ليمنسكات

في الهندسة الجبرية ، يشير مصطلح ليمينيسكاتي ( / lɛmˈnɪskɪt / أو / ˈ lɛmnɪsˌkeɪt , - kɪt / ) [ 1 ^] إلى أي من المنحنيات التي تأخذ شكل الرقم ثمانية أو ∞ . [ 2 ^] [ ^3] تأتي الكلمة من الكلمة اللاتينية lēmniscātus ، والتي تعني "مُزين بشرائط"، [ 4 ^] من الكلمة اليونانية λημνίσκος ( lēmnískos ) ، والتي تعني "شريط " ، ^{[3] [5] [6] [7] أو} التي قد تشير بشكل بديل إلى الصوف الذي صنعت منه الشرائط . ^[2]

تشمل المنحنيات التي أُطلق عليها اسم المنحنيات المنحنية المنحنية ذات المنحنيات الرباعية : المنحنيات المنحنية ذات ...

يعود تاريخ دراسة المنحنيات ذات الشكل الثمانية إلى بروكلوس ، الفيلسوف والرياضي الأفلاطوني اليوناني الذي عاش في القرن الخامس الميلادي. درس بروكلوس المقاطع العرضية للحلقة بواسطة مستوى موازٍ لمحور الحلقة. وكما لاحظ، فإن المقطع العرضي لمعظم هذه المقاطع يتكون من شكل بيضاوي واحد أو شكلين بيضاويين؛ ومع ذلك، عندما يكون المستوى مماسًا للسطح الداخلي للحلقة، فإن المقطع العرضي يأخذ شكل الرقم ثمانية، والذي أطلق عليه بروكلوس قيد الحصان (جهاز لتثبيت قدمي حصان معًا)، أو "هيبوبيدي" باللغة اليونانية. ^[8] يعود اسم "ليمنيسكات أوف بوث" لهذا المنحنى إلى دراسته من قبل عالم الرياضيات في القرن التاسع عشر جيمس بوث . ^[2]

يمكن تعريف المنحنى الجبريّ بأنه مجموعة الصفر للحدود الرباعيّة عندما يكون المعامل d سالبًا (أو صفرًا للحالة الخاصة حيث يصبح المنحنى الجبريّ زوجًا من الدوائر المتماسّة خارجيًا). بالنسبة للقيم الموجبة لـ d ، نحصل بدلاً من ذلك على الشكل البيضاوي لـ Booth . ${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}-cx^{2}-dy^{2}}$

في عام 1680، درس كاسيني عائلة من المنحنيات، والتي تسمى الآن بيضاوي كاسيني ، والتي تم تعريفها على النحو التالي: موضع جميع النقاط، والتي يكون حاصل ضرب مسافاتها من نقطتين ثابتتين، بؤرتي المنحنيات ، ثابتًا. في ظل ظروف خاصة جدًا (عندما يكون نصف المسافة بين النقاط مساويًا للجذر التربيعي للثابت) يؤدي هذا إلى ظهور منحنى ليمينيسكات.

في عام 1694، درس يوهان برنولي حالة المنحنى البيضاوي لكاسيني، والمعروفة الآن باسم المنحنى البيضاوي لبرنولي (كما هو موضح أعلاه)، فيما يتعلق بمشكلة " الخطوط الزمنية المتساوية " التي طرحها لايبنتز في وقت سابق . مثل منحنى فرس النهر، فهو منحنى جبري، المجموعة الصفرية لكثيرة الحدود . درس شقيق برنولي جاكوب برنولي أيضًا نفس المنحنى في نفس العام، وأطلق عليه اسمه، المنحنى البيضاوي. ^[9] يمكن تعريفه أيضًا هندسيًا على أنه موضع النقاط التي يساوي حاصل ضرب المسافات من بؤرتين فيها مربع نصف المسافة بين البؤرتين. ^[10] إنه حالة خاصة من منحنى فرس النهر (منحنى بوث)، مع ، ويمكن تشكيله كمقطع عرضي لحلقة يكون ثقبها الداخلي ومقاطعها العرضية الدائرية بنفس قطر بعضها البعض. ^[2] الدوال الإهليلجية الليمنسكياتية هي نظائر للدوال المثلثية للمنسكيت برنولي، وتنشأ ثوابت المنسكيت عند تقييم طول قوس هذه المنسكيت. ${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}-a^{2}(x^{2}-y^{2})}$${\displaystyle د=-ج}$

هناك منحنى حدودي آخر، وهو منحنى جيرونو أو منحنى هويجنز، وهو المجموعة الصفرية للحدودية الرباعية . ^{[12] [13]} منحنى فيفياني ، وهو منحنى ثلاثي الأبعاد يتكون من تقاطع كرة مع أسطوانة، له أيضًا شكل الرقم ثمانية، وله منحنى جيرونو كإسقاط مستوي. ^[14]${\displaystyle y^{2}-x^{2}(a^{2}-x^{2})}$

تشمل المنحنيات الجبرية الأخرى على شكل الرقم ثمانية ما يلي:

• منحنى الشيطان ، وهو منحنى يتم تحديده بواسطة المعادلة الرباعية حيث يكون أحد المكونات المتصلة على شكل رقم ثمانية، ^[15]${\displaystyle y^{2}(y^{2}-a^{2})=x^{2}(x^{2}-b^{2})}$
• منحنى وات ، منحنى على شكل رقم ثمانية يتكون من خلال ارتباط ميكانيكي. منحنى وات هو المجموعة الصفرية لمعادلة متعددة الحدود من الدرجة السادسة وله حد برنولي كحالة خاصة.${\displaystyle (x^{2}+y^{2})(x^{2}+y^{2}-d^{2})^{2}+4a^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2}-b^{2})=0}$

• أناليما ، المنحنى على شكل رقم ثمانية الذي تتبعه مواضع الظهيرة للشمس في السماء على مدار العام
• رمز اللانهاية
• المخروطيات كشكل عام للمخروطيات
• جاذب لورينز ، نظام ديناميكي ثلاثي الأبعاد يظهر شكلًا مثلثيًا
• حدود متعددة الحدود ، مجموعة مستويات القيمة المطلقة لحدود متعددة الحدود معقدة

• "Lemniscates"، موسوعة الرياضيات ، EMS Press ، 2001 [1994]