نظرية النقطة الثابتة لليفشيتز

في الرياضيات ، تُعدّ نظرية ليفشيتز للنقطة الثابتة ^{[ 1 ]} صيغةً تحسب النقاط الثابتة لتطبيق متصل من فضاء طوبولوجي مضغوط .${\displaystyle X}$إلى نفسها عن طريق آثار التعيينات المستحثة على مجموعات التماثل لـ${\displaystyle X}$وقد سميت على اسم سولومون ليفشيتز ، الذي ذكرها لأول مرة في عام 1926.

يخضع العد لتعددية مُفترضة عند نقطة ثابتة تُسمى مؤشر النقطة الثابتة . يكفي استخدام صيغة ضعيفة من النظرية لإثبات أن أي تطبيق بدون نقطة ثابتة يجب أن يتمتع بخصائص طوبولوجية خاصة (مثل دوران دائرة).

للحصول على بيان رسمي للنظرية، دع

${\displaystyle f\colon X\rightarrow X\,}$

لتكن خريطة متصلة من فضاء مثلثي مضغوط${\displaystyle X}$لذا، عرّف عدد ليفشيتز ^{[ 2 ]}${\displaystyle \Lambda _{f}}$ل${\displaystyle f}$بواسطة

${\displaystyle \Lambda _{f}:=\sum _{k\geq 0}(-1)^{k}\mathrm {tr} (H_{k}(f,\mathbb {Q} )),}$

المجموع المتناوب (المحدود) لآثار المصفوفة للخرائط الخطية الناتجة عن${\displaystyle f}$على${\displaystyle H_{k}(X,\mathbb {Q} )}$، مجموعات التماثل المفردة لـ${\displaystyle X}$بمعاملات نسبية .

تنص صيغة مبسطة لنظرية النقطة الثابتة لليفشيتز على ما يلي: إذا

${\displaystyle \Lambda _{f}\neq 0\,}$

ثم${\displaystyle f}$يوجد على الأقل نقطة ثابتة واحدة، أي يوجد على الأقل واحدة${\displaystyle x}$في${\displaystyle X}$بحيث${\displaystyle f(x)=x}$في الواقع، بما أن عدد ليفشيتز قد تم تعريفه على مستوى التماثل، يمكن تعميم الاستنتاج ليقول إن أي خريطة متماثلة إلى${\displaystyle f}$وله نقطة ثابتة أيضاً.

لكن تجدر الإشارة إلى أن العكس ليس صحيحاً بشكل عام:${\displaystyle \Lambda _{f}}$قد تكون القيمة صفرًا حتى لو${\displaystyle f}$لها نقاط ثابتة، كما هو الحال بالنسبة لخريطة التطابق على الكرات ذات الأبعاد الفردية.

يمكن التوصل إلى النتيجة نفسها لأي فضاء ANR مضغوط، ولا سيما أي فضاء طوبولوجي مضغوط. ويكمن العنصر الأساسي وراء هذا التوسع في أن فضاءات ANR المضغوطة مكافئة تماثليًا للمجمعات التبسيطية المحدودة.

أولاً، بتطبيق نظرية التقريب التبسيطي ، يمكن إثبات أنه إذا${\displaystyle f}$ليس لها نقاط ثابتة، إذن (ربما بعد التقسيم الفرعي)${\displaystyle X}$)${\displaystyle f}$هي متماثلة مع خريطة تبسيطية خالية من النقاط الثابتة (أي أنها ترسل كل تبسيط إلى تبسيط مختلف). هذا يعني أن القيم القطرية لمصفوفات الخرائط الخطية المستحثة على سلسلة التبسيط المركبة لـ${\displaystyle X}$يجب أن تكون جميعها أصفارًا. ثم يُلاحظ أنه، بشكل عام، يمكن أيضًا حساب عدد ليفشيتز باستخدام المجموع المتناوب لآثار المصفوفات للخرائط الخطية المذكورة آنفًا (وهذا صحيح لنفس السبب تقريبًا الذي يجعل خاصية أويلر تُعرَّف بدلالة مجموعات التماثل ؛ انظر أدناه للعلاقة بخاصية أويلر). في الحالة الخاصة لخريطة تبسيطية خالية من النقاط الثابتة، تكون جميع القيم القطرية أصفارًا، وبالتالي تكون الآثار جميعها أصفارًا.

تنص صيغة أقوى من النظرية، والمعروفة أيضًا باسم نظرية ليفشيتز-هوبف ، على أنه إذا${\displaystyle f}$إذا كان عدد النقاط الثابتة محدودًا،

${\displaystyle \sum _{x\in \mathrm {Fix} (f)}\mathrm {ind} (f,x)=\Lambda _{f},}$

أين${\displaystyle \mathrm {Fix} (f)}$هي مجموعة النقاط الثابتة لـ${\displaystyle f}$، و${\displaystyle \mathrm {ind} (f,x)}$يشير إلى فهرس النقطة الثابتة${\displaystyle x}$[ ^{3 ] من هذه النظرية ،} يمكن استنتاج نظرية بوانكاريه-هوبف للحقول المتجهة على النحو التالي: أي حقل متجه على مشعب مضغوط يُحدث تدفقًا${\displaystyle \varphi (x,t)}$بطريقة طبيعية، ولكل${\displaystyle t}$الخريطة${\displaystyle \varphi (x,t)}$متماثل مع عنصر التطابق (وبالتالي له نفس عدد ليفشيتز)؛ علاوة على ذلك، بالنسبة لـ صغير بما فيه الكفاية${\displaystyle t}$النقاط الثابتة للتدفق وأصفار حقل المتجهات لها نفس المؤشرات.

يمكن حساب عدد ليفشيتز ^{[ 2 ]} لخريطة التطابق على مُركب CW محدود بسهولة من خلال إدراك أن كل${\displaystyle f_{\ast }}$يمكن اعتبارها مصفوفة الوحدة ، وبالتالي فإن كل حد أثر هو ببساطة بُعد مجموعة التماثل المناسبة. ومن ثم، فإن عدد ليفشيتز لخريطة الوحدة يساوي المجموع المتناوب لأعداد بيتي للفضاء، والذي بدوره يساوي خاصية أويلر.${\displaystyle \chi (X)}$وهكذا لدينا

${\displaystyle \Lambda _{\mathrm {id} }=\chi (X).\ }$

تُعمم نظرية ليفشيتز للنقطة الثابتة نظرية براور للنقطة الثابتة ، ^{[ 4 ]} التي تنص على أن كل تطبيق متصل من${\displaystyle n}$قرص وحدة مغلق ذو أبعاد${\displaystyle D^{n}}$ل${\displaystyle D^{n}}$يجب أن يكون لها نقطة ثابتة واحدة على الأقل.

ويمكن النظر إلى ذلك على النحو التالي:${\displaystyle D^{n}}$مضغوطة وقابلة للمثلث، وجميع مجموعات التماثل الخاصة بها باستثناء${\displaystyle H_{0}}$تساوي صفرًا، وكل خريطة متصلة${\displaystyle f\colon D^{n}\to D^{n}}$يؤدي إلى خريطة الهوية${\displaystyle f_{*}\colon H_{0}(D^{n},\mathbb {Q} )\to H_{0}(D^{n},\mathbb {Q} )}$، الذي أثره واحد؛ كل هذا مجتمعاً يعني أن${\displaystyle \Lambda _{f}}$لا يساوي الصفر لأي خريطة متصلة${\displaystyle f\colon D^{n}\to D^{n}}$.

قدم ليفشيتز نظريته عن النقطة الثابتة في ^{[ 1 ]} . لم يكن تركيز ليفشيتز على النقاط الثابتة للتطبيقات، بل على ما يسمى الآن بنقاط التطابق للتطبيقات.

بافتراض وجود خريطتين${\displaystyle f}$و${\displaystyle g}$من مشعب قابل للتوجيه${\displaystyle X}$إلى مشعب قابل للتوجيه${\displaystyle Y}$من نفس البعد، عدد تطابق ليفشيتز لـ${\displaystyle f}$و${\displaystyle g}$يُعرَّف بأنه

${\displaystyle \Lambda _{f,g}=\sum (-1)^{k}\mathrm {tr} (D_{X}\circ g^{*}\circ D_{Y}^{-1}\circ f_{*}),}$

أين${\displaystyle f_{*}}$كما هو مذكور أعلاه،${\displaystyle g^{*}}$هل التشاكل الناتج عن${\displaystyle g}$على مجموعات التماثل ذات المعاملات النسبية، و${\displaystyle D_{X}}$و${\displaystyle D_{Y}}$هي تماثلات ثنائية بوانكاريه لـ${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$، على التوالى.

أثبت ليفشيتز أنه إذا كان عدد التزامن غير صفري، فإن${\displaystyle f}$و${\displaystyle g}$توجد نقطة تزامن. وقد أشار في بحثه إلى أن السماح${\displaystyle X=Y}$والسماح${\displaystyle g}$إن تطبيق الهوية يعطي نتيجة أبسط، والتي تُعرف الآن باسم نظرية النقطة الثابتة.

يترك${\displaystyle X}$ليكن تنوعًا معرفًا على الحقل المنتهي${\displaystyle k}$مع${\displaystyle q}$العناصر ودع${\displaystyle {\bar {X}}}$يكون التغيير الأساسي لـ${\displaystyle X}$إلى الإغلاق الجبري لـ${\displaystyle k}$. التشكل الداخلي لفروبينيوس لـ${\displaystyle {\bar {X}}}$(غالبًا ما يُشار إليه باسم فروبينيوس الهندسي ، أو ببساطة فروبينيوس )، ويُرمز إليه بـ ${\displaystyle F_{q}}$، يرسم نقطة بإحداثيات${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$إلى النقطة ذات الإحداثيات${\displaystyle x_{1}^{q},\ldots ,x_{n}^{q}}$وبالتالي فإن النقاط الثابتة لـ${\displaystyle F_{q}}$هذه هي بالضبط نقاط${\displaystyle X}$مع الإحداثيات في${\displaystyle k}$ويُرمز إلى مجموعة هذه النقاط بـ${\displaystyle X(k)}$تنطبق صيغة ليفشيتز للأثر في هذا السياق، ونصها كالتالي:

${\displaystyle \#X(k)=\sum _{i}(-1)^{i}\mathrm {tr} (F_{q}^{*}|H_{c}^{i}({\bar {X}},\mathbb {Q} _{\ell })).}$

تتضمن هذه الصيغة أثر فروبينيوس على علم التماثل الإيتالي ، مع دعامات مضغوطة، من${\displaystyle {\bar {X}}}$بقيم في مجال${\displaystyle \ell }$الأعداد -adic ، حيث${\displaystyle \ell }$هو عدد أولي مشترك مع${\displaystyle q}$.

لو${\displaystyle X}$بما أن الدالة سلسة ومتساوية الأبعاد ، يمكن إعادة كتابة هذه الصيغة بدلالة حساب فروبينيوس${\displaystyle \Phi _{q}}$، والذي يعمل كعكس لـ${\displaystyle F_{q}}$حول علم التماثل:

${\displaystyle \#X(k)=q^{\dim X}\sum _{i}(-1)^{i}\mathrm {tr} ((\Phi _{q}^{-1})^{*}|H^{i}({\bar {X}},\mathbb {Q} _{\ell })).}$

تتضمن هذه الصيغة علم التماثل المعتاد، بدلاً من علم التماثل ذي الدعامات المدمجة.

يمكن أيضًا تعميم صيغة أثر ليفشيتز لتشمل الحزم الجبرية فوق الحقول المنتهية.

• نظريات النقطة الثابتة
• دالة زيتا ليفشيتز
• صيغة نقطة ثابتة هولومورفية ليفشيتز ^{[ 5 ] [ 6 ]}