إعادة أخذ العينات باستخدام لانكزوس

يُحدد تأثير كل عينة إدخال على القيم المُستكملة بواسطة نواة إعادة بناء المرشح L ( x ) ، والتي تُسمى نواة لانكزوس. وهي دالة sinc المُعَيَّرة sinc( x ) ، مُطبَّقة (مُضروبة) في نافذة لانكزوس .أو نافذة sinc ، وهي الفص المركزي لدالة sinc الممتدة أفقيًا sinc( x / a ) لـ − a ≤ x ≤ a .

${\displaystyle L(x)={\begin{cases}\operatorname {sinc} (x)\operatorname {sinc} (x/a)&{\text{إذا كان}}\ -a<x<a,\\0&{\text{فيما عدا ذلك}}.\end{cases}}}$

وبعبارة أخرى،

${\displaystyle L(x)={\begin{cases}1&{\text{إذا كان}}\ x=0,\\{\dfrac {a\sin(\pi x)\sin(\pi x/a)}{\pi ^{2}x^{2}}}&{\text{إذا كان}}\ -a\leq x<a\ {\text{و}}\ x\neq 0,\\0&{\text{فيما عدا ذلك}}.\end{cases}}}$

المعامل a هو عدد صحيح موجب، عادةً 2 أو 3، يحدد حجم النواة. تحتوي نواة لانكزوس على 2a - 1 فصًا: فص موجب في المركز، و a - 1 فصًا متناوبًا بين السالب والموجب على كل جانب.

بالنظر إلى إشارة أحادية البعد مع عينات s _i ، بالنسبة للقيم الصحيحة لـ i ، يتم الحصول على القيمة S ( x ) المستوفاة عند وسيط حقيقي عشوائي x عن طريق الالتفاف المنفصل لتلك العينات مع نواة لانكزوس: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle S(x)=\sum _{i=\lfloor x\rfloor -a+1}^{\lfloor x\rfloor +a}s_{i}L(xi),}$

حيث يمثل a معامل حجم المرشح، و${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$هي دالة الجزء الصحيح . حدود هذا المجموع هي بحيث تكون النواة صفرًا خارجها.

يُعد مرشح sinc ، ذو الدعم اللانهائي، المرشح الأمثل نظريًا لإعادة بناء الإشارات محدودة النطاق . ويُعد مرشح Lanczos أحد التقريبات العملية (ذات الدعم المحدود) لمرشح sinc. كل قيمة مُستكمَلة هي مجموع مرجح لـ 2a عينة إدخال متتالية. وبالتالي، بتغيير قيمة المعامل 2a ، يُمكن الموازنة بين سرعة الحساب وتحسين استجابة التردد. كما يُتيح هذا المعامل الاختيار بين استيفاء أكثر سلاسة أو الحفاظ على حدة الإشارات العابرة في البيانات. في معالجة الصور، تكمن المفاضلة بين تقليل تشوهات التداخل والحفاظ على الحواف الحادة. وكما هو الحال في أي معالجة من هذا القبيل، لا توجد نتائج لحدود الصورة. زيادة طول النواة يزيد من اقتصاص حواف الصورة.

تمت مقارنة مرشح لانكزوس مع طرق استيفاء أخرى للإشارات المنفصلة، ​​وخاصةً الإصدارات الأخرى ذات النوافذ لمرشح sinc. زعم توركوفسكي وغابرييل أن مرشح لانكزوس (مع a = 2 ) هو "أفضل حل وسط من حيث تقليل التداخل، والحدة، والحد الأدنى من الرنين"، مقارنةً بمرشح sinc المقتطع ومرشحات sinc ذات نوافذ بارتليت ، وجيب التمام ، وهان ، وذلك لتقليل عدد العينات واستيفاء بيانات الصور ثنائية الأبعاد. ^{[ 1 ]} ووفقًا لجيم بلين ، فإن نواة لانكزوس (مع a = 3 ) "تحافظ على الترددات المنخفضة وترفض الترددات العالية بشكل أفضل من أي مرشح (متاح) رأيناه حتى الآن". ^{[ 6 ]}

يعد استيفاء لانكزوس مرشحًا شائعًا لـ "ترقية" مقاطع الفيديو في العديد من أدوات الوسائط، مثل AviSynth ^{[ 7 ]} و FFmpeg . ^{[ 8 ]}

بما أن النواة تفترض قيمًا سالبة عندما تكون قيمة a أكبر من 1 ، فقد تكون الإشارة المُستكملة سالبة حتى لو كانت جميع العينات موجبة. وبشكل عام، قد يكون نطاق قيم الإشارة المُستكملة أوسع من نطاق قيم العينات المنفصلة. وعلى وجه الخصوص، قد تظهر تشوهات رنينية قبل وبعد التغيرات المفاجئة في قيم العينات، مما قد يؤدي إلى تشوهات قص . ومع ذلك، فإن هذه التأثيرات أقل مقارنةً بمرشح sinc (غير المُقسّم إلى نافذة). فعندما تكون a  =  2 (نواة ثلاثية الفصوص)، تكون نسبة الرنين  أقل من  1%.

عند استخدام مرشح لانكزوس لإعادة تشكيل الصور، يُنتج تأثير التموج هالات فاتحة وداكنة على طول الحواف البارزة. ورغم أن هذه الهالات قد تكون مزعجة بصريًا، إلا أنها تُسهم في زيادة حدة الصورة المُدركة ، وبالتالي تُحسّن من وضوح الحواف . وهذا بدوره قد يُحسّن من جودة الصورة، نظرًا للدور المحوري الذي يلعبه وضوح الحواف في الرؤية . ^{[ 9 ]}

في بعض التطبيقات، يمكن تحسين تشوهات القطع في الترددات المنخفضة عن طريق تحويل البيانات إلى نطاق لوغاريتمي قبل التصفية. في هذه الحالة، ستكون القيم المُستكملة عبارة عن متوسط ​​هندسي مرجح، وليس متوسطًا حسابيًا، لعينات الإدخال.

لا تمتلك نواة لانكزوس خاصية تجزئة الوحدة . أي أن المجموع${\textstyle U(x)=\sum _{i\in \mathbb {Z} }L(x-i)}$لا يساوي عدد جميع النسخ المترجمة من النواة دائمًا 1. لذلك، فإن استيفاء لانكزوس لإشارة منفصلة ذات عينات ثابتة لا ينتج عنه دالة ثابتة. يظهر هذا العيب بوضوح عندما تكون قيمة a تساوي 1. كذلك، عند a = 1، تكون مشتقة الإشارة المستوفاة صفرًا عند كل وسيط صحيح. هذا الأمر نظريٌّ إلى حدٍّ ما، لأن استخدام نواة أحادية الفص ( a = 1) يُفقد جميع مزايا منهج لانكزوس ويُنتج مرشحًا ضعيفًا. توجد العديد من دوال التقطيع الأفضل أحادية الفص ذات الشكل الجرسيّ.   

يمكن إدخال تجزئة الوحدة عن طريق التطبيع،

${\displaystyle L'(x-i)={\frac {L(x-i)}{\sum _{j=1-a}^{a}L(x-j)}}}$

ل${\displaystyle 0\leq x<1}$.