بديهية الانتظام

This article includes inline citations, but they are not properly formatted. Please improve this article by correcting them. Parenthetical referencing has been deprecated; convert to shortened footnotes. (September 2020) (Learn how and when to remove this message)

في الرياضيات ، تعتبر بديهية الانتظام (المعروفة أيضًا باسم بديهية الأساس ) بديهية من بديهيات نظرية مجموعة زيرميلو-فرانكل التي تنص على أن كل مجموعة غير فارغة A تحتوي على عنصر منفصل عن A. في المنطق من الدرجة الأولى ، تنص البديهية على:

${\displaystyle \forall x\,(x\neq \varnothing \rightarrow \exists y(y\in x\ \land y\cap x=\varnothing )).}$

إن بديهية الانتظام مع بديهية الاقتران تعني أنه لا توجد مجموعة هي عنصر من عناصرها ، وأنه لا يوجد تسلسل لانهائي ( a _n ) بحيث يكون i ₊₁ عنصرًا من a _i لجميع i . وباستخدام بديهية الاختيار التابع (وهي شكل ضعيف من بديهية الاختيار )، يمكن عكس هذه النتيجة: إذا لم تكن هناك مثل هذه التسلسلات اللانهائية، فإن بديهية الانتظام صحيحة. وبالتالي، في هذا السياق، تكون بديهية الانتظام معادلة للجملة التي تنص على أنه لا توجد سلاسل عضوية لا نهائية متجهة إلى الأسفل.

إن هذه البديهية هي مساهمة فون نيومان (1925)؛ وقد تم تبنيها في صيغة أقرب إلى الصيغة الموجودة في الكتب المدرسية المعاصرة بواسطة زيرميلو (1930). إن كل النتائج تقريبًا في فروع الرياضيات القائمة على نظرية المجموعات صحيحة حتى في غياب الانتظام؛ انظر الفصل الثالث من كتاب كونين (1980). ومع ذلك، فإن الانتظام يجعل إثبات بعض خصائص الأعداد الترتيبية أسهل؛ ولا يسمح فقط بإجراء الاستدلال على المجموعات المرتبة جيدًا ولكن أيضًا على الفئات المناسبة التي تشكل هياكل علاقاتية راسخة مثل الترتيب المعجمي على${\displaystyle \{(n,\alpha )\mid n\in \omega \land \alpha {\text{ is an ordinal }}\}\,.}$

بالنظر إلى البديهيات الأخرى لنظرية مجموعة زيرميلو-فرانكل، فإن بديهية الانتظام تعادل بديهية الاستقراء . تميل بديهية الاستقراء إلى أن تُستخدم بدلاً من بديهية الانتظام في النظريات الحدسية (التي لا تقبل قانون الوسط المستبعد )، حيث لا تكون البديهيتان متكافئتين.

بالإضافة إلى إغفال بديهية الانتظام، فإن نظريات المجموعات غير القياسية افترضت بالفعل وجود مجموعات تشكل عناصر في حد ذاتها.

ليكن A مجموعة، وطبق بديهية الانتظام على { A }، وهي مجموعة حسب بديهية الاقتران . نرى أنه يجب أن يكون هناك عنصر في { A } منفصل عن { A }. بما أن العنصر الوحيد في { A } هو A ، فيجب أن يكون A منفصل عن { A }. لذا، بما أن ، لا يمكن أن يكون A العنصر الوحيد في A (حسب تعريف المنفصل ). ${\displaystyle A\cap \{A\}=\varnothing }$

افترض، على العكس من ذلك، أن هناك دالة ، f ، على الأعداد الطبيعية حيث f ( n +1) عنصر f ( n ) لكل n . عرف S = { f ( n ): n عدد طبيعي}، نطاق f ، والذي يمكن اعتباره مجموعة من مخطط البديهية للاستبدال . بتطبيق بديهية الانتظام على S ، دع B يكون عنصرًا من S منفصلًا عن S. وفقًا لتعريف S ، يجب أن يكون B f ( k ) لبعض الأعداد الطبيعية k . ومع ذلك، نعلم أن f ( k ) تحتوي على f ( k +1) وهو أيضًا عنصر من S. لذا فإن f ( k +1) تقع في تقاطع f ( k ) و S. وهذا يتناقض مع حقيقة كونهما مجموعتين منفصلتين. نظرًا لأن افتراضنا أدى إلى تناقض، فلا يجب أن تكون هناك أي دالة من هذا القبيل ، f .

يمكن اعتبار عدم وجود مجموعة تحتوي على نفسها كحالة خاصة حيث يكون التسلسل لانهائيًا وثابتًا.

لاحظ أن هذه الحجة تنطبق فقط على الدوال f التي يمكن تمثيلها كمجموعات على عكس الفئات غير القابلة للتعريف. المجموعات المنتهية وراثيًا ، V _ω ، تلبي بديهية الانتظام (وكل البديهيات الأخرى لـ ZFC باستثناء بديهية اللانهاية ). لذا إذا شكل المرء قوة فائقة غير تافهة لـ V _ω ، فسوف تلبي أيضًا بديهية الانتظام. سيحتوي النموذج الناتج على عناصر تسمى الأعداد الطبيعية غير القياسية، والتي تلبي تعريف الأعداد الطبيعية في هذا النموذج ولكنها ليست أعدادًا طبيعية حقًا ^{[ مشكوك فيها - ناقش ]} . إنها أعداد طبيعية "مزيفة" "أكبر" من أي عدد طبيعي حقيقي. سيحتوي هذا النموذج على تسلسلات تنازلية لا نهائية من العناصر. ^{[ يحتاج إلى توضيح ]} على سبيل المثال، افترض أن n هو عدد طبيعي غير قياسي، فإن و ، وهكذا. لأي عدد طبيعي فعلي k ، . هذه تسلسل تنازلي لا نهاية له من العناصر. لكن هذه المتوالية غير قابلة للتعريف في النموذج وبالتالي فهي ليست مجموعة. لذا لا يمكن إثبات أي تناقض مع الانتظام. ${\displaystyle (n-1)\in n}$${\displaystyle (n-2)\in (n-1)}$${\displaystyle (n-k-1)\in (n-k)}$

تمكّن بديهية الانتظام من تعريف الزوج المرتب ( a , b ) على أنه { a ,{ a , b }}؛ راجع الزوج المرتب للحصول على التفاصيل. يزيل هذا التعريف زوجًا واحدًا من الأقواس من تعريف كوراتوفسكي التقليدي ( a , b ) = {{ a },{ a , b }}.

كان هذا في الواقع هو الشكل الأصلي للمبدأ في صياغة بديهيات فون نيومان.

افترض أن x هي أي مجموعة. دع t يكون الإغلاق المتعدي لـ { x }. دع u تكون المجموعة الجزئية لـ t المكونة من مجموعات غير مرتبة. إذا كانت u فارغة، فإن x مرتبة وننتهي. بخلاف ذلك، قم بتطبيق بديهية الانتظام على u للحصول على عنصر w من u منفصل عن u . بما أن w موجود في u ، فإن w غير مرتب. w هي مجموعة جزئية من t حسب تعريف الإغلاق المتعدي. بما أن w منفصل عن u ، فإن كل عنصر من w مرتب. بتطبيق بديهيات الاستبدال والاتحاد لدمج رتب عناصر w ، نحصل على رتبة ترتيبية لـ w ، وهي . وهذا يتناقض مع الاستنتاج القائل بأن w غير مرتب. لذا فإن الافتراض بأن u غير فارغ يجب أن يكون خاطئًا ويجب أن يكون لـ x رتبة. ${\displaystyle \textstyle \operatorname {rank} (w)=\cup \{\operatorname {rank} (z)+1\mid z\in w\}}$

ليكن X و Y مجموعتين. ثم طبق بديهية الانتظام على المجموعة { X , Y } (التي توجد وفقًا لبديهية الاقتران). نرى أنه يجب أن يكون هناك عنصر من { X , Y } منفصل عنها أيضًا. يجب أن يكون إما X أو Y. وفقًا لتعريف المنفصل إذن، يجب أن يكون لدينا إما أن Y ليس عنصرًا من X أو العكس.

دع المجموعة غير الفارغة S تكون مثالاً مضادًا لمبدأ الانتظام؛ أي أن كل عنصر من S له تقاطع غير فارغ مع S. نُعرِّف علاقة ثنائية R على S بواسطة ، وهي علاقة كاملة بالافتراض. وبالتالي، وفقًا لمبدأ الاختيار التابع، يوجد بعض المتتاليات ( a _n ) في S تُرضي n Ra _n+1 لجميع n في N. ونظرًا لأن هذه سلسلة تنازلية لا نهائية، فإننا نصل إلى تناقض وبالتالي، لا _يوجد مثل هذا S.${\displaystyle aRb:\Leftrightarrow b\in S\cap a}$

لقد أثبت سكوليم (1923) وفون نيومان (1929) أن الانتظام متسق نسبيًا مع بقية نظرية ZF، وهذا يعني أنه إذا كانت نظرية ZF بدون انتظام متسقة، فإن نظرية ZF (مع الانتظام) متسقة أيضًا. لإثباته في التدوين الحديث، انظر Vaught (2001، §10.1) على سبيل المثال.

كما ثبت أن بديهية الانتظام مستقلة عن البديهيات الأخرى لـ ZF(C)، على افتراض أنها متسقة. وأعلن بول بيرنايز عن النتيجة في عام 1941، على الرغم من أنه لم ينشر إثباتًا حتى عام 1954. ويتضمن الإثبات (وأدى إلى دراسة) نماذج تبديل ريجر-بيرنايز (أو طريقة)، والتي استُخدمت لإثباتات أخرى للاستقلال للأنظمة غير القائمة على أسس جيدة (راثجين 2004، ص 193 وفورستر 2003، ص 210-212).

نظرية المجموعات الساذجة (مخطط البديهية للفهم غير المقيد وبديهية الامتداد ) غير متسقة بسبب مفارقة راسل . في الصياغات المبكرة للمجموعات، تجنب علماء الرياضيات والمنطق هذا التناقض من خلال استبدال مخطط البديهية للفهم بمخطط البديهية الأضعف بكثير للانفصال . ومع ذلك، فإن هذه الخطوة وحدها تأخذ المرء إلى نظريات المجموعات التي تعتبر ضعيفة للغاية. ^{[ بحاجة لتوضيح ] [ بحاجة لمصدر ]} لذلك تمت إضافة بعض قوة الفهم مرة أخرى من خلال بديهيات الوجود الأخرى لنظرية مجموعة ZF (الاقتران والاتحاد ومجموعة القوى والاستبدال واللانهاية) والتي يمكن اعتبارها حالات خاصة من الفهم. ^{[ بحاجة لمصدر ] [ بحاجة لمصدر ]} حتى الآن، لا يبدو أن هذه البديهيات تؤدي إلى أي تناقض. وبعد ذلك، تمت إضافة بديهية الاختيار وبديهية الانتظام لاستبعاد النماذج التي تحتوي على بعض الخصائص غير المرغوبة. ومن المعروف أن هاتين البديهيتين متسقتان نسبيًا.

في وجود مخطط البديهية للفصل، تصبح مفارقة راسل دليلاً على عدم وجود مجموعة من كل المجموعات . كما تحظر بديهية الانتظام مع بديهية الاقتران مثل هذه المجموعة الشاملة. ومع ذلك، فإن مفارقة راسل تقدم دليلاً على عدم وجود "مجموعة من كل المجموعات" باستخدام مخطط البديهية للفصل وحده، دون أي بديهيات إضافية. على وجه الخصوص، فإن ZF بدون بديهية الانتظام تحظر بالفعل مثل هذه المجموعة الشاملة.

إذا تم توسيع نظرية ما بإضافة بديهية أو بديهيات، فإن أي عواقب (ربما غير مرغوبة) للنظرية الأصلية تظل عواقب للنظرية الممتدة. على وجه الخصوص، إذا تم توسيع ZF بدون انتظام بإضافة انتظام للحصول على ZF، فإن أي تناقض (مثل مفارقة راسل) ينشأ عن النظرية الأصلية سيظل يتبع النظرية الممتدة.

إن وجود ذرات كوين (المجموعات التي تلبي معادلة الصيغة x  = { x }، أي أن لها نفسها كعناصرها الوحيدة) يتوافق مع النظرية التي تم التوصل إليها بإزالة بديهية الانتظام من ZFC. تسمح العديد من نظريات المجموعات غير المستقرة بوجود مجموعات دائرية "آمنة"، مثل ذرات كوين، دون أن تصبح غير متسقة من خلال مفارقة راسل. ^[1]

في ZF يمكن إثبات أن الفئة ، التي تسمى كون فون نيومان ، تساوي فئة جميع المجموعات. هذه العبارة تعادل حتى بديهية الانتظام (إذا عملنا في ZF مع حذف هذه البديهية). من أي نموذج لا يلبي بديهية الانتظام، يمكن إنشاء نموذج يلبيها عن طريق أخذ المجموعات الموجودة فقط في . ${\displaystyle \bigcup _{\alpha }V_{\alpha }}$${\displaystyle \bigcup _{\alpha }V_{\alpha }}$

كتب هربرت إندرتون  (1977، ص 206) أن "فكرة الرتبة هي سليلة مفهوم راسل للنوع " . وبمقارنة ZF بنظرية النوع ، كتب ألاسدير أوركهارت أن "نظام زيرميلو يتمتع بميزة تدوينية تتمثل في عدم احتوائه على أي متغيرات مكتوبة صراحةً، على الرغم من أنه في الواقع يمكن اعتباره يحتوي على بنية نوع ضمنية مدمجة فيه، على الأقل إذا تم تضمين بديهية الانتظام. تم توضيح تفاصيل هذا النوع الضمني في [Zermelo 1930]، ومرة ​​أخرى في مقالة معروفة لجورج بولوس [Boolos 1971]." ^[2]

وذهب دانا سكوت  (1974) إلى أبعد من ذلك وزعم أن:

الحقيقة هي أنه لا توجد سوى طريقة واحدة مرضية لتجنب المفارقات: ألا وهي استخدام شكل ما من أشكال نظرية الأنواع . وكان ذلك هو الأساس لحدسي راسل وزرميلو. والواقع أن أفضل طريقة للنظر إلى نظرية زرميلو هي تبسيط وتوسعة لنظرية راسل. (ونعني نظرية راسل البسيطة للأنواع بالطبع). وكان التبسيط يهدف إلى جعل الأنواع تراكمية . وبالتالي يصبح خلط الأنواع أسهل ويتم تجنب التكرار المزعج. وبمجرد السماح للأنواع اللاحقة بتراكم الأنواع السابقة، يمكننا بعد ذلك أن نتخيل بسهولة توسيع الأنواع إلى ما هو غير محدود - إلى أي مدى نريد أن نذهب يجب أن نترك مفتوحًا بالضرورة. الآن جعل راسل أنواعه صريحة في تدوينه وتركها زرميلو ضمنية . [التأكيد في الأصل]

في نفس الورقة، يوضح سكوت أن النظام البديهي الذي يعتمد على الخصائص المتأصلة للتسلسل الهرمي التراكمي يتبين أنه يعادل ZF، بما في ذلك الانتظام. ^[3]

تم تقديم مفهوم الأساس السليم ورتبة المجموعة من قبل ديمتري ميرمانوف (1917) قارن ليفي (2002، ص. 68) وهاليت (1996، §4.4، وخاصة ص. 186، 188). أطلق ميرمانوف على المجموعة x اسم "العادية" (بالفرنسية: "ordinaire") إذا كانت كل سلسلة تنازلية x ∋ x ₁ ∋ x ₂ ∋ ... محدودة. ومع ذلك، لم يعتبر ميرمانوف مفهومه للانتظام (والأساس السليم) بديهية يجب مراعاتها من قبل جميع المجموعات؛ ^[4] في أوراق لاحقة استكشف ميرمانوف أيضًا ما يسمى الآن بالمجموعات غير ذات الأساس السليم ("غير عادية" في مصطلحات ميرمانوف). ^[5]

أشار سكوليم (1923) وفون نيومان (1925) إلى أن المجموعات غير القائمة على أسس سليمة غير ضرورية (في الصفحة 404 في ترجمة فان هيجنوورت) وفي نفس المنشور، قدم فون نيومان بديهية (الصفحة 412 في الترجمة) تستبعد بعض المجموعات غير القائمة على أسس سليمة، ولكن ليس كلها. ^[6] في منشور لاحق، قدم فون نيومان (1929، الصفحة 231) نسخة مكافئة ولكنها أكثر تعقيدًا من بديهية أساس الطبقة، قارن سابس (1972، الصفحة 53) وليفي (2002، الصفحة 72):

${\displaystyle A\neq \emptyset \rightarrow \exists x\in A\,(x\cap A=\emptyset )}$.

الشكل المعاصر والنهائي للمبدأ يعود إلى زيرميلو (1930).

العناصر الأولية هي أشياء ليست مجموعات، ولكن يمكن أن تكون عناصر مجموعات. في نظرية مجموعة ZF، لا توجد عناصر أولية، ولكن في بعض نظريات المجموعات الأخرى مثل ZFA ، توجد عناصر أولية. في هذه النظريات، يجب تعديل بديهية الانتظام. يجب استبدال العبارة " " بعبارة ليست فارغة وليست عنصر أولي. أحد البدائل المناسبة هو ، والتي تنص على أن x مأهولة . ${\displaystyle x\neq \emptyset }$${\displaystyle x}$${\displaystyle (\exists y)[y\in x]}$

• نظرية المجموعات غير المستقرة
• خدعة سكوت
• تحريض إبسيلون

• بيرنايز، بول إسحاق (1941)، "نظام نظرية المجموعة البديهية. الجزء الثاني"، مجلة المنطق الرمزي ، 6 (1): 1-17، doi :10.2307/2267281، JSTOR  2267281، S2CID  250344277
• بيرنايز، بول إسحاق (1954)، "نظام نظرية المجموعة البديهية. الجزء السابع" (PDF) ، مجلة المنطق الرمزي ، 19 (2): 81-96، doi :10.2307/2268864، JSTOR  2268864، S2CID  250351655
• بولوس، جورج (1971)، "المفهوم التكراري للمجموعة"، مجلة الفلسفة ، 68 (8): 215-231، doi :10.2307/2025204، JSTOR  2025204أعيد طبعه في بولوس، جورج (1998)، المنطق، المنطق والمنطق ، مطبعة جامعة هارفارد، ص 13-29
• إندرتون، هربرت ب. (1977)، عناصر نظرية المجموعات ، أكاديميك بريس
• فورستر، ت. (2003)، المنطق والاستقراء والمجموعات ، مطبعة جامعة كامبريدج
• Halbeisen, Lorenz J. (2012)، نظرية المجموعة التوليفية: مع مقدمة لطيفة للإجبار ، Springer
• هاليت، مايكل (1996) [نُشر لأول مرة عام 1984]، نظرية المجموعة الكانتورية وحدود الحجم ، مطبعة جامعة أكسفورد، رقم ISBN 978-0-19-853283-5
• جيش، توماس (2003)، نظرية المجموعات: طبعة الألفية الثالثة، منقحة وموسعة ، سبرينغر، رقم ISBN 978-3-540-44085-7
• كونين، كينيث (1980)، نظرية المجموعات: مقدمة لإثباتات الاستقلال ، إلسيفير، رقم ISBN 978-0-444-86839-8
• ليفي، عزرييل (2002) [نُشر لأول مرة عام 1979]، نظرية المجموعة الأساسية ، مينولا، نيويورك: منشورات دوفر، رقم ISBN 978-0-486-42079-0
• ميريمانوف ، ديمتري (1917)، “Les antinomies de Russell et de Burali-Forti et leإشكالية أساسية في نظرية المجموعات”، L’Enseignement Mathématique ، 19 : 37–52
• راثجين، م. (2004)، "التنبؤية، الدائرية، والأساس المضاد" (PDF) ، في لينك، جودهارد (المحرر)، مائة عام من مفارقة راسل: الرياضيات، المنطق، الفلسفة ، والتر دي جرويتر، ISBN 978-3-11-019968-0, تم أرشفته (PDF) من الأصل في 2022-10-09
• Rieger, Adam (2011), "Paradox, ZF, and the Axiom of Foundation" (PDF) , in DeVidi, David; Hallett, Michael; Clark, Peter (eds.), Logic, Mathematics, Philosophy, Vintage Enthusiasms. Essays in Honour of John L. Bell. , The Western Ontario Series in Philosophy of Science, vol. 75, pp. 171–187, CiteSeerX  10.1.1.100.9052 , doi :10.1007/978-94-007-0214-1_9, ISBN 978-94-007-0213-4
• ريجير، ل. (1957)، "مساهمة في نظرية المجموعة البديهية لغودل" (PDF) ، المجلة الرياضية التشيكوسلوفاكية ، 7 (3): 323-357، doi : 10.21136/CMJ.1957.100254
• سانجيورجي، ديفيد (2011)، "أصول المحاكاة الثنائية والاستقراء المشترك"، في سانجيورجي، ديفيد؛ روتن، جان (المحررون)، موضوعات متقدمة في المحاكاة الثنائية والاستقراء المشترك ، مطبعة جامعة كامبريدج
• سكوت، دانا ستيوارت (1974)، "نظرية المجموعات البديهية"، نظرية المجموعات البديهية. وقائع ندوات الرياضيات البحتة المجلد 13، الجزء الثاني ، ص 207-214
• سكوليم، ثورالف (1923)، نظرية المجموعة البديهيةأعيد طبعه في من Frege إلى Gödel ، van Heijenoort، 1967، بالترجمة الإنجليزية لستيفان باور-مينجلبيرج، الصفحات من 291 إلى 301.
• Suppes, Patrick (1972) [نُشر لأول مرة عام 1960]، نظرية المجموعة البديهية ، Dover Publications, Inc.، ISBN 978-0-486-61630-8
• أوركهارت، ألاسدير (2003)، "نظرية الأنواع"، في جريفين، نيكولاس (محرر)، كتاب رفيق كامبريدج لبرتراند راسل ، مطبعة جامعة كامبريدج
• فوغت، روبرت ل. (2001)، نظرية المجموعات: مقدمة (الطبعة الثانية)، سبرينغر، رقم ISBN 978-0-8176-4256-3
• فون نيومان ، جون (1925)، “Eine Axiomatisierung der Mengenlehre”، مجلة für die Reine und Angewandte Mathematik ، 154 : 219–240؛ ترجمة في فان هيجنورت، جان (1967)، من فريج إلى جودل: كتاب مصدري في المنطق الرياضي، 1879-1931 ، ص 393-413
• von Neumann، John (1928)، “Über die Definition durch transfinite Induktion und verwandte Fragen der allgemeinen Mengenlehre”، مجلة الرياضيات ، 99 : 373–391، دوى :10.1007 / BF01459102، S2CID  120784562
• von Neumann، John (1929)، “Uber eine Widerspruchfreiheitsfrage in der axiomatischen Mengenlehre”، Journal für die Reine und Angewandte Mathematik ، 1929 (160): 227-241، دوى :10.1515/crll.1929.160.227، S2CID  199545822
• زيرميلو، إرنست (1930)، “Über Grenzzahlen und Mengenbereiche. Neue Unter suchungen über die Grundlagen der Mengenlehre.” (PDF) ، Fundamenta Mathematicae ، 16 : 29–47، دوى : 10.4064/fm-16-1-29-47 ، أرشفة (PDF) من النسخة الأصلية بتاريخ 2022-10-09؛ ترجمة في Ewald, WB, ed. (1996)، من كانط إلى هيلبرت: كتاب مصدري في أسس الرياضيات المجلد 2 ، Clarendon Press، ص 1219-1233

• بديهية الأساس في PlanetMath .
• المجموعة المأهولة وبديهية الأساس على nLab