تحليل الطيف باستخدام طريقة المربعات الصغرى

📅 آخر تحديث: ١ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ١ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 14 صور
الموسوعة الحرة

نتيجة مطابقة مجموعة من نقاط البيانات بدالة تربيعية

يُعدّ تحليل الطيف باستخدام طريقة المربعات الصغرى ( LSSA ) فئة من الطرق لتقدير طيف التردد عن طريق مطابقة الدوال الجيبية مع البيانات باستخدام طريقة المربعات الصغرى . [ 1 ] [ 2 ] على عكس تحليل فورييه ، وهو الطريقة الطيفية الأكثر استخدامًا في العلوم، لا يشترط أن تكون البيانات متساوية التباعد لاستخدام LSSA. علاوة على ذلك، بينما يُضخّم تحليل فورييه عادةً الضوضاء طويلة المدى في السجلات الطويلة أو المتقطعة، فإن LSSA يُخفف من هذه المشاكل. [ 3 ]

طُوِّرت أول طريقة LSSA تعتمد بشكل صارم على طريقة المربعات الصغرى في عامي 1969 [ 4 ] و1971 [ 5 ] ، وتُعرف باسم طريقة فانيتشيك أو طريقة جاوس-فانيتشيك، نسبةً إلى مخترعها بيتر فانيتشيك وكارل فريدريش جاوس ، مخترع طريقة المربعات الصغرى لتقليل الخطأ. [ 6 ] [ 7 ]

من بين المتغيرات المعروفة على نطاق واسع لطريقة LSSA طريقة لومب [ 3 ] أو مخطط لومب-سكارغل الدوري [ 2 ] [ 8 ]، والتي تعتمد على تبسيطات حسابية قديمة لطريقة فانيك التي طُرحت في سبعينيات وثمانينيات القرن الماضي، أولاً من قبل نيكولاس ر. لومب [ 9 ] ولاحقاً من قبل جيفري د. سكارغل [ 10 ] . وقد طُوّرت متغيرات أخرى لطريقة LSSA لاحقاً.

الخلفية التاريخية

لطالما عُرفت الروابط الوثيقة بين تحليل فورييه ، ومخطط التردد ، ومطابقة الموجات الجيبية باستخدام طريقة المربعات الصغرى . [ 11 ] مع ذلك، تقتصر معظم التطورات على مجموعات بيانات كاملة ذات عينات متساوية التباعد. في عام 1963، عالج فريك جيه إم بارنينغ من مركز الرياضيات في أمستردام بيانات غير متساوية التباعد باستخدام تقنيات مماثلة، [ 12 ] شملت تحليل مخطط التردد المكافئ لما يُعرف اليوم بطريقة لومب، ومطابقة الموجات الجيبية باستخدام طريقة المربعات الصغرى، والمحددة من خلال ترددات مختارة من مخططات التردد هذه، والمرتبطة بإجراء يُعرف اليوم باسم " المطابقة المتتابعة مع المطابقة اللاحقة" [ 13 ] أو "المطابقة المتتابعة المتعامدة". [ 14 ]

اقترح بيتر فانيك ، عالم الجيوفيزياء والجيوديسيا الكندي بجامعة نيو برونزويك ، في عام 1969 ، منهجية البحث المطابق للبيانات المتساوية وغير المتساوية التباعد، والتي أطلق عليها اسم "التحليل الطيفي المتتالي"، وأطلق على نتيجتها اسم "مخطط الفترة المربعة الصغرى". [ 4 ] وقد عمّم هذه الطريقة لتشمل أي مكونات منتظمة تتجاوز المتوسط ​​البسيط، مثل "الاتجاه العلماني الخطي (التربيعي، الأسي، ...) المتوقع ذي المقدار غير المعروف"، وطبقها على مجموعة متنوعة من العينات في عام 1971. [ 5 ]

ثم قام نيكولاس ر. لومب من جامعة سيدني بتبسيط طريقة فانيك للمربعات الصغرى الصارمة في عام 1976 ، مشيرًا إلى ارتباطها الوثيق بتحليل مخططات التردد . [ 9 ] لاحقًا، قام جيفري د. سكارغل من مركز أبحاث ناسا أميس بتعديل وتحليل تعريف مخطط التردد للبيانات غير المتساوية التباعد ، [ 10 ] حيث أظهر أنه مع تغييرات طفيفة، يصبح مطابقًا لصيغة لومب للمربعات الصغرى لمطابقة ترددات الموجات الجيبية الفردية.

يذكر سكارغل أن ورقته البحثية "لا تقدم تقنية كشف جديدة، بل تدرس موثوقية وكفاءة الكشف باستخدام التقنية الأكثر شيوعًا، وهي مخطط الفترة، في حالة عدم انتظام فترات الملاحظة "، ويشير كذلك فيما يتعلق بمطابقة المربعات الصغرى للموجات الجيبية مقارنة بتحليل مخطط الفترة، إلى أن ورقته البحثية "تثبت، على ما يبدو لأول مرة، أن هاتين الطريقتين (مع التعديلات المقترحة) متكافئتان تمامًا". [ 10 ]

يلخص التقرير [ 3 ] التطور على النحو التالي:

لقد طور لومب طريقة مختلفة تمامًا للتحليل الطيفي للبيانات التي تم أخذ عينات منها بشكل غير متساوٍ، وهي طريقة تخفف من هذه الصعوبات ولها بعض الخصائص المرغوبة الأخرى، استنادًا جزئيًا إلى أعمال سابقة لبارنينج وفانيسك، وتم تطويرها بشكل إضافي بواسطة سكارجل.

في عام 1989، قام مايكل جيه. كورينبيرج من جامعة كوينز في كينغستون، أونتاريو، بتطوير طريقة "البحث المتعامد السريع" لإيجاد تفكيك شبه مثالي للأطياف أو مشاكل أخرى بسرعة أكبر، [ 15 ] على غرار التقنية التي أصبحت فيما بعد تُعرف باسم البحث عن المطابقة المتعامدة.

تطوير LSSA ومتغيراتها

طريقة فانيتشيك

في الانحدار الخطي ، تُفترض المشاهدات ( باللون الأحمر ) كنتيجة لانحرافات عشوائية ( باللون الأخضر ) عن علاقة كامنة ( باللون الأزرق ) بين متغير تابع ( y ) ومتغير مستقل ( x ). ثم في عملية التوفيق المعياري، كما هو الحال باستخدام معيار المربعات الصغرى ، تُمثل نقاط البيانات ( باللون الأحمر ) بخط أفضل توفيق معياري ( باللون الأزرق )، والذي تبقى منه دائمًا "بواقي" ( باللون الأخضر ).

في طريقة فانيك، يتم تقريب مجموعة بيانات منفصلة بمجموع مرجح من الدوال الجيبية ذات الترددات المحددة تدريجيًا باستخدام الانحدار الخطي القياسي أو طريقة المربعات الصغرى . [ 16 ] تُختار الترددات باستخدام طريقة مشابهة لطريقة بارنينغ، ولكنها تتجاوز ذلك في تحسين اختيار كل تردد جديد متتالٍ عن طريق اختيار التردد الذي يقلل من الباقي بعد تطبيق طريقة المربعات الصغرى (وهو ما يعادل تقنية المطابقة المعروفة الآن باسم " المطابقة التتبعية مع المطابقة العكسية المسبقة" [ 13 ] ). يجب أن يكون عدد الدوال الجيبية أقل من أو يساوي عدد عينات البيانات (مع احتساب دوال الجيب وجيب التمام ذات التردد نفسه كدوال جيبية منفصلة). تم شرح العلاقة بين تحويل فورييه المنفصل وتقريب الدوال المثلثية باستخدام طريقة المربعات الصغرى بشكل جيد في (ستروتز، 2017) [ 17 ] .

يتم تمثيل متجه البيانات Φ كمجموع مرجح لدوال أساسية جيبية، مجدولة في مصفوفة A عن طريق تقييم كل دالة عند أوقات أخذ العينات، مع متجه الوزن x :

ϕ≈أx،{\displaystyle \phi \approx {\textbf {A}}x,}

حيث يتم اختيار متجه الأوزان x لتقليل مجموع مربعات الأخطاء في تقريب Φ . الحل لـ x هو حل مغلق الشكل، باستخدام الانحدار الخطي القياسي : [ 18 ]

x=(أتيأ)-1أتيϕ.{\displaystyle x=({\textbf {A}}^{\mathrm {T} }{\textbf {A}})^{-1}{\textbf {A}}^{\mathrm {T} }\phi .}

هنا، يمكن أن تستند المصفوفة A إلى أي مجموعة من الدوال المستقلة (ليس بالضرورة متعامدة) عند تقييمها في أوقات أخذ العينات؛ وعادةً ما تكون الدوال المستخدمة في التحليل الطيفي دوال الجيب وجيب التمام موزعة بالتساوي على نطاق التردد المطلوب. إذا اخترنا عددًا كبيرًا جدًا من الترددات في نطاق تردد ضيق جدًا، فستكون الدوال غير مستقلة بشكل كافٍ، وستكون المصفوفة سيئة التكييف، وسيكون الطيف الناتج بلا معنى. [ 18 ]

عندما تكون الدوال الأساسية في المصفوفة A متعامدة (أي غير مترابطة، بمعنى أن حاصل الضرب النقطي بين كل زوج من الأعمدة يساوي صفرًا )، تكون المصفوفة A T A قطرية؛ وعندما تكون جميع الأعمدة متساوية القوة (مجموع مربعات العناصر)، فإن هذه المصفوفة تكون مصفوفة الوحدة مضروبة في ثابت، وبالتالي يكون قلبها بسيطًا. يتحقق هذا الأخير عندما تكون أزمنة أخذ العينات متساوية التباعد، وتُختار الدوال الجيبية كدوال جيب وجيب تمام متساوية التباعد في أزواج على مجال التردد من 0 إلى نصف دورة لكل عينة (بفاصل 1/N دورة لكل عينة، مع إهمال أطوار الجيب عند 0 والتردد الأقصى حيث تكون مساوية للصفر). تُعرف هذه الحالة بتحويل فورييه المنفصل ، مع إعادة كتابة طفيفة بدلالة القياسات والمعاملات. [ 18 ]

x=أتيϕ{\displaystyle x={\textbf {A}}^{\mathrm {T} }\phi }— حالة DFT لـ N عينة وترددات متباعدة بالتساوي، ضمن عامل قياسي.

طريقة لومب

طيف القدرة (مربع المقدار) لدالتين أساسيتين جيبيتين ، محسوب بطريقة مخطط الفترة

في محاولة لتخفيف العبء الحسابي لطريقة فانيك عام 1976 [ 9 ] (وهو أمر لم يعد يمثل مشكلة)، اقترح لومب استخدام التبسيط المذكور أعلاه بشكل عام، باستثناء الارتباطات الثنائية بين دوال الجيب وجيب التمام ذات التردد نفسه، نظرًا لأن الارتباطات بين أزواج الدوال الجيبية غالبًا ما تكون صغيرة، على الأقل عندما لا تكون متقاربة. هذه الصيغة هي في جوهرها صيغة مخطط الفترة التقليدي ، ولكنها مُكيَّفة للاستخدام مع عينات غير متساوية التباعد. يُعد المتجه x تقديرًا جيدًا نسبيًا للطيف الأساسي، ولكن نظرًا لتجاهلنا أي ارتباطات، فإن A x لم يعد تقريبًا جيدًا للإشارة، ولم تعد الطريقة طريقة المربعات الصغرى - ومع ذلك لا تزال تُشار إليها في الأدبيات على هذا النحو.

بدلاً من مجرد أخذ حاصل الضرب النقطي للبيانات مع أشكال الموجات الجيبية وجيب التمام مباشرةً، قام سكارغل بتعديل صيغة مخطط الفترة القياسية لإيجاد تأخير زمنيτ{\displaystyle \tau }أولاً، بحيث يكون هذا الزوج من الموجات الجيبية متعامدًا بشكل متبادل عند أوقات أخذ العينات.تج{\displaystyle t_{j}}كما تم تعديلها لمراعاة احتمالية اختلاف قوى دالتي الأساس هاتين، وذلك للحصول على تقدير أفضل للقدرة عند تردد معين. [ 3 ] [ 10 ] جعلت هذه العملية طريقة مخطط الفترة المعدلة مكافئة تمامًا لطريقة لومب. تأخير زمنيτ{\displaystyle \tau }يساوي بحسب التعريف

لون برونزي⁡2ωτ=∑جالخطيئة⁡2ωتج∑جكوس⁡2ωتج.{\displaystyle \tan {2\omega \tau }={\frac {\sum _{j}\sin 2\omega t_{j}}{\sum _{j}\cos 2\omega t_{j}}}.}

ثم مخطط التردد عند الترددω{\displaystyle \omega }ويُقدّر ذلك على النحو التالي:

Px(ω)=12[[∑جXجكوس⁡ω(تج-τ)]2∑جكوس2⁡ω(تج-τ)+[∑جXجالخطيئة⁡ω(تج-τ)]2∑جالخطيئة2⁡ω(تج-τ)]،{\displaystyle P_{x}(\omega )={\frac {1}{2}}\left[{\frac {\left[\sum _{j}X_{j}\cos \omega (t_{j}-\tau )\right]^{2}}{\sum _{j}\cos ^{2}\omega (t_{j}-\tau )}}+{\frac {\left[\sum _{j}X_{j}\sin \omega (t_{j}-\tau )\right]^{2}}{\sum _{j}\sin ^{2}\omega (t_{j}-\tau )}}\right],}

والذي، كما ذكر سكارغل، له نفس التوزيع الإحصائي للمخطط الدوري في حالة أخذ العينات المتساوية. [ 10 ]

بتردد فرديω{\displaystyle \omega }، تعطي هذه الطريقة نفس القوة التي تعطيها طريقة المربعات الصغرى للدوال الجيبية ذات التردد والشكل: [ 19 ]

ϕ(ت)=أالخطيئة⁡ωت+بكوس⁡ωت.{\displaystyle \phi (t)=A\sin \omega t+B\cos \omega t.}

من الناحية العملية، يصعب دائمًا تحديد ما إذا كانت قمة لومب معينة ذات دلالة أم لا، خاصةً عندما تكون طبيعة الضوضاء غير معروفة. فعلى سبيل المثال، قد تنتج قمة طيفية خاطئة في تحليل مخطط لومب الطيفي لإشارة دورية مشوشة عن ضوضاء في بيانات الاضطراب. [ 20 ] كما يمكن أن تُظهر طرق فورييه قممًا طيفية خاطئة عند تحليل البيانات المُعالجة أو المُحررة بطريقة أخرى. [ 7 ]

مخطط لومب-سكارجل الدوري المعمم

لا يُعدّ مخطط لومب-سكارغل الطيفي القياسي صالحًا إلا لنموذج ذي متوسط ​​صفري. وعادةً ما يتم تقريب هذا المتوسط ​​بطرح متوسط ​​البيانات قبل حساب المخطط الطيفي. إلا أن هذا افتراض غير دقيق عندما يكون متوسط ​​النموذج (الدوال الجيبية المُطابقة) غير صفري. يُزيل مخطط لومب-سكارغل الطيفي المُعمّم هذا الافتراض ويحلّ المسألة صراحةً لإيجاد المتوسط. في هذه الحالة، تكون الدالة المُطابقة هي [ 21 ].

ϕ(ت)=أالخطيئة⁡ωت+بكوس⁡ωت+ج.{\displaystyle \phi (t)=A\sin \omega t+B\cos \omega t+C.}

وقد أشير أيضًا في الأدبيات إلى مخطط لومب-سكارجل الدوري المعمم باسم مخطط الدوري المتوسط ​​العائم . [ 22 ]

طريقة كورنبرغ "للبحث المتعامد السريع"

طوّر مايكل كورينبيرغ من جامعة كوينز في كينغستون، أونتاريو ، طريقةً لاختيار مجموعة متفرقة من المكونات من مجموعة زائدة - مثل المكونات الجيبية للتحليل الطيفي - تُسمى البحث المتعامد السريع (FOS). رياضيًا، يستخدم FOS تحليل تشوليسكي المُعدَّل قليلاً في عملية تقليل متوسط ​​مربع الخطأ (MSER)، والتي تُنفَّذ كعملية عكس مصفوفة متفرقة . [ 15 ] [ 23 ] وكما هو الحال مع طرق LSSA الأخرى، يتجنب FOS العيب الرئيسي لتحليل فورييه المنفصل، لذا يمكنه تحديد الدوريات المضمنة بدقة ويتفوق في التعامل مع البيانات غير المتساوية التباعد. كما طُبِّقت طريقة البحث المتعامد السريع على مشاكل أخرى، مثل تحديد الأنظمة غير الخطية .

طريقة بالمر لتربيع كاي

طوّر بالمر طريقةً لإيجاد أفضل دالة ملائمة لأي عدد مُختار من التوافقيات، مما يُتيح مزيدًا من المرونة في إيجاد دوال توافقية غير جيبية. [ 24 ] وهي تقنية سريعة ( تعتمد على تحويل فورييه السريع ) لتحليل المربعات الصغرى الموزونة على بيانات متباعدة عشوائيًا ذات أخطاء معيارية غير منتظمة. يتوفر كود المصدر الذي يُطبّق هذه التقنية. [ 25 ] ولأن البيانات غالبًا لا تُؤخذ عينات منها في أوقات منفصلة متباعدة بانتظام، فإن هذه الطريقة "تُقسّم" البيانات إلى شبكة عن طريق ملء مصفوفة السلاسل الزمنية بشكل متفرق عند أوقات أخذ العينات. جميع نقاط الشبكة الفاصلة تُعطى وزنًا إحصائيًا صفريًا، وهو ما يُعادل وجود هوامش خطأ لا نهائية في الأوقات بين العينات.

التطبيقات

توزيع بيتا لقيم مختلفة لمعاملاته

تتمثل الميزة الأكثر فائدة لتقنية LSSA في تمكين تحليل السجلات غير المكتملة طيفيًا - دون الحاجة إلى معالجة البيانات أو اختراع بيانات غير موجودة.

تُبيّن المقادير في طيف LSSA مساهمة التردد أو الدورة في تباين السلسلة الزمنية . [ 4 ] وبشكل عام، تُتيح المقادير الطيفية المُعرّفة بهذه الطريقة تحديد مستوى الدلالة الإحصائية للمخرجات بشكل مباشر . [ 26 ] وبدلاً من ذلك، يُمكن التعبير عن المقادير الطيفية في طيف فانيك بوحدة ديسيبل . [ 27 ] تجدر الإشارة إلى أن المقادير الطيفية في طيف فانيك تتبع توزيع بيتا . [ 28 ]

يُمكن إجراء تحويل عكسي لخوارزمية LSSA لفانيتشيك، ويتضح ذلك جليًا بكتابة التحويل الأمامي على شكل مصفوفة؛ وسيكون معكوس المصفوفة (عندما لا تكون المصفوفة منفردة) أو المعكوس الزائف تحويلًا عكسيًا؛ وسيتطابق المعكوس تمامًا مع البيانات الأصلية إذا كانت الموجات الجيبية المختارة مستقلة عن بعضها البعض عند نقاط العينة وكان عددها مساويًا لعدد نقاط البيانات. [ 18 ] لا توجد إجراءات عكسية مماثلة معروفة لطريقة مخطط الفترة.

تطبيق

يمكن تنفيذ خوارزمية LSSA في أقل من صفحة واحدة من كود MATLAB . [ 29 ] باختصار: [ 16 ]

"لحساب طيف المربعات الصغرى، يجب علينا حساب m قيمة طيفية ... وهو ما يتضمن إجراء تقريب المربعات الصغرى m مرة، في كل مرة للحصول على [القدرة الطيفية] لتردد مختلف"

أي، لكل تردد ضمن مجموعة الترددات المطلوبة، تُحسب دالتا الجيب وجيب التمام عند الأزمنة الموافقة لعينات البيانات، ويُجرى الضرب النقطي لمتجه البيانات مع متجهات الجيب، ثم يُجرى التطبيع المناسب. وباتباع طريقة لومب/سكارغل لتحليل الفترة، يُحسب إزاحة زمنية لكل تردد لتعامد مركبات الجيب وجيب التمام قبل الضرب النقطي. [ 18 ] وأخيرًا، تُحسب القدرة من مركبتي السعة هاتين . وتُطبق هذه العملية نفسها تحويل فورييه المنفصل عندما تكون البيانات موزعة بانتظام زمنيًا، وتتوافق الترددات المختارة مع أعداد صحيحة من الدورات على سجل البيانات المحدود.

تُعالج هذه الطريقة كل مُكوّن جيبي على حدة، أو خارج سياقه، حتى وإن لم يكن متعامدًا مع نقاط البيانات؛ وهي طريقة فانيك الأصلية. إضافةً إلى ذلك، يُمكن إجراء مُلاءمة كاملة للمربعات الصغرى، سواءً كانت متزامنة أو ضمن السياق، عن طريق حل معادلة مصفوفية وتقسيم تباين البيانات الكلي بين ترددات الجيب المُحددة. [ 18 ] يتوفر حل المربعات الصغرى هذا في MATLAB بشكل أصلي كعامل القسمة العكسية . [ 30 ]

علاوة على ذلك، فإن الطريقة المتزامنة أو داخل السياق، على عكس النسخة المستقلة أو خارج السياق (وكذلك نسخة مخطط الفترة بسبب لومب)، لا يمكنها استيعاب مكونات أكثر (جيوب وجيوب تمام) من عدد عينات البيانات، بحيث: [ 18 ]

"...قد تنشأ أيضًا تداعيات خطيرة إذا أدت الترددات المختارة إلى أن تصبح بعض مكونات فورييه (الدوال المثلثية) مرتبطة خطيًا تقريبًا ببعضها البعض، مما ينتج عنه مصفوفة N سيئة التكييف أو شبه منفردة. لتجنب سوء التكييف هذا، يصبح من الضروري إما اختيار مجموعة مختلفة من الترددات المراد تقديرها (على سبيل المثال، ترددات متباعدة بالتساوي) أو ببساطة تجاهل الارتباطات في N (أي الكتل غير القطرية) وتقدير تحويل المربعات الصغرى العكسي بشكل منفصل لكل تردد على حدة..."

من ناحية أخرى، تسمح طريقة لومب لتحليل الطيف الترددي باستخدام عدد كبير من مكونات التردد أو كثافتها، كما هو الحال في مخطط الطيف الترددي القياسي ؛ أي أنه يمكن أخذ عينات زائدة من مجال التردد بمعامل عشوائي. [ 3 ] مع ذلك، وكما ذُكر سابقًا، ينبغي الأخذ في الاعتبار أن تبسيط لومب وابتعاده عن معيار المربعات الصغرى قد عرّض أسلوبه لمصادر خطيرة للأخطاء، مما أدى إلى ظهور قمم طيفية زائفة. [ 20 ]

في تحليل فورييه، مثل تحويل فورييه وتحويل فورييه المنفصل ، تكون جميع الدوال الجيبية المُطابقة للبيانات متعامدة فيما بينها، لذا لا يوجد فرق بين الإسقاط البسيط القائم على الضرب النقطي خارج السياق على دوال الأساس وبين مطابقة المربعات الصغرى المتزامنة داخل السياق؛ أي أنه لا يلزم عكس المصفوفة لتقسيم التباين بين الدوال الجيبية المتعامدة ذات الترددات المختلفة باستخدام طريقة المربعات الصغرى. [ 31 ] في الماضي، كان تحويل فورييه الخيار المفضل للكثيرين بفضل تنفيذه السريع والفعال من حيث المعالجة عند توفر سجلات بيانات كاملة بعينات متساوية التباعد، كما استخدموا عائلة تقنيات فورييه لتحليل السجلات المتباعدة أيضًا، الأمر الذي تطلب معالجة بيانات غير موجودة، بل وحتى ابتكارها، لمجرد تشغيل خوارزمية قائمة على فورييه.

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ كافر إيبان أوغلو (2000). النجوم المتغيرة كأدوات أساسية في الفيزياء الفلكية . سبرينغر. ISBN 0-7923-6084-2.
  2. 1 2 د. سكوت بيرني؛ ديفيد أوسبر؛ غييرمو غونزاليس (2006). علم الفلك الرصدي . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 0-521-85370-2.
  3. 1 2 3 4 5 Press (2007). وصفات عددية ( الطبعة الثالثة). مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN  978-0-521-88068-8.
  4. 1 2 3 ب. فانيك (1 أغسطس 1969). "التحليل الطيفي التقريبي باستخدام طريقة المربعات الصغرى" (ملف PDF) . الفيزياء الفلكية وعلوم الفضاء . 4 (4 ) : 387-391 . Bibcode : 1969Ap & SS...4..387V . doi : 10.1007/BF00651344 . OCLC 5654872875. S2CID 124921449 .  
  5. 1 2 ب. فانيك (1 يوليو 1971). "مزيد من التطوير وخصائص التحليل الطيفي باستخدام طريقة المربعات الصغرى" (ملف PDF) . الفيزياء الفلكية وعلوم الفضاء . 12 (1): 10-33 . Bibcode : 1971Ap & SS..12...10V . doi : 10.1007/BF00656134 . S2CID 109404359 . 
  6. ↑ ج. تايلور؛ س. هاميلتون (20 مارس 1972). "بعض اختبارات طريقة فانيك للتحليل الطيفي". الفيزياء الفلكية وعلوم الفضاء . 17 (2): 357-367 . Bibcode : 1972Ap & SS..17..357T . doi : 10.1007/BF00642907 . S2CID 123569059 . 
  7. 1 2 م. عمرباشيتش (26 يونيو 2006). "تحليل طيفي غاوس-فانيسيك لمجموعة سيبكوسكي: لا دورات حياة جديدة". الحوسبة في العلوم والهندسة . 8 (4): 26-30 . arXiv : math-ph/0608014 . Bibcode : 2006CSE.....8d..26O . doi : 10.1109/MCSE.2006.68 .
  8. ↑ هانز ب. أ. فان دونجن (1999). "البحث عن الإيقاعات البيولوجية: الكشف عن القمم في مخطط الفترة للبيانات غير المتساوية التباعد". مجلة الإيقاعات البيولوجية . 14 (6): 617-620 . doi : 10.1177/074873099129000984 . PMID 10643760. S2CID 14886901 .  
  9. 1 2 3 لومب، ن. ر. (1976). "تحليل التردد باستخدام طريقة المربعات الصغرى للبيانات غير المتساوية التباعد". الفيزياء الفلكية وعلوم الفضاء . 39 (2): 447-462 . Bibcode : 1976Ap & SS..39..447L . doi : 10.1007/BF00648343 . S2CID 2671466 . 
  10. 1 2 3 4 5 سكارغل، ج. د. (1982). "دراسات في تحليل السلاسل الزمنية الفلكية. الجزء الثاني - الجوانب الإحصائية للتحليل الطيفي للبيانات غير المتساوية التباعد". المجلة الفيزيائية الفلكية . 263 : 835. Bibcode : 1982ApJ...263..835S . doi : 10.1086/160554 .
  11. ↑ ديفيد برانت (1931). دمج الملاحظات ( الطبعة الثانية). مطبعة جامعة كامبريدج. 
  12. ^ بارنينغ، FJM (1963). “التحليل العددي للمنحنى الضوئي لـ 12 Lacertae”. نشرة المعاهد الفلكية في هولندا . 17 : 22. بيب كود : 1963BAN....17...22B .
  13. 1 2 باسكال فينسنت؛ يوشوا بنجيو (2002). "مطاردة مطابقة النواة" (ملف PDF) . تعلم الآلة . 48 ( 1-3 ): 165-187 . doi : 10.1023/A:1013955821559 .
  14. ↑ واي سي باتي، آر. رضائي فر، وبي إس كريشنا براساد، "البحث عن المطابقة المتعامدة: تقريب الدالة المتكررة مع تطبيقات على تحليل الموجات الصغيرة"، في وقائع المؤتمر السابع والعشرين لأسيلومار حول الإشارات والأنظمة والحواسيب، تحرير أ. سينغ، لوس ألاميتوس، كاليفورنيا، الولايات المتحدة الأمريكية، مطبعة جمعية مهندسي الكهرباء والإلكترونيات، 1993
  15. 1 2 كورينبيرغ، إم جيه (1989). "خوارزمية متعامدة قوية لتحديد النظام وتحليل السلاسل الزمنية". علم التحكم الآلي البيولوجي . 60 (4): 267-276 . doi : 10.1007/BF00204124 . PMID 2706281. S2CID 11712196 .  
  16. 1 2 ويلز، دي إي، بي. فانيك، إس. باجياتاكيس، 1985. إعادة النظر في التحليل الطيفي للمربعات الصغرى. تقرير فني رقم 84، قسم هندسة المساحة، جامعة نيو برونزويك، فريدريكتون، 68 صفحة، متاح على.
  17. ↑ ستروتز، ت.، 2017. شرح تحويل فورييه المنفصل للإشارات الحقيقية بناءً على تقريب المربعات الصغرى للإشارات المنفصلة زمنيًا باستخدام الدوال المثلثية. تقرير فني TECHP/2017/11، جامعة لايبزيغ للاتصالات، متاح على الرابط التالي: https://doi.org/10.13140/RG.2.2.34597.81126
  18. 1 2 3 4 5 6 7 Craymer, MR, The Least Squares Spectrum, Its Inverse Transform and Autocorrelation Function: Theory and Some Applications in Geodesy , Ph.D. Dissertation, University of Toronto, Canada (1998).
  19. ↑ ويليام ج. إيمري؛ ريتشارد إي. طومسون (2001). أساليب تحليل البيانات في علم المحيطات الفيزيائي . إلسيفير. ISBN 0-444-50756-6.
  20. 1 2 تشو، و.-إكس.؛ سورنيت، د. (أكتوبر 2001). "الأهمية الإحصائية للدورية والدورية اللوغاريتمية مع الضوضاء المترابطة ذات الذيل الثقيل". المجلة الدولية للفيزياء الحديثة ج . 13 (2): 137-169 . arXiv : cond-mat/0110445 . Bibcode : 2002IJMPC..13..137Z . doi : 10.1142/S0129183102003024 . S2CID 8256563 . 
  21. ↑ م. زيخمايستر؛ م. كورستر (مارس 2009). "مخطط لومب-سكارغل الدوري المعمم. صيغة جديدة لمخططات المتوسط ​​العائم والمخططات الدورية الكبلرية". علم الفلك والفيزياء الفلكية . 496 (2): 577-584 . arXiv : 0901.2573 . Bibcode : 2009A & A...496..577Z . doi : 10.1051/0004-6361:200811296 . S2CID 10408194 . 
  22. ↑ أندرو كامينغ؛ جيفري دبليو. مارسي؛ آر. بول بتلر (ديسمبر 1999). "بحث ليك عن الكواكب: إمكانية الكشف وعتبات الكتلة". المجلة الفيزيائية الفلكية . 526 (2): 890-915 . arXiv : astro-ph/9906466 . Bibcode : 1999ApJ...526..890C . doi : 10.1086/308020 . S2CID 12560512 . 
  23. ↑ كورينبيرغ، مايكل جيه؛ برينان، كولين جيه إتش؛ هنتر، إيان دبليو (1997). "تقدير طيف رامان عبر البحث المتعامد السريع". المحلل . 122 (9): 879-882 . Bibcode : 1997Ana...122..879K . doi : 10.1039/a700902j .
  24. ↑ بالمر، ديفيد م. (2009). "تقنية سريعة لاختبار مربع كاي للبحث عن دورات البيانات المأخوذة بشكل غير منتظم". المجلة الفيزيائية الفلكية . 695 (1): 496-502 . arXiv : 0901.1913 . Bibcode : 2009ApJ...695..496P . doi : 10.1088/0004-637X/695/1/496 . S2CID 5991300 . 
  25. ↑ "ديفيد بالمر: البحث السريع عن الفترة باستخدام مربع كاي" .
  26. ↑ بيرد، إيه جي، ويليامز، بي جيه إس، ميتشل، إن جيه ومولر، إتش جي علم المناخ الخاص للأمواج الكوكبية والتقلبات المدية، مجلة الفيزياء الجوية والشمسية الأرضية 63 (09)، ص 801-811 (2001).
  27. ↑ Pagiatakis, S. Stochastic significance of peaks in the least-squares spectrum, J of Geodesy 73, p.67-78 (1999).
  28. ↑ ستيفز، آر آر اختبار إحصائي لأهمية القمم في طيف المربعات الصغرى، الأوراق المجمعة للمسح الجيوديسي، وزارة الطاقة والمناجم والموارد، المسوحات ورسم الخرائط، أوتاوا، كندا، ص 149-166 (1981)
  29. ↑ ريتشارد أ. مولر ؛ جوردون ج. ماكدونالد (2000). العصور الجليدية والأسباب الفلكية: البيانات والتحليل الطيفي والآليات ( الطبعة الأولى). سبرينغر برلين هايدلبرغ. رمز Bibcode : 2000iaac.book.....M . ISBN  978-3-540-43779-6. رأ 20645181 م . ويكي بيانات Q111312009 .  
  30. ^ تيموثي أ. ديفيس. كيرميت سيجمون (2005). ماتلاب التمهيدي . الصحافة اتفاقية حقوق الطفل. رقم ISBN 1-58488-523-8.
  31. ↑ داريل ويليامسون (1999). معالجة الإشارات الزمنية المنفصلة: منهج جبري . سبرينغر. ISBN 1-85233-161-5.