عدد الكم السمتي

في ميكانيكا الكم ، الرقم الكمي السمتي ℓ هو رقم كمي للمدار الذري يحدد الزخم الزاوي المداري ويصف جوانب الشكل الزاوي للمدار. الرقم الكمي السمتي هو الثاني من مجموعة من الأرقام الكمومية التي تصف الحالة الكمومية الفريدة للإلكترون ( الأرقام الأخرى هي الرقم الكمي الرئيسي n والرقم الكمي المغناطيسي m _ℓ والرقم الكمي الدوراني m _s ).

بالنسبة لقيمة معينة للعدد الكمي الرئيسي n ( غلاف الإلكترون )، فإن القيم الممكنة لـ ℓ هي الأعداد الصحيحة من 0 إلى n − 1. على سبيل المثال، الغلاف n = 1  له مدارات فقط ذات ، والغلاف n = 2  له مدارات فقط ذات ، و . ${\displaystyle \ell =0}$${\displaystyle \ell =0}$${\displaystyle \ell =1}$

بالنسبة لقيمة معينة للعدد الكمي السمتي ℓ ، فإن القيم الممكنة للعدد الكمي المغناطيسي m _ℓ هي الأعداد الصحيحة من m _ℓ =-ℓ إلى m _ℓ =+ℓ ، بما في ذلك 0. بالإضافة إلى ذلك، يمكن للعدد الكمي المغزلي m _s أن يأخذ قيمتين مختلفتين. تسمى مجموعة المدارات المرتبطة بقيمة معينة من  ℓ أحيانًا بشكل جماعي بالغلاف الفرعي .

على الرغم من استخدامها في الأصل للذرات المعزولة فقط، تلعب المدارات الشبيهة بالذرات دورًا رئيسيًا في تكوين الإلكترونات في المركبات بما في ذلك الغازات والسوائل والمواد الصلبة. يلعب الرقم الكمي ℓ دورًا مهمًا هنا من خلال الاتصال بالاعتماد الزاوي للتوافقيات الكروية للمدارات المختلفة حول كل ذرة.

تم تقديم مصطلح "العدد الكمومي السمتي" بواسطة أرنولد سومرفيلد في عام 1915 ^{[1] : II:132} كجزء من وصف خاص لبنية طاقة الأطياف الذرية. لاحقًا فقط مع النموذج الكمومي للذرة، كان من المفهوم أن هذا العدد، ℓ ، ينشأ من كمية الزخم الزاوي المداري. بعض الكتب المدرسية ^{[2] : 199} ومعيار ISO 80000-10:2019 ^[3] يطلق على ℓ العدد الكمومي لزخم الزاوية المداري .

تعتمد مستويات الطاقة للذرة في مجال مغناطيسي خارجي على قيمة m _ℓ ، لذلك يطلق عليها أحيانًا الرقم الكمي المغناطيسي. ^{[4] : 240}

يُستخدم الحرف الصغير ℓ للإشارة إلى الزخم الزاوي المداري لجسيم واحد. بالنسبة للنظام الذي يحتوي على جسيمات متعددة، يُستخدم الحرف الكبير L. ^[3]

هناك أربعة أرقام كمية - n و ℓ و m _ℓ و m _s - مرتبطة بحالات الطاقة لإلكترونات الذرة المعزولة. تحدد هذه الأرقام الأربعة الحالة الكمية الفريدة والكاملة لأي إلكترون مفرد في الذرة ، وتتحد لتكوين دالة الموجة للإلكترون أو المدار .

عند الحل للحصول على دالة الموجة، تتحلل معادلة شرودنجر إلى ثلاث معادلات تؤدي إلى أول ثلاثة أرقام كمية، مما يعني أن المعادلات الثلاث مترابطة. ينشأ الرقم الكمي السمتي عند حل الجزء القطبي من معادلة الموجة - بالاعتماد على نظام الإحداثيات الكروية ، والذي يعمل بشكل أفضل بشكل عام مع النماذج التي تحتوي على جوانب كافية من التناظر الكروي .

يرتبط الزخم الزاوي للإلكترون، L ، بعدده الكمي ℓ بالمعادلة التالية: حيث ħ هو ثابت بلانك المختزل ، وL هو عامل الزخم الزاوي المداري و هو دالة الموجة للإلكترون. يكون العدد الكمي ℓ دائمًا عددًا صحيحًا غير سالب: 0، 1، 2، 3، إلخ. (ومن الجدير بالذكر أن L ليس له معنى حقيقي إلا في استخدامه كمشغل للزخم الزاوي؛ وبالتالي، من الممارسات القياسية استخدام العدد الكمي ℓ عند الإشارة إلى الزخم الزاوي). $${\displaystyle \mathbf {L} ^{2}\Psi =\hbar ^{2}\ell (\ell +1)\Psi ,}$$${\displaystyle \Psi }$

تتميز المدارات الذرية بأشكال مميزة (انظر الرسم البياني العلوي) حيث تشير الحروف s و p و d و f وما إلى ذلك (باستخدام اتفاقية نشأت في علم الطيف ) إلى شكل المدار الذري . تتخذ الدوال الموجية لهذه المدارات شكل التوافقيات الكروية ، وبالتالي يتم وصفها بواسطة متعددات حدود ليجيندر . تسمى المدارات العديدة المتعلقة بالقيم المختلفة (الصحيحة) لـ ℓ أحيانًا بأغلفة فرعية - يشار إليها بأحرف لاتينية صغيرة تم اختيارها لأسباب تاريخية - كما هو موضح في الجدول "الأغلفة الفرعية الكمومية للرقم الكمومي السمتي".

الأغلفة الكمومية الفرعية للعدد الكمومي السمتي

العدد الكمي السمتي ( ℓ )	رسالة تاريخية	الاسم التاريخي [5] : II:133	الحد الأقصى للإلكترونات	شكل
0	س	حاد​	2	كروي (انظر هذه الصورة للتوافقيات الكروية، الصف العلوي ).
1	ص	رئيسي​	6	ثلاثة مدارات قطبية على شكل دمبل ؛ فص واحد على كل قطب من محاور x وy وz (على كل من المحورين + و-).
2	د	د ينتشر	10	تسعة دمبلز ودونات واحدة، أو "الشكل الفريد رقم 1" (انظر هذه الصورة للتوافقيات الكروية، الصف الثالث الأوسط ).
3	ف	أساسي​	14	"الشكل الفريد رقم 2" (انظر هذه الصورة للتوافقيات الكروية، وسط الصف السفلي ).
4	ج		18
5	ح		22
6	أنا		26
تتبع الحروف بعد الغلاف الفرعي g الترتيب الأبجدي، باستثناء الحرف  j وتلك المستخدمة بالفعل.

يمكن لكل حالة من حالات الزخم الزاوي المختلفة أن تأخذ 2(2 ℓ  + 1) إلكترون. وذلك لأن الرقم الكمي الثالث m _ℓ (والذي يمكن اعتباره بشكل فضفاض الإسقاط الكمي لمتجه الزخم الزاوي على المحور z) يمتد من − ℓ إلى ℓ بوحدات صحيحة، وبالتالي هناك 2 ℓ  + 1 حالة ممكنة. يمكن أن يشغل كل مدار مميز n و ℓ و m ℓ _{إلكترونين} بدوران متعاكسان (يُعطى بواسطة الرقم الكمي m _s  = ± 1 ⁄ 2 )، مما يعطي 2(2 ℓ  + 1) إلكترون بشكل عام. المدارات ذات ℓ أعلى من الموضح في الجدول مسموح بها تمامًا، لكن هذه القيم تغطي جميع الذرات التي تم اكتشافها حتى الآن.

بالنسبة لقيمة معينة للعدد الكمي الرئيسي n ، تتراوح القيم الممكنة لـ ℓ من 0 إلى n − 1 ؛ وبالتالي، فإن الغلاف n = 1 يمتلك غلافًا فرعيًا s فقط ويمكنه أن يأخذ إلكترونين فقط، والغلاف n = 2 يمتلك غلافًا فرعيًا s و p ويمكنه أن يأخذ 8 إلكترونات في المجمل، والغلاف n = 3 يمتلك غلافات فرعية s و p و d ولديه حد أقصى قدره 18 إلكترونًا، وهكذا.

يؤدي نموذج الإلكترون الواحد البسيط إلى مستويات طاقة تعتمد على العدد الأساسي وحده. في الذرات الأكثر تعقيدًا، تنقسم مستويات الطاقة هذه لجميع n > 1 ، مما يضع حالات ℓ الأعلى فوق حالات ℓ الأدنى . على سبيل المثال، طاقة 2p أعلى من 2s، و3d أعلى من 3p، والتي بدورها أعلى من 3s، وهكذا. يشكل هذا التأثير في النهاية بنية الكتلة للجدول الدوري. لا تمتلك أي ذرة معروفة إلكترونًا له ℓ أعلى من ثلاثة ( f ) في حالته الأساسية .

يتحكم رقم الكم للزخم الزاوي، ℓ والتوافقية الكروية المقابلة في عدد العقد المستوية التي تمر عبر النواة. يمكن وصف العقدة المستوية في الموجة الكهرومغناطيسية بأنها نقطة المنتصف بين القمة والقاع، والتي لها قيم صفرية. في المدار s، لا تمر أي عقدة عبر النواة، وبالتالي فإن رقم الكم السمتي المقابل ℓ يأخذ القيمة 0. في المدار p ، تمر عقدة واحدة عبر النواة وبالتالي فإن ℓ لها قيمة 1. لها القيمة . ${\displaystyle L}$${\displaystyle {\sqrt {2}}\hbar }$

اعتمادًا على قيمة n ، يوجد رقم كمي للزخم الزاوي ℓ والسلسلة التالية. الأطوال الموجية المدرجة هي لذرة الهيدروجين :

بالنظر إلى زخم زاوي إجمالي كمي هو مجموع زخمين زاويين كميين فرديين و ، فإن الرقم الكمي المرتبط بحجمه يمكن أن يتراوح من إلى بخطوات صحيحة حيث وهما أرقام كمية تتوافق مع أحجام الزخمين الزاويين الفرديين. ${\displaystyle \mathbf {j} }$${\displaystyle {\boldsymbol {\ell }}_{1}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\ell }}_{2}}$$${\displaystyle \mathbf {j} ={\boldsymbol {\ell }}_{1}+{\boldsymbol {\ell }}_{2}}$$ ${\displaystyle j}$${\displaystyle \ell _{1}-\ell _{2}|}$${\displaystyle \ell _{1}+\ell _{2}}$${\displaystyle \ell _{1}}$${\displaystyle \ell _{2}}$

بسبب تفاعل الدوران-المدار في الذرة، لم يعد الزخم الزاوي المداري يتبادل مع هاملتوني ، ولا يدور أيضًا . وبالتالي يتغير هذا بمرور الوقت. ومع ذلك، فإن الزخم الزاوي الكلي J يتبادل مع هاملتوني أحادي الإلكترون وبالتالي يكون ثابتًا. يتم تعريف J على أنه L هو الزخم الزاوي المداري و S هو الدوران. يلبي الزخم الزاوي الكلي نفس علاقات التبديل مثل الزخم الزاوي المداري ، أي مما يلي حيث J _i تمثل J _x و J _y و J _z . $${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {L} +\mathbf {S} }$$ $${\displaystyle [J_{i},J_{j}]=i\hbar \varepsilon _{ijk}J_{k}}$$$${\displaystyle \left[J_{i},J^{2}\right]=0}$$

الأرقام الكمومية التي تصف النظام، والتي تكون ثابتة بمرور الوقت، هي الآن j و m _j ، والتي يتم تحديدها من خلال تأثير J على الدالة الموجية${\displaystyle \Psi }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {J} ^{2}\Psi &=\hbar ^{2}j(j+1)\Psi \\[1ex]\mathbf {J} _{z} \Psi &=\hbar m_{j}\Psi \end{محاذاة}}}$$

وبالتالي فإن j يرتبط بمعيار الزخم الزاوي الكلي و m _j بإسقاطه على طول محور محدد. يتمتع الرقم j بأهمية خاصة في الكيمياء الكمومية النسبية ، وغالبًا ما يظهر في الرمز السفلي للحالات الأعمق بالقرب من النواة حيث يكون اقتران الدوران المداري مهمًا.

كما هو الحال مع أي زخم زاوي في ميكانيكا الكم ، لا يمكن تعريف إسقاط J على طول محاور أخرى مع J _z ، لأنهما لا يتبادلان. المتجهات الذاتية لـ j و s و m _j والتكافؤ، والتي هي أيضًا متجهات ذاتية للهاميلتونيان، هي تركيبات خطية للمتجهات الذاتية لـ ℓ و s و m _ℓ و m _s .

تشير الأرقام الكمومية للزخم الزاوي بدقة إلى الذرات المعزولة. ومع ذلك، فإن لها استخدامات أوسع للذرات في المواد الصلبة أو السوائل أو الغازات. يتوافق الرقم الكمومي ℓm مع التوافقيات الكروية المحددة ويُستخدم عادةً لوصف السمات التي لوحظت في الطرق الطيفية مثل مطيافية الفوتون الإلكتروني بالأشعة السينية ^[6] ومطيافية فقدان طاقة الإلكترون . ^[7] (الترميز مختلف قليلاً، مع ترميز الأشعة السينية حيث تُستخدم K وL وM للإثارات خارج حالات الإلكترون مع .) ${\displaystyle n=0,1,2}$

تُستخدم أيضًا أرقام الكم للزخم الزاوي عندما يتم وصف حالات الإلكترون بطرق مثل نظرية كثافة كون-شام الوظيفية ^[8] أو مع المدارات الغاوسية . ^[9] على سبيل المثال، في السيليكون، ترجع الخصائص الإلكترونية المستخدمة في جهاز أشباه الموصلات إلى الحالات الشبيهة بـ p مع مركز كل ذرة، بينما تعتمد العديد من خصائص المعادن الانتقالية على الحالات الشبيهة بـ d مع . ^[10]${\displaystyle l=1}$${\displaystyle l=2}$

تم نقل الرقم الكمي السمتي من نموذج بور للذرة ، وقد وضعه أرنولد سومرفيلد . ^[11] تم اشتقاق نموذج بور من التحليل الطيفي للذرات بالاشتراك مع نموذج رذرفورد الذري. وجد أن أدنى مستوى كمي له زخم زاوي يساوي صفرًا. تم اعتبار المدارات ذات الزخم الزاوي الصفري بمثابة شحنات متذبذبة في بُعد واحد، وبالتالي تم وصفها بأنها مدارات "بندول"، ولكن لم يتم العثور عليها في الطبيعة. ^[12] في الأبعاد الثلاثة تصبح المدارات كروية بدون أي عقد تعبر النواة، على غرار (في حالة الطاقة الأدنى) حبل القفز الذي يتذبذب في دائرة واحدة كبيرة.

• مقدمة في ميكانيكا الكم
• جسيم في جهد كروي متماثل
• اقتران الزخم الزاوي
• عامل الزخم الزاوي
• معاملات كليبسش-جوردان

• تطور ذرة بور
• تم شرح معادلة السمت