إحصائيات كانياداكيس

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 199 صور
الموسوعة الحرة

إحصاءات كانياداكيس (المعروفة أيضًا باسم إحصاءات كابا ) هي تعميم لميكانيكا بولتزمان-جيبس الإحصائية ، [ 1 ] وتستند إلى تعميم نسبي [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] لإنتروبيا بولتزمان-جيبس-شانون الكلاسيكية (المعروفة باسم إنتروبيا كانياداكيس أو إنتروبيا كابا). وقد قدمها الفيزيائي اليوناني الإيطالي جورجيو كانياداكيس عام 2001، [ 5 ] وتحافظ ميكانيكا كابا الإحصائية على السمات الرئيسية للميكانيكا الإحصائية العادية ، وقد استقطبت اهتمام العديد من الباحثين في السنوات الأخيرة. ويُعتبر توزيع كابا حاليًا أحد أكثر المرشحين جدوى لتفسير الأنظمة الفيزيائية المعقدة ، [ 6 ] [ 7 ] سواء كانت طبيعية أو اصطناعية، والتي تتضمن توزيعات إحصائية ذات ذيول أسية . تم اعتماد إحصاءات كانياداكيس بنجاح في وصف مجموعة متنوعة من الأنظمة في مجالات علم الكونيات ، [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] والفيزياء الفلكية ، [ 11 ] [ 12 ] والمادة المكثفة ، والفيزياء الكمية ، [ 13 ] [ 14 ] وعلم الزلازل ، [ 15 ] [ 16 ] وعلم الجينوم ، [ 17 ] [ 18 ] والاقتصاد ، [ 19 ] [ 20 ] وعلم الأوبئة ، [ 21 ] وغيرها الكثير.

الشكلية الرياضية

يتم توليد الصيغة الرياضية لإحصاءات كابا بواسطة الدوال المشوهة كابا، وخاصة دالة كابا الأسية.

دالة κ-الأسية

رسم بياني للدالة الأسية κخبرةκ⁡(x){\displaystyle \exp _{\kappa }(x)}لثلاث قيم مختلفة لـ κ. المنحنى الأسود المتصل يمثل الدالة الأسية العاديةخبرة⁡(x){\displaystyle \exp(x)}(κ=0{\displaystyle \kappa =0}).

دالة كانياداكيس الأسية (أو دالة كابا الأسية) هي تعميم ذو معلمة واحدة للدالة الأسية، وتعطى بالصيغة التالية:

خبرةκ⁡(x)={(1+κ2x2+κx)1κلو 0<κ<1.خبرة⁡(x)لو κ=0،{\displaystyle \exp _{\kappa }(x)={\begin{cases}{\Big (}{\sqrt {1+\kappa ^{2}x^{2}}}+\kappa x{\Big )}^{\frac {1}{\kappa }}&{\text{if }}0<\kappa <1.\\[6pt]\exp(x)&{\text{if }}\kappa =0,\\[8pt]\end{cases}}} معخبرة-κ⁡(x)=خبرةκ⁡(x){\displaystyle \exp _{-\kappa }(x)=\exp _{\kappa }(x)}.

الدالة الأسية κ لـ0<κ<1{\displaystyle 0<\kappa <1}ويمكن كتابتها أيضاً بالشكل التالي:

خبرةκ⁡(x)=خبرة⁡(1κأرسينه(κx)).{\displaystyle \exp _{\kappa }(x)=\exp {\Bigg (}{\frac {1}{\kappa }}{\text{arsinh}}(\kappa x){\Bigg )}.} الحدود الخمسة الأولى من متسلسلة تايلور لـخبرةκ⁡(x){\displaystyle \exp _{\kappa }(x)}يتم الحصول عليها من خلال: خبرةκ⁡(x)=1+x+x22+(1-κ2)x33!+(1-4κ2)x44!+⋯{\displaystyle \exp _{\kappa }(x)=1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+(1-\kappa ^{2}){\frac {x^{3}}{3!}}+(1-4\kappa ^{2}){\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots } حيث تكون الثلاثة الأولى مماثلة للدالة الأسية النموذجية .

الخصائص الأساسية

تتمتع الدالة الأسية من النوع κ بالخصائص التالية للدالة الأسية: خبرةκ⁡(x)∈ج∞(R){\displaystyle \exp _{\kappa }(x)\in \mathbb {C} ^{\infty }(\mathbb {R} )}ددxخبرةκ⁡(x)>0{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\exp _{\kappa }(x)>0}د2دx2خبرةκ⁡(x)>0{\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\exp _{\kappa }(x)>0}خبرةκ⁡(-∞)=0+{\displaystyle \exp _{\kappa }(-\infty )=0^{+}}خبرةκ⁡(0)=1{\displaystyle \exp _{\kappa }(0)=1}خبرةκ⁡(+∞)=+∞{\displaystyle \exp _{\kappa }(+\infty )=+\infty }خبرةκ⁡(x)خبرةκ⁡(-x)=-1{\displaystyle \exp _{\kappa }(x)\exp _{\kappa }(-x)=-1} بالنسبة للعدد الحقيقير{\displaystyle r}، يتميز الأسي κ بالخاصية التالية: [خبرةκ⁡(x)]ر=خبرةκ/ر⁡(رx).{\displaystyle {\Big [}\exp _{\kappa }(x){\Big ]}^{r}=\exp _{\kappa /r}(rx).}

دالة اللوغاريتم κ

رسم بياني للدالة اللوغاريتمية κlnκ⁡(x){\displaystyle \ln _{\kappa }(x)}لثلاث قيم مختلفة لـ κ. المنحنى الأسود المتصل يمثل الدالة اللوغاريتمية العاديةln⁡(x){\displaystyle \ln(x)}(κ=0{\displaystyle \kappa =0}).

يُعد لوغاريتم كانياداكيس (أو لوغاريتم كابا) تعميمًا نسبيًا ذا مُعامل واحد لدالة اللوغاريتم العادية، lnκ⁡(x)={xκ-x-κ2κلو 0<κ<1،ln⁡(x)لو κ=0،{\displaystyle \ln _{\kappa }(x)={\begin{cases}{\frac {x^{\kappa }-x^{-\kappa }}{2\kappa }}&{\text{if }}0<\kappa <1,\\[8pt]\ln(x)&{\text{if }}\kappa =0,\\[8pt]\end{cases}}} معln-κ⁡(x)=lnκ⁡(x){\displaystyle \ln _{-\kappa }(x)=\ln _{\kappa }(x)}، وهي الدالة العكسية للدالة الأسية κ:

lnκ⁡(خبرةκ⁡(x))=خبرةκ⁡(lnκ⁡(x))=x.{\displaystyle \ln _{\kappa }\left(\exp _{\kappa }(x)\right)=\exp _{\kappa }\left(\ln _{\kappa }(x)\right)=x.} اللوغاريتم κ لـ0<κ<1{\displaystyle 0<\kappa <1}ويمكن كتابتها أيضاً بالشكل التالي:

lnκ⁡(x)=1κسينه⁡(κln⁡(x)){\displaystyle \ln _{\kappa }(x)={\frac {1}{\kappa }}\sinh {\Big (}\kappa \ln(x){\Big )}}

الحدود الثلاثة الأولى من متسلسلة تايلور لـlnκ⁡(x){\displaystyle \ln _{\kappa }(x)}يتم الحصول عليها من خلال:

lnκ⁡(1+x)=x-x22+(1+κ22)x33-⋯{\displaystyle \ln _{\kappa }(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+\left(1+{\frac {\kappa ^{2}}{2}}\right){\frac {x^{3}}{3}}-\cdots }

اتباع القاعدة

lnκ⁡(1+x)=∑ن=1∞بن(κ)(-1)ن-1xنن{\displaystyle \ln _{\kappa }(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}(\kappa )\,(-1)^{n-1}\,{\frac {x^{n}}{n}}}

معب1(κ)=1{\displaystyle b_{1}(\kappa )=1}، و

بن(κ)(x)={1لو ن=1،12(1-κ)(1-κ2)...(1-κن-1)+12(1+κ)(1+κ2)...(1+κن-1)ل ن>1،{\displaystyle b_{n}(\kappa )(x)={\begin{cases}1&{\text{if }}n=1,\\[8pt]{\frac {1}{2}}{\Big (}1-\kappa {\Big )}{\Big (}1-{\frac {\kappa }{2}}{\Big )}...{\Big (}1-{\frac {\kappa }{n-1}}{\Big )}\,+\,{\frac {1}{2}}{\Big (}1+\kappa {\Big )}{\Big (}1+{\frac {\kappa }{2}}{\Big )}\dots {\Big (}1+{\frac {\kappa }{n-1}}{\Big )}&{\text{for }}n>1,\\[8pt]\end{cases}}}

أينبن(0)=1{\displaystyle b_{n}(0)=1}وبن(-κ)=بن(κ){\displaystyle b_{n}(-\kappa )=b_{n}(\kappa )}الحدان الأولان من متسلسلة تايلور لـlnκ⁡(x){\displaystyle \ln _{\kappa }(x)}هي نفسها الدالة اللوغاريتمية العادية .

الخصائص الأساسية

تتمتع دالة اللوغاريتم κ بالخصائص التالية للدالة اللوغاريتمية : lnκ⁡(x)∈ج∞(R+){\displaystyle \ln _{\kappa }(x)\in \mathbb {C} ^{\infty }(\mathbb {R} ^{+})}ددxlnκ⁡(x)>0{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln _{\kappa }(x)>0}د2دx2lnκ⁡(x)<0{\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\ln _{\kappa }(x)<0}lnκ⁡(0+)=-∞{\displaystyle \ln _{\kappa }(0^{+})=-\infty }lnκ⁡(1)=0{\displaystyle \ln _{\kappa }(1)=0}lnκ⁡(+∞)=+∞{\displaystyle \ln _{\kappa }(+\infty )=+\infty }lnκ⁡(1/x)=-lnκ⁡(x){\displaystyle \ln _{\kappa }(1/x)=-\ln _{\kappa }(x)} بالنسبة للعدد الحقيقير{\displaystyle r}يتمتع اللوغاريتم κ بالخاصية التالية: lnκ⁡(xر)=رlnرκ⁡(x){\displaystyle \ln _{\kappa }(x^{r})=r\ln _{r\kappa }(x)}

الجبر كابا

مجموع كابا

لأيx،y∈R{\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }و|κ|<1{\displaystyle |\kappa |<1}يتم تعريف مجموع كانياداكيس (أو مجموع كابا) بواسطة قانون التركيب التالي: x⊕κ⁡y=x1+κ2y2+y1+κ2x2،{\displaystyle x\mathop {\oplus } ^{\kappa }y=x{\sqrt {1+\kappa ^{2}y^{2}}}+y{\sqrt {1+\kappa ^{2}x^{2}}},} ويمكن كتابتها أيضاً بالشكل التالي: x⊕κ⁡y=1κسينه⁡(أرسينه⁡(κx)+أرسينه⁡(κy))،{\displaystyle x\mathop {\oplus } ^{\kappa }y={1 \over \kappa }\,\sinh \left(\operatorname {arsinh} (\kappa x)\,+\,\operatorname {arsinh} (\kappa y)\right),} حيث يمثل المجموع العادي حالة خاصة في النهاية الكلاسيكيةκ→0{\displaystyle \kappa \to 0}:x⊕0⁡y=x+y{\displaystyle x\mathop {\oplus } ^{0}y=x+y}.

يتمتع مجموع κ، مثل المجموع العادي، بالخصائص التالية:

  1. الترابطية:(x⊕κ⁡y)⊕κ⁡z=x⊕κ⁡(y⊕κ⁡z){\displaystyle (x\mathop {\oplus } ^{\kappa }y)\mathop {\oplus } ^{\kappa }z=x\mathop {\oplus } ^{\kappa }(y\mathop {\oplus } ^{\kappa }z)}
  2. عنصر محايد:x⊕κ⁡0=0⊕κ⁡x=x{\displaystyle x\mathop {\oplus } ^{\kappa }0=0\mathop {\oplus } ^{\kappa }x=x}
  3. العنصر المقابل:x⊕κ⁡(-x)=(-x)⊕κ⁡x=0{\displaystyle x\mathop {\oplus } ^{\kappa }(-x)=(-x)\mathop {\oplus } ^{\kappa }x=0}
  4. التبادلية:x⊕κ⁡y=y⊕κ⁡x{\displaystyle x\mathop {\oplus } ^{\kappa }y=y\mathop {\oplus } ^{\kappa }x}

الفرق κ⊖κ{\displaystyle \mathop {\ominus } ^{\kappa }}يُعطى بواسطةx⊖κ⁡y=x⊕κ⁡(-y){\displaystyle x\mathop {\ominus } ^{\kappa }y=x\mathop {\oplus } ^{\kappa }(-y)}.

الخاصية الأساسيةخبرةκ⁡(-x)خبرةκ⁡(x)=1{\displaystyle \exp _{\kappa }(-x)\exp _{\kappa }(x)=1}ينشأ هذا كحالة خاصة من التعبير الأكثر عمومية أدناه:خبرةκ⁡(x)خبرةκ⁡(y)=هـxصκ(x⊕κ⁡y){\displaystyle \exp _{\kappa }(x)\exp _{\kappa }(y)=exp_{\kappa }(x\mathop {\oplus } ^{\kappa }y)}

علاوة على ذلك، تُظهر دوال كابا ومجموع كابا العلاقات التالية: lnκ⁡(xy)=lnκ⁡(x)⊕κ⁡lnκ⁡(y){\displaystyle \ln _{\kappa }(x\,y)=\ln _{\kappa }(x)\mathop {\oplus } ^{\kappa }\ln _{\kappa }(y)}

منتج كابا

لأيx،y∈R{\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }و|κ|<1{\displaystyle |\kappa |<1}يتم تعريف ناتج كانياداكيس (أو ناتج كابا) من خلال قانون التركيب التالي: x⊗κ⁡y=1κسينه⁡(1κأرسينه⁡(κx)أرسينه⁡(κy))،{\displaystyle x\mathop {\otimes } ^{\kappa }y={1 \over \kappa }\,\sinh \left({1 \over \kappa }\,\operatorname {arsinh} (\kappa x)\,\operatorname {arsinh} (\kappa y)\right),} حيث يكون المنتج العادي حالة خاصة في الحد الكلاسيكيκ→0{\displaystyle \kappa \to 0}:x⊗0⁡y=x×y=xy{\displaystyle x\mathop {\otimes } ^{0}y=x\times y=xy}.

يتمتع ناتج κ، مثل الناتج العادي، بالخصائص التالية:

  1. الترابطية:(x⊗κ⁡y)⊗κ⁡z=x⊗κ⁡(y⊗κ⁡z){\displaystyle \left(x\mathop {\otimes } ^{\kappa }y\right)\mathop {\otimes } ^{\kappa }z=x\mathop {\otimes } ^{\kappa }\left(y\mathop {\otimes } ^{\kappa }z\right)}
  2. عنصر محايد:x⊗κ⁡أنا=أنا⊗κ⁡x=xلأنا=κ-1سينه⁡κ⊕κ⁡x=x{\displaystyle x\mathop {\otimes } ^{\kappa }I=I\mathop {\otimes } ^{\kappa }x=x\quad {\text{for}}\quad I=\kappa ^{-1}\sinh \kappa \mathop {\oplus } ^{\kappa }x=x}
  3. العنصر العكسي:x⊗κ⁡x¯=x¯⊗κ⁡x=أنالx¯=κ-1سينه⁡(κ2/أرسينه⁡(κx)){\displaystyle x\mathop {\otimes } ^{\kappa }{\overline {x}}={\overline {x}}\mathop {\otimes } ^{\kappa }x=I\quad {\text{for}}\quad {\overline {x}}=\kappa ^{-1}\sinh \left(\kappa ^{2}/\operatorname {arsinh} (\kappa x)\right)}
  4. التبادلية:x⊗κ⁡y=y⊗κ⁡x{\displaystyle x\mathop {\otimes } ^{\kappa }y=y\mathop {\otimes } ^{\kappa }x}

قسم كابا⊘κ{\displaystyle \mathop {\oslash } ^{\kappa }}يُعطى بواسطةx⊘κ⁡y=x⊗κ⁡y¯{\displaystyle x\mathop {\oslash } ^{\kappa }y=x\mathop {\otimes } ^{\kappa }{\overline {y}}}.

مجموع كابا⊕κ{\displaystyle \mathop {\oplus } ^{\kappa }}والناتج κ⊗κ{\displaystyle \mathop {\otimes } ^{\kappa }}الالتزام بقانون التوزيع:z⊗κ⁡(x⊕κ⁡y)=(z⊗κ⁡x)⊕κ⁡(z⊗κ⁡y){\displaystyle z\mathop {\otimes } ^{\kappa }\left(x\mathop {\oplus } ^{\kappa }y\right)=\left(z\mathop {\otimes } ^{\kappa }x\right)\mathop {\oplus } ^{\kappa }\left(z\mathop {\otimes } ^{\kappa }y\right)}.

الخاصية الأساسيةlnκ⁡(1/x)=-lnκ⁡(x){\displaystyle \ln _{\kappa }(1/x)=-\ln _{\kappa }(x)}ينشأ هذا كحالة خاصة من التعبير الأكثر عمومية أدناه:

lnκ⁡(xy)=lnκ⁡(x)⊕κ⁡lnκ⁡(y){\displaystyle \ln _{\kappa }(x\,y)=\ln _{\kappa }(x)\mathop {\oplus } ^{\kappa }\ln _{\kappa }(y)}

علاوة على ذلك، تُظهر الدوال κ والناتج κ العلاقات التالية: خبرةκ⁡(x)⊗κ⁡خبرةκ⁡(y)=خبرةκ⁡(x+y){\displaystyle \exp _{\kappa }(x)\mathop {\otimes } ^{\kappa }\exp _{\kappa }(y)=\exp _{\kappa }(x\,+\,y)}lnκ⁡(x⊗κy)=lnκ⁡(x)+lnκ⁡(y){\displaystyle \ln _{\kappa }(x\,\mathop {\otimes } ^{\kappa }\,y)=\ln _{\kappa }(x)+\ln _{\kappa }(y)}

حساب التفاضل والتكامل كابا

التفاضلي كابا

التفاضل الكانياداكيسي (أو التفاضل κ) لـx{\displaystyle x}يُعرَّف بما يلي: دκx=دx1+κ2x2.{\displaystyle \mathrm {d} _{\kappa }x={\frac {\mathrm {d} \,x}{\displaystyle {\sqrt {1+\kappa ^{2}\,x^{2}}}}}.}

إذن، المشتقة κ للدالةو(x){\displaystyle f(x)}يرتبط بمشتق لايبنيز من خلال: دو(x)دκx=γκ(x)دو(x)دx،{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f(x)}{\mathrm {d} _{\kappa }x}}=\gamma _{\kappa }(x){\frac {\mathrm {d} f(x)}{\mathrm {d} x}},} أينγκ(x)=1+κ2x2{\displaystyle \gamma _{\kappa }(x)={\sqrt {1+\kappa ^{2}x^{2}}}}هو عامل لورنتز . المشتقة العاديةدو(x)دx{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f(x)}{\mathrm {d} x}}}هي حالة خاصة من مشتقات كابادو(x)دκx{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f(x)}{\mathrm {d} _{\kappa }x}}}في الحد الكلاسيكيκ→0{\displaystyle \kappa \rightarrow 0}.

التكامل كابا

التكامل الكانياداكيسي (أو التكامل κ) هو المؤثر العكسي للمشتقة κ المعرفة من خلال ∫دκxو(x)=∫دx1+κ2x2و(x)،{\displaystyle \int \mathrm {d} _{\kappa }x\,\,f(x)=\int {\frac {\mathrm {d} \,x}{\sqrt {1+\kappa ^{2}\,x^{2}}}}\,\,f(x),} والذي يستعيد التكامل العادي في الحد الكلاسيكيκ→0{\displaystyle \kappa \to 0}.

حساب المثلثات كابا

حساب المثلثات الدورية κ

رسم بياني لدوال الجيب κ وجيب التمام κ لـ κ = 0 (المنحنى الأسود) و κ = 0.1 (المنحنى الأزرق).
[انقر على الشكل] رسم بياني لدالتي الجيب κ وجيب التمام κ لـκ=0{\displaystyle \kappa =0}(المنحنى الأسود)κ=0.1{\displaystyle \kappa =0.1}(المنحنى الأزرق).

تعتمد حساب المثلثات الدورية لكانياداكيس (أو حساب المثلثات الدورية κ) على دالتي الجيب الدورية κ (أو الجيب κ) وجيب التمام الدورية κ (أو جيب التمام κ) المعرفتين على النحو التالي: الخطيئةκ⁡(x)=خبرةκ⁡(أناx)-خبرةκ⁡(-أناx)2أنا،{\displaystyle \sin _{\kappa }(x)={\frac {\exp _{\kappa }(ix)-\exp _{\kappa }(-ix)}{2i}},}كوسκ⁡(x)=خبرةκ⁡(أناx)+خبرةκ⁡(-أناx)2،{\displaystyle \cos _{\kappa }(x)={\frac {\exp _{\kappa }(ix)+\exp _{\kappa }(-ix)}{2}},}حيث تكون صيغة أويلر المعممة من النوع κ هي خبرةκ⁡(±أناx)=كوسκ⁡(x)±أناالخطيئةκ⁡(x).{\displaystyle \exp _{\kappa }(\pm ix)=\cos _{\kappa }(x)\pm i\sin _{\kappa }(x).}

يحافظ علم المثلثات الدوري من النوع κ على التعبيرات الأساسية لعلم المثلثات الدوري العادي، وهو حالة خاصة في حالة κ → 0، مثل: كوسκ2⁡(x)+الخطيئةκ2⁡(x)=1{\displaystyle \cos _{\kappa }^{2}(x)+\sin _{\kappa }^{2}(x)=1}الخطيئةκ⁡(x⊕κ⁡y)=الخطيئةκ⁡(x)كوسκ⁡(y)+كوسκ⁡(x)الخطيئةκ⁡(y).{\displaystyle \sin _{\kappa }(x\mathop {\oplus } ^{\kappa }y)=\sin _{\kappa }(x)\cos _{\kappa }(y)+\cos _{\kappa }(x)\sin _{\kappa }(y).}

تُعطى دالتا الظل الدوري κ والظل التمام الدوري κ بالصيغة التالية: لون برونزيκ⁡(x)=الخطيئةκ⁡(x)كوسκ⁡(x){\displaystyle \tan _{\kappa }(x)={\frac {\sin _{\kappa }(x)}{\cos _{\kappa }(x)}}}سرير أطفالκ⁡(x)=كوسκ⁡(x)الخطيئةκ⁡(x).{\displaystyle \cot _{\kappa }(x)={\frac {\cos _{\kappa }(x)}{\sin _{\kappa }(x)}}.}

تتحول الدوال المثلثية الدورية من النوع κ إلى الدوال المثلثية العادية في الحد الكلاسيكيκ→0{\displaystyle \kappa \to 0}.

دالة كابا الدورية العكسية

ترتبط الدوال الدورية العكسية لكانياداكيس (أو الدوال الدورية العكسية من نوع κ) باللوغاريتم κ: دالة الجيب العكسيةκ⁡(x)=-أناlnκ⁡(1-x2+أناx)،{\displaystyle \arcsin _{\kappa }(x)=-i\ln _{\kappa }\left({\sqrt {1-x^{2}}}+ix\right),}أركوسκ⁡(x)=-أناlnκ⁡(x2-1+x)،{\displaystyle \arccos _{\kappa }(x)=-i\ln _{\kappa }\left({\sqrt {x^{2}-1}}+x\right),}دالة الظل العكسيκ⁡(x)=أناlnκ⁡(1-أناx1+أناx)،{\displaystyle \arctan _{\kappa }(x)=i\ln _{\kappa }\left({\sqrt {\frac {1-ix}{1+ix}}}\right),}أركوتκ⁡(x)=أناlnκ⁡(أناx+1أناx-1).{\displaystyle \operatorname {arccot} _{\kappa }(x)=i\ln _{\kappa }\left({\sqrt {\frac {ix+1}{ix-1}}}\right).}

حساب المثلثات الزائدية من النوع κ

تعتمد حساب المثلثات الزائدية لكانياداكيس (أو حساب المثلثات الزائدية من النوع κ) على الجيب الزائدي من النوع κ وجيب التمام الزائدي من النوع κ المعطى بالصيغة التالية: سينهκ⁡(x)=خبرةκ⁡(x)-خبرةκ⁡(-x)2،{\displaystyle \sinh _{\kappa }(x)={\frac {\exp _{\kappa }(x)-\exp _{\kappa }(-x)}{2}},}ضرب بالعصاκ⁡(x)=خبرةκ⁡(x)+خبرةκ⁡(-x)2،{\displaystyle \cosh _{\kappa }(x)={\frac {\exp _{\kappa }(x)+\exp _{\kappa }(-x)}{2}},} حيث صيغة كابا-أويلر هي خبرةκ⁡(±x)=ضرب بالعصاκ⁡(x)±سينهκ⁡(x).{\displaystyle \exp _{\kappa }(\pm x)=\cosh _{\kappa }(x)\pm \sinh _{\kappa }(x).}

تُعطى دالتا الظل الزائدي κ والظل التمام الزائدي κ بالصيغة التالية: tanhκ⁡(x)=سينهκ⁡(x)ضرب بالعصاκ⁡(x){\displaystyle \tanh _{\kappa }(x)={\frac {\sinh _{\kappa }(x)}{\cosh _{\kappa }(x)}}}ملابسκ⁡(x)=ضرب بالعصاκ⁡(x)سينهκ⁡(x).{\displaystyle \coth _{\kappa }(x)={\frac {\cosh _{\kappa }(x)}{\sinh _{\kappa }(x)}}.}

تتحول الدوال المثلثية الزائدية من النوع κ إلى دوال مثلثية زائدية عادية في الحد الكلاسيكيκ→0{\displaystyle \kappa \to 0}.

من صيغة كابا-أويلر والخاصيةخبرةκ⁡(-x)خبرةκ⁡(x)=1{\displaystyle \exp _{\kappa }(-x)\exp _{\kappa }(x)=1}يُعطى التعبير الأساسي لعلم المثلثات الزائدية من النوع κ على النحو التالي: ضرب بالعصاκ2⁡(x)-سينهκ2⁡(x)=1{\displaystyle \cosh _{\kappa }^{2}(x)-\sinh _{\kappa }^{2}(x)=1}

دالة القطع الزائد العكسية κ

ترتبط الدوال العكسية الزائدية لكانياداكيس (أو الدوال العكسية الزائدية من نوع κ) باللوغاريتم κ: أرسينهκ⁡(x)=lnκ⁡(1+x2+x)،{\displaystyle \operatorname {arsinh} _{\kappa }(x)=\ln _{\kappa }\left({\sqrt {1+x^{2}}}+x\right),}أركوشκ⁡(x)=lnκ⁡(x2-1+x)،{\displaystyle \operatorname {arcosh} _{\kappa }(x)=\ln _{\kappa }\left({\sqrt {x^{2}-1}}+x\right),}أرتانκ⁡(x)=lnκ⁡(1+x1-x)،{\displaystyle \operatorname {artanh} _{\kappa }(x)=\ln _{\kappa }\left({\sqrt {\frac {1+x}{1-x}}}\right),}أركوثκ⁡(x)=lnκ⁡(1-x1+x)،{\displaystyle \operatorname {arcoth} _{\kappa }(x)=\ln _{\kappa }\left({\sqrt {\frac {1-x}{1+x}}}\right),} والتي تكون فيها العلاقات التالية صحيحة: أرسينهκ⁡(x)=لافتة⁡(x)أركوشκ⁡(1+x2)،{\displaystyle \operatorname {arsinh} _{\kappa }(x)=\operatorname {sign} (x)\operatorname {arcosh} _{\kappa }\left({\sqrt {1+x^{2}}}\right),}أرسينهκ⁡(x)=أرتانκ⁡(x1+x2)،{\displaystyle \operatorname {arsinh} _{\kappa }(x)=\operatorname {artanh} _{\kappa }\left({\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\right),}أرسينهκ⁡(x)=أركوثκ⁡(1+x2x).{\displaystyle \operatorname {arsinh} _{\kappa }(x)=\operatorname {arcoth} _{\kappa }\left({\frac {\sqrt {1+x^{2}}}{x}}\right).} ترتبط الدوال المثلثية الدورية من النوع κ والدوال المثلثية الزائدية من النوع κ بالعلاقات التالية: الخطيئةκ(x)=-أناسينهκ⁡(أناx)،{\displaystyle {\sin }_{\kappa }(x)=-i\operatorname {sinh} _{\kappa }(ix),}كوسκ(x)=ضرب بالعصاκ⁡(أناx)،{\displaystyle {\cos }_{\kappa }(x)=\operatorname {cosh} _{\kappa }(ix),}لون برونزيκ(x)=-أناtanhκ⁡(أناx)،{\displaystyle {\tan }_{\kappa }(x)=-i\operatorname {tanh} _{\kappa }(ix),}سرير أطفالκ(x)=أناملابسκ⁡(أناx)،{\displaystyle {\cot }_{\kappa }(x)=i\operatorname {coth} _{\kappa }(ix),}دالة الجيب العكسيةκ(x)=-أناأرسينهκ⁡(أناx)،{\displaystyle {\arcsin }_{\kappa }(x)=-i\,\operatorname {arsinh} _{\kappa }(ix),}أركوسκ(x)≠-أناأركوشκ⁡(أناx)،{\displaystyle {\arccos }_{\kappa }(x)\neq -i\,\operatorname {arcosh} _{\kappa }(ix),}دالة الظل العكسيκ(x)=-أناأرتانκ⁡(أناx)،{\displaystyle {\arctan }_{\kappa }(x)=-i\,\operatorname {artanh} _{\kappa }(ix),}أركوتκ(x)=أناأركوثκ⁡(أناx).{\displaystyle {\operatorname {arccot} }_{\kappa }(x)=i\,\operatorname {arcoth} _{\kappa }(ix).}

إنتروبيا كانياداكيس

تعتمد إحصائيات كانياداكيس على إنتروبيا كانياداكيس كابا، والتي تُعرَّف من خلال: Sκ(ص)=-∑أناصأناlnκ⁡(صأنا)=∑أناصأناlnκ⁡(1صأنا){\displaystyle S_{\kappa }{\left(p\right)}=-\sum _{i}p_{i}\ln _{\kappa }\left(p_{i}\right)=\sum _{i}p_{i}\ln _{\kappa }\left({\frac {1}{p_{i}}}\right)} أينص={صأنا=ص(xأنا)؛x∈R؛أنا=1،2،...،شمال؛∑أناصأنا=1}{\textstyle p=\left\{p_{i}=p(x_{i});x\in \mathbb {R} ;i=1,2,\dots ,N;\sum _{i}p_{i}=1\right\}}هي دالة توزيع احتمالي معرفة لمتغير عشوائيX{\displaystyle X}، و0≤|κ|<1{\displaystyle 0\leq |\kappa |<1}هو مؤشر الإنتروبيا.

إن إنتروبيا كانياداكيس كابا مستقرة من الناحية الديناميكية الحرارية ومستقرة وفقًا لـ Lesche [ 22 ] [ 23 ] وتخضع لبديهيات شانون-خينشين للاستمرارية، والحد الأقصى، والإضافة المعممة، وقابلية التوسع.

توزيعات كانياداكيس

يُعد توزيع كانياداكيس ( أو توزيع كابا ) توزيعًا احتماليًا مُشتقًا من تعظيم إنتروبيا كانياداكيس في ظل قيود مناسبة. وفي هذا السياق، تظهر عدة توزيعات احتمالية لتحليل طيف واسع من الظواهر المرتبطة بالتوزيعات الإحصائية التجريبية ذات الذيول الأسية.

توزيع كابا الأسي

توزيع غاوسي كابا

توزيع كابا-جاما

توزيع كابا-ويبول

توزيع كابا اللوجستي

تحويل كانياداكيس التكاملي

تحويل لابلاس κ

تحويل كانياداكيس لابلاس (أو تحويل كابا لابلاس) هو تحويل تكاملي مشوه من نوع كابا لتحويل لابلاس العادي . يحول تحويل كابا لابلاس دالةو{\displaystyle f}لمتغير حقيقيت{\displaystyle t}إلى وظيفة جديدةFκ(s){\displaystyle F_{\kappa }(s)}في مجال التردد المركب، ممثلاً بالمتغير المركبs{\displaystyle s}يتم تعريف تحويل التكامل κ هذا على النحو التالي: [ 24 ]Fκ(s)=لκ{و(ت)}(s)=∫0∞و(ت)[خبرةκ⁡(-ت)]sدت{\displaystyle F_{\kappa }(s)={\mathcal {L}}_{\kappa }\{f(t)\}(s)=\int _{0}^{\infty }\!f(t)\,[\exp _{\kappa }(-t)]^{s}\,dt} يُعطى التحويل العكسي لكا-لابلاس بالصيغة التالية: و(ت)=لκ-1{Fκ(s)}(ت)=12πأنا∫ج-أنا∞ج+أنا∞Fκ(s)[خبرةκ⁡(ت)]s1+κ2ت2دs{\displaystyle f(t)={\mathcal {L}}_{\kappa }^{-1}\{F_{\kappa }(s)\}(t)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }\!F_{\kappa }(s)\,{\frac {[\exp _{\kappa }(t)]^{s}}{\sqrt {1+\kappa ^{2}t^{2}}}}\,ds}يتم استعادة تحويل لابلاس العادي وتحويله العكسي على النحو التالي:κ→0{\displaystyle \kappa \to 0}.

ملكيات

لنفترض دالتينو(ت)=لκ-1{Fκ(s)}(ت){\displaystyle f(t)={\cal {L}}_{\kappa }^{-1}\{F_{\kappa }(s)\}(t)}وز(ت)=لκ-1{جيκ(s)}(ت){\displaystyle g(t)={\cal {L}}_{\kappa }^{-1}\{G_{\kappa }(s)\}(t)}، وتحويلات لابلاس κ الخاصة بهاFκ(s){\displaystyle F_{\kappa }(s)}وجيκ(s){\displaystyle G_{\kappa }(s)}يوضح الجدول التالي الخصائص الرئيسية لتحويل كابا لابلاس: [ 24 ]

خصائص تحويل لابلاس كابا
ملكيةو(ت){\displaystyle f(t)}Fκ(s){\displaystyle F_{\kappa }(s)}
الخطيةأو(ت)+بز(ت){\displaystyle a\,f(t)+b\,g(t)}أFκ(s)+بجيκ(s){\displaystyle a\,F_{\kappa }(s)+b\,G_{\kappa }(s)}
تغيير المقياس الزمنيو(أت){\displaystyle f(at)}1أFκ/أ(sأ){\displaystyle {\frac {1}{a}}\,F_{\kappa /a}({\frac {s}{a}})}
تغيير الترددو(ت)[خبرةκ⁡(-ت)]أ{\displaystyle f(t)\,[\exp _{\kappa }(-t)]^{a}}Fκ(s-أ){\displaystyle F_{\kappa }(s-a)}
المشتقدو(ت)دت{\displaystyle {\frac {d\,f(t)}{dt}}}sلκ{و(ت)1+κ2ت2}(s)-و(0){\displaystyle s\,{\cal {L}}_{\kappa }\left\{{\frac {f(t)}{\sqrt {1+\kappa ^{2}t^{2}}}}\right\}(s)-f(0)}
المشتقددت1+κ2ت2و(ت){\displaystyle {\frac {d}{dt}}\,{\sqrt {1+\kappa ^{2}t^{2}}}\,f(t)}sFκ(s)-و(0){\displaystyle s\,F_{\kappa }(s)-f(0)}
التكامل في المجال الزمني11+κ2ت2∫0تو(w)دw{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1+\kappa ^{2}t^{2}}}}\,\int _{0}^{t}f(w)dw}1sFκ(s){\displaystyle {\frac {1}{s}}\,F_{\kappa }(s)}
و(ت)[ln⁡(خبرةκ⁡(ت))]ن{\displaystyle f(t)\,[\ln(\exp _{\kappa }(t))]^{n}}(-1)ندنFκ(s)دsن{\displaystyle (-1)^{n}{\frac {d^{n}F_{\kappa }(s)}{ds^{n}}}}
و(ت)[ln⁡(خبرةκ⁡(ت))]-ن{\displaystyle f(t)\,[\ln(\exp _{\kappa }(t))]^{-n}}∫s+∞دwن∫wن+∞دwن-1...∫w3+∞دw2∫w2+∞دw1Fκ(w1){\displaystyle \int _{s}^{+\infty }dw_{n}\int _{w_{n}}^{+\infty }dw_{n-1}...\int _{w_{3}}^{+\infty }dw_{2}\int _{w_{2}}^{+\infty }dw_{1}\,F_{\kappa }(w_{1})}
دالة ديراك دلتادلتا(ت-τ){\displaystyle \delta (t-\tau )}[خبرةκ⁡(-τ)]s{\displaystyle [\exp _{\kappa }(-\tau )]^{s}}
دالة وحدة هيفسايدu(ت-τ){\displaystyle u(t-\tau )}s1+κ2τ2+κ2τs2-κ2[خبرةκ⁡(-τ)]s{\displaystyle {\frac {s{\sqrt {1+\kappa ^{2}\tau ^{2}}}+\kappa ^{2}\tau }{s^{2}-\kappa ^{2}}}\,[\exp _{\kappa }(-\tau )]^{s}}
وظيفة الطاقةتν-1{\displaystyle t^{\nu -1}}s2s2-κ2ν2Γκs(ν+1)νsν=ss+|κ|νΓ(ν)|2κ|νΓ(s|2κ|-ν2)Γ(s|2κ|+ν2){\displaystyle {\frac {s^{2}}{s^{2}-\kappa ^{2}\nu ^{2}}}\,{\frac {\Gamma _{\frac {\kappa }{s}}(\nu +1)}{\nu \,s^{\nu }}}={\frac {s}{s+|\kappa |\nu }}\,{\frac {\Gamma (\nu )}{|2\kappa |^{\nu }}}\,{\frac {\Gamma \left({\frac {s}{|2\kappa |}}-{\frac {\nu }{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {s}{|2\kappa |}}+{\frac {\nu }{2}}\right)}}}
وظيفة الطاقةت2م-1،  م∈Z+{\displaystyle t^{2m-1},\ \ m\in Z^{+}}(2م-1)!∏ج=1م[s2-(2ج)2κ2]{\displaystyle {\frac {(2m-1)!}{\prod _{j=1}^{m}\left[s^{2}-(2j)^{2}\kappa ^{2}\right]}}}
وظيفة الطاقةت2م،  م∈Z+{\displaystyle t^{2m},\ \ m\in Z^{+}}(2م)!s∏ج=1م+1[s2-(2ج-1)2κ2]{\displaystyle {\frac {(2m)!\,s}{\prod _{j=1}^{m+1}\left[s^{2}-(2j-1)^{2}\kappa ^{2}\right]}}}

تتحول تحويلات كابا-لابلاس الموضحة في الجدول الأخير إلى تحويلات لابلاس العادية المقابلة لها في الحد الكلاسيكي.κ→0{\displaystyle \kappa \to 0}.

تحويل فورييه كابا

يُعد تحويل كانياداكيس فورييه (أو تحويل كابا فورييه) تحويلاً تكاملياً مشوهاً من نوع كابا لتحويل فورييه العادي ، وهو متوافق مع جبر كابا وحساب كابا. يُعرَّف تحويل كابا فورييه على النحو التالي: [ 25 ]

Fκ[و(x)](ω)=12π∫-∞+∞و(x)خبرةκ⁡(-x⊗κω)أنادκx{\displaystyle {\cal {F}}_{\kappa }[f(x)](\omega )={1 \over {\sqrt {2\,\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\,\exp _{\kappa }(-x\otimes _{\kappa }\omega )^{i}\,d_{\kappa }x}

والتي يمكن إعادة كتابتها على النحو التالي

Fκ[و(x)](ω)=12π∫-∞+∞و(x)خبرة⁡(-أناx{κ}ω{κ})1+κ2x2دx{\displaystyle {\cal {F}}_{\kappa }[f(x)](\omega )={1 \over {\sqrt {2\,\pi }}}\int \limits _{-\infty }\limits ^{+\infty }f(x)\,{\exp(-i\,x_{\{\kappa \}}\,\omega _{\{\kappa \}}) \over {\sqrt {1+\kappa ^{2}\,x^{2}}}}\,dx}

أينx{κ}=1κأرسينه(κx){\displaystyle x_{\{\kappa \}}={\frac {1}{\kappa }}\,\operatorname {arsinh} \,(\kappa \,x)}وω{κ}=1κأرسينه(κω){\displaystyle \omega _{\{\kappa \}}={\frac {1}{\kappa }}\,\operatorname {arsinh} \,(\kappa \,\omega )}يفرض تحويل κ-Fourier سلوكًا دوريًا لوغاريتميًا تقاربيًا عن طريق تشويه المعاملاتx{\displaystyle x}وω{\displaystyle \omega }بالإضافة إلى عامل التخميد، وهو1+κ2x2{\displaystyle {\sqrt {1+\kappa ^{2}\,x^{2}}}}.

الجزء الحقيقي (اللوحة العلوية) والجزء التخيلي (اللوحة السفلية) من النواةحκ(x،ω){\displaystyle h_{\kappa }(x,\omega )}بالنسبة للنموذجيκ{\displaystyle \kappa }القيم وω=1{\displaystyle \omega =1}.

تُعطى نواة تحويل فورييه من نوع كابا بالصيغة التالية:

حκ(x،ω)=خبرة⁡(أناx{κ}ω{κ})1+κ2x2{\displaystyle h_{\kappa }(x,\omega )={\frac {\exp \left(i\,x_{\{\kappa \}}\,\omega _{\{\kappa \}}\right)}{\sqrt {1+\kappa ^{2}\,x^{2}}}}}

يُعرَّف التحويل العكسي لفورييه κ على النحو التالي: [ 25 ]

Fκ[و^(ω)](x)=12π∫-∞∞و^(ω)خبرةκ⁡(ω⊗κx)أنادκω{\displaystyle {\mathcal {F}}_{\kappa }[{\hat {f}}\!(\omega )](x)={1 \over {\sqrt {2\,\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}\!(\omega )\exp _{\kappa }(\omega \otimes _{\kappa }x)^{i}\,d_{\kappa }\omega }

يتركuκ(x)=1κضرب بالعصا⁡(κln⁡(x)){\displaystyle u_{\kappa }(x)={\frac {1}{\kappa }}\cosh {\Big (}\kappa \ln(x){\Big )}}يوضح الجدول التالي تحويلات κ-Fourier لعدة دوال بارزة: [ 25 ]

تحويل فورييه كابا لعدة دوال
و(x){\displaystyle f(x)}Fκ[و(x)](ω){\displaystyle {\cal {F}}_{\kappa }[f(x)](\omega )}
دالة الخطوةθ(x){\displaystyle \theta (x)}2πدلتا(ω)+12πأناω{κ}{\displaystyle {\sqrt {2\,\pi }}\,\delta (\omega )+{1 \over {\sqrt {2\,\pi }}\,i\,\omega _{\{\kappa \}}}}
تعديلكوسκ⁡(أ⊕κ⁡x){\displaystyle \cos _{\kappa }(a\mathop {\oplus } ^{\kappa }x)}π2uκ(خبرةκ⁡(أ))(دلتا(ω+أ)+دلتا(ω-أ)){\displaystyle {\sqrt {\pi \over 2}}\,u_{\kappa }(\exp _{\kappa }(a))\,\left(\delta (\omega +a)+\delta (\omega -a)\right)}
السببيةκ{\displaystyle \kappa }-أُسِّيθ(x)خبرةκ⁡(-أ⊗κ⁡x){\displaystyle \theta (x)\,\exp _{\kappa }(-a\mathop {\otimes } ^{\kappa }x)}12π1أ{κ}+أناω{κ}{\displaystyle {1 \over {\sqrt {2\,\pi }}}{1 \over a_{\{\kappa \}}+i\,\omega _{\{\kappa \}}}}
متماثلκ{\displaystyle \kappa }-أُسِّيخبرةκ⁡(-أ⊗κ⁡|x|){\displaystyle \exp _{\kappa }(-a\mathop {\otimes } ^{\kappa }|x|)}2πأ{κ}أ{κ}2+ω{κ}2{\displaystyle {\sqrt {2 \over \pi }}\,{a_{\{\kappa \}} \over a_{\{\kappa \}}^{2}+\omega _{\{\kappa \}}^{2}}}
ثابت1{\displaystyle 1}2πدلتا(ω){\displaystyle {\sqrt {2\,\pi }}\,\delta (\omega )}
κ{\displaystyle \kappa }-الطورخبرةκ(أ⊗κ⁡x)أنا{\displaystyle \exp _{\kappa }\,(a\mathop {\otimes } ^{\kappa }x)^{i}}2πuκ(خبرةκ⁡(أ))دلتا(ω-أ){\displaystyle {\sqrt {2\,\pi }}\,u_{\kappa }(\exp _{\kappa }(a))\,\delta (\omega -a)}
اندفاعدلتا(x-أ){\displaystyle \delta (x-a)}12πخبرةκ(ω⊗κ⁡أ)أناuκ(خبرةκ(أ)){\displaystyle {1 \over {\sqrt {2\,\pi }}}{\exp _{\kappa }\,(\omega \mathop {\otimes } ^{\kappa }a)^{i} \over u_{\kappa }\left(\exp _{\kappa }\,(a)\right)}}
سيغنومعلامة(x){\displaystyle (x)}2π1أناω{κ}{\displaystyle {\sqrt {2 \over \pi }}\,\,{1 \over i\,\omega _{\{\kappa \}}}}
مستطيلΠ(xأ){\displaystyle \Pi \left({x \over a}\right)}2πأ{κ}منذκ⁡(ω⊗κ⁡أ){\displaystyle {\sqrt {2 \over \pi }}\,\,a_{\{\kappa \}}\,\operatorname {sinc} _{\kappa }(\omega \mathop {\otimes } ^{\kappa }a)}

يحافظ الإصدار المشوه κ من تحويل فورييه على الخصائص الرئيسية لتحويل فورييه العادي، كما هو ملخص في الجدول التالي.

خصائص كابا-فورييه
و(x){\displaystyle f(x)}Fκ[و(x)](ω){\displaystyle {\cal {F}}_{\kappa }[f(x)](\omega )}
الخطيةFκ[αو(x)+βز(x)](ω)=αFκ[و(x)](ω)+βFκ[ز(x)](ω){\displaystyle {\cal {F}}_{\kappa }[\alpha \,f(x)+\beta \,g(x)](\omega )=\alpha \,{\cal {F}}_{\kappa }[f(x)](\omega )+\beta \,{\cal {F}}_{\kappa }[g(x)](\omega )}
التوسعFκ[و(αx)](ω)=1αFκ′[و(x)](ω′){\displaystyle {\cal {F}}_{\kappa }\left[f(\alpha \,x)\right](\omega )={1 \over \alpha }\,{\cal {F}}_{\kappa ^{\prime }}\left[f(x)\right](\omega ^{\prime })} أينκ′=κ/α{\displaystyle \kappa ^{\prime }=\kappa /\alpha }وω′=(أ/κ)سينه⁡(أرسينه⁡(κω)/أ2){\displaystyle \omega ^{\prime }=(a/\kappa )\,\sinh \left(\operatorname {arsinh} (\kappa \,\omega )/a^{2}\right)}
κ{\displaystyle \kappa }-التوسعFκ[و(α⊗κ⁡x)](ω)=1α{κ}Fκ[و(x)](1α⊗κ⁡ω){\displaystyle {\cal {F}}_{\kappa }\left[f(\alpha \mathop {\otimes } ^{\kappa }x)\right](\omega )={1 \over \alpha _{\{\kappa \}}}\,{\cal {F}}_{\kappa }[f(x)]\left({\frac {1}{\alpha }}\mathop {\otimes } ^{\kappa }\omega \right)}
الاقتران المعقدFκ[و(x)]*(ω)=Fκ[و(x)](-ω){\displaystyle {\cal {F}}_{\kappa }{\big [}f(x){\big ]}^{\ast }(\omega )={\cal {F}}_{\kappa }{\big [}f(x){\big ]}(-\omega )}
الازدواجيةFκ[Fκ[و(x)](ν)](ω)=و(-ω){\displaystyle {\cal {F}}_{\kappa }{\Big [}{\cal {F}}_{\kappa }{\big [}f(x){\big ]}(\nu ){\Big ]}(\omega )=f(-\omega )}
يعكسFκ[و(-x)](ω)=Fκ[و(x)](-ω){\displaystyle {\cal {F}}_{\kappa }\left[f(-x)\right](\omega )={\cal {F}}_{\kappa }[f(x)](-\omega )}
κ{\displaystyle \kappa }-انزياح الترددFκ[خبرةκ⁡(ω0⊗κ⁡x)أناو(x)](ω)=Fκ[و(x)](ω⊖κ⁡ω0){\displaystyle {\cal {F}}_{\kappa }\left[\exp _{\kappa }(\omega _{0}\mathop {\otimes } ^{\kappa }x)^{i}f(x)\right](\omega )={\cal {F}}_{\kappa }[f(x)](\omega \mathop {\ominus } ^{\kappa }\omega _{0})}
κ{\displaystyle \kappa }- تغيير التوقيتFκ[و(x⊕κx0)](ω)=خبرةκ⁡(ω⊗κx0)أناFκ[و(x)](ω){\displaystyle {\cal {F}}_{\kappa }\left[f(x\,\mathop {\oplus } ^{\kappa }\,x_{0})\right](\omega )=\exp _{\kappa }(\omega \,\mathop {\otimes } ^{\kappa }\,x_{0})^{i}\,{\cal {F}}_{\kappa }[f(x)](\omega )}
تحويلκ{\displaystyle \kappa }-المشتقFκ[دو(x)دκx](ω)=أناω{κ}Fκ[و(x)](ω){\displaystyle {\cal {F}}_{\kappa }\left[{\frac {d\,f(x)}{d_{\kappa }x}}\right](\omega )=i\,\omega _{\{\kappa \}}\,{\cal {F}}_{\kappa }[f(x)](\omega )}
κ{\displaystyle \kappa }-مشتق التحويلددκωFκ[و(x)](ω)=-أناω{κ}Fκ[x{κ}و(x)](ω){\displaystyle {\frac {d}{d_{\kappa }\omega }}\,{\cal {F}}_{\kappa }[f(x)](\omega )=-i\,\omega _{\{\kappa \}}\,{\cal {F}}_{\kappa }\left[x_{\{\kappa \}}\,f(x)\right](\omega )}
تحويل التكاملFκ[∫-∞xو(y)دy](ω)=1أناω{κ}Fκ[و(x)](ω)+2πFκ[و(x)](0)دلتا(ω){\displaystyle {\cal {F}}_{\kappa }\left[\int _{-\infty }^{x}f(y)\,dy\right](\omega )={1 \over i\omega _{\{\kappa \}}}{\cal {F}}_{\kappa }[f(x)](\omega )+2\pi \,{\cal {F}}_{\kappa }[f(x)](0)\,\delta (\omega )}
κ{\displaystyle \kappa }-التفافFκ[(و⊛κز)(x)](ω)=2πFκ[و(x)](ω)Fκ[ز(x)](ω){\displaystyle {\cal {F}}_{\kappa }\left[(f\,\mathop {\circledast } ^{\kappa }\,g)(x)\right](\omega )={\sqrt {2\,\pi }}\,{\cal {F}}_{\kappa }[f(x)](\omega )\,{\cal {F}}_{\kappa }[g(x)](\omega )} أين(و⊛κز)(x)=∫-∞∞و(y)ز(x⊖κ⁡y)دκy{\displaystyle (f\,\mathop {\circledast } ^{\kappa }\,g)(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f(y)\,g(x\mathop {\ominus } ^{\kappa }y)\,d_{\kappa }y}
تعديلFκ[و(x)ز(x)](ω)=12π(Fκ[و(x)]⊛κFκ[ز(x)])(ω){\displaystyle {\cal {F}}_{\kappa }\left[f(x)\,g(x)\right](\omega )={1 \over {\sqrt {2\,\pi }}}\left({\cal {F}}_{\kappa }\left[f(x)\right]\,\mathop {\circledast } ^{\kappa }\,{\cal {F}}_{\kappa }\left[g(x)\right]\right)(\omega )}

تختزل خصائص تحويل كابا-فورييه الموضحة في الجدول الأخير إلى تحويلات فورييه العادية المقابلة في الحد الكلاسيكيκ→0{\displaystyle \kappa \to 0}.

انظر أيضاً

References

  •  This article incorporates text available under the CC BY 3.0 license.
  1. ↑Kaniadakis, G. (2009). "Relativistic entropy and related Boltzmann kinetics". The European Physical Journal A. 40 (3) 275: 275–287. arXiv:0901.1058. Bibcode:2009EPJA...40..275K. doi:10.1140/epja/i2009-10793-6. ISSN 1434-6001. S2CID 119190011.
  2. ↑Kaniadakis, G. (2002). "Statistical mechanics in the context of special relativity". Physical Review E. 66 (5) 056125. arXiv:cond-mat/0210467. Bibcode:2002PhRvE..66e6125K. doi:10.1103/PhysRevE.66.056125. ISSN 1063-651X. PMID 12513574. S2CID 45635888.
  3. ↑Kaniadakis, G. (2005). "Statistical mechanics in the context of special relativity. II". Physical Review E. 72 (3) 036108. arXiv:cond-mat/0507311. Bibcode:2005PhRvE..72c6108K. doi:10.1103/PhysRevE.72.036108. ISSN 1539-3755. PMID 16241516. S2CID 18115408.
  4. ↑Kaniadakis, G. (2011). "Power-law tailed statistical distributions and Lorentz transformations". Physics Letters A. 375 (3): 356–359. arXiv:1110.3944. Bibcode:2011PhLA..375..356K. doi:10.1016/j.physleta.2010.11.057. ISSN 0375-9601. S2CID 118435479.
  5. ↑ كانياداكيس، ج. (2001). "الحركية غير الخطية الكامنة وراء الإحصاءات المعممة" . فيزيكا أ: الميكانيكا الإحصائية وتطبيقاتها . 296 (3): 405-425 . arXiv : cond-mat/0103467 . Bibcode : 2001PhyA..296..405K . doi : 10.1016/S0378-4371(01)00184-4 . ISSN 0378-4371 . S2CID 44275064 .  
  6. ↑ كانياداكيس، ج. (2009). "مبدأ أقصى إنتروبيا وتوزيعات ذيل قانون القوة" . المجلة الأوروبية للفيزياء ب . 70 (1): 3-13 . arXiv : 0904.4180 . Bibcode : 2009EPJB...70....3K . doi : 10.1140/epjb/e2009-00161-0 . ISSN 1434-6028 . S2CID 55421804 .  
  7. ↑ كانياداكيس، ج. (2021). "ظهور توزيعات جديدة ذات ذيول أسية في إحصاءات كابا (أ)" . رسائل الفيزياء الأوروبية . 133 (1) 10002. arXiv : 2203.01743 . Bibcode : 2021EL....13310002K . doi : 10.1209/0295-5075/133/10002 . ISSN 0295-5075 . S2CID 234144356 .  
  8. ↑ دريبانو، نيكي؛ ليمبيريس، أندرياس؛ ساريداكيس، إيمانويل ن.؛ يسماخانوفا، كورالاي (16 مايو 2022). "طاقة كانياداكيس المظلمة الهولوغرافية وعلم الكونيات" . المجلة الأوروبية للفيزياء ج . 82 (5): 449. arXiv : 2109.09181 . Bibcode : 2022EPJC...82..449D . doi : 10.1140/epjc/s10052-022-10415-9 . ISSN 1434-6052 . 
  9. ^ هيرنانديز ألمادا، أ. ليون، جينلي؛ ماجانيا، خوان؛ غارسيا أسبيتيا ، ميغيل أ ؛ موتا، الخامس؛ ساريداكيس ، إيمانويل ن. يشماخانوفا، كورالاي (2022). "الطاقة المظلمة المجسمة كانياداكيس: قيود المراقبة والديناميات العالمية" . الإشعارات الشهرية للجمعية الفلكية الملكية . 511 (3): 4147– 4158. أرخايف : 2111.00558 . دوى : 10.1093/mnras/stac255 . ISSN 0035-8711 . 
  10. ↑ لوتشيانو، جوزيبي غايتانو (24 نوفمبر 2022). "الجاذبية وعلم الكونيات في إحصاءات كانياداكيس: الوضع الراهن والتحديات المستقبلية" . إنتروبي . 24 (12): 1712. Bibcode : 2022Entrp..24.1712L . doi : 10.3390 / e24121712 . ISSN 1099-4300 . PMC 9777509. PMID 36554117 .   
  11. ^ كارفاليو، جي سي. سيلفا، ر. دو ناسيمنتو جونيور، دينار أردني؛ دي ميديروس، جي آر (2008). "إحصاءات قانون الطاقة وسرعات الدوران النجمية في الثريا" . EPL (رسائل الفيزياء الأوروبية) . 84 (5) 59001. أرخايف : 0903.0836 . بيب كود : 2008EL .....8459001C . دوى : 10.1209/0295-5075/84/59001 . ISSN 0295-5075 . S2CID 7123391 .  
  12. ↑ كوريه، ميشيل؛ ريال، دييغو ف.؛ كريستين، أليخاندرا؛ كاسيتي، جوليا (2014). "طريقة لفك تشفير سرعات دوران النجوم" . علم الفلك والفيزياء الفلكية . 565 : A85. arXiv : 1401.1054 . Bibcode : 2014A & A...565A..85C . doi : 10.1051/0004-6361/201323344 . ISSN 0004-6361 . S2CID 59375612 .  
  13. ↑ عرابة، كامل؛ هاميسي بنديمراد، أمل هبة؛ تريبيش، مولود (2015). "التشابك الكمي وانتروبيا كانياداكيس" . سيناريو الفيزياء . 90 (4) 045101. بيب كود : 2015PhyS...90d5101O . دوى : 10.1088/0031-8949/90/4/045101 . ISSN 0031-8949 . S2CID 123776127 .  
  14. ^ أبرو، إيفرتون مولودية. حنانيا نيتو، خورخي؛ مينديز، ألبرت CR. دي باولا، رودريجو م. (2019). "حلقة الجاذبية الكمومية معلمة إيميرزي وإحصائيات كانياداكيس" . الفوضى، Solitons وFractals . 118 : 307– 310. أرخايف : 1808.01891 . بيب كود : 2019CSF...118..307A . دوى : 10.1016/j.chaos.2018.11.033 . ISSN 0960-0779 . S2CID 119207713 .  
  15. ↑ هريستوبولوس، ديونيسيوس ت.؛ بيتراكيس، مانوليس ب.؛ كانياداكيس، جورجيو (2014). "تأثيرات الحجم المحدود على توزيعات فترات العودة لأنظمة قياس أضعف حلقة" . مجلة Physical Review E. 89 ( 5) 052142. arXiv : 1308.1881 . Bibcode : 2014PhRvE..89e2142H . doi : 10.1103/PhysRevE.89.052142 . ISSN 1539-3755 . PMID 25353774. S2CID 22310350 .   
  16. ↑ دا سيلفا، سيرجيو لويز إي إف (2021). "قانون غوتنبرغ-ريختر المعمم من نوع كابا والتشابه الذاتي للزلازل" . الفوضى، السوليتونات والكسور . 143 110622. رمز Bibcode : 2021CSF...14310622D . doi : 10.1016/j.chaos.2020.110622 . ISSN 0960-0779 . S2CID 234063959 .  
  17. ^ سوزا، NTCM. أنسيلمو، دال. سيلفا، ر. فاسكونسيلوس، MS . ميلو، في دي (2014). "تحليل إحصائي للكروموسوم Y" . EPL (رسائل الفيزياء الأوروبية) . 108 (3) 38004. دوى : 10.1209/0295-5075/108/38004 . ISSN 0295-5075 . S2CID 122456729 .  
  18. ↑ كوستا، م.و.؛ سيلفا، ر.؛ أنسيلمو، د.هـ.أ.ل.؛ سيلفا، ج.ر.ب. (2019). "تحليل الحمض النووي البشري من خلال إحصاءات قانون القوة" . مجلة Physical Review E. 99 ( 2) 022112. Bibcode : 2019PhRvE..99b2112C . doi : 10.1103/PhysRevE.99.022112 . ISSN 2470-0045 . PMID 30934358. S2CID 91186653 .   
  19. ^ كليمنتي ، فابيو. جاليجاتي، ماورو؛ كانياداكيس، جورجيو (2012). "نموذج جديد لتوزيع الدخل: التوزيع المعمم" . مجلة الاقتصاد . 105 (1): 63–91 . دوى : 10.1007 / s00712-011-0221-0 . اتش دي ال : 11393/73598 . ISSN 0931-8658 . S2CID 155080665 .  
  20. ↑ تريفيلاتو، باربرا (2013). "الدوال الأسية المشوهة وتطبيقاتها في التمويل" . إنتروبي . 15 (12): 3471-3489 . Bibcode : 2013Entrp..15.3471T . doi : 10.3390/e15093471 . ISSN 1099-4300 . 
  21. ^ كانياداكيس، جورجيو. بالدي، ماورو م.؛ ديسبوك، توماس س.؛ جريسوليا، جوليا؛ خريستوبولوس، ديونيسيوس T .؛ سكارفوني، أنطونيو م.؛ سبارافينا، أميليا؛ وادا، تاتسواكي؛ لوسيا ، أمبرتو (2020). "نهج الإحصائيات في علم الأوبئة" . التقارير العلمية . 10 (1): 19949. أرخايف : 2012.00629 . بيب كود : 2020NatSR..1019949K . دوى : 10.1038/s41598-020-76673-3 . ISSN 2045-2322 . بمك 7673996 . بميد 33203913 .   
  22. ↑ آبي، س.؛ كانياداكيس، ج.؛ سكارفون، أ.م. (2004). "استقرار الإنتروبيات المعممة". مجلة الفيزياء أ: الرياضية والعامة . 37 (44): 10513-10519 . arXiv : cond-mat/0401290 . Bibcode : 2004JPhA...3710513A . doi : 10.1088/0305-4470/37/44/004 . S2CID 16080176 . 
  23. ↑ كانياداكيس، ج. (2001). "نظرية H والإنتروبيات المعممة في إطار الحركية غير الخطية" . رسائل الفيزياء أ . 288 ( 5-6 ): 283-291 . arXiv : cond-mat/0109192 . Bibcode : 2001PhLA..288..283K . doi : 10.1016/S0375-9601(01)00543-6 . S2CID 119445915 . 
  24. 1 2 كانياداكيس، جورجيو (25-09-2013). "الأسس النظرية والصياغة الرياضية للتوزيعات الإحصائية ذات الذيل وفقًا لقانون القوة" . إنتروبي . 15 (12): 3983-4010 . arXiv : 1309.6536 . Bibcode : 2013Entrp..15.3983K . doi : 10.3390/e15103983 . ISSN 1099-4300 . 
  25. 1 2 3 سكارفون، أ.م. (2017). "تحويل فورييه المشوه κ" . فيزيكا أ: الميكانيكا الإحصائية وتطبيقاتها . 480 : 63-78 . arXiv : 2206.06869 . Bibcode : 2017PhyA..480...63S . doi : 10.1016/j.physa.2017.03.036 . S2CID 126079408 .