلفة الحقنية للفراغات الليفية