الدالة الضمنية

📅 آخر تحديث: ١٧ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ١٧ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 19 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، المعادلة الضمنية هي علاقة على الشكل التالي:R(x1،...،xن)=0،{\displaystyle R(x_{1},\dots ,x_{n})=0,}حيث R دالة لعدة متغيرات (غالبًا ما تكون متعددة الحدود ). على سبيل المثال، المعادلة الضمنية لدائرة الوحدة هيx2+y2-1=0.{\displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0.}

الدالة الضمنية هي دالة تُعرَّف بمعادلة ضمنية، تربط أحد المتغيرات، الذي يُعتبر قيمة الدالة ، بالمتغيرات الأخرى التي تُعتبر وسائطها . [ 1 ] : 204-206 . على سبيل المثال، المعادلةx2+y2-1=0{\displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0}تُعرّف دائرة الوحدة y كدالة ضمنية لـ x ،y=1-x2{\displaystyle y={\sqrt {1-x^{2}}}}بافتراض أن −1 ≤ x ≤ 1 وأن ​​y محصورة في القيم غير السالبة. بعض المعادلات لا تقبل حلاً صريحاً .

تنص نظرية الدالة الضمنية على الشروط التي بموجبها تحدد بعض أنواع المعادلات الضمنية الدوال الضمنية، وتحديداً تلك التي يتم الحصول عليها عن طريق مساواة الدوال متعددة المتغيرات القابلة للتفاضل بشكل مستمر بالصفر .

أمثلة

الدوال العكسية

من أنواع الدوال الضمنية الشائعة الدالة العكسية . ليس لكل دالة دالة عكسية وحيدة. إذا كانت g دالة لـ x ولها دالة عكسية وحيدة، فإن الدالة العكسية لـ g ، والتي تُسمى g⁻¹ ، هي الدالة الوحيدة التي تُعطي حلاً للمعادلة

y=ز(x){\displaystyle y=g(x)}

لإيجاد قيمة x بدلالة y . ويمكن كتابة هذا الحل على النحو التالي:

x=ز-1(y).{\displaystyle x=g^{-1}(y)\,.}

يُعدّ تعريف g⁻¹ على أنه معكوس g تعريفًا ضمنيًا. بالنسبة لبعض الدوال g ، يمكن كتابة g⁻¹ ( y ) صراحةً بصيغة مغلقة - على سبيل المثال، إذا كانت g ( x ) = 2x⁻¹ ، فإن g⁻¹ ( y ) = ½ ( y + 1 ) . مع ذلك ، غالبًا ما يكون هذا غير ممكن، أو لا يكون ممكنًا إلا بإدخال رمز جديد (كما في مثال حاصل ضرب اللوغاريتم أدناه).

بشكل بديهي، يتم الحصول على دالة عكسية من g عن طريق تبديل أدوار المتغيرات التابعة والمستقلة.

مثال: إن حاصل ضرب اللوغاريتم هو دالة ضمنية تعطي حلاً لـ x للمعادلة y − xe x = 0 .

الدوال الجبرية

الدالة الجبرية هي دالة تحقق معادلة متعددة الحدود، ومعاملاتها هي نفسها متعددات حدود. على سبيل المثال، تعطي الدالة الجبرية في متغير واحد x حلاً لمعادلة ما بالنسبة لـ y.

أن(x)yن+أن-1(x)yن-1+⋯+أ0(x)=0،{\displaystyle a_{n}(x)y^{n}+a_{n-1}(x)y^{n-1}+\cdots +a_{0}(x)=0\,,}

حيث تمثل المعاملات aᵢ ( x ) دوالًا متعددة الحدود لـ x . ويمكن كتابة هذه الدالة الجبرية على شكل الطرف الأيمن من معادلة الحل y = f ( x ) . وبهذه الطريقة، تكون f دالة ضمنية متعددة القيم .

تلعب الدوال الجبرية دورًا هامًا في التحليل الرياضي والهندسة الجبرية . ومن الأمثلة البسيطة على الدوال الجبرية الطرف الأيسر من معادلة دائرة الوحدة:

x2+y2-1=0.{\displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0\,.}

حل المعادلة لإيجاد قيمة y يعطي حلاً صريحاً:

y=±1-x2.{\displaystyle y=\pm {\sqrt {1-x^{2}}}\,.}

ولكن حتى بدون تحديد هذا الحل الصريح، فمن الممكن الإشارة إلى الحل الضمني لمعادلة دائرة الوحدة على أنه y = f ( x ) ، حيث f هي الدالة الضمنية متعددة القيم.

بينما يمكن إيجاد حلول صريحة للمعادلات التربيعية والتكعيبية والرباعية في y ، فإن الأمر نفسه لا ينطبق بشكل عام على المعادلات من الدرجة الخامسة وما فوق، مثل

y5+2y4-7y3+3y2-6y-x=0.{\displaystyle y^{5}+2y^{4}-7y^{3}+3y^{2}-6y-x=0\,.}

ومع ذلك، لا يزال بإمكان المرء الإشارة إلى الحل الضمني y = f ( x ) الذي يتضمن الدالة الضمنية متعددة القيم f .

محاذير

لا تعني كل معادلة R ( x , y ) = 0 تمثيلًا بيانيًا لدالة أحادية القيمة، ومعادلة الدائرة مثال بارز على ذلك. مثال آخر هو الدالة الضمنية المعطاة بالعلاقة x − C ( y ) = 0 ، حيث C دالة تكعيبية ذات منحنى مرتفع. لذا، لكي تكون الدالة الضمنية دالة حقيقية (أحادية القيمة)، قد يكون من الضروري استخدام جزء فقط من التمثيل البياني. أحيانًا، يمكن تعريف الدالة الضمنية بنجاح كدالة حقيقية فقط بعد التركيز على جزء من المحور x وحذف بعض فروع الدالة غير المرغوب فيها. عندها يمكن كتابة معادلة تعبر عن y كدالة ضمنية للمتغيرات الأخرى.

قد تنطوي المعادلة الأساسية R ( x , y ) = 0 على حالات شاذة أخرى. على سبيل المثال، لا تعني المعادلة x = 0 وجود دالة f ( x ) تُعطي حلولًا لـ y على الإطلاق؛ فهي خط عمودي. لتجنب مثل هذه المشكلة، تُفرض قيود مختلفة على أنواع المعادلات المسموح بها أو على المجال . توفر نظرية الدالة الضمنية طريقة موحدة للتعامل مع هذه الحالات الشاذة.

التمايز الضمني

في حساب التفاضل والتكامل ، يُعدّ التفاضل الضمني طريقةً لإيجاد مشتقة دالة مُعرَّفة بمعادلة بدلاً من صيغة صريحة. إذا كانت معادلة مثل

F(x،y)=0{\displaystyle F(x,y)=0}

يُعرّفy{\displaystyle y}كدالة لـx{\displaystyle x}على الأقل محليًا، يعالج التفاضل الضمنيy{\displaystyle y}كوظيفةy(x){\displaystyle y(x)}ويميز بين طرفي المعادلة بالنسبة إلىx{\displaystyle x}. هذه الطريقة هي تطبيق لقاعدة السلسلة . [ 2 ]

يُعدّ التفاضل الضمني مفيدًا عندما يكون حلّ المعادلة صراحةً لمتغير واحد غير عملي، أو ينتج عنه عدة فروع ، أو لا يمكن حله باستخدام المصطلحات الأولية . على سبيل المثال، الدائرةx2+y2=1{\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}لا يمكن تمثيلها عالميًا كرسم بياني لدالة واحدةy=و(x){\displaystyle y=f(x)}، ولكن يمكن التمييز بين قوسها العلوي والسفلي ضمنيًا.

تتيح هذه الطريقة حساب تقريب خط المماس لـy(x){\displaystyle y(x)}، بالنظر إلى الدالة فقطF{\displaystyle F}والنقطة(x0،y0){\displaystyle (x_{0},y_{0})}عند النقطة التي يتم عندها إجراء التقريب، بحيث لا توجد معرفة أخرى بالاعتماد الوظيفي لـy{\displaystyle y}علىx{\displaystyle x}هناك حاجة إلى ذلك. يمكن إيجاد تقريبات مماسية للأسطح والمتشعبات ذات الأبعاد الأعلى المعطاة بمعادلة أو نظام من المعادلات بطرق مماثلة.

نظرية الدالة الضمنية

يمكن تعريف دائرة الوحدة ضمنيًا على أنها مجموعة النقاط ( x , y ) التي تحقق المعادلة x² + y² = 1. حول النقطة A ، يمكن التعبير عن y كدالة ضمنية y ( x ) . (على عكس العديد من الحالات، يمكن هنا التعبير عن هذه الدالة صراحةً على النحو التالي: g₁ ( x ) = √ ( 1 - x² ) ). لا توجد دالة مماثلة حول النقطة B ، حيث يكون الفضاء المماسي رأسيًا.

لتكن R ( x , y ) دالة قابلة للتفاضل لمتغيرين، وليكن ( a , b ) زوجًا من الأعداد الحقيقية بحيث R ( a , b ) = 0. إذا كان ∂R / ∂y ≠ 0 ، فإن R ( x , y ) = 0 تُعرّف دالة ضمنية قابلة للتفاضل في جوار صغير كافٍ لـ ( a , b ) ؛ بعبارة أخرى، توجد دالة قابلة للتفاضل f مُعرّفة وقابلة للتفاضل في جوار ما لـ a ، بحيث R ( x , f ( x )) = 0 لـ x في هذا الجوار .

الشرط ⁠ ∂ R / ∂ y ⁠ ≠ 0 يعني أن ( a , b ) هي نقطة منتظمة للمنحنى الضمني للمعادلة الضمنية R ( x , y ) = 0 حيث المماس ليس رأسيًا.

بلغة أقل تخصصًا، توجد دوال ضمنية ويمكن تفاضلها إذا كان للمنحنى مماس غير رأسي. [ 3 ] : §11.5

في الهندسة الجبرية

لنفترض علاقة على الصورة R ( x₁ , …, xₙ ) = 0 ، حيث R دالة متعددة المتغيرات. تُسمى مجموعة قيم المتغيرات التي تحقق هذه العلاقة منحنى ضمنيًا إذا كان n = 2 ، وسطحًا ضمنيًا إذا كان n = 3. تُشكل المعادلات الضمنية أساس الهندسة الجبرية ، التي تُعنى بدراسة الحلول الآنية لعدة معادلات ضمنية طرفها الأيسر دوال متعددة الحدود. تُسمى مجموعات الحلول الآنية هذه بالمجموعات الجبرية الأفينية .

في المعادلات التفاضلية

تظهر حلول المعادلات التفاضلية عمومًا على شكل دالة ضمنية. [ 4 ]

تطبيقات في الاقتصاد

معدل الإحلال الهامشي

في علم الاقتصاد ، عندما تكون مجموعة المستوى R ( x , y ) = 0 منحنى سواء للكميات x و y المستهلكة من سلعتين، فإن القيمة المطلقة للمشتق الضمني ⁠ dy / dx ⁠ تُفسر على أنها المعدل الحدي للإحلال بين السلعتين: أي مقدار y الإضافي الذي يجب الحصول عليه لكي يكون المرء غير مبالٍ بفقدان وحدة واحدة من x . 

معدل الإحلال التقني الهامشي

وبالمثل، في بعض الأحيان، يكون منحنى الإنتاج المتساوي R ( L , K ) عبارة عن مجموعة مستويات تُظهر توليفات مختلفة من كميات العمل L ورأس المال المادي K المستخدمة ، والتي ينتج عن كل منها نفس الكمية المحددة من سلعة معينة. في هذه الحالة، تُفسَّر القيمة المطلقة للمشتق الضمني dK / dL على أنها المعدل الحدي للإحلال التقني بين عاملي الإنتاج: أي مقدار رأس المال الإضافي الذي يجب على الشركة استخدامه لإنتاج نفس الكمية من الناتج بوحدة عمل أقل.

تحسين

في كثير من الأحيان، في النظرية الاقتصادية ، يُراد تعظيم دالة ما، كدالة المنفعة أو دالة الربح ، بالنسبة لمتجه الاختيار x، حتى وإن لم تُقيّد دالة الهدف بصيغة وظيفية محددة. تضمن نظرية الدالة الضمنية أن شروط الرتبة الأولى للتحسين تُحدد دالة ضمنية لكل عنصر من عناصر المتجه الأمثل x * لمتجه الاختيار x . عند تعظيم الربح، تكون الدوال الضمنية الناتجة عادةً هي دالة طلب العمل ودوال عرض السلع المختلفة. وعند تعظيم المنفعة، تكون الدوال الضمنية الناتجة عادةً هي دالة عرض العمل ودوال الطلب على السلع المختلفة.

علاوة على ذلك، يمكن التعبير عن تأثير معلمات المشكلة على x * - المشتقات الجزئية للدالة الضمنية - كمشتقات كلية لنظام الشروط من الدرجة الأولى التي تم إيجادها باستخدام التفاضل الكلي .

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ تشيانغ، ألفا سي. (1984). الأساليب الأساسية للاقتصاد الرياضي (  الطبعة الثالثة). نيويورك: ماكجرو هيل. ISBN 0-07-010813-7.
  2. ^ سترانج ، جيلبرت. هيرمان ، إدوين (2016). “3.8 التمايز الضمني”. حساب التفاضل والتكامل المجلد 1 . أوبنستاكس. رقم ISBN 978-1-938168-02-4.
  3. ↑ ستيوارت، جيمس (1998). مفاهيم وسياقات حساب التفاضل والتكامل . شركة بروكس/كول للنشر. ISBN 0-534-34330-9.
  4. ↑ كابلان، ويلفريد (2003). حساب التفاضل والتكامل المتقدم . بوسطن: أديسون-ويسلي. ISBN 0-201-79937-5.

للمزيد من القراءة