مجموعة متعدية

الموسوعة الحرة

في نظرية المجموعات ، وهي فرع من فروع الرياضيات ، تُعرَّف المجموعة بأنها مجموعةأ{\displaystyle A}تُسمى العلاقة متعدية إذا تحقق أي من الشرطين المتكافئين التاليين:

  • حينماx∈أ{\displaystyle x\in A}، وy∈x{\displaystyle y\in x}، ثمy∈أ{\displaystyle y\in A}.
  • حينماx∈أ{\displaystyle x\in A}، وx{\displaystyle x}إذا لم يكن عنصرًا أساسيًا ،x{\displaystyle x}هي مجموعة فرعية منأ{\displaystyle A}.

وبالمثل، فئةم{\displaystyle M}تكون متعدية إذا كان كل عنصر من عناصرم{\displaystyle M}هي مجموعة فرعية منم{\displaystyle M}.

أمثلة

باستخدام تعريف الأعداد الترتيبية الذي اقترحه جون فون نيومان ، تُعرَّف الأعداد الترتيبية بأنها مجموعات متعدية وراثيًا : العدد الترتيبي هو مجموعة متعدية عناصرها أيضًا متعدية (وبالتالي ترتيبية). فئة جميع الأعداد الترتيبية هي فئة متعدية.

أي من المراحلVα{\displaystyle V_{\alpha }}ولα{\displaystyle L_{\alpha }}مما أدى إلى بناء كون فون نيومانV{\displaystyle V}وعالم جودل القابل للبناءل{\displaystyle L}هي مجموعات متعدية. الأكوانV{\displaystyle V}ول{\displaystyle L}هي نفسها فئات متعدية.

هذه قائمة كاملة بجميع المجموعات المتعدية المنتهية التي تحتوي على ما يصل إلى 20 زوجًا من الأقواس: [ 1 ]

  • {}،{\displaystyle \{\},}
  • {{}}،{\displaystyle \{\{\}\},}
  • {{}،{{}}}،{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\}\},}
  • {{}،{{}}،{{{}}}}،{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\},}
  • {{}،{{}}،{{}،{{}}}}،{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\},}
  • {{}،{{}}،{{{}}}،{{{{}}}}}،{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\}\},}
  • {{}،{{}}،{{{}}}،{{}،{{}}}}،{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\},}
  • {{}،{{}}،{{{}}}،{{}،{{{}}}}}،{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\}\}\},}
  • {{}،{{}}،{{{}}}،{{{}}،{{{}}}}}،{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\}\},}
  • {{}،{{}}،{{{}،{{}}}}،{{}،{{}}}}،{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\},\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\},}
  • {{}،{{}}،{{{}}}،{{}،{{}}،{{{}}}}}،{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\}\},}
  • {{}،{{}}،{{}،{{}}}،{{}،{{}،{{}}}}}،{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}\},}
  • {{}،{{}}،{{}،{{}}}،{{{}}،{{}،{{}}}}}،{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}\},}
  • {{}،{{}}،{{{}}}،{{{{}}}}،{{}،{{}}}}،{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\},}
  • {{}،{{}}،{{}،{{}}}،{{}،{{}}،{{}،{{}}}}}،{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}\},}
  • {{}،{{}}،{{{}}}،{{{{}}}}،{{{{{}}}}}}،{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\{\{\{\}\}\}\}\}\},}
  • {{}،{{}}،{{{}}}،{{{{}}}}،{{}،{{{}}}}}،{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\}\}\},}
  • {{}،{{}}،{{{}}}،{{{}،{{}}}}،{{}،{{}}}}،{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\},\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\},}
  • {{}،{{}}،{{{}}}،{{}،{{}}}،{{}،{{{}}}}}،{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\}\}\},}
  • {{}،{{}}،{{{}}}،{{{{}}}}،{{}،{{{{}}}}}}،{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\{\{\}\}\}\}\}\},}
  • {{}،{{}}،{{{}}}،{{{{}}}}،{{{}}،{{{}}}}}،{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\}\},}
  • {{}،{{}}،{{{}}}،{{}،{{}}}،{{}،{{}،{{}}}}}،{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}\},}
  • {{}،{{}}،{{{}}}،{{}،{{}}}،{{{}}،{{{}}}}}،{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\}\},}
  • {{}،{{}}،{{{}}}،{{{{}}}}،{{{}}،{{{{}}}}}}،{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\{\}\},\{\{\{\{\}\}\}\}\}\},}
  • {{}،{{}}،{{{}}}،{{{{}}}}،{{}،{{}}،{{{}}}}}،{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\}\},}
  • {{}،{{}}،{{{}}}،{{{}،{{{}}}}}،{{}،{{{}}}}}،{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\},\{\{\{\}\}\}\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\}\}\},}
  • {{}،{{}}،{{{}}}،{{}،{{}}}،{{{}}،{{}،{{}}}}}،{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}\},}
  • {{}،{{}}،{{{}}}،{{}،{{}}}،{{}،{{}}،{{{}}}}}،{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\}\},}
  • {{}،{{}}،{{{}}}،{{}،{{{}}}}،{{{}}،{{{}}}}}،{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\}\},\{\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\}\},}
  • {{}،{{}}،{{{}}}،{{{{}}}}،{{{{}}}،{{{{}}}}}}،{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\}\}\},}
  • {{}،{{}}،{{{}}}،{{{{}}}}،{{}،{{}}،{{{{}}}}}}،{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\{\}\}\}\}\}\},}
  • {{}،{{}}،{{{}}}،{{}،{{}}}،{{{{}}}،{{}،{{}}}}}،{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}\},}
  • {{}،{{}}،{{{}}}،{{}،{{}}}،{{}،{{}}،{{}،{{}}}}}،{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}\},}
  • {{}،{{}}،{{{}}}،{{}،{{{}}}}،{{}،{{}،{{{}}}}}}،{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\},\{\{\{\}\}\}\}\}\},}
  • {{}،{{}}،{{{}}}،{{}،{{{}}}}،{{}،{{}}،{{{}}}}}،{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\}\},}
  • {{}،{{}}،{{{{}،{{}}}}}،{{{}،{{}}}}،{{}،{{}}}}،{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\{\},\{\{\}\}\}\}\},\{\{\{\},\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\},}
  • {{}،{{}}،{{{}،{{}}}}،{{}،{{}}}،{{}،{{}،{{}}}}}،{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\},\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}\},}
  • {{}،{{}}،{{{}}}،{{{{}}}}،{{}،{{{}}}،{{{{}}}}}}،{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\}\}\},}
  • {{}،{{}}،{{{}}}،{{{{}}،{{{}}}}}،{{{}}،{{{}}}}}،{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\}\},\{\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\}\},}
  • {{}،{{}}،{{{}}}،{{}،{{}}}،{{}،{{{}}}،{{}،{{}}}}}،{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}\},}
  • {{}،{{}}،{{{}}}،{{}،{{{}}}}،{{{}}،{{}،{{{}}}}}}،{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\}\},\{\{\{\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\}\}\}\},}
  • {{}،{{}}،{{{}}}،{{{}}،{{{}}}}،{{}،{{}}،{{{}}}}}،{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\}\},}
  • {{}،{{}}،{{{}،{{}}}}،{{}،{{}}}،{{}،{{{}،{{}}}}}}،{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\},\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\{\},\{\{\}\}\}\}\}\},}
  • {{}،{{}}،{{{}،{{}}}}،{{}،{{}}}،{{{}}،{{}،{{}}}}}،{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\},\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}\},}
  • {{}،{{}}،{{{}}}،{{{{}}}}،{{{{{}}}}}،{{}،{{}}}}،{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\{\{\{\}\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\},}
  • {{}،{{}}،{{{}}}،{{{{}}}}،{{{}،{{}}}}،{{}،{{}}}}،{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\{\},\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\},}
  • {{}،{{}}،{{{}}}،{{{{}}}}،{{}،{{}}}،{{}،{{{}}}}}.{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\}\}\}.}

ملكيات

مجموعةX{\displaystyle X}تكون متعدية إذا وفقط إذا⋃X⊆X{\textstyle \bigcup X\subseteq X}، أين⋃X{\textstyle \bigcup X}هو اتحاد جميع عناصرX{\displaystyle X}التي هي مجموعات،⋃X={y|∃x∈X:y∈x}{\textstyle \bigcup X=\{y\mid \exists x\in X:y\in x\}}.

لوX{\displaystyle X}إذا كان الفعل متعدياً،⋃X{\textstyle \bigcup X}فعل متعدٍ.

لوX{\displaystyle X}وY{\displaystyle Y}إذا كانت متعدية، فإنX∪Y{\displaystyle X\cup Y}وX∪Y∪{X،Y}{\displaystyle X\cup Y\cup \{X,Y\}}هي أفعال متعدية. بشكل عام، إذاZ{\displaystyle Z}إذا كانت فئة جميع عناصرها مجموعات متعدية، فإن⋃Z{\textstyle \bigcup Z}وZ∪⋃Z{\textstyle Z\cup \bigcup Z}هي أفعال متعدية. (الجملة الأولى في هذه الفقرة هي حالة من حالاتZ={X،Y}{\displaystyle Z=\{X,Y\}}.)

مجموعةX{\displaystyle X}تكون المجموعة التي لا تحتوي على عناصر ure مجموعة متعدية إذا وفقط إذا كانت مجموعة جزئية من مجموعة قواها الخاصة .X⊆P(X).{\textstyle X\subseteq {\mathcal {P}}(X).}مجموعة القوى لمجموعة متعدية بدون عناصر أولية هي مجموعة متعدية.

إغلاق متعدٍ

الإغلاق المتعدي لمجموعةX{\displaystyle X}هي أصغر مجموعة متعدية (فيما يتعلق بالاحتواء) تتضمنX{\displaystyle X}(أيX⊆TC⁡(X){\textstyle X\subseteq \operatorname {TC} (X)}[ 2 ] لنفترض أن لدينا مجموعةX{\displaystyle X}ثم الإغلاق المتعدي لـX{\displaystyle X}يكون

TC⁡(X)=⋃{X،⋃X،⋃⋃X،⋃⋃⋃X،⋃⋃⋃⋃X،...}.{\displaystyle \operatorname {TC} (X)=\bigcup \left\{X,\;\bigcup X,\;\bigcup \bigcup X,\;\bigcup \bigcup \bigcup X,\;\bigcup \bigcup \bigcup \bigcup X,\ldots \right\}.}

البرهان.X0=X{\textstyle X_{0}=X}وXن+1=⋃Xن{\textstyle X_{n+1}=\bigcup X_{n}}ثم ندعي أن المجموعة

تي=TC⁡(X)=⋃ن=0∞Xن{\displaystyle T=\operatorname {TC} (X)=\bigcup _{n=0}^{\infty }X_{n}}

فعل متعدٍ، وكلماتي1{\textstyle T_{1}}هي مجموعة متعدية تشملX{\textstyle X}ثمتي⊆تي1{\textstyle T\subseteq T_{1}}.

يفترضy∈x∈تي{\textstyle y\in x\in T}. ثمx∈Xن{\textstyle x\in X_{n}}بالنسبة للبعضن{\textstyle n}وهكذاy∈⋃Xن=Xن+1{\textstyle y\in \bigcup X_{n}=X_{n+1}}. منذXن+1⊆تي{\textstyle X_{n+1}\subseteq T}،y∈تي{\textstyle y\in T}. هكذاتي{\textstyle T}فعل متعدٍ.

والآن لنبدأتي1{\textstyle T_{1}}كما سبق. نثبت بالاستقراء أنXن⊆تي1{\textstyle X_{n}\subseteq T_{1}}للجميعن{\displaystyle n}وبذلك يثبت ذلكتي⊆تي1{\textstyle T\subseteq T_{1}}: الحالة الأساسية صحيحة لأنX0=X⊆تي1{\textstyle X_{0}=X\subseteq T_{1}}والآن افترضXن⊆تي1{\textstyle X_{n}\subseteq T_{1}}. ثمXن+1=⋃Xن⊆⋃تي1{\textstyle X_{n+1}=\bigcup X_{n}\subseteq \bigcup T_{1}}. لكنتي1{\textstyle T_{1}}فعل متعدٍ، لذا⋃تي1⊆تي1{\textstyle \bigcup T_{1}\subseteq T_{1}}، لذلكXن+1⊆تي1{\textstyle X_{n+1}\subseteq T_{1}}وبهذا يكتمل البرهان.

لاحظ أن هذه هي مجموعة جميع الكائنات المتعلقة بـX{\displaystyle X}عن طريق الإغلاق المتعدي لعلاقة العضوية، حيث يمكن التعبير عن اتحاد مجموعة ما من حيث الناتج النسبي لعلاقة العضوية مع نفسها.

النماذج المتعدية لنظرية المجموعات

تُستخدم الفئات المتعدية غالبًا لبناء تفسيرات لنظرية المجموعات في حد ذاتها، والتي تُسمى عادةً بالنماذج الداخلية . والسبب هو أن الخصائص المُعرَّفة بصيغ محدودة تكون مطلقة بالنسبة للفئات المتعدية. [ 3 ]

تُسمى المجموعة (أو الفئة) المتعدية التي تُمثل نموذجًا لنظام رسمي في نظرية المجموعات نموذجًا متعديًا للنظام (شريطة أن تكون علاقة العنصر في النموذج هي تقييد علاقة العنصر الحقيقية على فضاء النموذج). وتُعدّ خاصية التعدي عاملًا مهمًا في تحديد مطلقية الصيغ.

في منهج البنية الفوقية للتحليل غير القياسي ، تحقق الأكوان غير القياسية خاصية التعدي القوي . هنا، فئةج{\displaystyle {\mathcal {C}}}يُعرَّف بأنه متعدٍّ بقوة إذا كان، لكل مجموعةS∈ج{\displaystyle S\in {\mathcal {C}}}، يوجد مجموعة فائقة متعديةتي{\displaystyle T}معS⊆تي⊆ج{\displaystyle S\subseteq T\subseteq {\mathcal {C}}}إن الفئة المتعدية بقوة تكون متعدية تلقائياً. يسمح هذا الافتراض المعزز للتعدية بالاستنتاج، على سبيل المثال، أنج{\displaystyle {\mathcal {C}}}يحتوي على نطاق كل علاقة ثنائية فيج{\displaystyle {\mathcal {C}}}[ 4 ]​

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ "عدد المجموعات المنتهية المتعدية ذات n قوسًا. عدد أشجار الهوية الجذرية المتعدية ذات n عقدة." ، OEIS
  2. ↑ سيسيلسكي، كريستوف (1997)، نظرية المجموعات للرياضيين العاملين ، كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج، ص 164، ISBN  978-1-139-17313-1، OCLC 817922080 
  3. ↑ فيالي، ماتيو (نوفمبر 2003)، "التسلسل الهرمي التراكمي والكون القابل للبناء لـ ZFA"، مجلة المنطق الرياضي الفصلية ، 50 (1)، وايلي: 99-103 ، doi : 10.1002/malq.200310080
  4. ↑ غولدبلات (1998) ص 161