دوال جاكوبي الإهليلجية

في الرياضيات ، تعد دوال جاكوبي الإهليلجية مجموعة من الدوال الإهليلجية الأساسية . توجد في وصف حركة البندول ، وكذلك في تصميم المرشحات الإهليلجية الإلكترونية . بينما يتم تعريف الدوال المثلثية بالإشارة إلى دائرة، فإن دوال جاكوبي الإهليلجية هي تعميم يشير إلى أقسام مخروطية أخرى ، وخاصة القطع الناقص. يتم تضمين العلاقة بالدوال المثلثية في التدوين، على سبيل المثال، من خلال التدوين المطابق لـ . تُستخدم دوال جاكوبي الإهليلجية بشكل أكثر شيوعًا في المشكلات العملية مقارنة بوظائف فايرستراس الإهليلجية لأنها لا تتطلب مفاهيم التحليل المركب ليتم تعريفها و/أو فهمها. تم تقديمها بواسطة كارل جوستاف جاكوب جاكوبي  (1829). كان كارل فريدريش جاوس قد درس بالفعل دوال جاكوبي الإهليلجية الخاصة في عام 1797، وخاصة الدوال الإهليلجية الليمنيسكاتية ، ^[1] ولكن تم نشر عمله بعد ذلك بكثير. ${\displaystyle \operatorname {sn} }$${\displaystyle \sin }$

هناك اثنتي عشرة دالة إهليلجية لجاكوبي يشار إليها بـ ، حيث و أي من الحروف ، ، ، و . (يتم ضبط الدوال من النموذج بشكل تافه على الوحدة من أجل اكتمال التدوين.) هي الحجة، و هي المعلمة، وكلاهما قد يكون معقدًا. في الواقع، تكون دوال جاكوبي الإهليلجية متماثلة في كل من و . ^[2] توزيع الأصفار والأقطاب في المستوى - معروف جيدًا. ومع ذلك، لا تزال أسئلة توزيع الأصفار والأقطاب في المستوى - قيد التحقيق. ^[2]${\displaystyle \operatorname {pq} (u,m)}$${\displaystyle \mathrm {p} }$${\displaystyle \mathrm {q} }$${\displaystyle \mathrm {c} }$${\displaystyle \mathrm {s} }$${\displaystyle \mathrm {n} }$${\displaystyle \mathrm {d} }$${\displaystyle \operatorname {pp} (u,m)}$${\displaystyle u}$${\displaystyle m}$${\displaystyle u}$${\displaystyle m}$${\displaystyle u}$${\displaystyle m}$

في المستوى المركب للحجة ، تشكل الدوال الاثنتا عشرة شبكة متكررة من الأقطاب البسيطة والأصفار . ^[3] اعتمادًا على الدالة، سيكون لمتوازي الأضلاع المتكرر، أو الخلية الوحدوية، أضلاع بطول أو على المحور الحقيقي، و أو على المحور التخيلي، حيث و تُعرف باسم فترات الربع مع كونها التكامل الإهليلجي من النوع الأول. يمكن تحديد طبيعة الخلية الوحدوية من خلال فحص "المستطيل المساعد" (متوازي الأضلاع بشكل عام)، وهو مستطيل يتكون من الأصل في إحدى الزوايا، وكزاوية مقابلة قطريًا. كما هو الحال في الرسم التخطيطي، تُسمى الزوايا الأربع للمستطيل المساعد ، ، ، و ، في اتجاه عكس عقارب الساعة من الأصل. سيكون للدالة صفر عند الزاوية وقطب عند الزاوية. تتوافق الدوال الاثنتا عشرة مع الطرق الاثنتي عشرة لترتيب هذه الأقطاب والأصفار في زوايا المستطيل. ${\displaystyle u}$${\displaystyle 2K}$${\displaystyle 4K}$${\displaystyle 2K'}$${\displaystyle 4K'}$${\displaystyle K=K(m)}$${\displaystyle K'=K(1-m)}$${\displaystyle K(\cdot )}$${\displaystyle (0,0)}$${\displaystyle (K,K')}$${\displaystyle \mathrm {s} }$${\displaystyle \mathrm {c} }$${\displaystyle \mathrm {d} }$${\displaystyle \mathrm {n} }$${\displaystyle \operatorname {pq} (u,m)}$${\displaystyle \mathrm {p} }$${\displaystyle \mathrm {q} }$

عندما تكون الحجة والمعامل حقيقيين، مع ، وسوف يكون حقيقيًا وسيكون متوازي الأضلاع المساعد في الواقع مستطيلًا، وستكون جميع دوال جاكوبي الإهليلجية ذات قيمة حقيقية على الخط الحقيقي. ${\displaystyle u}$${\displaystyle m}$${\displaystyle 0<m<1}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K'}$

نظرًا لأن الدوال الإهليلجية اليعقوبية دورية مزدوجة في ، فإنها تتحلل من خلال طارة - في الواقع، يمكن اعتبار مجالها طارة، تمامًا كما يتم تعريف جيب التمام وجيب التمام في الواقع على الدائرة. بدلاً من وجود دائرة واحدة فقط، لدينا الآن حاصل ضرب دائرتين، واحدة حقيقية والأخرى تخيلية. يمكن استبدال المستوى المركب بطارة معقدة . محيط الدائرة الأولى هو والثانية ، حيث و هما ربع الفترة . تحتوي كل دالة على صفرين وقطبين في مواضع متعاكسة على الطار. بين النقاط ، ، ، يوجد صفر واحد وقطب واحد. ${\displaystyle u}$${\displaystyle 4K}$${\displaystyle 4K'}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K'}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K+iK'}$${\displaystyle iK'}$

ومن ثم فإن الدوال الإهليلجية الجاكوبية هي دوال دورية مزدوجة ومتعددة الأشكال تلبي الخصائص التالية:

• هناك صفر بسيط في الزاوية ، وقطب بسيط في الزاوية  .${\displaystyle \mathrm {p} }$${\displaystyle \mathrm {q} }$
• العدد المركب يساوي نصف فترة الدالة ؛ أي أن الدالة دورية في الاتجاه ، حيث تكون الفترة هي . والدالة دورية أيضًا في الاتجاهين الآخرين و ، حيث تكون الفترات بحيث تكون و ربع فترة.${\displaystyle \mathrm {p} -\mathrm {q} }$${\displaystyle \operatorname {pq} u}$${\displaystyle \operatorname {pq} u}$${\displaystyle \operatorname {pq} }$${\displaystyle 2(\mathrm {p} -\mathrm {q} )}$${\displaystyle \operatorname {pq} u}$${\displaystyle \mathrm {pp} '}$${\displaystyle \mathrm {pq} '}$${\displaystyle \mathrm {p} -\mathrm {p} '}$${\displaystyle \mathrm {p} -\mathrm {q} '}$

يمكن إعطاء الدوال الإهليلجية بمجموعة متنوعة من التدوينات، مما قد يجعل الموضوع مربكًا بشكل غير ضروري. الدوال الإهليلجية هي دوال لمتغيرين. قد يُعطى المتغير الأول من حيث السعة ، أو بشكل أكثر شيوعًا، من حيث الموضح أدناه. قد يُعطى المتغير الثاني من حيث المعلمة ، أو كوحدة قياس إهليلجية ، حيث ، أو من حيث الزاوية المعيارية ، حيث . تُعرف مكملات و على أنها و . تُستخدم هذه المصطلحات الأربعة أدناه دون تعليق لتبسيط التعبيرات المختلفة. ${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle u}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle k}$${\displaystyle k^{2}=m}$ ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle m=\sin ^{2}\alpha }$${\displaystyle k}$${\displaystyle m}$${\displaystyle m'=1-m}$${\textstyle k'={\sqrt {m'}}}$

تُكتب الدوال الإهليلجية الاثنتي عشرة لجاكوبي بشكل عام على النحو التالي حيث و هي أي من الحروف و و و و . يتم ضبط الدوال من هذا النموذج بشكل تافه على الوحدة من أجل اكتمال التدوين. عادةً ما يتم اعتبار الدوال "الرئيسية" على أنها و والتي يمكن اشتقاق جميع الدوال الأخرى منها وغالبًا ما تُكتب التعبيرات فقط من حيث هذه الدوال الثلاث، ومع ذلك، غالبًا ما يتم التعبير عن التناظرات والتعميمات المختلفة بشكل أكثر ملاءمة باستخدام المجموعة الكاملة. (هذا التدوين يرجع إلى جوديرمان وجليشر وليس تدوين جاكوبي الأصلي.) ${\displaystyle \operatorname {pq} (u,m)}$${\displaystyle \mathrm {p} }$${\displaystyle \mathrm {q} }$${\displaystyle \mathrm {c} }$${\displaystyle \mathrm {s} }$${\displaystyle \mathrm {n} }$${\displaystyle \mathrm {d} }$${\displaystyle \operatorname {pp} (u,m)}$${\displaystyle \operatorname {cn} (u,m)}$${\displaystyle \operatorname {sn} (u,m)}$${\displaystyle \operatorname {dn} (u,m)}$

في جميع أنحاء هذه المقالة، . ${\displaystyle \operatorname {pq} (u,t^{2})=\operatorname {pq} (u;t)}$

ترتبط الدوال مع بعضها البعض تدوينيًا بواسطة قاعدة الضرب: (الحجج تم قمعها)

${\displaystyle \operatorname {pq} \cdot \operatorname {p'q'} =\operatorname {pq'} \cdot \operatorname {p'q} }$

والتي يمكن من خلالها استخلاص علاقات أخرى شائعة الاستخدام:

${\displaystyle {\frac {\operatorname {pr} }{\operatorname {qr} }}=\operatorname {pq} }$

${\displaystyle \operatorname {pr} \cdot \operatorname {rq} =\operatorname {pq} }$

${\displaystyle {\frac {1}{\operatorname {qp} }}=\operatorname {pq} }$

تتبع قاعدة الضرب مباشرة من تحديد الدوال الإهليلجية مع دوال نيفيل ثيتا ^[5]

${\displaystyle \operatorname {pq} (u,m)={\frac {\theta _{\operatorname {p} }(u,m)}{\theta _{\operatorname {q} }(u,m)}}}$

لاحظ أيضًا أن:

${\displaystyle K(m)=K(k^{2})=\int _{0}^{1}{\frac {dt}{\sqrt {(1-t^{2})(1-mt^{2})}}}=\int _{0}^{1}{\frac {dt}{\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}}.}$

يوجد تعريف يربط الدوال الإهليلجية بعكس التكامل الإهليلجي غير الكامل من النوع الأول . تأخذ هذه الدوال المعلمات و كمدخلات. الذي يلبي ${\displaystyle F}$${\displaystyle u}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle u=F(\varphi ,m)=\int _{0}^{\varphi }{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}}}$

تسمى سعة جاكوبي :

${\displaystyle \operatorname {am} (u,m)=\varphi .}$

في هذا الإطار، يتم إعطاء الجيب الإهليلجي sn  u (باللاتينية: sinus amplitudinis ) بواسطة

${\displaystyle \operatorname {sn} (u,m)=\sin \operatorname {am} (u,m)}$

ويتم إعطاء جيب التمام الإهليلجي cn  u (باللاتينية: cosinus amplitudinis ) بواسطة

${\displaystyle \operatorname {cn} (u,m)=\cos \operatorname {am} (u,m)}$

وسعة الدلتا dn  u (باللاتينية: delta amplitudinis ) ^{[ملاحظة 1]}

${\displaystyle \operatorname {dn} (u,m)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} u}}\operatorname {am} (u,m).}$

في المثال أعلاه، القيمة هي معلمة حرة، وعادة ما تؤخذ على أنها حقيقية بحيث (ولكن يمكن أن تكون معقدة بشكل عام)، وبالتالي يمكن التفكير في الدوال الإهليلجية على أنها معطاة بواسطة متغيرين، والمعلمة  . يمكن بناء الدوال الإهليلجية التسع المتبقية بسهولة من الدوال الثلاث أعلاه ( ، ، )، ويتم إعطاؤها في القسم أدناه. لاحظ أنه عندما ، فإن ذلك يساوي فترة الربع . ${\displaystyle m}$${\displaystyle 0\leq m\leq 1}$${\displaystyle u}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \operatorname {sn} }$${\displaystyle \operatorname {cn} }$${\displaystyle \operatorname {dn} }$${\displaystyle \varphi =\pi /2}$${\displaystyle u}$ ${\displaystyle K}$

في الإعداد الأكثر عمومية، هي دالة متعددة القيم (في ) مع عدد لا نهائي من نقاط التفرع اللوغاريتمية (تختلف الفروع بمضاعفات صحيحة لـ )، وهي النقاط وحيث . ^[6] يمكن جعل هذه الدالة متعددة القيم ذات قيمة واحدة عن طريق قطع المستوى المركب على طول مقاطع الخط التي تربط بين نقاط التفرع هذه (يمكن إجراء القطع بطرق غير متكافئة، مما يعطي دوال ذات قيمة واحدة غير متكافئة)، وبالتالي جعلها تحليلية في كل مكان باستثناء قطع الفروع . على النقيض من ذلك، لا تحتوي الدوال الإهليلجية الأخرى على نقاط تفرع، وتعطي قيمًا متسقة لكل فرع من ، وتكون متماثلة في المستوى المركب بأكمله. نظرًا لأن كل دالة إهليلجية متماثلة في المستوى المركب بأكمله (حسب التعريف)، (عند اعتبارها دالة ذات قيمة واحدة) ليست دالة إهليلجية. ${\displaystyle \operatorname {am} (u,m)}$${\displaystyle u}$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle 2sK(m)+(4t+1)K(1-m)i}$${\displaystyle 2sK(m)+(4t+3)K(1-m)i}$${\displaystyle s,t\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle \operatorname {am} (u,m)}$ ${\displaystyle \sin \operatorname {am} (u,m)}$${\displaystyle \operatorname {am} }$${\displaystyle \operatorname {am} (u,m)}$

ومع ذلك، يمكن إجراء قطع معين لـ في المستوى - بواسطة قطع مستقيمة من إلى مع ؛ ثم يبقى فقط تحديد القطع الفرعية بالاستمرارية من اتجاه ما. ثم تصبح ذات قيمة واحدة ودورية واحدة في مع الفترة الدنيا ولها تفردات عند نقاط التفرع اللوغاريتمية المذكورة أعلاه. إذا و ، تكون متصلة في على الخط الحقيقي. عندما ، فإن القطع الفرعية لـ في المستوى - تعبر الخط الحقيقي عند لـ ؛ لذلك بالنسبة لـ ، ليست متصلة في على الخط الحقيقي وتقفز بـ على الانقطاعات. ${\displaystyle \operatorname {am} (u,m)}$${\displaystyle u}$${\displaystyle 2sK(m)+(4t+1)K(1-m)i}$${\displaystyle 2sK(m)+(4t+3)K(1-m)i}$${\displaystyle s,t\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle \operatorname {am} (u,m)}$${\displaystyle \operatorname {am} (u,m)}$${\displaystyle u}$${\displaystyle 4iK(1-m)}$${\displaystyle m\in \mathbb {R} }$${\displaystyle m\leq 1}$${\displaystyle \operatorname {am} (u,m)}$${\displaystyle u}$${\displaystyle m>1}$${\displaystyle \operatorname {am} (u,m)}$${\displaystyle u}$${\displaystyle 2(2s+1)K(1/m)/{\sqrt {m}}}$${\displaystyle s\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle m>1}$${\displaystyle \operatorname {am} (u,m)}$${\displaystyle u}$${\displaystyle 2\pi }$

لكن تعريف هذه الطريقة يؤدي إلى قطع فروع معقدة للغاية في المستوى ( وليس المستوى نفسه)؛ ولم يتم وصفها بالكامل حتى الآن. ${\displaystyle \operatorname {am} (u,m)}$${\displaystyle m}$${\displaystyle u}$

يترك

${\displaystyle E(\varphi ,m)=\int _{0}^{\varphi }{\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}\,\mathrm {d} \theta }$

يكون التكامل الإهليلجي غير الكامل من النوع الثاني ذو المعلمة . ${\displaystyle m}$

ومن ثم يمكن تعريف دالة جاكوبي إبسيلون على أنها

${\displaystyle {\mathcal {E}}(u,m)=E(\operatorname {am} (u,m),m)}$

بالنسبة إلى و و بالاستمرار التحليلي في كل من المتغيرات خلاف ذلك: دالة جاكوبي إبسيلون متماثلة في المستوى المركب بأكمله (في كل من و ). بدلاً من ذلك، في كل من المستوى - و المستوى -، ^[7]${\displaystyle u\in \mathbb {R} }$${\displaystyle 0<m<1}$${\displaystyle u}$${\displaystyle m}$${\displaystyle u}$${\displaystyle m}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}(u,m)=\int _{0}^{u}\operatorname {dn} ^{2}(t,m)\,\mathrm {d} t;}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}}$يتم تعريفه جيدًا بهذه الطريقة لأن جميع بقاياه تساوي صفرًا، وبالتالي فإن التكامل مستقل عن المسار. لذا فإن إبسيلون جاكوبي يربط التكامل الإهليلجي غير المكتمل من النوع الأول بالتكامل الإهليلجي غير المكتمل من النوع الثاني: ${\displaystyle t\mapsto \operatorname {dn} (t,m)^{2}}$

${\displaystyle E(\varphi ,m)={\mathcal {E}}(F(\varphi ,m),m).}$

دالة جاكوبي إبسيلون ليست دالة إهليلجية، ولكنها تظهر عند التمييز بين دوال جاكوبي الإهليلجية فيما يتعلق بالمعلمة.

يتم تعريف دالة Jacobi zn بواسطة

${\displaystyle \operatorname {zn} (u,m)={\mathcal {E}}(u,m)-{\frac {E(m)}{K(m)}}u.}$

إنها دالة دورية مفردة متداخلة في ، ولكن ليس في (بسبب قطع الفروع في و ). فترتها الدنيا في هي . وهي مرتبطة بدالة زيتا لجاكوبي بواسطة${\displaystyle u}$${\displaystyle m}$${\displaystyle E}$${\displaystyle K}$${\displaystyle u}$${\displaystyle 2K(m)}$${\displaystyle Z(\varphi ,m)=\operatorname {zn} (F(\varphi ,m),m).}$

تاريخيًا، تم تعريف الدوال الإهليلجية لجاكوبي لأول مرة باستخدام السعة. في النصوص الأكثر حداثة حول الدوال الإهليلجية، يتم تعريف الدوال الإهليلجية لجاكوبي بوسائل أخرى، على سبيل المثال من خلال نسب دوال ثيتا (انظر أدناه)، ويتم تجاهل السعة.

في المصطلحات الحديثة، سيتم التعبير عن العلاقة بالتكاملات الإهليلجية بـ (أو ) بدلاً من . ${\displaystyle \operatorname {sn} (F(\varphi ,m),m)=\sin \varphi }$${\displaystyle \operatorname {cn} (F(\varphi ,m),m)=\cos \varphi }$${\displaystyle \operatorname {am} (F(\varphi ,m),m)=\varphi }$

${\displaystyle \cos \varphi ,\sin \varphi }$يتم تعريفها على دائرة الوحدة، بنصف قطر r  = 1 وطول قوس الزاوية لدائرة الوحدة المقاسة من المحور x الموجب . وبالمثل، يتم تعريف دوال جاكوبي الإهليلجية على القطع الناقص الوحدوي، ^{[ بحاجة لمصدر ]} بـ a  = 1. دع ${\displaystyle \varphi =}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&x^{2}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,\quad b>1,\\&m=1-{\frac {1}{b^{2}}},\quad 0<m<1,\\&x=r\cos \varphi ,\quad y=r\sin \varphi \end{aligned}}}$

ثم:

${\displaystyle r(\varphi ,m)={\frac {1}{\sqrt {1-m\sin ^{2}\varphi }}}\,.}$

لكل زاوية المعلمة ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle u=u(\varphi ,m)=\int _{0}^{\varphi }r(\theta ,m)\,d\theta }$

(يتم حساب التكامل الإهليلجي غير الكامل من النوع الأول). على الدائرة الوحدوية ( )، سيكون طول القوس. ومع ذلك، فإن العلاقة بطول قوس القطع الناقص أكثر تعقيدًا. ^[8]${\displaystyle a=b=1}$${\displaystyle u}$${\displaystyle u}$

ليكن نقطة على القطع الناقص، وليكن النقطة التي تتقاطع عندها دائرة الوحدة مع الخط الفاصل بين ونقطة الأصل . إذن العلاقات المألوفة من دائرة الوحدة: ${\displaystyle P=(x,y)=(r\cos \varphi ,r\sin \varphi )}$${\displaystyle P'=(x',y')=(\cos \varphi ,\sin \varphi )}$${\displaystyle P}$${\displaystyle O}$

${\displaystyle x'=\cos \varphi ,\quad y'=\sin \varphi }$

اقرأ القطع الناقص:

${\displaystyle x'=\operatorname {cn} (u,m),\quad y'=\operatorname {sn} (u,m).}$

لذا فإن إسقاطات نقطة تقاطع الخط مع الدائرة الوحدوية على المحورين x و y هي ببساطة و . ويمكن تفسير هذه الإسقاطات على أنها "تعريف بعلم المثلثات". باختصار: ${\displaystyle P'}$${\displaystyle OP}$${\displaystyle \operatorname {cn} (u,m)}$${\displaystyle \operatorname {sn} (u,m)}$

${\displaystyle \operatorname {cn} (u,m)={\frac {x}{r(\varphi ,m)}},\quad \operatorname {sn} (u,m)={\frac {y}{r(\varphi ,m)}},\quad \operatorname {dn} (u,m)={\frac {1}{r(\varphi ,m)}}.}$

بالنسبة لقيمة النقطة مع المعلمة و نحصل عليها بعد إدخال العلاقة: ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle P}$${\displaystyle u}$${\displaystyle m}$

${\displaystyle r(\varphi ,m)={\frac {1}{\operatorname {dn} (u,m)}}}$

إلى: ذلك: ${\displaystyle x=r(\varphi ,m)\cos(\varphi ),y=r(\varphi ,m)\sin(\varphi )}$

${\displaystyle x={\frac {\operatorname {cn} (u,m)}{\operatorname {dn} (u,m)}},\quad y={\frac {\operatorname {sn} (u,m)}{\operatorname {dn} (u,m)}}.}$

يمكن اعتبار العلاقات الأخيرة لإحداثيات x و y للنقط على القطع الناقص الوحدوي بمثابة تعميم للعلاقات لإحداثيات النقاط على الدائرة الوحدوية. ${\displaystyle x=\cos \varphi ,y=\sin \varphi }$

يلخص الجدول التالي التعبيرات لجميع دوال جاكوبي الإهليلجية pq(u,m) في المتغيرات ( x ، y ، r ) و( φ ، dn) مع${\textstyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$

الدوال الإهليلجية لجاكوبي pq[ u , m ] كدوال لـ { x , y , r } و { φ , dn}

		س
		ج	س	ن	د
ص
	ج	1	${\displaystyle x/y=\cot(\varphi )}$	${\displaystyle x/r=\cos(\varphi )}$	${\displaystyle x=\cos(\varphi )/\operatorname {dn} }$
	س	${\displaystyle y/x=\tan(\varphi )}$	1	${\displaystyle y/r=\sin(\varphi )}$	${\displaystyle y=\sin(\varphi )/\operatorname {dn} }$
	ن	${\displaystyle r/x=\sec(\varphi )}$	${\displaystyle r/y=\csc(\varphi )}$	1	${\displaystyle r=1/\operatorname {dn} }$
	د	${\displaystyle 1/x=\sec(\varphi )\operatorname {dn} }$	${\displaystyle 1/y=\csc(\varphi )\operatorname {dn} }$	${\displaystyle 1/r=\operatorname {dn} }$	1

على نحو مماثل، يمكن تعريف الدوال الإهليلجية لجاكوبي من حيث دوال ثيتا . ^[9] بحيث ، دع ${\displaystyle z,\tau \in \mathbb {C} }$${\displaystyle \operatorname {Im} \tau >0}$

${\displaystyle \theta _{1}(z|\tau )=\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n-{\frac {1}{2}}}e^{(2n+1)iz+\pi i\tau \left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}},}$

${\displaystyle \theta _{2}(z|\tau )=\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{(2n+1)iz+\pi i\tau \left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}},}$

${\displaystyle \theta _{3}(z|\tau )=\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{2niz+\pi i\tau n^{2}},}$

${\displaystyle \theta _{4}(z|\tau )=\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}e^{2niz+\pi i\tau n^{2}}}$

و ، ، . ثم مع ، ، و ، ${\displaystyle \theta _{2}(\tau )=\theta _{2}(0|\tau )}$${\displaystyle \theta _{3}(\tau )=\theta _{3}(0|\tau )}$${\displaystyle \theta _{4}(\tau )=\theta _{4}(0|\tau )}$${\displaystyle K=K(m)}$${\displaystyle K'=K(1-m)}$${\displaystyle \zeta =\pi u/(2K)}$${\displaystyle \tau =iK'/K}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sn} (u,m)&={\frac {\theta _{3}(\tau )\theta _{1}(\zeta |\tau )}{\theta _{2}(\tau )\theta _{4}(\zeta |\tau )}},\\\operatorname {cn} (u,m)&={\frac {\theta _{4}(\tau )\theta _{2}(\zeta |\tau )}{\theta _{2}(\tau )\theta _{4}(\zeta |\tau )}},\\\operatorname {dn} (u,m)&={\frac {\theta _{4}(\tau )\theta _{3}(\zeta |\tau )}{\theta _{3}(\tau )\theta _{4}(\zeta |\tau )}}.\end{aligned}}}$

يمكن التعبير عن دالة Jacobi zn بواسطة دوال ثيتا أيضًا:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {zn} (u,m)&={\frac {\pi }{2K}}{\frac {\theta _{4}'(\zeta |\tau )}{\theta _{4}(\zeta |\tau )}}\\&={\frac {\pi }{2K}}{\frac {\theta _{3}'(\zeta |\tau )}{\theta _{3}(\zeta |\tau )}}+m{\frac {\operatorname {sn} (u,m)\operatorname {cn} (u,m)}{\operatorname {dn} (u,m)}}\\&={\frac {\pi }{2K}}{\frac {\theta _{2}'(\zeta |\tau )}{\theta _{2}(\zeta |\tau )}}+{\frac {\operatorname {dn} (u,m)\operatorname {sn} (u,m)}{\operatorname {cn} (u,m)}}\\&={\frac {\pi }{2K}}{\frac {\theta _{1}'(\zeta |\tau )}{\theta _{1}(\zeta |\tau )}}-{\frac {\operatorname {cn} (u,m)\operatorname {dn} (u,m)}{\operatorname {sn} (u,m)}}\end{aligned}}}$

حيث يشير إلى المشتقة الجزئية بالنسبة للمتغير الأول. ${\displaystyle '}$

في الواقع، تم صياغة تعريف الدوال الإهليلجية لجاكوبي في ويتاكر وواتسون بشكل مختلف قليلاً عن التعريف المذكور أعلاه (ولكنه يعادله) ويعتمد على الانعكاس المعياري: الدالة ، التي تم تعريفها بواسطة ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle \lambda (\tau )={\frac {\theta _{2}(\tau )^{4}}{\theta _{3}(\tau )^{4}}},}$

يفترض كل قيمة مرة واحدة ومرة ​​واحدة فقط ^[10] في ${\displaystyle \mathbb {C} -\{0,1\}}$

${\displaystyle F_{1}-(\partial F_{1}\cap \{\tau \in \mathbb {H} :\operatorname {Re} \tau <0\})}$

حيث هو النصف العلوي من المستوى المركب، هو حدود و ${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle \partial F_{1}}$${\displaystyle F_{1}}$

${\displaystyle F_{1}=\{\tau \in \mathbb {H} :\left|\operatorname {Re} \tau \right|\leq 1,\left|\operatorname {Re} (1/\tau )\right|\leq 1\}.}$

بهذه الطريقة، يمكن ربط كل منها بواحدة فقط . ثم قام ويتاكر وواتسون بتعريف الدوال الإهليلجية لجاكوبي من خلال ${\displaystyle m\,{\overset {\text{def}}{=}}\,\lambda (\tau )\in \mathbb {C} -\{0,1\}}$ ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sn} (u,m)&={\frac {\theta _{3}(\tau )\theta _{1}(\zeta |\tau )}{\theta _{2}(\tau )\theta _{4}(\zeta |\tau )}},\\\operatorname {cn} (u,m)&={\frac {\theta _{4}(\tau )\theta _{2}(\zeta |\tau )}{\theta _{2}(\tau )\theta _{4}(\zeta |\tau )}},\\\operatorname {dn} (u,m)&={\frac {\theta _{4}(\tau )\theta _{3}(\zeta |\tau )}{\theta _{3}(\tau )\theta _{4}(\zeta |\tau )}}\end{aligned}}}$

حيث . في الكتاب، وضعوا قيدًا إضافيًا على (أن )، لكنه في الواقع ليس قيدًا ضروريًا (انظر مرجع كوكس). أيضًا، إذا أو ، تتدهور دوال جاكوبي الإهليلجية إلى دوال غير إهليلجية كما هو موضح أدناه. ${\displaystyle \zeta =u/\theta _{3}(\tau )^{2}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle m\notin (-\infty ,0)\cup (1,\infty )}$${\displaystyle m=0}$${\displaystyle m=1}$

يمكن تعريف وظائف جاكوبي الإهليلجية ببساطة شديدة باستخدام وظائف نيفيل ثيتا : ^[11]

${\displaystyle \operatorname {pq} (u,m)={\frac {\theta _{\operatorname {p} }(u,m)}{\theta _{\operatorname {q} }(u,m)}}}$

غالبًا ما يتم تسهيل تبسيط المنتجات المعقدة لوظائف جاكوبي الإهليلجية باستخدام هذه الهويات.

تربط تحويلات جاكوبي التخيلية بين وظائف مختلفة للمتغير التخيلي iu أو، على نحو مكافئ، العلاقات بين قيم مختلفة لمعامل m . من حيث الوظائف الرئيسية: ^{[12] : 506}

${\displaystyle \operatorname {cn} (u,m)=\operatorname {nc} (i\,u,1\!-\!m)}$

${\displaystyle \operatorname {sn} (u,m)=-i\operatorname {sc} (i\,u,1\!-\!m)}$

${\displaystyle \operatorname {dn} (u,m)=\operatorname {dc} (i\,u,1\!-\!m)}$

باستخدام قاعدة الضرب، يمكن التعبير عن جميع الدوال الأخرى من حيث الدوال الثلاث المذكورة أعلاه. يمكن كتابة التحويلات عمومًا على هيئة . يوضح الجدول التالي الدالة pq( u,m ) المحددة ^[11] ( يتم حذف الحجج )${\displaystyle \operatorname {pq} (u,m)=\gamma _{\operatorname {pq} }\operatorname {pq} '(i\,u,1\!-\!m)}$${\displaystyle \gamma _{\operatorname {pq} }\operatorname {pq} '(i\,u,1\!-\!m)}$${\displaystyle (i\,u,1\!-\!m)}$

جاكوبي التحولات التخيلية${\displaystyle \gamma _{\operatorname {pq} }\operatorname {pq} '(i\,u,1\!-\!m)}$

		س
		ج	س	ن	د
ص
	ج	1	أنا	ن.ك	اختصار الثاني
	س	- أنا سن	1	- أنا سك	- أنا sd
	ن	سي إن	انا CS	1	قرص مضغوط
	د	دن	انا دي اس	تيار مستمر	1

نظرًا لأن الدوال المثلثية الزائدية تتناسب مع الدوال المثلثية الدائرية ذات الحجج التخيلية، فمن الطبيعي أن تسفر دوال جاكوبي عن الدوال الزائدية لـ m=1. ^{[5] : 249} في الشكل، انحدر منحنى جاكوبي إلى خطين رأسيين عند x  = 1 و x  = −1.

تُنتج تحويلات جاكوبي الحقيقية ^{[5] : 308} تعبيرات للدوال الإهليلجية من حيث القيم البديلة لـ m . يمكن كتابة التحويلات عمومًا على هيئة . يوضح الجدول التالي pq( u,m ) المحدد ^[11] ( تم حذف الحجج )${\displaystyle \operatorname {pq} (u,m)=\gamma _{\operatorname {pq} }\operatorname {pq} '(k\,u,1/m)}$${\displaystyle \gamma _{\operatorname {pq} }\operatorname {pq} '(k\,u,1/m)}$${\displaystyle (k\,u,1/m)}$

تحولات جاكوبي الحقيقية${\displaystyle \gamma _{\operatorname {pq} }\operatorname {pq} '(k\,u,1/m)}$

		س
		ج	س	ن	د
ص
	ج	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle k\operatorname {ds} }$	${\displaystyle \operatorname {dn} }$	${\displaystyle \operatorname {dc} }$
	س	${\displaystyle {\frac {1}{k}}\operatorname {sd} }$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\frac {1}{k}}\operatorname {sn} }$	${\displaystyle {\frac {1}{k}}\operatorname {sc} }$
	ن	${\displaystyle \operatorname {nd} }$	${\displaystyle k\operatorname {ns} }$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \operatorname {nc} }$
	د	${\displaystyle \operatorname {cd} }$	${\displaystyle k\operatorname {cs} }$	${\displaystyle \operatorname {cn} }$	${\displaystyle 1}$

يمكن دمج تحويلات جاكوبي الحقيقية والتخيلية بطرق مختلفة لإنتاج ثلاثة تحويلات أكثر بساطة. ^{[5] : 214} التحويلات الحقيقية والتخيلية هي تحويلان في مجموعة ( D ₃ أو مجموعة غير متناغمة ) من ستة تحويلات. إذا

${\displaystyle \mu _{R}(m)=1/m}$

هو التحويل لمعامل m في التحويل الحقيقي، و

${\displaystyle \mu _{I}(m)=1-m=m'}$

إذا كان تحويل m هو التحويل التخيلي، فيمكن بناء التحويلات الأخرى من خلال التطبيق المتتالي لهذين التحويلين الأساسيين، مما ينتج عنه ثلاثة احتمالات أخرى فقط:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{IR}(m)&=&\mu _{I}(\mu _{R}(m))&=&-m'/m\\\mu _{RI}(m)&=&\mu _{R}(\mu _{I}(m))&=&1/m'\\\mu _{RIR}(m)&=&\mu _{R}(\mu _{I}(\mu _{R}(m)))&=&-m/m'\end{aligned}}}$

هذه التحويلات الخمسة، جنبًا إلى جنب مع تحويل الهوية ( μ _U ( m ) =  m ) تؤدي إلى المجموعة المكونة من ستة عناصر. فيما يتعلق بوظائف جاكوبي الإهليلجية، يمكن التعبير عن التحويل العام باستخدام ثلاث وظائف فقط:

${\displaystyle \operatorname {cs} (u,m)=\gamma _{i}\operatorname {cs'} (\gamma _{i}u,\mu _{i}(m))}$

${\displaystyle \operatorname {ns} (u,m)=\gamma _{i}\operatorname {ns'} (\gamma _{i}u,\mu _{i}(m))}$

${\displaystyle \operatorname {ds} (u,m)=\gamma _{i}\operatorname {ds'} (\gamma _{i}u,\mu _{i}(m))}$

حيث i = U، I، IR، R، RI، أو RIR، مما يحدد التحويل، γ _i هو عامل ضرب مشترك بين هذه الدوال الثلاث، ويشير العدد الأولي إلى الدالة المحولة. يمكن بناء الدوال المحولة التسع الأخرى من الدوال الثلاث المذكورة أعلاه. والسبب في اختيار الدوال cs وns وds لتمثيل التحويل هو أن الدوال الأخرى ستكون نسبًا لهذه الدوال الثلاث (باستثناء معكوساتها) وستُلغى عوامل الضرب.

يسرد الجدول التالي عوامل الضرب للوظائف الثلاث ps، و m ' s المحولة، وأسماء الوظائف المحولة لكل من التحويلات الستة. ^{[5] : 214} (كما هو معتاد، k ²  =  m ، 1 −  k ²  =  k ₁ ²  =  m ′ ويتم حذف الوسائط ( ))${\displaystyle \gamma _{i}u,\mu _{i}(m)}$

معاملات التحويلات الستة

التحول الأول	${\displaystyle \gamma _{i}}$	${\displaystyle \mu _{i}(m)}$	سي اس'	ن.س'	د'س'
و	1	م	CS	ن س	د س
أنا	أنا	م'	ن س	CS	د س
الأشعة تحت الحمراء	ايك	-م'/م	د س	CS	ن س
ر	ك	1/م	د س	ن س	CS
جمهورية أيرلندا	ايك 1	1/م'	ن س	د س	CS
رير	ك 1	-م/م'	CS	د س	ن س

على سبيل المثال، يمكننا بناء الجدول التالي لتحويل RIR. ^[11] يتم كتابة التحويل بشكل عام ( يتم قمع الحجج )${\displaystyle \operatorname {pq} (u,m)=\gamma _{\operatorname {pq} }\,\operatorname {pq'} (k'\,u,-m/m')}$${\displaystyle (k'\,u,-m/m')}$

تحويل RIR${\displaystyle \gamma _{\operatorname {pq} }\,\operatorname {pq'} (k'\,u,-m/m')}$

		س
		ج	س	ن	د
ص
	ج	1	ك'س	قرص مضغوط	سي إن
	س	${\displaystyle {\frac {1}{k'}}}$س س	1	${\displaystyle {\frac {1}{k'}}}$SD	${\displaystyle {\frac {1}{k'}}}$سن
	ن	تيار مستمر	${\displaystyle k'}$د س	1	دن
	د	ن.ك	${\displaystyle k'}$ن س	اختصار الثاني	1

قيمة تحويلات جاكوبي هي أنه يمكن تحويل أي مجموعة من الدوال الإهليلجية لجاكوبي مع أي معلمة ذات قيمة حقيقية m إلى مجموعة أخرى ، وبالنسبة للقيم الحقيقية لـ u ، ستكون قيم الدالة حقيقية. ^{[5] : ص 215}${\displaystyle 0<m\leq 1/2}$

فيما يلي، يتم قمع المتغير الثاني ويصبح مساويًا لـ : ${\displaystyle m}$

${\displaystyle \sin(\operatorname {am} (u+v)+\operatorname {am} (u-v))={\frac {2\operatorname {sn} u\operatorname {cn} u\operatorname {dn} v}{1-m\operatorname {sn} ^{2}u\operatorname {sn} ^{2}v}},}$

${\displaystyle \cos(\operatorname {am} (u+v)-\operatorname {am} (u-v))={\dfrac {\operatorname {cn} ^{2}v-\operatorname {sn} ^{2}v\operatorname {dn} ^{2}u}{1-m\operatorname {sn} ^{2}u\operatorname {sn} ^{2}v}}}$

حيث تكون كلتا الهويتين صالحة للجميع بحيث يكون كلا الجانبين محددين جيدًا. ${\displaystyle u,v,m\in \mathbb {C} }$

مع

${\displaystyle m_{1}=\left({\frac {1-{\sqrt {m'}}}{1+{\sqrt {m'}}}}\right)^{2},}$

لدينا

${\displaystyle \cos(\operatorname {am} (u,m)+\operatorname {am} (K-u,m))=-\operatorname {sn} ((1-{\sqrt {m'}})u,1/m_{1}),}$

${\displaystyle \sin(\operatorname {am} ({\sqrt {m'}}u,-m/m')+\operatorname {am} ((1-{\sqrt {m'}})u,1/m_{1}))=\operatorname {sn} (u,m),}$

${\displaystyle \sin(\operatorname {am} ((1+{\sqrt {m'}})u,m_{1})+\operatorname {am} ((1-{\sqrt {m'}})u,1/m_{1}))=\sin(2\operatorname {am} (u,m))}$

حيث تكون جميع الهويات صالحة للجميع بحيث يتم تعريف كلا الجانبين بشكل جيد. ${\displaystyle u,m\in \mathbb {C} }$

عند تقديم الأعداد المركبة، فإن القطع الناقص لدينا يحتوي على قطع زائد مرتبط به:

${\displaystyle x^{2}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$

من تطبيق تحويل جاكوبي التخيلي ^[11] على الدوال الإهليلجية في المعادلة أعلاه لـ x و  y .

${\displaystyle x={\frac {1}{\operatorname {dn} (u,1-m)}},\quad y={\frac {\operatorname {sn} (u,1-m)}{\operatorname {dn} (u,1-m)}}}$

يتبع ذلك أنه يمكننا وضع . لذا فإن القطع الناقص لدينا يحتوي على قطع ناقص مزدوج حيث تم استبدال m بـ 1-m. وهذا يؤدي إلى الطارة المركبة المذكورة في المقدمة. ^[13] بشكل عام، قد يكون m عددًا مركبًا، ولكن عندما يكون m عددًا حقيقيًا وm <0، يكون المنحنى قطعًا ناقصًا بمحور رئيسي في اتجاه x. عند m = 0 يكون المنحنى دائرة، وبالنسبة لـ 0 <m <1، يكون المنحنى قطعًا ناقصًا بمحور رئيسي في اتجاه y. عند m  = 1، يتدهور المنحنى إلى خطين رأسيين عند x  = ±1. بالنسبة لـ m  > 1، يكون المنحنى قطعًا زائدًا. عندما يكون m معقدًا ولكنه غير حقيقي، يكون x أو y أو كليهما معقدين ولا يمكن وصف المنحنى على رسم تخطيطي حقيقي x - y . ${\displaystyle x=\operatorname {dn} (u,1-m),y=\operatorname {sn} (u,1-m)}$

يؤدي عكس ترتيب الحرفين في اسم الدالة إلى معكوسات الدوال الثلاث أعلاه:

${\displaystyle \operatorname {ns} (u)={\frac {1}{\operatorname {sn} (u)}},\qquad \operatorname {nc} (u)={\frac {1}{\operatorname {cn} (u)}},\qquad \operatorname {nd} (u)={\frac {1}{\operatorname {dn} (u)}}.}$

وبالمثل، فإن نسب الوظائف الأساسية الثلاث تتوافق مع الحرف الأول من البسط متبوعًا بالحرف الأول من المقام:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sc} (u)={\frac {\operatorname {sn} (u)}{\operatorname {cn} (u)}},\qquad \operatorname {sd} (u)={\frac {\operatorname {sn} (u)}{\operatorname {dn} (u)}},\qquad \operatorname {dc} (u)={\frac {\operatorname {dn} (u)}{\operatorname {cn} (u)}},\qquad \operatorname {ds} (u)={\frac {\operatorname {dn} (u)}{\operatorname {sn} (u)}},\qquad \operatorname {cs} (u)={\frac {\operatorname {cn} (u)}{\operatorname {sn} (u)}},\qquad \operatorname {cd} (u)={\frac {\operatorname {cn} (u)}{\operatorname {dn} (u)}}.\end{aligned}}}$

بشكل أكثر إحكاما، لدينا

${\displaystyle \operatorname {pq} (u)={\frac {\operatorname {pn} (u)}{\operatorname {qn} (u)}}}$

حيث أن p و q هما أي من الحروف s، c، d.

في المستوى المركب للحجة u ، تشكل دوال جاكوبي الإهليلجية نمطًا متكررًا من الأقطاب (والأصفار). جميع بقايا الأقطاب لها نفس القيمة المطلقة، وتختلف فقط في الإشارة. كل دالة pq( u , m ) لها "دالة عكسية" (بالمعنى المضاعف) qp( u , m ) حيث يتم تبادل مواضع الأقطاب والأصفار. تختلف فترات التكرار بشكل عام في الاتجاهين الحقيقي والخيالي، ومن هنا جاء استخدام مصطلح "الدوري المزدوج" لوصفها.

بالنسبة لسعة جاكوبي ودالة جاكوبي إبسيلون:

${\displaystyle \operatorname {am} (u+2K,m)=\operatorname {am} (u,m)+\pi ,}$

${\displaystyle \operatorname {am} (u+4iK',m)=\operatorname {am} (u,m),}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}(u+2K,m)={\mathcal {E}}(u,m)+2E,}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}(u+2iK',m)={\mathcal {E}}(u,m)+2iE{\frac {K'}{K}}-{\frac {\pi i}{K}}}$

أين هو التكامل الإهليلجي الكامل من النوع الثاني مع المعلمة . ${\displaystyle E(m)}$${\displaystyle m}$

يمكن التعبير عن الدورية المزدوجة لوظائف جاكوبي الإهليلجية على النحو التالي:

${\displaystyle \operatorname {pq} (u+2\alpha K(m)+2i\beta K(1-m)\,,\,m)=(-1)^{\gamma }\operatorname {pq} (u,m)}$

حيث α و β هما أي زوج من الأعداد الصحيحة. K (⋅) هو التكامل الإهليلجي الكامل من النوع الأول، والمعروف أيضًا باسم ربع الفترة . القوة السالبة للواحد ( γ ) معطاة في الجدول التالي:

${\displaystyle \gamma }$

		س
		ج	س	ن	د
ص
	ج	0	بيتا	ألفا + بيتا	ألفا
	س	بيتا	0	ألفا	ألفا + بيتا
	ن	ألفا + بيتا	ألفا	0	بيتا
	د	ألفا	ألفا + بيتا	بيتا	0

عندما يكون العامل (−1) ^γ مساويًا لـ −1، تعبر المعادلة عن شبه دورية. وعندما تساوي الواحد، فإنها تعبر عن دورية كاملة. يمكن ملاحظة، على سبيل المثال، أنه بالنسبة للمدخلات التي تحتوي فقط على α عندما يكون α زوجيًا، يتم التعبير عن الدورية الكاملة بالمعادلة أعلاه، وللدالة فترات كاملة تبلغ 4 K ( m ) و2 iK (1 −  m ). وبالمثل، فإن الدوال التي تحتوي على مدخلات تحتوي فقط على β لها فترات كاملة تبلغ 2K (m) و4 iK (1 −  m )، بينما تلك التي تحتوي على α + β لها فترات كاملة تبلغ 4 K ( m ) و4 iK (1 −  m ).

في الرسم البياني الموجود على اليمين، والذي يرسم وحدة متكررة واحدة لكل دالة، تشير إلى الطور جنبًا إلى جنب مع موقع الأقطاب والأصفار، يمكن ملاحظة عدد من الانتظامات: معكوس كل دالة هو مقابل القطر، وله نفس حجم خلية الوحدة، مع تبادل الأقطاب والأصفار. ترتيب الأقطاب والصفر في المستطيل المساعد المكون من (0,0)، (K , 0)، (0, K ′) و ( K , K ′) يتوافق مع وصف موضع القطب والصفر الموصوف في المقدمة أعلاه. أيضًا، حجم البيضاوي الأبيض الذي يشير إلى الأقطاب هو مقياس تقريبي للقيمة المطلقة للبقايا لهذا القطب. يتم سرد بقايا الأقطاب الأقرب إلى الأصل في الشكل (أي في المستطيل المساعد) في الجدول التالي:

بقايا الدوال الإهليلجية لجاكوبي

		س
		ج	س	ن	د
ص
	ج		1	${\displaystyle -{\frac {i}{k}}}$	${\displaystyle -{\frac {1}{k}}}$
	س	${\displaystyle -{\frac {1}{k'}}}$		${\displaystyle {\frac {1}{k}}}$	${\displaystyle -{\frac {i}{k\,k'}}}$
	ن	${\displaystyle -{\frac {1}{k'}}}$	1		${\displaystyle -{\frac {i}{k'}}}$
	د	-1	1	${\displaystyle -i}$

عند الاقتضاء، فإن الأقطاب التي تم إزاحتها لأعلى بمقدار 2 K أو التي تم إزاحتها إلى اليمين بمقدار 2 K ′ لها نفس القيمة ولكن بإشارات معكوسة، في حين أن الأقطاب المقابلة قطريًا لها نفس القيمة. لاحظ أن الأقطاب والأصفار على الحواف اليسرى والسفلى تعتبر جزءًا من الخلية الوحدوية، بينما تلك الموجودة على الحواف العلوية واليمنى ليست كذلك.

يمكن في الواقع استخدام المعلومات المتعلقة بالأقطاب لتوصيف وظائف جاكوبي الإهليلجية: ^[14]

الوظيفة هي دالة إهليلجية فريدة لها أقطاب بسيطة عند (مع ) مع بقايا تأخذ القيمة عند . ${\displaystyle u\mapsto \operatorname {sn} (u,m)}$${\displaystyle 2rK+(2s+1)iK'}$${\displaystyle r,s\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle (-1)^{r}/{\sqrt {m}}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 0}$

الوظيفة هي دالة إهليلجية فريدة لها أقطاب بسيطة عند (مع ) مع بقايا تأخذ القيمة عند . ${\displaystyle u\mapsto \operatorname {cn} (u,m)}$${\displaystyle 2rK+(2s+1)iK'}$${\displaystyle r,s\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle (-1)^{r+s-1}i/{\sqrt {m}}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 0}$

الوظيفة هي دالة إهليلجية فريدة لها أقطاب بسيطة عند (مع ) مع بقايا تأخذ القيمة عند . ${\displaystyle u\mapsto \operatorname {dn} (u,m)}$${\displaystyle 2rK+(2s+1)iK'}$${\displaystyle r,s\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle (-1)^{s-1}i}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 0}$

يعطي الإعداد الدوال الإهليلجية الخطية و : ${\displaystyle m=-1}$ ${\displaystyle \operatorname {sl} }$${\displaystyle \operatorname {cl} }$

${\displaystyle \operatorname {sl} u=\operatorname {sn} (u,-1),\quad \operatorname {cl} u=\operatorname {cd} (u,-1)={\frac {\operatorname {cn} (u,-1)}{\operatorname {dn} (u,-1)}}.}$

عندما أو ، يتم تقليص دوال جاكوبي الإهليلجية إلى دوال غير إهليلجية: ${\displaystyle m=0}$${\displaystyle m=1}$

وظيفة	م = 0	م = 1
${\displaystyle \operatorname {sn} (u,m)}$	${\displaystyle \sin u}$	${\displaystyle \tanh u}$
${\displaystyle \operatorname {cn} (u,m)}$	${\displaystyle \cos u}$	${\displaystyle \operatorname {sech} u}$
${\displaystyle \operatorname {dn} (u,m)}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \operatorname {sech} u}$
${\displaystyle \operatorname {ns} (u,m)}$	${\displaystyle \csc u}$	${\displaystyle \coth u}$
${\displaystyle \operatorname {nc} (u,m)}$	${\displaystyle \sec u}$	${\displaystyle \cosh u}$
${\displaystyle \operatorname {nd} (u,m)}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \cosh u}$
${\displaystyle \operatorname {sd} (u,m)}$	${\displaystyle \sin u}$	${\displaystyle \sinh u}$
${\displaystyle \operatorname {cd} (u,m)}$	${\displaystyle \cos u}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle \operatorname {cs} (u,m)}$	${\displaystyle \cot u}$	${\displaystyle \operatorname {csch} u}$
${\displaystyle \operatorname {ds} (u,m)}$	${\displaystyle \csc u}$	${\displaystyle \operatorname {csch} u}$
${\displaystyle \operatorname {dc} (u,m)}$	${\displaystyle \sec u}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle \operatorname {sc} (u,m)}$	${\displaystyle \tan u}$	${\displaystyle \sinh u}$

بالنسبة لسعة جاكوبي، وأين هي دالة جوديرمان . ${\displaystyle \operatorname {am} (u,0)=u}$${\displaystyle \operatorname {am} (u,1)=\operatorname {gd} u}$${\displaystyle \operatorname {gd} }$

بشكل عام، إذا لم يكن أي من p,q يساوي d، فإن . ${\displaystyle \operatorname {pq} (u,1)=\operatorname {pq} (\operatorname {gd} (u),0)}$

$${\displaystyle \operatorname {sn} \left({\frac {u}{2}},m\right)=\pm {\sqrt {\frac {1-\operatorname {cn} (u,m)}{1+\operatorname {dn} (u,m)}}}}$$ $${\displaystyle \operatorname {cn} \left({\frac {u}{2}},m\right)=\pm {\sqrt {\frac {\operatorname {cn} (u,m)+\operatorname {dn} (u,m)}{1+\operatorname {dn} (u,m)}}}}$$ $${\displaystyle \operatorname {cn} \left({\frac {u}{2}},m\right)=\pm {\sqrt {\frac {m'+\operatorname {dn} (u,m)+m\operatorname {cn} (u,m)}{1+\operatorname {dn} (u,m)}}}}$$

صيغة نصف ك

$${\displaystyle \operatorname {sn} \left[{\tfrac {1}{2}}K(k);k\right]={\frac {\sqrt {2}}{{\sqrt {1+k}}+{\sqrt {1-k}}}}}$$

$${\displaystyle \operatorname {cn} \left[{\tfrac {1}{2}}K(k);k\right]={\frac {{\sqrt {2}}\,{\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}}{{\sqrt {1+k}}+{\sqrt {1-k}}}}}$$

$${\displaystyle \operatorname {dn} \left[{\tfrac {1}{2}}K(k);k\right]={\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}}$$

صيغة ك الثالثة

${\displaystyle \operatorname {sn} \left[{\frac {1}{3}}K\left({\frac {x^{3}}{{\sqrt {x^{6}+1}}+1}}\right);{\frac {x^{3}}{{\sqrt {x^{6}+1}}+1}}\right]={\frac {{\sqrt {2{\sqrt {x^{4}-x^{2}+1}}-x^{2}+2}}+{\sqrt {x^{2}+1}}-1}{{\sqrt {2{\sqrt {x^{4}-x^{2}+1}}-x^{2}+2}}+{\sqrt {x^{2}+1}}+1}}}$

للحصول على x ³ ، نأخذ ظلًا يساوي ضعف الظل العكسي للمعامل.

تؤدي هذه المعادلة أيضًا إلى قيمة sn للثلث من K :

${\displaystyle k^{2}s^{4}-2k^{2}s^{3}+2s-1=0}$

${\displaystyle s=\operatorname {sn} \left[{\tfrac {1}{3}}K(k);k\right]}$

تؤدي هذه المعادلات إلى القيم الأخرى لوظائف جاكوبي:

${\displaystyle \operatorname {cn} \left[{\tfrac {2}{3}}K(k);k\right]=1-\operatorname {sn} \left[{\tfrac {1}{3}}K(k);k\right]}$

${\displaystyle \operatorname {dn} \left[{\tfrac {2}{3}}K(k);k\right]=1/\operatorname {sn} \left[{\tfrac {1}{3}}K(k);k\right]-1}$

صيغة ك الخامسة

المعادلة التالية لها الحل التالي:

${\displaystyle 4k^{2}x^{6}+8k^{2}x^{5}+2(1-k^{2})^{2}x-(1-k^{2})^{2}=0}$

${\displaystyle x={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}k^{2}\operatorname {sn} \left[{\tfrac {2}{5}}K(k);k\right]^{2}\operatorname {sn} \left[{\tfrac {4}{5}}K(k);k\right]^{2}={\frac {\operatorname {sn} \left[{\frac {4}{5}}K(k);k\right]^{2}-\operatorname {sn} \left[{\frac {2}{5}}K(k);k\right]^{2}}{2\operatorname {sn} \left[{\frac {2}{5}}K(k);k\right]\operatorname {sn} \left[{\frac {4}{5}}K(k);k\right]}}}$

للحصول على قيم sn، نضع الحل x في التعبيرات التالية:

${\displaystyle \operatorname {sn} \left[{\tfrac {2}{5}}K(k);k\right]=(1+k^{2})^{-1/2}{\sqrt {2(1-x-x^{2})(x^{2}+1-x{\sqrt {x^{2}+1}})}}}$

${\displaystyle \operatorname {sn} \left[{\tfrac {4}{5}}K(k);k\right]=(1+k^{2})^{-1/2}{\sqrt {2(1-x-x^{2})(x^{2}+1+x{\sqrt {x^{2}+1}})}}}$

يمكن استخلاص العلاقات بين مربعات الدوال من علاقتين أساسيتين (مع حذف الوسيطات ( u , m )): حيث m + m'  = 1. يؤدي الضرب في أي دالة من النموذج nq إلى معادلات أكثر عمومية: $${\displaystyle \operatorname {cn} ^{2}+\operatorname {sn} ^{2}=1}$$ $${\displaystyle \operatorname {cn} ^{2}+m'\operatorname {sn} ^{2}=\operatorname {dn} ^{2}}$$

$${\displaystyle \operatorname {cq} ^{2}+\operatorname {sq} ^{2}=\operatorname {nq} ^{2}}$$ $${\displaystyle \operatorname {cq} ^{2}{}+m'\operatorname {sq} ^{2}=\operatorname {dq} ^{2}}$$

مع q  =  d ، تتوافق هذه مثلثيًا مع معادلات الدائرة الوحدوية ( ) والقطع الناقص الوحدوي ( )، مع x  =  cd و y  =  sd و r  =  nd . باستخدام قاعدة الضرب، يمكن استنباط علاقات أخرى. على سبيل المثال: ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}$${\displaystyle x^{2}{}+m'y^{2}=1}$

$${\displaystyle -\operatorname {dn} ^{2}{}+m'=-m\operatorname {cn} ^{2}=m\operatorname {sn} ^{2}-m}$$

$${\displaystyle -m'\operatorname {nd} ^{2}{}+m'=-mm'\operatorname {sd} ^{2}=m\operatorname {cd} ^{2}-m}$$

$${\displaystyle m'\operatorname {sc} ^{2}{}+m'=m'\operatorname {nc} ^{2}=\operatorname {dc} ^{2}-m}$$

$${\displaystyle \operatorname {cs} ^{2}{}+m'=\operatorname {ds} ^{2}=\operatorname {ns} ^{2}-m}$$

الوظائف تلبي علاقات المربعين (الاعتماد على m مكبوت) $${\displaystyle \operatorname {cn} ^{2}(u)+\operatorname {sn} ^{2}(u)=1,\,}$$

$${\displaystyle \operatorname {dn} ^{2}(u)+m\operatorname {sn} ^{2}(u)=1.\,}$$

ومن هذا نرى أن (cn, sn, dn) تحدد معلمة منحنى إهليلجي يمثل تقاطع المربعين المعرفين بالمعادلتين أعلاه. يمكننا الآن تحديد قانون المجموعة للنقاط على هذا المنحنى من خلال صيغ الجمع لوظائف جاكوبي ^[3]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cn} (x+y)&={\operatorname {cn} (x)\operatorname {cn} (y)-\operatorname {sn} (x)\operatorname {sn} (y)\operatorname {dn} (x)\operatorname {dn} (y) \over {1-m\operatorname {sn} ^{2}(x)\operatorname {sn} ^{2}(y)}},\\[8pt]\operatorname {sn} (x+y)&={\operatorname {sn} (x)\operatorname {cn} (y)\operatorname {dn} (y)+\operatorname {sn} (y)\operatorname {cn} (x)\operatorname {dn} (x) \over {1-m\operatorname {sn} ^{2}(x)\operatorname {sn} ^{2}(y)}},\\[8pt]\operatorname {dn} (x+y)&={\operatorname {dn} (x)\operatorname {dn} (y)-m\operatorname {sn} (x)\operatorname {sn} (y)\operatorname {cn} (x)\operatorname {cn} (y) \over {1-m\operatorname {sn} ^{2}(x)\operatorname {sn} ^{2}(y)}}.\end{aligned}}}$$

تلبي دالات جاكوبي إبسيلون و zn نظرية الإضافة شبهية: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {E}}(x+y,m)&={\mathcal {E}}(x,m)+{\mathcal {E}}(y,m)-m\operatorname {sn} (x,m)\operatorname {sn} (y,m)\operatorname {sn} (x+y,m),\\\operatorname {zn} (x+y,m)&=\operatorname {zn} (x,m)+\operatorname {zn} (y,m)-m\operatorname {sn} (x,m)\operatorname {sn} (y,m)\operatorname {sn} (x+y,m).\end{aligned}}}$$

يمكن استنباط صيغ الزاوية المزدوجة بسهولة من المعادلات أعلاه عن طريق وضع x  =  y . ^[3] صيغ نصف الزاوية ^{[11] [3]} كلها من الشكل:

$${\displaystyle \operatorname {pq} ({\tfrac {1}{2}}u,m)^{2}=f_{\mathrm {p} }/f_{\mathrm {q} }}$$

أين: $${\displaystyle f_{\mathrm {c} }=\operatorname {cn} (u,m)+\operatorname {dn} (u,m)}$$ $${\displaystyle f_{\mathrm {s} }=1-\operatorname {cn} (u,m)}$$ $${\displaystyle f_{\mathrm {n} }=1+\operatorname {dn} (u,m)}$$ $${\displaystyle f_{\mathrm {d} }=(1+\operatorname {dn} (u,m))-m(1-\operatorname {cn} (u,m))}$$

المشتقات للدوال الإهليلجية الأساسية الثلاث لجاكوبي (بالنسبة للمتغير الأول، مع الثابت ) هي: ${\displaystyle m}$$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {sn} (z)=\operatorname {cn} (z)\operatorname {dn} (z),}$$ $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {cn} (z)=-\operatorname {sn} (z)\operatorname {dn} (z),}$$ $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {dn} (z)=-m\operatorname {sn} (z)\operatorname {cn} (z).}$$

يمكن استخدامها لاستنتاج مشتقات جميع الوظائف الأخرى كما هو موضح في الجدول أدناه (تم حذف الوسائط (u,m)):

المشتقات${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} u}}\operatorname {pq} (u,m)}$

		س
		ج	س	ن	د
ص
	ج	0	-ds ns	-dn sn	-م' و sd
	س	العاصمة الشمالية	0	سي إن دي إن	قرص مضغوط
	ن	تيار مستمر	-cs ds	0	م سي دي اس دي
	د	م'ن ن س س	-cs ns	- م cn sn	0

أيضًا

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}{\mathcal {E}}(z)=\operatorname {dn} (z)^{2}.}$

وباستخدام نظريات الجمع أعلاه وبالنسبة لـ m معينة حيث 0 <  m  < 1 فإن الدوال الرئيسية هي حلول للمعادلات التفاضلية العادية غير الخطية التالية :

• ${\displaystyle \operatorname {am} (x)}$يحل المعادلات التفاضلية و${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+m\sin(y)\cos(y)=0}$

${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}=1-m\sin(y)^{2}}$(لأنه ليس على فرع مقطوع)${\displaystyle x}$

• ${\displaystyle \operatorname {sn} (x)}$يحل المعادلات التفاضلية و${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+(1+m)y-2my^{3}=0}$${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}=(1-y^{2})(1-my^{2})}$
• ${\displaystyle \operatorname {cn} (x)}$يحل المعادلات التفاضلية و${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+(1-2m)y+2my^{3}=0}$${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}=(1-y^{2})(1-m+my^{2})}$
• ${\displaystyle \operatorname {dn} (x)}$يحل المعادلات التفاضلية و${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}-(2-m)y+2y^{3}=0}$${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}=(y^{2}-1)(1-m-y^{2})}$

الدالة التي تحل بالضبط معادلة البندول التفاضلية ،

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}}+c\sin \theta =0,}$

مع زاوية أولية وسرعة زاوية أولية تساوي صفرًا ${\displaystyle \theta _{0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta &=2\arcsin({\sqrt {m}}\operatorname {cd} ({\sqrt {c}}t,m))\\&=2\operatorname {am} \left({\frac {1+{\sqrt {m}}}{2}}({\sqrt {c}}t+K),{\frac {4{\sqrt {m}}}{(1+{\sqrt {m}})^{2}}}\right)-2\operatorname {am} \left({\frac {1+{\sqrt {m}}}{2}}({\sqrt {c}}t-K),{\frac {4{\sqrt {m}}}{(1+{\sqrt {m}})^{2}}}\right)-\pi \end{aligned}}}$

أين ، و . ${\displaystyle m=\sin(\theta _{0}/2)^{2}}$${\displaystyle c>0}$${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$

مع إصلاح الحجة الأولى ، تصبح المشتقات بالنسبة للمتغير الثاني كما يلي: ${\displaystyle z}$${\displaystyle m}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} m}}\operatorname {sn} (z)&={\frac {\operatorname {dn} (z)\operatorname {cn} (z)((1-m)z-{\mathcal {E}}(z)+m\operatorname {cd} (z)\operatorname {sn} (z))}{2m(1-m)}},\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} m}}\operatorname {cn} (z)&={\frac {\operatorname {sn} (z)\operatorname {dn} (z)((m-1)z+{\mathcal {E}}(z)-m\operatorname {sn} (z)\operatorname {cd} (z))}{2m(1-m)}},\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} m}}\operatorname {dn} (z)&={\frac {\operatorname {sn} (z)\operatorname {cn} (z)((m-1)z+{\mathcal {E}}(z)-\operatorname {dn} (z)\operatorname {sc} (z))}{2(1-m)}},\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} m}}{\mathcal {E}}(z)&={\frac {\operatorname {cn} (z)(\operatorname {sn} (z)\operatorname {dn} (z)-\operatorname {cn} (z){\mathcal {E}}(z))}{2(1-m)}}-{\frac {z}{2}}\operatorname {sn} (z)^{2}.\end{aligned}}}$

ليكن الاسم هو ، وليكن . إذن فإن الدوال لها توسعات مثل متسلسلة لامبرت${\displaystyle q=\exp(-\pi K'(m)/K(m))=e^{i\pi \tau }}$${\displaystyle \operatorname {Im} (\tau )>0}$${\displaystyle m=k^{2}}$${\displaystyle v=\pi u/(2K(m))}$

${\displaystyle \operatorname {am} (u,m)={\frac {\pi u}{2K(m)}}+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}}{n(1+q^{2n})}}\sin(2nv),}$

${\displaystyle \operatorname {sn} (u,m)={\frac {2\pi }{kK(m)}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n+1/2}}{1-q^{2n+1}}}\sin((2n+1)v),}$

${\displaystyle \operatorname {cn} (u,m)={\frac {2\pi }{kK(m)}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n+1/2}}{1+q^{2n+1}}}\cos((2n+1)v),}$

${\displaystyle \operatorname {dn} (u,m)={\frac {\pi }{2K(m)}}+{\frac {2\pi }{K(m)}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1+q^{2n}}}\cos(2nv),}$

${\displaystyle \operatorname {zn} (u,m)={\frac {2\pi }{K(m)}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1-q^{2n}}}\sin(2nv)}$

متى${\displaystyle \left|\operatorname {Im} (u/K)\right|<\operatorname {Im} (iK'/K).}$

تم نشر توسعات سلسلة القوى ثنائية المتغيرات بواسطة Schett. ^[15]

توفر نسب دالة ثيتا طريقة فعّالة لحساب دوال جاكوبي الإهليلجية. هناك طريقة بديلة، تعتمد على المتوسط ​​الحسابي الهندسي وتحويلات لاندن : ^[6]

تهيئة

${\displaystyle a_{0}=1,\,b_{0}={\sqrt {1-m}}}$

أين . حدد ${\displaystyle 0<m<1}$

${\displaystyle a_{n}={\frac {a_{n-1}+b_{n-1}}{2}},\,b_{n}={\sqrt {a_{n-1}b_{n-1}}},\,c_{n}={\frac {a_{n-1}-b_{n-1}}{2}}}$

أين . ثم حدد ${\displaystyle n\geq 1}$

${\displaystyle \varphi _{N}=2^{N}a_{N}u}$

بالنسبة لـ و ثابت . إذا ${\displaystyle u\in \mathbb {R} }$${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle \varphi _{n-1}={\frac {1}{2}}\left(\varphi _{n}+\arcsin \left({\frac {c_{n}}{a_{n}}}\sin \varphi _{n}\right)\right)}$

بالنسبة لـ ، إذن ${\displaystyle n\geq 1}$

${\displaystyle \operatorname {am} (u,m)=\varphi _{0},\quad \operatorname {zn} (u,m)=\sum _{n=1}^{N}c_{n}\sin \varphi _{n}}$

كما هو الحال مع . وهذا ملحوظ بسبب تقاربه السريع. ومن السهل بعد ذلك حساب جميع الدوال الإهليلجية لجاكوبي من سعة جاكوبي على الخط الحقيقي. ^{[ملاحظة 2]}${\displaystyle N\to \infty }$${\displaystyle \operatorname {am} }$

بالتزامن مع نظريات الجمع للدوال الإهليلجية (التي تنطبق على الأعداد المركبة بشكل عام) وتحويلات جاكوبي، يمكن استخدام طريقة الحساب الموضحة أعلاه لحساب جميع دوال جاكوبي الإهليلجية في المستوى المركب بأكمله.

هناك طريقة أخرى للحساب السريع لوظائف جاكوبي الإهليلجية عبر المتوسط ​​الحسابي والهندسي، وتجنب حساب سعة جاكوبي، ويرجع الفضل في ذلك إلى هربرت إي. سالزر: ^[16]

يترك

${\displaystyle 0\leq m\leq 1,\,0\leq u\leq K(m),\,a_{0}=1,\,b_{0}={\sqrt {1-m}},}$

${\displaystyle a_{n+1}={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}},\,b_{n+1}={\sqrt {a_{n}b_{n}}},\,c_{n+1}={\frac {a_{n}-b_{n}}{2}}.}$

تعيين

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{N}&={\frac {a_{N}}{\sin(a_{N}u)}}\\y_{N-1}&=y_{N}+{\frac {a_{N}c_{N}}{y_{N}}}\\y_{N-2}&=y_{N-1}+{\frac {a_{N-1}c_{N-1}}{y_{N-1}}}\\\vdots &=\vdots \\y_{0}&=y_{1}+{\frac {m}{4y_{1}}}.\end{aligned}}}$

ثم

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sn} (u,m)&={\frac {1}{y_{0}}}\\\operatorname {cn} (u,m)&={\sqrt {1-{\frac {1}{y_{0}^{2}}}}}\\\operatorname {dn} (u,m)&={\sqrt {1-{\frac {m}{y_{0}^{2}}}}}\end{aligned}}}$

مثل . ${\displaystyle N\to \infty }$

ومع ذلك، يتم عرض طريقة أخرى للحساب السريع المتقارب لدالة الجيب الإهليلجي لجاكوبي الموجودة في الأدبيات أدناه. ^[17]

يترك:

${\displaystyle {\begin{aligned}&a_{0}=u&b_{0}={\frac {1-{\sqrt {1-m}}}{1+{\sqrt {1-m}}}}\\&a_{1}={\frac {a_{0}}{1+b_{0}}}&b_{1}={\frac {1-{\sqrt {1-b_{0}^{2}}}}{1+{\sqrt {1-b_{0}^{2}}}}}\\&\vdots =\vdots &\vdots =\vdots \\&a_{n}={\frac {a_{n-1}}{1+b_{n-1}}}&b_{n}={\frac {1-{\sqrt {1-b_{n-1}^{2}}}}{1+{\sqrt {1-b_{n-1}^{2}}}}}\\\end{aligned}}}$

ثم قم بتعيين:

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{n+1}&=\sin(a_{n})\\y_{n}&={\frac {y_{n+1}(1+b_{n})}{1+y_{n+1}^{2}b_{n}}}\\\vdots &=\vdots \\y_{0}&={\frac {y_{1}(1+b_{0})}{1+y_{1}^{2}b_{0}}}\\\end{aligned}}}$

ثم:

${\displaystyle \operatorname {sn} (u,m)=y_{0}{\text{ as }}n\rightarrow \infty }$.

يمكن توسيع الدوال الإهليلجية لجاكوبي من حيث الدوال الزائدية. عندما تكون قريبة من الوحدة، بحيث يمكن إهمال القوى الأعلى لـ ، يكون لدينا: ^{[18] [19]}${\displaystyle m}$${\displaystyle m'^{2}}$${\displaystyle m'}$

• sn( u ):$${\displaystyle \operatorname {sn} (u,m)\approx \tanh(u)+{\frac {1}{4}}m'(\sinh(u)\cosh(u)-u)\operatorname {sech} ^{2}(u).}$$
• cn( u ):$${\displaystyle \operatorname {cn} (u,m)\approx \operatorname {sech} (u)-{\frac {1}{4}}m'(\sinh(u)\cosh(u)-u)\tanh(u)\operatorname {sech} (u).}$$
• دن( و ):$${\displaystyle \operatorname {dn} (u,m)\approx \operatorname {sech} (u)+{\frac {1}{4}}m'(\sinh(u)\cosh(u)+u)\tanh(u)\operatorname {sech} (u).}$$

بالنسبة لسعة جاكوبي، $${\displaystyle \operatorname {am} (u,m)\approx \operatorname {gd} (u)+{\frac {1}{4}}m'(\sinh(u)\cosh(u)-u)\operatorname {sech} (u).}$$

بافتراض الأعداد الحقيقية مع و الاسم ، مع معامل القطع الناقص . إذا ، حيث هو التكامل القطع الناقص الكامل من النوع الأول ، فإن التوسع المستمر للكسر التالي ^[20]${\displaystyle a,p}$${\displaystyle 0<a<p}$ ${\displaystyle q=e^{\pi i\tau }}$${\displaystyle \operatorname {Im} (\tau )>0}$ ${\textstyle k(\tau )={\sqrt {1-k'(\tau )^{2}}}=(\vartheta _{10}(0;\tau )/\vartheta _{00}(0;\tau ))^{2}}$${\displaystyle K[\tau ]=K(k(\tau ))}$${\displaystyle K(x)=\pi /2\cdot {}_{2}F_{1}(1/2,1/2;1;x^{2})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {{\textrm {dn}}\left((p/2-a)\tau K\left[{\frac {p\tau }{2}}\right];k\left({\frac {p\tau }{2}}\right)\right)}{\sqrt {k'\left({\frac {p\tau }{2}}\right)}}}={\frac {\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{p/2n^{2}+(p/2-a)n}}{\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{p/2n^{2}+(p/2-a)n}}}\\[4pt]={}&-1+{\frac {2}{1-{}}}\,{\frac {q^{a}+q^{p-a}}{1-q^{p}+{}}}\,{\frac {(q^{a}+q^{2p-a})(q^{a+p}+q^{p-a})}{1-q^{3p}+{}}}\,{\frac {q^{p}(q^{a}+q^{3p-a})(q^{a+2p}+q^{p-a})}{1-q^{5p}+{}}}\,{\frac {q^{2p}(q^{a}+q^{4p-a})(q^{a+3p}+q^{p-a})}{1-q^{7p}+{}}}\cdots \end{aligned}}}$

الكسور المستمرة المعروفة التي تتضمن ومع معامل القطع الناقص هي ${\displaystyle {\textrm {sn}}(t),{\textrm {cn}}(t)}$${\displaystyle {\textrm {dn}}(t)}$${\displaystyle k}$

بالنسبة لـ : [ ^21] ص 374 ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$${\displaystyle |k|<1}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\textrm {sn}}(t)e^{-tz}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{1^{2}(1+k^{2})+z^{2}-{}}}\,{\frac {1\cdot 2^{2}\cdot 3k^{2}}{3^{2}(1+k^{2})+z^{2}-{}}}\,{\frac {3\cdot 4^{2}\cdot 5k^{2}}{5^{2}(1+k^{2})+z^{2}-{}}}\cdots }$

بالنسبة لـ : [ ^21] ص 375 ${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}}$${\displaystyle |k|<1}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\textrm {sn}}^{2}(t)e^{-tz}\,\mathrm {d} t={\frac {2z^{-1}}{2^{2}(1+k^{2})+z^{2}-{}}}\,{\frac {2\cdot 3^{2}\cdot 4k^{2}}{4^{2}(1+k^{2})+z^{2}-{}}}\,{\frac {4\cdot 5^{2}\cdot 6k^{2}}{6^{2}(1+k^{2})+z^{2}-{}}}\cdots }$

بالنسبة لـ : ^[22] ص 220 ${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}}$${\displaystyle |k|<1}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\textrm {cn}}(t)e^{-tz}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{z+{}}}\,{\frac {1^{2}}{z+{}}}\,{\frac {2^{2}k^{2}}{z+{}}}\,{\frac {3^{2}}{z+{}}}\,{\frac {4^{2}k^{2}}{z+{}}}\,{\frac {5^{2}}{z+{}}}\cdots }$

بالنسبة لـ : [ ^21] ص 374 ${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}}$${\displaystyle |k|<1}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\textrm {dn}}(t)e^{-tz}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{z+{}}}\,{\frac {1^{2}k^{2}}{z+{}}}\,{\frac {2^{2}}{z+{}}}\,{\frac {3^{2}k^{2}}{z+{}}}\,{\frac {4^{2}}{z+{}}}\,{\frac {5^{2}k^{2}}{z+{}}}\cdots }$

بالنسبة لـ : [ ^21] ص 375 ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$${\displaystyle |k|<1}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {{\textrm {sn}}(t){\textrm {cn}}(t)}{{\textrm {dn}}(t)}}e^{-tz}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{2\cdot 1^{2}(2-k^{2})+z^{2}-{}}}\,{\frac {1\cdot 2^{2}\cdot 3k^{4}}{2\cdot 3^{2}(2-k^{2})+z^{2}-{}}}\,{\frac {3\cdot 4^{2}\cdot 5k^{4}}{2\cdot 5^{2}(2-k^{2})+z^{2}-{}}}\cdots }$

يمكن تعريف معكوسات الدوال الإهليلجية لجاكوبي على نحو مماثل للدوال المثلثية العكسية ؛ إذا ، . ويمكن تمثيلها على هيئة تكاملات إهليلجية، ^{[23] [24] [25]} وتم العثور على تمثيلات لسلاسل القوى. ^{[26] [3]}${\displaystyle x=\operatorname {sn} (\xi ,m)}$${\displaystyle \xi =\operatorname {arcsn} (x,m)}$

• ${\displaystyle \operatorname {arcsn} (x,m)=\int _{0}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1-t^{2})(1-mt^{2})}}}}$
• ${\displaystyle \operatorname {arccn} (x,m)=\int _{x}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1-t^{2})(1-m+mt^{2})}}}}$
• ${\displaystyle \operatorname {arcdn} (x,m)=\int _{x}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1-t^{2})(t^{2}+m-1)}}}}$

إسقاط بيرس الخماسي هو إسقاط خريطة يعتمد على الدوال الإهليلجية لجاكوبيان.

• المنحنى الإهليلجي
• رسم خريطة شوارتز-كريستوفل
• شكل كارلسون المتماثل
• دالة جاكوبي ثيتا
• دالة رامانوجان ثيتا
• دوال ديكسون الإهليلجية
• دوال آبل الإهليلجية
• دالة ويرشتراس الإهليلجية
• الدوال الإهليلجية

• أبراموفيتز، ميلتون ؛ ستيجون، إيرين آن ، محرران (1983) [يونيو 1964]. "الفصل 16". دليل الدوال الرياضية مع الصيغ والرسوم البيانية والجداول الرياضية . سلسلة الرياضيات التطبيقية. المجلد 55 (الطبعة التاسعة مع تصحيحات إضافية للطبعة الأصلية العاشرة مع التصحيحات (ديسمبر 1972)؛ الطبعة الأولى). واشنطن العاصمة؛ نيويورك: وزارة التجارة الأمريكية، المكتب الوطني للمعايير؛ منشورات دوفر. ص 569. رقم ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. MR  0167642. LCCN  65-12253.
• NI Akhiezer ، عناصر نظرية الدوال الإهليلجية (1970) موسكو، مترجم إلى الإنجليزية تحت عنوان AMS Translations of Mathematical Monographs المجلد 79 (1990) AMS، رود آيلاند ISBN 0-8218-4532-2 
• AC Dixon الخصائص الأولية للدوال الإهليلجية، مع الأمثلة (Macmillan، 1894)
• ألفريد جورج جرينهيل تطبيقات الدوال الإهليلجية (لندن، نيويورك، ماكميلان، 1892)
• إدموند ت. ويتاكر، جورج نيفيل واتسون: دورة في التحليل الحديث . الطبعة الرابعة. كامبريدج، إنجلترا: مطبعة جامعة كامبريدج، 1990. ص 469-470.
• محاضرات هـ. هانكوك حول نظرية الدوال الإهليلجية (نيويورك، ج. وايلي وأبناؤه، 1910)
• جاكوبي، CGJ (1829)، Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum (باللاتينية)، كونيغسبرغ، ISBN 978-1-108-05200-9أعيد طبعه بواسطة مطبعة جامعة كامبريدج 2012
• Reinhardt, William P.; Walker, Peter L. (2010), "Jacobian Elliptic Functions", in Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5السيد 2723248 ​.
• (بالفرنسية) P. Appell وE. Lacour Principes de la théorie des fonctions elliptiques et apps (باريس، غوتييه فيلار، 1897)
• (بالفرنسية) GH Halphen Traité des fonctions elliptiques et de leurs apps (المجلد 1) (باريس، غوتييه فيلار، 1886-1891)
• (بالفرنسية) GH Halphen Traité des fonctions elliptiques et de leurs apps (المجلد 2) (باريس، غوتييه فيلار، 1886-1891)
• (بالفرنسية) GH Halphen Traité des fonctions elliptiques et de leurs apps (المجلد 3) (باريس، غوتييه فيلار، 1886-1891)
• (بالفرنسية) J. Tannery وJ. Molk Elements de la théorie des fonctions elliptiques. المجلد الأول، المقدمة. حساب التفاضل. غضب شديد (باريس: غوتييه فيلار وآخرون، 1893)
• (بالفرنسية) J. Tannery وJ. Molk Elements de la théorie des fonctions elliptiques. المجلد الثاني، حساب التفاضل. الجزء الثاني (باريس: غوتييه فيلار وآخرون، 1893)
• (بالفرنسية) J. Tannery وJ. Molk Elements de la théorie des fonctions elliptiques. المجلد الثالث، حساب التكامل. أنا جزء من النظريات العامة. الانقلاب (باريس: غوتييه فيلار وآخرون، 1893)
• (بالفرنسية) J. Tannery وJ. Molk Elements de la théorie des fonctions elliptiques. المجلد الرابع، حساب التكامل. الجزء الثاني، التطبيقات (باريس: Gauthier-Villars et fils، 1893)
• (بالفرنسية) سي. بريوت وجي سي بوكيه Théorie des fonctions elliptiques (باريس: غوتييه فيلار، 1875)
• توشيو فوكوشيما: الحساب السريع للتكاملات الإهليلجية الكاملة والدوال الإهليلجية الجاكوبية . 2012، المرصد الفلكي الوطني في اليابان (国立天文台)
• لوان، بلانش وهورينشتاين: حول عكس سلسلة q المرتبطة بالوظائف الإهليلجية لجاكوبيان . مجلة الرياضيات الأمريكية، العدد 48، 1942
• H. Ferguson, DE Nielsen, G. Cook: صيغة تقسيم لمعاملات الأعداد الصحيحة لدالة ثيتا . رياضيات الحوسبة، المجلد 29، العدد 131، يوليو 1975
• JD Fenton وRS Gardiner-Garden: طرق سريعة التقارب لتقييم التكاملات الإهليلجية والدوال ثيتا والإهليلجية . J. Austral. Math. Soc. (Series B) 24, 1982, S. 57
• أدولف كينسر: بحث جديد عن نظرية الوظائف الإهليلجية . جي رين يو. angew. الرياضيات. 157، 1927. الصفحات 209 – 218

• "الدوال الإهليلجية لجاكوبي"، موسوعة الرياضيات ، EMS Press ، 2001 [1994]
• وايسشتاين، إريك دبليو. "وظائف جاكوبي الإهليلجية". MathWorld .