البنية الفرعية (الرياضيات)

في المنطق الرياضي ، تُعرف البنية الفرعية ( المستحثة ) أو الجبر الفرعي ( المستحث ) بأنها بنية يكون نطاقها مجموعة جزئية من نطاق بنية أكبر، وتقتصر وظائفها وعلاقاتها على نطاق البنية الفرعية. من أمثلة الجبر الفرعي: الزمر الجزئية ، والوحدات الجزئية ، والحلقات الجزئية ، والحقول الجزئية ، والجبر الفرعي للجبر على حقل ، والرسوم البيانية الجزئية المستحثة . وبوجهة نظر أخرى، تُسمى البنية الأكبر امتدادًا أو بنية فوقية لبنيتها الفرعية.

في نظرية النماذج ، غالبًا ما يستخدم مصطلح " النموذج الفرعي " كمرادف للبنية الفرعية، خاصة عندما يشير السياق إلى نظرية تكون فيها كلتا البنيتين نماذج.

في وجود العلاقات (أي بالنسبة لبنى مثل الزمر المرتبة أو الرسوم البيانية ، التي لا يكون توقيعها داليًا)، قد يكون من المنطقي تخفيف الشروط المفروضة على الجبر الجزئي بحيث تكون العلاقات على البنية الجزئية الضعيفة (أو الجبر الجزئي الضعيف ) على الأكثر تلك المستحثة من البنية الأكبر. تُعد الرسوم البيانية الجزئية مثالًا على أهمية هذا التمييز، ويشير مصطلح "الرسم البياني الجزئي" بالفعل إلى البنى الجزئية الضعيفة. من ناحية أخرى، تتمتع الزمر المرتبة بخاصية مميزة، وهي أن كل بنية جزئية لزمرة مرتبة هي نفسها زمرة مرتبة، تُعد بنية جزئية مستحثة.

إذا كان لدينا بنيتان A و B لهما نفس التوقيع σ، فإن A تُعتبر بنية فرعية ضعيفة من B ، أو جبرًا فرعيًا ضعيفًا من B ، إذا

• مجال المجموعة A هو مجموعة جزئية من مجال المجموعة B ،
• f ^A = f ^B | _{A ⁿ} لكل رمز دالة من الرتبة n، f في σ، و
• ر ^أ${\displaystyle \subseteq }$آر ^بي${\displaystyle \cap }$A ⁿ لكل رمز علاقة من النوع n R في σ.

يُقال أن A بنية فرعية من B ، أو جبر فرعي من B ، إذا كانت A جبرًا فرعيًا ضعيفًا من B ، وعلاوة على ذلك،

• R ^A = R ^B${\displaystyle \cap }$A ⁿ لكل رمز علاقة من النوع n R في σ.

إذا كانت A بنية فرعية من B ، فإن B تسمى بنية فوقية لـ A أو، خاصة إذا كانت A بنية فرعية مستحثة ، امتدادًا لـ A.

في لغة تتكون من العمليتين الثنائيتين + و × ، والعلاقة الثنائية < ، والثابتين 0 و1، فإن البنية ( Q , +, × , < , 0, 1) هي بنية فرعية من ( R , +, × , <, 0, 1). وبشكل أعم، فإن البنى الفرعية لحقل مرتب (أو حقل فقط ) هي حقوله الفرعية. وبالمثل، في لغة الزمر ( × , ^-1 , 1)، فإن البنى الفرعية للزمرة هي زمرها الفرعية . أما في لغة المونيدات ( × , 1) ، فإن البنى الفرعية للزمرة هي مونيداتها الفرعية . ولا يشترط أن تكون زمرًا؛ وحتى إن كانت زمرًا، فلا يشترط أن تكون زمرًا فرعية.

الحلقات الفرعية هي البنى الفرعية للحلقات ، والجبر الفرعي هو البنى الفرعية للجبر على حقل .

في حالة الرسوم البيانية (في التوقيع المكون من علاقة ثنائية واحدة)، فإن الرسوم البيانية الفرعية ، وبنياتها الفرعية الضعيفة هي بالضبط رسومها البيانية الفرعية.

لكل توقيع σ، فإن البنى الفرعية المستحثة لبنى σ هي الكائنات الفرعية في الفئة الملموسة لبنى σ والتشاكلات القوية (وكذلك في الفئة الملموسة لبنى σ والتضمينات σ ). أما البنى الفرعية الضعيفة لبنى σ فهي الكائنات الفرعية في الفئة الملموسة لبنى σ والتشاكلات بالمعنى المعتاد.

في نظرية النماذج، إذا كانت لدينا بنية M تمثل نموذجًا لنظرية T ، فإن النموذج الفرعي لـ M ، بمعناه الأضيق، هو بنية فرعية من M تمثل أيضًا نموذجًا لـ T. على سبيل المثال، إذا كانت T هي نظرية الزمر الأبيلية في التوقيع (+, 0)، فإن النماذج الفرعية لزمرة الأعداد الصحيحة ( Z , +, 0) هي البنى الفرعية التي تمثل أيضًا زمرًا أبيلية. وبالتالي، تشكل الأعداد الطبيعية ( N , +, 0) بنية فرعية من ( Z , +, 0) وهي ليست نموذجًا فرعيًا، بينما تشكل الأعداد الزوجية ( 2Z , +, 0) نموذجًا فرعيًا.

أمثلة أخرى:

1. تشكل الأعداد الجبرية نموذجًا فرعيًا للأعداد المركبة في نظرية الحقول المغلقة جبريًا .
2. تشكل الأعداد النسبية نموذجًا فرعيًا للأعداد الحقيقية في نظرية الحقول .
3. كل بنية فرعية أساسية لنموذج نظرية T تحقق أيضًا T ؛ ومن ثم فهي نموذج فرعي.

في فئة نماذج النظرية والتضمينات بينها ، تعتبر النماذج الفرعية للنموذج هي كائناته الفرعية .

• التمديد المحافظ (نظرية النموذج)
• البنية الفرعية الأولية
• نهاية الامتداد
• نظرية لوفنهايم-سكوليم
• النموذج الرئيسي

• بوريس، ستانلي ن.؛ سانكابانافار، إتش بي (1981)، دورة في الجبر الشامل ، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ
• ديستل، راينهارد (2005) [1997]، نظرية الرسم البياني ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد  173 (  الطبعة الثالثة)، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، ISBN 978-3-540-26183-4
• هودجز، ويلفريد (1997)، نظرية نموذجية مختصرة ، كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج ، رقم ISBN 978-0-521-58713-6