توزيع كانياداكيس ويبول

يُظهر توزيع Kaniadakis κ -Weibull ذيولًا يمنى ذات قانون قوة، وله دالة كثافة الاحتمال التالية : ^{[ 3 ]}

${\displaystyle f_{_{\kappa }}(x)={\frac {\alpha \beta x^{\alpha -1}}{\sqrt {1+\kappa ^{2}\beta ^{2}x^{2\alpha }}}}\exp _{\kappa }(-\beta x^{\alpha })}$

صالح لـ${\displaystyle x\geq 0}$، أين${\displaystyle |\kappa |<1}$هو مؤشر الإنتروبيا المرتبط بإنتروبيا كانياداكيس ،${\displaystyle \beta >0}$هو معامل المقياس، و${\displaystyle \alpha >0}$هو معامل الشكل أو معامل ويبول .

يتم استعادة توزيع ويبول على النحو التالي${\displaystyle \kappa \rightarrow 0.}$

دالة التوزيع التراكمي لتوزيع κ -Weibull معطاة بالصيغة التالية

${\displaystyle F_{\kappa }(x)=1-\exp _{\kappa }(-\beta x^{\alpha })}$

صالح لـ${\displaystyle x\geq 0}$يتم استعادة توزيع ويبول التراكمي في الحد الكلاسيكي${\displaystyle \kappa \rightarrow 0}$.

دالة توزيع البقاء لتوزيع κ -Weibull معطاة بالصيغة التالية

${\displaystyle S_{\kappa }(x)=\exp _{\kappa }(-\beta x^{\alpha })}$

صالح لـ${\displaystyle x\geq 0}$يتم استعادة توزيع ويبول للبقاء في الحد الكلاسيكي${\displaystyle \kappa \rightarrow 0}$.

يتم الحصول على دالة المخاطر لتوزيع κ -Weibull من خلال حل معادلة معدل κ :

${\displaystyle {\frac {S_{\kappa }(x)}{dx}}=-h_{\kappa }S_{\kappa }(x)}$

مع ${\displaystyle S_{\kappa }(0)=1}$، أين ${\displaystyle h_{\kappa }}$هي دالة المخاطرة:

${\displaystyle h_{\kappa }={\frac {\alpha \beta x^{\alpha -1}}{\sqrt {1+\kappa ^{2}\beta ^{2}x^{2\alpha }}}}}$

يرتبط التوزيع التراكمي لـ κ -Weibull بدالة المخاطر κ -hazard من خلال التعبير التالي:

${\displaystyle S_{\kappa }=e^{-H_{\kappa }(x)}}$

أين

${\displaystyle H_{\kappa }(x)=\int _{0}^{x}h_{\kappa }(z)dz}$

${\displaystyle H_{\kappa }(x)={\frac {1}{\kappa }}{\textrm {arcsinh}}\left(\kappa \beta x^{\alpha }\right)}$

هي دالة المخاطر التراكمية من نوع كابا . يتم استعادة دالة المخاطر التراكمية لتوزيع ويبول في الحد الكلاسيكي${\displaystyle \kappa \rightarrow 0}$:${\displaystyle H(x)=\beta x^{\alpha }}$.

يتميز توزيع κ -Weibull بعزم من الرتبة${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$مقدم من

${\displaystyle \operatorname {E} [X^{m}]={\frac {|2\kappa \beta |^{-m/\alpha }}{1+\kappa {\frac {m}{\alpha }}}}{\frac {\Gamma {\Big (}{\frac {1}{2\kappa }}-{\frac {m}{2\alpha }}{\Big )}}{\Gamma {\Big (}{\frac {1}{2\kappa }}+{\frac {m}{2\alpha }}{\Big )}}}\Gamma {\Big (}1+{\frac {m}{\alpha }}{\Big )}}$

الوسيط والمنوال هما:

${\displaystyle x_{\textrm {median}}(F_{\kappa })=\beta ^{-1/\alpha }{\Bigg (}\ln _{\kappa }(2){\Bigg )}^{1/\alpha }}$

${\displaystyle x_{\textrm {mode}}=\beta ^{-1/\alpha }{\Bigg (}{\frac {\alpha ^{2}+2\kappa ^{2}(\alpha -1)}{2\kappa ^{2}(\alpha ^{2}-\kappa ^{2})}}{\Bigg )}^{1/2\alpha }{\Bigg (}{\sqrt {1+{\frac {4\kappa ^{2}(\alpha ^{2}-\kappa ^{2})(\alpha -1)^{2}}{[\alpha ^{2}+2\kappa ^{2}(\alpha -1)]^{2}}}}}-1{\Bigg )}^{1/2\alpha }\quad (\alpha >1)}$