نسبة ميلز

في نظرية الاحتمالات ، نسبة ميلز (أو نسبة ميلز ^{[ 1 ]} ) لمتغير عشوائي مستمر${\displaystyle X}$هي الوظيفة

${\displaystyle m(x):={\frac {{\bar {F}}(x)}{f(x)}},}$

أين${\displaystyle f(x)}$هي دالة كثافة الاحتمال ، و

${\displaystyle {\bar {F}}(x):=\Pr[X>x]=\int _{x}^{+\infty }f(u)\,du}$

هي دالة التوزيع التراكمي التكميلية (وتُسمى أيضًا دالة البقاء ). سُمّي هذا المفهوم نسبةً إلى جون ب. ميلز . ^{[ 2 ]} ترتبط نسبة ميلز بمعدل الخطر h ( x ) الذي يُعرَّف على النحو التالي ^{[ 3 ].}

${\displaystyle h(x):=\lim _{\delta \to 0}{\frac {1}{\delta }}\Pr[x<X\leq x+\delta |X>x]}$

بواسطة

${\displaystyle m(x)={\frac {1}{h(x)}}.}$

متى${\displaystyle X}$إذا كان التوزيع طبيعيًا معياريًا، فإن الحدود التالية تنطبق على${\displaystyle x>0}$:

${\displaystyle {\frac {x}{x^{2}+1}}<m(x)<{\frac {1}{x}}}$^{[ 4 ] [ 5 ]}

لو${\displaystyle X}$إذا كان التوزيع طبيعيًا معياريًا،

${\displaystyle m(x)\sim 1/x,\,}$

حيث اللافتة${\displaystyle \sim }$هذا يعني أن ناتج قسمة الدالتين يتقارب إلى 1 عندما${\displaystyle x\to +\infty }$انظر دالة Q لمزيد من التفاصيل. يمكن تقديم تقاربات أكثر دقة. ^{[ 6 ]}

نسبة ميلز العكسية هي نسبة دالة كثافة الاحتمال إلى دالة التوزيع التراكمي التكميلية لتوزيع معين. وغالبًا ما يُستعان بها نظرًا للخاصية التالية للتوزيع الطبيعي المقتطع : إذا كان X متغيرًا عشوائيًا يتبع التوزيع الطبيعي بمتوسط ​​μ وتباين σ² ^، فإن

${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {E} [\,X\,|\ X>\alpha \,]=\mu +\sigma {\frac {\phi {\big (}{\tfrac {\alpha -\mu }{\sigma }}{\big )}}{1-\Phi {\big (}{\tfrac {\alpha -\mu }{\sigma }}{\big )}}},\\&\operatorname {E} [\,X\,|\ X<\alpha \,]=\mu -\sigma {\frac {\phi {\big (}{\tfrac {\alpha -\mu }{\sigma }}{\big )}}{\Phi {\big (}{\tfrac {\alpha -\mu }{\sigma }}{\big )}}},\end{aligned}}}$

أين${\displaystyle \alpha }$ثابت،${\displaystyle \phi }$يرمز إلى دالة الكثافة الاحتمالية الطبيعية القياسية، و${\displaystyle \Phi }$هي دالة التوزيع التراكمي الطبيعي القياسي. الكسران هما نسب ميلز العكسية. ^{[ 7 ]}

• تصحيح هيكمان

• وايسشتاين، إريك دبليو. "نسبة ميلز" . عالم الرياضيات .