مسجل إزاحة ذو تغذية راجعة خطية

في مجال الحوسبة ، مسجل الإزاحة ذو التغذية الراجعة الخطية ( LFSR ) هو مسجل إزاحة تكون بتة الإدخال الخاصة به دالة خطية لحالته السابقة.

تُعدّ عملية XOR (العملية الحصرية أو العملية XOR) أكثر العمليات الخطية شيوعًا للتعامل مع البتات المفردة . لذا، فإنّ مسجل الإزاحة ذو التغذية الخطية (LFSR) هو في الغالب مسجل إزاحة يتم فيه التحكم في بت الإدخال من خلال عملية XOR لبعض بتات قيمة مسجل الإزاحة الكلية.

تُسمى القيمة الابتدائية لمسجل الإزاحة ذي التغذية الراجعة الخطية (LFSR) بالبذرة، ولأن عملية المسجل حتمية، فإن سلسلة القيم التي ينتجها المسجل تتحدد كليًا بحالته الحالية (أو السابقة). وبالمثل، ولأن المسجل له عدد محدود من الحالات الممكنة، فلا بد أن يدخل في دورة متكررة في النهاية. مع ذلك، يمكن لمسجل الإزاحة ذي التغذية الراجعة الخطية (LFSR) المزود بوظيفة تغذية راجعة مُختارة بعناية أن ينتج سلسلة من البتات تبدو عشوائية ولها دورة طويلة جدًا .

تشمل تطبيقات مسجلات الإزاحة الخطية ذات التغذية الراجعة (LFSRs) توليد أرقام شبه عشوائية ، ومتواليات ضوضاء شبه عشوائية ، وعدادات رقمية سريعة، ومتواليات تبييض . وتُعدّ تطبيقاتها في كل من الأجهزة والبرامج شائعة.

تتشابه الرياضيات المستخدمة في فحص التكرار الدوري ، والذي يُستخدم للتحقق السريع من أخطاء الإرسال، تشابهًا وثيقًا مع رياضيات مسجل الإزاحة ذي التغذية الخطية الخطية (LFSR). ^{[ 1 ]} وبشكل عام، فإن العمليات الحسابية الكامنة وراء مسجلات الإزاحة ذات التغذية الخطية الخطية تجعلها سهلة الدراسة والتطبيق. إذ يُمكن إنشاء دوائر منطقية معقدة نسبيًا باستخدام وحدات بناء بسيطة. ومع ذلك، ينبغي أيضًا النظر في طرق أخرى أقل أناقة ولكنها ذات أداء أفضل.

تُسمى مواضع البتات التي تؤثر على الحالة التالية بـ " النقاط" . في الرسم التوضيحي، النقاط هي [16، 14، 13، 11]. يُسمى البت الأيمن في مسجل الإزاحة ذي التغذية الراجعة الخطية (LFSR) بت الإخراج، وهو دائمًا نقطة أيضًا. للحصول على الحالة التالية، تُجرى عملية XOR على بتات النقاط بالتسلسل؛ ثم تُزاح جميع البتات خانة واحدة إلى اليمين، مع تجاهل البت الأيمن، وتُعاد نتيجة عملية XOR لبتات النقاط إلى البت الأيسر الفارغ. للحصول على دفق الإخراج شبه العشوائي، تُقرأ البتة اليمنى بعد كل انتقال حالة.

• ينتج مسجل الإزاحة الخطي ذو الطول الأقصى تسلسلًا من النوع m (أي أنه يدور عبر جميع الحالات الممكنة 2 ^m  −  1 داخل مسجل الإزاحة باستثناء الحالة التي تكون فيها جميع البتات أصفارًا)، ما لم يكن يحتوي على جميع الأصفار، وفي هذه الحالة لن يتغير أبدًا.
• كبديل للتغذية الراجعة القائمة على عملية XOR في مسجل الإزاحة ذي التغذية الراجعة الخطية (LFSR)، يمكن استخدام عملية XNOR . ^{[ 2 ]} هذه العملية عبارة عن تحويل خطي ، وليست تحويلاً خطيًا بالمعنى الدقيق ، ولكنها تُنتج عدادًا متعدد الحدود مكافئًا تكون حالته مكملة لحالة مسجل الإزاحة ذي التغذية الراجعة الخطية. تُعتبر الحالة التي تحتوي على جميع القيم 1 غير مسموحة عند استخدام التغذية الراجعة XNOR، تمامًا كما تُعتبر الحالة التي تحتوي على جميع القيم 0 غير مسموحة عند استخدام XOR. تُعتبر هذه الحالة غير مسموحة لأن العداد سيظل "معلقًا" فيها. قد تكون هذه الطريقة مفيدة في مسجلات الإزاحة ذات التغذية الراجعة الخطية التي تستخدم قلابات تبدأ من حالة الصفر، لأنها لا تبدأ في حالة تعليق، مما يعني أن المسجل لا يحتاج إلى تهيئة لبدء التشغيل.

يمكن اعتبار سلسلة الأرقام التي يتم إنشاؤها بواسطة LFSR أو نظيره XNOR نظامًا رقميًا ثنائيًا صالحًا تمامًا مثل رمز غراي أو الرمز الثنائي الطبيعي.

يمكن التعبير عن ترتيب نقاط التغذية الراجعة في مسجل الإزاحة ذي التغذية الراجعة الخطية (LFSR) في حساب الحقول المنتهية على شكل متعددة حدود بتردد 2. وهذا يعني أن معاملات متعددة الحدود يجب أن تكون 1 أو 0. تُسمى هذه متعددة حدود التغذية الراجعة أو متعددة الحدود المميزة المقلوبة. على سبيل المثال، إذا كانت نقاط التغذية الراجعة عند البتات 16 و14 و13 و11 (كما هو موضح)، فإن متعددة حدود التغذية الراجعة هي

${\displaystyle x^{16}+x^{14}+x^{13}+x^{11}+1.}$

لا يُمثل الرقم "واحد" في كثير الحدود نقطة توصيل، بل يُمثل مدخل البت الأول (أي x ⁰ ، وهو ما يُعادل 1). تُمثل قوى الحدود البتات التي تم توصيلها، بدءًا من اليسار. يتم توصيل البت الأول والأخير دائمًا كمدخل ومخرج على التوالي.

تكون مسجلة الإزاحة الخطية ذات التغذية الراجعة (LFSR) ذات طول أقصى إذا وفقط إذا كانت متعددة الحدود المقابلة لها أولية على حقل غالوا GF(2). ^{[ 3 ] [ 4 ]} وهذا يعني أن الشروط التالية ضرورية (ولكنها غير كافية):

• عدد النقرات زوجي .
• مجموعة الصنبور هي مجموعة أولية فيما بينها ؛ أي أنه لا يجب أن يكون هناك قاسم مشترك بين جميع الصنبورات بخلاف 1.

ترد أدناه وفي المراجع جداول متعددة الحدود الأولية التي يمكن من خلالها إنشاء مسجلات الإزاحة الخطية ذات الطول الأقصى.

قد يوجد أكثر من تسلسل نقر ذي طول أقصى لطول معين في مسجل الإزاحة ذي التغذية الراجعة الخطية (LFSR). كذلك، بمجرد العثور على تسلسل نقر ذي طول أقصى، يتبعه تسلسل آخر تلقائيًا. إذا كان تسلسل النقر في مسجل إزاحة ذي تغذية راجعة خطية (LFSR) مكون من n بت هو [ n , A , B , C , 0] ، حيث يمثل الصفر الحد x₀ = ¹ ، فإن التسلسل "المرآوي" المقابل هو [ n , n - C , n - B , n - A , 0] . لذا، فإن تسلسل النقر [32, 22, 2, 1, 0] له نظير [32, 31, 30, 10, 0] . وكلاهما يمثل تسلسلًا ذا طول أقصى.  

فيما يلي مثال مكتوب بلغة C :

#include <stdint.h> unsigned lfsr_fib ( void ) { uint16_t start_state = 0xACE1u ; /* أي قيمة غير صفرية لحالة البداية ستعمل. */ uint16_t lfsr = start_state ; uint16_t bit ; /* يجب أن يكون 16 بت للسماح بـ bit<<15 لاحقًا في الكود */ unsigned period = 0 ;do { /* taps: 16 14 13 11; feedback polynomial: x^16 + x^14 + x^13 + x^11 + 1 */ bit = (( lfsr >> 0 ) ^ ( lfsr >> 2 ) ^ ( lfsr >> 3 ) ^ ( lfsr >> 5 )) & 1u ; lfsr = ( lfsr >> 1 ) | ( bit << 15 ); ++ period ; } while ( lfsr != start_state );إرجاع الفترة ؛ }

إذا كانت عملية التكافؤ السريع أو عملية عد البتات متاحة، فيمكن حساب بت التغذية الراجعة بكفاءة أكبر كحاصل ضرب نقطي للمسجل مع متعدد الحدود المميز:

• bit=parity(lfsr&0x002Du);أو ما يعادل ذلك
• bit=popcnt(lfsr&0x002Du)/* & 1u */;. ( & 1uيحول هذا دالة popcnt إلى دالة تكافؤ حقيقية، لكن عملية إزاحة البتات اللاحقة bit << 15تجعل البتات الأعلى غير ذات صلة.)

إذا كانت عملية الدوران متاحة، فيمكن حساب الحالة الجديدة على النحو التالي:

• lfsr=rotateright((lfsr&~1u)|(bit&1u),1);أو ما يعادل ذلك
• lfsr=rotateright(((bit^lfsr)&1u)^lfsr,1);

يُعرف هذا التكوين لدائرة تسجيل الإزاحة الخطية ذات التغذية الراجعة (LFSR) أيضًا باسم البوابات القياسية أو بوابات XOR متعددة إلى واحد أو البوابات الخارجية . أما تكوين غالوا البديل، فسيتم شرحه في القسم التالي.

start_state = 1 << 15 | 1 lfsr = start_state period = 0بينما صحيح : عدد النقرات: 16 15 13 4؛ متعددة الحدود للتغذية الراجعة: x^16 + x^15 + x^13 + x^4 + 1 بت = ( lfsr ^ ( lfsr >> 1 ) ^ ( lfsr >> 3 ) ^ ( lfsr >> 12 )) & 1 lfsr = ( lfsr >> 1 ) | ( بت << 15 ) الفترة += 1 إذا كانت lfsr == حالة_البداية : اطبع ( الفترة ) توقف

سميت هذه التقنية نسبةً إلى عالم الرياضيات الفرنسي إيفاريست غالوا ، وتُعرف أيضًا باسم مسجل الإزاحة ذي التغذية الخطية الخطية (LFSR) في تكوين غالوا، أو ما يُعرف أيضًا باسم مُعاملات XOR الداخلية أو مسجل الإزاحة ذي التغذية الخطية الخطية من نوع واحد إلى متعدد. وهي بنية بديلة قادرة على توليد نفس تدفق الإخراج الذي يُولّده مسجل الإزاحة ذي التغذية الخطية الخطية التقليدي (ولكن بإزاحة زمنية). ^{[ 5 ]} في تكوين غالوا، عند تشغيل النظام، تُزاح البتات غير المُمثلة لنقاط التوصيل خانةً واحدةً إلى اليمين دون تغيير. أما نقاط التوصيل، فتُجرى عليها عملية XOR مع بت الإخراج قبل تخزينها في الخانة التالية. يُصبح بت الإخراج الجديد هو بت الإدخال التالي. ونتيجةً لذلك، عندما يكون بت الإخراج صفرًا، تُزاح جميع البتات في المسجل إلى اليمين دون تغيير، ويُصبح بت الإدخال صفرًا. عندما تكون بتة الإخراج واحدة، تنقلب جميع البتات في مواضع النقر (إذا كانت 0، تصبح 1، وإذا كانت 1، تصبح 0)، ثم يتم إزاحة السجل بأكمله إلى اليمين وتصبح بتة الإدخال 1.

لإنتاج نفس تدفق الإخراج، يكون ترتيب نقاط الإدخال معاكساً ( انظر أعلاه) لترتيبها في مسجل الإزاحة الخطي ذي التغذية الراجعة التقليدي، وإلا فسيكون التدفق معكوساً. لاحظ أن الحالة الداخلية لمسجل الإزاحة الخطي ذي التغذية الراجعة ليست بالضرورة متطابقة. يمتلك مسجل غالوا الموضح نفس تدفق الإخراج لمسجل فيبوناتشي في القسم الأول. يوجد فرق زمني بين التدفقات، لذا يلزم نقطة بداية مختلفة للحصول على نفس الإخراج في كل دورة.

• لا تقوم مسجلات الإزاحة الخطية ذات التغذية الراجعة من نوع Galois بربط كل نقطة لإنتاج المدخل الجديد (يتم إجراء عملية XOR داخل مسجل الإزاحة الخطية ذات التغذية الراجعة، ولا يتم تشغيل بوابات XOR بالتسلسل، وبالتالي يتم تقليل أوقات الانتشار إلى وقت XOR واحد بدلاً من سلسلة كاملة)، وبالتالي من الممكن حساب كل نقطة بالتوازي، مما يزيد من سرعة التنفيذ.
• في تطبيق برمجي لـ LFSR، يكون شكل Galois أكثر كفاءة، حيث يمكن تنفيذ عمليات XOR كلمة تلو الأخرى: يجب فحص بت الإخراج بشكل فردي فقط.

فيما يلي مثال على كود C لمثال Galois LFSR ذي الفترة القصوى 16 بت في الشكل:

#include <stdint.h> unsigned lfsr_galois ( void ) { uint16_t start_state = 0xACE1u ; /* أي قيمة غير صفرية لحالة البداية ستعمل. */ uint16_t lfsr = start_state ; unsigned period = 0 ;do { #ifndef LEFT unsigned lsb = lfsr & 1u ; /* الحصول على البت الأقل أهمية (أي بت الإخراج). */ lfsr >>= 1 ; /* مسجل الإزاحة */ if ( lsb ) /* إذا كان بت الإخراج 1، */ lfsr ^= 0xB400u ; /* تطبيق قناع التبديل. */ #else unsigned msb = ( int16_t ) lfsr < 0 ; /* الحصول على البت الأكثر أهمية (أي بت الإخراج). */ lfsr <<= 1 ; /* مسجل الإزاحة */ if ( msb ) /* إذا كان بت الإخراج 1، */ lfsr ^= 0x002Du ; /* تطبيق قناع التبديل. */ #endif ++ period ; } while ( lfsr != start_state );إرجاع الفترة ؛ }

يمكن كتابة الفرع أيضًا على النحو التالي، مما قد ينتج عنه كود أكثر كفاءة على بعض المترجمات. بالإضافة إلى ذلك، قد ينتج عن صيغة الإزاحة إلى اليسار كودًا أفضل، لأن البت الأكثر أهمية هو بت الحمل الناتج عن إضافة إلى نفسه.if(lsb)lfsr^=0xB400u;lfsr^=(-lsb)&0xB400u;lfsr

#include <stdint.h>uint64_t prsg63 ( uint64_t lfsr ) { lfsr = lfsr << 32 | ( lfsr << 1 ^ lfsr << 2 ) >> 32 ; lfsr = lfsr << 32 | ( lfsr << 1 ^ lfsr << 2 ) >> 32 ; return lfsr ; }

كما أوضح جورج مارساجليا ^{[ 6 ]} وحلله ريتشارد ب. برنت ^{[ 7 ]،} يمكن تنفيذ مسجلات الإزاحة ذات التغذية الراجعة الخطية باستخدام عمليات XOR والإزاحة. يتيح هذا النهج تنفيذًا سريعًا في البرمجيات لأن هذه العمليات تُترجم عادةً بكفاءة إلى تعليمات المعالجات الحديثة.

فيما يلي مثال على كود C لـ Xorshift LFSR ذي فترة قصوى 16 بت باستخدام الثلاثية 7،9،13 من جون ميتكالف: ^{[ 8 ]}

#include <stdint.h> unsigned lfsr_xorshift ( void ) { uint16_t start_state = 0xACE1u ; /* أي قيمة غير صفرية لحالة البداية ستعمل. */ uint16_t lfsr = start_state ; unsigned period = 0 ;do { // ثلاثية 7، 9، 13 من http://www.retroprogramming.com/2017/07/xorshift-pseudorandom-numbers-in-z80.html lfsr ^= lfsr >> 7 ; lfsr ^= lfsr << 9 ; lfsr ^= lfsr >> 13 ; ++ period ; } while ( lfsr != start_state );إرجاع الفترة ؛ }

يمكن التعبير عن مسجلات الإزاحة الخطية الخطية الثنائية ذات التكوينات فيبوناتشي وغالوا كدوال خطية باستخدام المصفوفات في${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$(انظر GF(2) ). ^{[ 9 ]} باستخدام المصفوفة المصاحبة لكثير الحدود المميز لـ LFSR، وتعيين البذرة كمتجه عمودي${\displaystyle (a_{0},a_{1},\dots ,a_{n-1})^{\mathrm {T} }}$، حالة السجل في تكوين فيبوناتشي بعد${\displaystyle k}$يتم تحديد الخطوات بواسطة

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{k}\\a_{k+1}\\a_{k+2}\\\vdots \\a_{k+n-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\ddots &\vdots \\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &0\\0&0&\cdots &0&1\\c_{0}&c_{1}&\cdots &\cdots &c_{n-1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{k-1}\\a_{k}\\a_{k+1}\\\vdots \\a_{k+n-2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\ddots &\vdots \\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &0\\0&0&\cdots &0&1\\c_{0}&c_{1}&\cdots &\cdots &c_{n-1}\end{pmatrix}}^{k}{\begin{pmatrix}a_{0}\\a_{1}\\a_{2}\\\vdots \\a_{n-1}\end{pmatrix}}}$

مصفوفة شكل غالوا المقابل هي  :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}c_{n-1}&1&0&\cdots &0\\c_{n-2}&0&1&\ddots &\vdots \\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &0\\c_{1}&0&\cdots &0&1\\c_{0}&0&\cdots &\cdots &0\end{pmatrix}}}$

للحصول على تهيئة مناسبة،

${\displaystyle a'_{i}=\sum _{j=0}^{i}a_{ij}c_{i},\ 0\leq i<n}$

المعامل العلوي لمتجه العمود  :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}c_{n-1}&1&0&\cdots &0\\c_{n-2}&0&1&\ddots &\vdots \\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &0\\c_{1}&0&\cdots &0&1\\c_{0}&0&\cdots &\cdots &0\end{pmatrix}}^{k}{\begin{pmatrix}a'_{0}\\a'_{1}\\a'_{2}\\\vdots \\a'_{n-1}\end{pmatrix}}}$

يعطي الحد k _من المتتالية الأصلية.

تتعمم هذه الأشكال بشكل طبيعي على الحقول العشوائية.

يُبيّن الجدول التالي أمثلةً على كثيرات الحدود ذات التغذية الراجعة ذات الطول الأقصى ( كثيرات الحدود الأولية ) لأطوال مسجلات الإزاحة التي تصل إلى 24. وقد طوّر سولومون دبليو. غولومب الصيغة الرياضية لمسجلات الإزاحة ذات التغذية الراجعة ذات الطول الأقصى في كتابه الصادر عام 1967. ^{[ 10 ]} يزداد عدد كثيرات الحدود الأولية المختلفة أُسّيًا مع طول مسجل الإزاحة، ويمكن حسابه بدقة باستخدام دالة أويلر ^{[ 11 ]} (المتتالية A011260 في OEIS ) .

بتات (ن)	متعدد الحدود للتغذية الراجعة	صنابير	صنابير ( سداسي )	فترة (${\displaystyle 2^{n}-1}$)
2	${\displaystyle x^{2}+x+1}$	11	0x3	3
3	${\displaystyle x^{3}+x^{2}+1}$	110	0x6	7
4	${\displaystyle x^{4}+x^{3}+1}$	1100	0xC	15
5	${\displaystyle x^{5}+x^{3}+1}$	10100	0x14	31
6	${\displaystyle x^{6}+x^{5}+1}$	110000	0x30	63
7	${\displaystyle x^{7}+x^{6}+1}$	1100000	0x60	127
8	${\displaystyle x^{8}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+1}$	10111000	0xB8	255
9	${\displaystyle x^{9}+x^{5}+1}$	100010000	0x110	511
10	${\displaystyle x^{10}+x^{7}+1}$	1001000000	0x240	1023
11	${\displaystyle x^{11}+x^{9}+1}$	10100000000	0x500	2047
12	${\displaystyle x^{12}+x^{11}+x^{10}+x^{4}+1}$	111000001000	0xE08	4095
13	${\displaystyle x^{13}+x^{12}+x^{11}+x^{8}+1}$	1110010000000	0x1C80	8191
14	${\displaystyle x^{14}+x^{13}+x^{12}+x^{2}+1}$	11100000000010	0x3802	16383
15	${\displaystyle x^{15}+x^{14}+1}$	110000000000000	0x6000	32,767
16	${\displaystyle x^{16}+x^{15}+x^{13}+x^{4}+1}$	1101000000001000	0xD008	65,535
17	${\displaystyle x^{17}+x^{14}+1}$	10010000000000000	0x12000	131,071
18	${\displaystyle x^{18}+x^{11}+1}$	100000010000000000	0x20400	262,143
19	${\displaystyle x^{19}+x^{18}+x^{17}+x^{14}+1}$	1110010000000000000	0x72000	524,287
20	${\displaystyle x^{20}+x^{17}+1}$	10010000000000000000	0x90000	1,048,575
21	${\displaystyle x^{21}+x^{19}+1}$	101000000000000000000	0x140000	2,097,151
22	${\displaystyle x^{22}+x^{21}+1}$	1100000000000000000000	0x300000	4,194,303
23	${\displaystyle x^{23}+x^{18}+1}$	10000100000000000000000	0x420000	8,388,607
24	${\displaystyle x^{24}+x^{23}+x^{22}+x^{17}+1}$	111000010000000000000000	0xE10000	16,777,215

• تظهر الأصفار والآحاد في "سلاسل". على سبيل المثال، يتكون تيار الإخراج 1110010 من أربع سلاسل بأطوال 3، 2، 1، 1، على التوالي. في دورة واحدة من مسجل الإزاحة ذي التغذية الراجعة الخطية القصوى (LFSR)، تحدث 2 ^{^n - 1} سلسلة (في المثال أعلاه، يحتوي مسجل الإزاحة ذو التغذية الراجعة الخطية ذو 3 بتات على 4 سلاسل). نصف هذه السلاسل بالضبط بطول بت واحد، وربعها بطول بتين، وصولاً إلى سلسلة واحدة من الأصفار بطول n  -  1 بت، وسلسلة واحدة من الآحاد بطول n بت. يكاد هذا التوزيع يساوي القيمة المتوقعة إحصائيًا لتسلسل عشوائي حقيقي. مع ذلك، فإن احتمال العثور على هذا التوزيع تحديدًا في عينة من تسلسل عشوائي حقيقي منخفض نسبيًا .
• تتميز تدفقات خرج مسجل الإزاحة ذي التغذية الخطية (LFSR) بأنها حتمية . فإذا عُرفت الحالة الحالية ومواقع بوابات XOR في المسجل، يُمكن التنبؤ بالحالة التالية. ^{[ 12 ]} وهذا غير ممكن مع الأحداث العشوائية تمامًا. أما مع مسجلات الإزاحة ذات التغذية الخطية ذات الطول الأقصى، فيسهل حساب الحالة التالية، نظرًا لوجود عدد محدود منها لكل طول.
• إن تدفق الإخراج قابل للعكس؛ فجهاز LFSR ذو نقاط التوصيل المتطابقة سيعمل من خلال تسلسل الإخراج بترتيب عكسي.
• لا يمكن أن تظهر قيمة تتكون من أصفار فقط. وبالتالي، لا يمكن استخدام مسجل إزاحة خطي ذي تغذية راجعة بطول n لتوليد جميع القيم 2^ ^{n .}

يمكن تنفيذ مسجلات الإزاحة الخطية ذات التغذية الراجعة (LFSRs) في الأجهزة، مما يجعلها مفيدة في التطبيقات التي تتطلب توليدًا سريعًا جدًا لتسلسل شبه عشوائي، مثل راديو الطيف المنتشر ذي التسلسل المباشر . كما استُخدمت مسجلات الإزاحة الخطية ذات التغذية الراجعة (LFSRs) لتوليد تقريب للضوضاء البيضاء في العديد من مولدات الصوت القابلة للبرمجة .

• دولاب الهواء
• ميرسين تويستر
• تسلسل ذو طول أقصى
• مسجل إزاحة التغذية الراجعة التناظرية
• NLFSR ، مسجل إزاحة التغذية الراجعة غير الخطية
• عداد الحلقات
• متتالية ثنائية شبه عشوائية
• تسلسل ذهبي
• تسلسل JPL
• تسلسل كاسامي
• خوارزمية بيرلكامب-ماسي

• https://web.archive.org/web/20161007061934/http://courses.cse.tamu.edu/csce680/walker/lfsr_table.pdf
• https://users.ece.cmu.edu/~koopman/lfsr/index.html — جداول متعددة الحدود ذات الطول الأقصى للتغذية الراجعة لـ 2-64 بت.
• https://github.com/hayguen/mlpolygen — كود لتوليد كثيرات حدود التغذية الراجعة ذات الطول الأقصى

• سجلات الإزاحة الخطية ذات التغذية الراجعة (LFSR) والتوليد الذاتي للعشوائية: ملاحظات من NKS