تحويل لابلاس-ستيلتيس

تحويل لابلاس -ستيلتيس ، نسبةً إلى بيير سيمون لابلاس وتوماس يوهانس ستيلتيس ، هو تحويل تكاملي مشابه لتحويل لابلاس . بالنسبة للدوال ذات القيم الحقيقية ، فهو تحويل لابلاس لمقياس ستيلتيس ، إلا أنه يُعرَّف غالبًا للدوال ذات القيم في فضاء باناخ . وهو مفيد في العديد من مجالات الرياضيات ، بما في ذلك التحليل الوظيفي ، وبعض مجالات الاحتمالات النظرية والتطبيقية .

يُعطى تحويل لابلاس-ستيلتيس لدالة حقيقية القيمة g بواسطة تكامل ليبيغ-ستيلتيس من الشكل التالي:

${\displaystyle \int e^{-sx}\,dg(x)}$

بالنسبة لـ s عدد مركب . كما هو الحال مع تحويل لابلاس المعتاد، نحصل على تحويل مختلف قليلاً اعتمادًا على مجال التكامل، ولكي يكون التكامل مُعرَّفًا، يجب أيضًا اشتراط أن يكون تباين g محدودًا في منطقة التكامل. أكثرها شيوعًا هي:

• يُعطى تحويل لابلاس-ستيلتيس الثنائي (أو ذو الجانبين) بالصيغة التالية:$${\displaystyle \{{\mathcal {L}}^{*}g\}(s)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-sx}\,dg(x).}$$
• يُعطى تحويل لابلاس-ستيلتيس أحادي الجانب (من جانب واحد) بالصيغة التالية:$${\displaystyle \{{\mathcal {L}}^{*}g\}(s)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{-\varepsilon }^{\infty }e^{-sx}\,dg(x).}$$إن الحد ضروري لضمان أن التحويل يلتقط قفزة محتملة في g ( x ) عند x = 0 ، كما هو مطلوب لفهم تحويل لابلاس لدالة ديراك دلتا .
• يمكن النظر في التحويلات الأكثر عمومية عن طريق التكامل على محيط في المستوى المركب ؛ انظر Zhavrid 2001 .

وبالتالي، يُلاحظ أن تحويل لابلاس-ستيلتيس في حالة الدالة ذات القيم العددية هو حالة خاصة من تحويل لابلاس لمقياس ستيلتيس .

${\displaystyle {\mathcal {L}}^{*}g={\mathcal {L}}(dg).}$

على وجه الخصوص، تشترك هذه الطريقة في العديد من الخصائص مع تحويل لابلاس المعتاد. على سبيل المثال، تنطبق نظرية الالتفاف :

${\displaystyle \{{\mathcal {L}}^{*}(g*h)\}(s)=\{{\mathcal {L}}^{*}g\}(s)\{{\mathcal {L}}^{*}h\}(s).}$

غالباً ما يتم النظر فقط في القيم الحقيقية للمتغير s ، على الرغم من أنه إذا كان التكامل موجودًا كتكامل Lebesgue مناسب لقيمة حقيقية معينة s = σ ، فإنه موجود أيضًا لجميع s المركبة مع re( s ) ≥ σ .

يظهر تحويل لابلاس-ستيلتيس بشكل طبيعي في السياق التالي. إذا كان X متغيرًا عشوائيًا ذو دالة توزيع تراكمي F ، فإن تحويل لابلاس-ستيلتيس يُعطى بالقيمة المتوقعة التالية :

${\displaystyle \{{\mathcal {L}}^{*}F\}(s)=\mathrm {E} \left[e^{-sX}\right].}$

وبالتالي فإن تحويل لابلاس-ستيلتيس لدالة التوزيع التراكمي لمتغير عشوائي حقيقي يساوي دالة توليد العزوم للمتغير العشوائي ، ولكن مع عكس إشارة الوسيط.

بينما يُعد تحويل لابلاس-ستيلتيس لدالة حقيقية القيمة حالة خاصة من تحويل لابلاس لمقياس مُطبق على مقياس ستيلتيس المرتبط به، فإن تحويل لابلاس التقليدي لا يستطيع التعامل مع المقاييس المتجهة : أي المقاييس ذات القيم في فضاء باناخ . ومع ذلك، تُعد هذه المقاييس مهمة في دراسة أنصاف الزمر التي تظهر في المعادلات التفاضلية الجزئية ، والتحليل التوافقي ، ونظرية الاحتمالات . ومن أهم أنصاف الزمر، على التوالي، نصف زمرة الحرارة ، ونصف زمرة ريمان-ليوفيل ، والحركة البراونية وغيرها من العمليات القابلة للقسمة بلا حدود .

لتكن g دالة من [0,∞) إلى فضاء باناخ X ذي تباين محدود بقوة على كل فترة منتهية. هذا يعني أنه لكل فترة جزئية ثابتة [0, T ] يكون لدينا

${\displaystyle \sup \sum _{i}\left\|g(t_{i})-g(t_{i+1})\right\|_{X}<\infty }$

حيث يتم أخذ القيمة العليا على جميع تقسيمات [0، T ]

${\displaystyle 0=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{n}=T.}$

التكامل ستيلتجس بالنسبة للمقياس المتجهي dg

${\displaystyle \int _{0}^{T}e^{-st}dg(t)}$

يُعرَّف بأنه تكامل ريمان-ستيلتيس . في الواقع، إذا كانت π هي التقسيم المُعلَّم للفترة [0، T ] مع التقسيم الفرعي ₀ = t ≤ t _≤ ... ≤ t _n = T ، فإن النقاط المميزة${\displaystyle \tau _{i}\in [t_{i},t_{i+1}]}$وحجم الشبكة${\displaystyle |\pi |=\max \left|t_{i}-t_{i+1}\right|,}$يُعرَّف تكامل ريمان-ستيلتيس بأنه قيمة النهاية

${\displaystyle \lim _{|\pi |\to 0}\sum _{i=0}^{n-1}e^{-s\tau _{i}}\left[g(t_{i+1})-g(t_{i})\right]}$

تم أخذها في الطوبولوجيا على X. تضمن فرضية التباين المحدود القوي التقارب.

إذا كانت النهاية في طوبولوجيا X

${\displaystyle \lim _{T\to \infty }\int _{0}^{T}e^{-st}dg(t)}$

إذا كان موجودًا، فإن قيمة هذه النهاية هي تحويل لابلاس-ستيلتيس لـ g .

يرتبط تحويل لابلاس-ستيلتيس ارتباطًا وثيقًا بتحويلات تكاملية أخرى ، بما في ذلك تحويل فورييه وتحويل لابلاس . لاحظ على وجه الخصوص ما يلي:

• إذا كان للدالة g مشتقة g' فإن تحويل لابلاس-ستيلتيس للدالة g هو تحويل لابلاس للدالة g ' .$${\displaystyle \{{\mathcal {L}}^{*}g\}(s)=\{{\mathcal {L}}g'\}(s),}$$
• يمكننا الحصول على تحويل فورييه-ستيلتيس للدالة g (وبحسب الملاحظة السابقة، تحويل فورييه للدالة g ′ ) بواسطة$${\displaystyle \{{\mathcal {F}}^{*}g\}(s)=\{{\mathcal {L}}^{*}g\}(is),\qquad s\in \mathbb {R} .}$$

إذا كان X متغيرًا عشوائيًا مستمرًا مع دالة التوزيع التراكمي F ( t ) ، فيمكن حساب لحظات X باستخدام ^{[ 1 ].}

${\displaystyle \operatorname {E} [X^{n}]=(-1)^{n}\left.{\frac {d^{n}\{{\mathcal {L}}^{*}F\}(s)}{ds^{n}}}\right|_{s=0}.}$

• أبوستول، تي إم (1957)، التحليل الرياضي (الطبعة الأولى  )، ريدينغ، ماساتشوستس: أديسون-ويسليالطبعة الثانية (1974) ISBN 0-201-00288-4.
• أبوستول، تي إم (1997)، الدوال النمطية ومتسلسلات ديريشليه في نظرية الأعداد (الطبعة الثانية  )، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ، رقم ISBN 0-387-97127-0.
• غريمت، جي آر؛ ستيرزاكر، دي آر (2001)، الاحتمالات والعمليات العشوائية (  الطبعة الثالثة)، أكسفورد: مطبعة جامعة أكسفورد، رقم ISBN 0-19-857222-0.
• هيل، إينار ؛ فيليبس، رالف س. (1974)، التحليل الوظيفي وشبه المجموعات ، بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية ، MR 0423094 .
• زافريد، ن. س. (2001) [1994]، "تحويل لابلاس" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS.