الترتيب المعجمي

في الرياضيات ، يُعد الترتيب المعجمي أو المعجمي (المعروف أيضًا بالترتيب المعجمي أو ترتيب القاموس ) تعميمًا للترتيب الأبجدي للقواميس إلى تسلسلات من الرموز المرتبة أو ، بشكل أعم، عناصر مجموعة مرتبة كليًا .

توجد عدة صيغ وتعميمات للترتيب المعجمي. إحدى هذه الصيغ تُطبق على متواليات ذات أطوال مختلفة من خلال مقارنة أطوال المتواليات قبل النظر في عناصرها.

وهناك صيغة أخرى، تستخدم على نطاق واسع في علم التوافيق ، تقوم بترتيب المجموعات الفرعية لمجموعة محدودة معينة عن طريق تعيين ترتيب كلي للمجموعة المحدودة، وتحويل المجموعات الفرعية إلى متواليات متزايدة ، والتي يتم تطبيق الترتيب المعجمي عليها.

يُعرّف التعميم ترتيبًا على حاصل ضرب ديكارتي من الرتبة n لمجموعات مرتبة جزئيًا ؛ وهذا الترتيب هو ترتيب كلي إذا وفقط إذا كانت جميع عوامل حاصل الضرب الديكارتي مرتبة كليًا.

تتبع الكلمات في المعجم (مجموعة الكلمات المستخدمة في لغة ما) ترتيبًا اصطلاحيًا، يُستخدم في القواميس والموسوعات ، ويعتمد هذا الترتيب على الترتيب الأساسي لأبجدية الرموز المستخدمة في بناء الكلمات. ويُعد الترتيب المعجمي أحد طرق تنظيم ترتيب الكلمات بناءً على ترتيب الرموز الأساسية.

يبدأ المفهوم الرسمي بمجموعة منتهية A ، والتي تُسمى غالبًا الأبجدية ، وهي مرتبة ترتيبًا كليًا . أي أنه لأي رمزين a و b في A ليسا نفس الرمز، فإن أحد الخيارين a < b أو b < a صحيح.

كلمات المجموعة A هي سلاسل منتهية من الرموز من A ، بما في ذلك الكلمات ذات الطول 1 التي تحتوي على رمز واحد، والكلمات ذات الطول 2 التي تحتوي على رمزين، وهكذا، حتى بما في ذلك السلسلة الفارغة${\displaystyle \varepsilon }$بدون أي رموز على الإطلاق. الترتيب المعجمي لمجموعة كل هذه الكلمات المحدودة يرتب الكلمات على النحو التالي:

1. بالنظر إلى كلمتين مختلفتين من نفس الطول، على سبيل المثال a = a ₁ a ₂ ... a _k و b = b ₁ b ₂ ... b _k ، فإن ترتيب الكلمتين يعتمد على الترتيب الأبجدي للرموز في الموضع الأول i حيث تختلف الكلمتان (العد من بداية الكلمات): a < b إذا وفقط إذا كان a i _< b i _في الترتيب الأساسي للأبجدية A.
2. إذا كان للكلمتين أطوال مختلفة، فإن الترتيب المعجمي المعتاد يضيف "فراغات" (رمز خاص يتم التعامل معه على أنه أصغر من كل عنصر من عناصر A ) إلى الكلمة الأقصر في النهاية حتى تصبح الكلمات متساوية في الطول، ثم تتم مقارنة الكلمات كما في الحالة السابقة.

مع ذلك، في علم التوافيق ، يُستخدم اصطلاح آخر في كثير من الأحيان للحالة الثانية، حيث يكون التسلسل الأقصر دائمًا أصغر من التسلسل الأطول. يُطلق على هذا النوع من الترتيب المعجمي أحيانًا اسم الترتيب المعجمي المختصر .

في الترتيب المعجمي، تظهر كلمة "توماس" قبل كلمة "تومسون" لأن أول اختلاف بينهما هو الحرف الخامس ('a' و'p')، والحرف 'a' يسبق الحرف 'p' في الأبجدية. ولأن هذا هو أول اختلاف، فإن الحرف الخامس في هذه الحالة هو "الاختلاف الأهم" في الترتيب الأبجدي.

من الخصائص المهمة للترتيب المعجمي أنه لكل عدد صحيح n ، تكون مجموعة الكلمات التي طولها n مرتبة ترتيبًا جيدًا وفقًا لهذا الترتيب (بشرط أن تكون الأبجدية منتهية)؛ أي أن كل تسلسل تنازلي من الكلمات التي طولها n يكون منتهيًا (أو بصورة مكافئة، كل مجموعة جزئية غير فارغة تحتوي على أصغر عنصر). ^{[ 1 ] [ 2 ]} ليس صحيحًا أن مجموعة جميع الكلمات المنتهية مرتبة ترتيبًا جيدًا؛ فعلى سبيل المثال، لا تحتوي المجموعة اللانهائية من الكلمات {b, ab, aab, aaab, ...} على أصغر عنصر معجميًا.

لا يُستخدم الترتيب المعجمي في القواميس فحسب، بل يُستخدم أيضًا بشكل شائع للأرقام والتواريخ.

من عيوب نظام الأرقام الرومانية أنه ليس من الواضح دائمًا أي عددين أصغر. في المقابل، مع نظام الأرقام العربية-الهندية الموضعي ، تُصبح مقارنة الأعداد سهلة، لأن الترتيب الطبيعي للأعداد الطبيعية هو نفسه الترتيب المختصر للترتيب المعجمي. في الواقع، في نظام الأرقام الموضعي، يُمثَّل العدد الطبيعي بسلسلة من الأرقام ، ويكون عدد طبيعي أكبر من عدد آخر إذا كان عدد أرقامه أكبر (مع إهمال الأصفار البادئة)، أو إذا كان عدد أرقامهما متساويًا وكان الرقم الأول (الأكثر أهمية) الذي يختلف هو الأكبر.

بالنسبة للأعداد الحقيقية المكتوبة بالصيغة العشرية ، يُستخدم ترتيب معجمي مختلف قليلاً: تُقارن الأجزاء على يسار الفاصلة العشرية كما في السابق؛ إذا كانت متساوية، تُقارن الأجزاء على يمين الفاصلة العشرية وفقًا للترتيب المعجمي. ويُقصد بالفراغ في هذا السياق الرقم "0" في نهاية العدد.

عند النظر في الأعداد السالبة، يجب عكس ترتيب مقارنتها. لا يُمثل هذا عادةً مشكلةً للبشر، ولكنه قد يُشكل عائقًا أمام الحواسيب (إذ يستغرق اختبار الإشارة بعض الوقت). وهذا أحد أسباب اعتماد تمثيل المتمم الثنائي للأعداد الصحيحة المُوقّعة في الحواسيب.

يظهر مثال آخر على استخدام الترتيب المعجمي خارج نطاق القواميس في معيار ISO 8601 للتواريخ، حيث يُعبّر عن التاريخ بالصيغة YYYY-MM-DD. تتميز هذه الصيغة بأن الترتيب المعجمي لتسلسلات الأحرف التي تُمثل التواريخ يتطابق مع الترتيب الزمني : فالتاريخ الأقدم يكون ترتيبه المعجمي أصغر من التاريخ الأحدث. وينطبق هذا على التواريخ من السنة 1 ميلادي حتى السنة 9999 ميلادي. يُسهّل هذا الترتيب فرز التواريخ إلكترونيًا، إذ يُغني عن الحاجة إلى خوارزمية فرز منفصلة.

المونويد الخاص بالكلمات على الأبجدية A هو المونويد الحر على A. أي أن عناصر المونويد هي المتتاليات المنتهية (الكلمات) من عناصر A (بما في ذلك المتتالية الفارغة، ذات الطول 0)، والعملية (الضرب) هي دمج الكلمات. الكلمة u هي بادئة (أو "اقتطاع") لكلمة أخرى v إذا وُجدت كلمة w بحيث v = uw . وفقًا لهذا التعريف، فإن الكلمة الفارغة (${\displaystyle \varepsilon }$) هي بادئة لكل كلمة، وكل كلمة هي بادئة لنفسها (مع w${\displaystyle =\varepsilon }$)؛ يجب توخي الحذر إذا كان سيتم استبعاد هذه الحالات.

باستخدام هذه المصطلحات، يصبح التعريف أعلاه للترتيب المعجمي أكثر إيجازًا: بالنظر إلى مجموعة مرتبة جزئيًا أو كليًا A ، وكلمتين a و b على A بحيث تكون b غير فارغة، فإن a < b في ظل الترتيب المعجمي، إذا تحقق شرط واحد على الأقل من الشروط التالية:

• a هي بادئة لـ b
• توجد الكلمات u و v و w (ربما تكون فارغة) والعناصر x و y من A بحيث

x < y

أ = uxv

ب = يو واي دبليو

لاحظ أنه بسبب شرط البادئة في هذا التعريف،${\displaystyle \varepsilon <b\,\,{\text{ لكل }}b\neq \varepsilon ,}$أين${\displaystyle \varepsilon }$هي كلمة فارغة.

لو${\displaystyle \,<\,}$هذا طلب كامل على${\displaystyle A,}$وكذلك يكون الترتيب المعجمي للكلمات${\displaystyle A.}$لكن بشكل عام، هذا ليس ترتيبًا جيدًا ، حتى لو كان الأبجدية${\displaystyle A}$مرتبة ترتيباً جيداً. على سبيل المثال، إذا كانت A = { a , b } ، فإن اللغة { a ⁿ b | n ≥ 0, b > ε } ليس لها أصغر عنصر في الترتيب المعجمي: ... < aab < ab < b .

نظرًا لأن العديد من التطبيقات تتطلب ترتيبًا جيدًا، فغالبًا ما يُستخدم نوعٌ مُعدّل من الترتيب المعجمي. هذا الترتيب الجيد، الذي يُسمى أحيانًا الترتيب المعجمي المختصر أو شبه المعجمي ، يقوم على النظر أولًا في أطوال الكلمات (إذا كان طول ( أ ) < طول ( ب ) ، فإن${\displaystyle a<b}$وإذا كانت الأطوال متساوية، فيُستخدم الترتيب المعجمي. وإذا كان الترتيب على A ترتيبًا جيدًا، فإن الأمر نفسه ينطبق على ترتيب الكلمات المختصرة. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

يُعرّف الترتيب المعجمي ترتيبًا على حاصل ضرب ديكارتي من الرتبة n لمجموعات مرتبة، وهو ترتيب كلي عندما تكون جميع هذه المجموعات مرتبة كليًا. عنصر من حاصل الضرب الديكارتي${\displaystyle E_{1}\times \cdots \times E_{n}}$هي متتالية${\displaystyle i}$^{ينتمي العنصر th} إلى${\displaystyle E_{i}}$لكل${\displaystyle i.}$بما أن تقييم الترتيب المعجمي للتسلسلات يقارن فقط العناصر التي لها نفس الرتبة في التسلسلات، فإن الترتيب المعجمي يمتد إلى المنتجات الديكارتية للمجموعات المرتبة.

على وجه التحديد، بالنظر إلى مجموعتين مرتبتين جزئيًا${\displaystyle A}$و${\displaystyle B,}$الالترتيب المعجمي على الضرب الديكارتي${\displaystyle A\times B}$يُعرَّف بأنه $${\displaystyle (a,b)\leq \left(a^{\prime },b^{\prime }\right){\text{ إذا وفقط إذا }}a<a^{\prime }{\text{ أو }}\left(a=a^{\prime }{\text{ و }}b\leq b^{\prime }\right),}$$

والنتيجة هي طلب جزئي. إذا${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$إذا كانت كلتا المجموعتين مرتبتين ترتيبًا كليًا ، فإن النتيجة تكون ترتيبًا كليًا أيضًا. وبالتالي، فإن الترتيب المعجمي لمجموعتين مرتبتين ترتيبًا كليًا هو امتداد خطي لترتيب حاصل ضربهما .

يمكن تعريف الترتيب المعجمي على حاصل الضرب الديكارتي لمجموعة لانهائية من المجموعات المرتبة، إذا كانت المجموعة مفهرسة بالأعداد الطبيعية ، أو بشكل أعم بمجموعة مرتبة ترتيبًا جيدًا. هذا الترتيب المعجمي المعمم هو ترتيب كلي إذا كانت كل مجموعة عوامل مرتبة ترتيبًا كليًا.

على عكس الحالة المنتهية، فإن حاصل الضرب اللانهائي للترتيبات الجيدة ليس بالضرورة مرتبًا ترتيبًا جيدًا وفقًا للترتيب المعجمي. على سبيل المثال، مجموعة المتتاليات الثنائية اللانهائية القابلة للعد (بحسب التعريف، مجموعة الدوال من الأعداد الطبيعية إلى${\displaystyle \{0,1\},}$يُعرف أيضًا باسم مساحة كانتور${\displaystyle \{0,1\}^{\أوميغا }}$) غير مرتبة ترتيبًا جيدًا؛ مجموعة فرعية من المتتاليات التي تحتوي على عنصر واحد فقط${\displaystyle 1}$(أي أن { 100000..., 010000..., 001000..., ... } ) لا تحتوي على عنصر أصغر في الترتيب المعجمي الناتج عن${\displaystyle 0<1,}$لأن 100000... > 010000... > 001000... > ... سلسلة تنازلية لانهائية . ^{[ 1 ]} وبالمثل، فإن الناتج المعجمي اللانهائي ليس نوثريًا أيضًا لأن 011111... < 101111... < 110111 ... < ... سلسلة تصاعدية لانهائية.

الدوال من مجموعة مرتبة ترتيباً جيداً${\displaystyle X}$إلى مجموعة مرتبة تمامًا${\displaystyle Y}$يمكن تحديدها باستخدام التسلسلات المفهرسة بواسطة${\displaystyle X}$من عناصر${\displaystyle Y.}$وبالتالي يمكن ترتيبها حسب الترتيب المعجمي، وذلك لوظيفتين من هذا القبيل.${\displaystyle f}$و${\displaystyle g,}$وبالتالي، يتم تحديد الترتيب المعجمي من خلال قيمها لأصغرها${\displaystyle x}$بحيث${\displaystyle f(x)\neq g(x).}$

لو${\displaystyle Y}$كما أنه منظم بشكل جيد و${\displaystyle X}$إذا كانت المجموعة محدودة، فإن الترتيب الناتج يكون ترتيبًا جيدًا. كما هو موضح أعلاه، إذا${\displaystyle X}$لا يوجد شيء لا نهائي، هذا ليس هو الحال.

في علم التوافيق ، غالباً ما يتعين على المرء تعداد المجموعات الجزئية المنتهية لمجموعة معينة ، وبالتالي ترتيبها.${\displaystyle S.}$ولذلك، يختار المرء عادةً طلبًا على${\displaystyle S.}$ثم، فرز مجموعة فرعية من${\displaystyle S}$يُعادل ذلك تحويلها إلى متتالية متزايدة. وبالتالي، فإن الترتيب المعجمي على المتتاليات الناتجة يُنشئ ترتيبًا على المجموعات الفرعية، والذي يُسمى أيضًا بالترتيب المعجمي .

في هذا السياق، يُفضّل عمومًا فرز المجموعات الجزئية أولًا حسب عدد عناصرها ، كما هو الحال في ترتيب shortlex . لذلك، سنقتصر فيما يلي على دراسة الترتيبات على المجموعات الجزئية ذات عدد عناصر ثابت.

على سبيل المثال، باستخدام الترتيب الطبيعي للأعداد الصحيحة، فإن الترتيب المعجمي على المجموعات الفرعية المكونة من ثلاثة عناصر من${\displaystyle S=\{1,2,3,4,5,6\}}$يكون

123 < 124 < 125 < 126 < 134 < 135 < 136 < 145 < 146 < 156 <

234 < 235 < 236 < 245 < 246 < 256 < 345 < 346 < 356 < 456 .

لترتيب المجموعات الجزئية المنتهية ذات عدد معين من عناصر الأعداد الطبيعية ، غالبًا ما يكون الترتيب المعجمي (انظر أدناه) أكثر ملاءمة، لأن جميع الأجزاء الأولية منتهية، وبالتالي يُعرّف الترتيب المعجمي تماثلًا ترتيبيًا بين الأعداد الطبيعية ومجموعة مجموعات الأعداد الطبيعية.${\displaystyle n}$الأعداد الطبيعية. هذا ليس هو الحال بالنسبة للترتيب المعجمي، حيث أنه مع الترتيب المعجمي، لدينا، على سبيل المثال،${\displaystyle 12n<134}$لكل${\displaystyle n>2.}$

يترك${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$كن المجموعة الأبيلية الحرة ذات الرتبة${\displaystyle n,}$عناصرها عبارة عن تسلسلات من${\displaystyle n}$الأعداد الصحيحة، والعملية هي الجمع . ترتيب المجموعة على${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$هو ترتيب كلي ، وهو متوافق مع الجمع، أي $${\displaystyle a<b\quad {\text{ إذا وفقط إذا }}\quad a+c<b+c.}$$

الترتيب المعجمي هو ترتيب جماعي على${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}.}$

يمكن أيضًا استخدام الترتيب المعجمي لتوصيف جميع ترتيبات المجموعات على${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}.}$^{[ 4 ] [ 5 ]} في الواقع،${\displaystyle n}$تُعرّف الأشكال الخطية ذات المعاملات الحقيقية تطبيقًا من${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$داخل${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$وهي دالة أحادية إذا كانت الأشكال مستقلة خطيًا (وقد تكون أحادية أيضًا إذا كانت الأشكال تابعة، انظر أدناه). يُنشئ الترتيب المعجمي على صورة هذه الخريطة ترتيبًا جماعيًا على${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}.}$تنص نظرية روبيانو على أنه يمكن الحصول على كل ترتيب للمجموعة بهذه الطريقة.

وبشكل أدق، بالنظر إلى ترتيب المجموعة على${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n},}$يوجد عدد صحيح${\displaystyle s\leq n}$و${\displaystyle s}$الأشكال الخطية ذات المعاملات الحقيقية، بحيث تكون الخريطة المستحثة${\displaystyle \varphi }$من${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$داخل${\displaystyle \mathbb {R} ^{s}}$له الخصائص التالية؛

• ${\displaystyle \varphi }$هو حقني؛
• التشاكل الناتج من${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$إلى صورة${\displaystyle \varphi }$يكون تماثلاً ترتيبياً عندما تكون الصورة مزودة بالترتيب المعجمي على${\displaystyle \mathbb {R} ^{s}.}$

الترتيب المعجمي أو ترتيب الكوليكس هو شكل من أشكال الترتيب المعجمي، ويُحصل عليه بقراءة المتتاليات المحدودة من اليمين إلى اليسار بدلاً من قراءتها من اليسار إلى اليمين. وبشكل أدق، بينما يُحدد الترتيب المعجمي بين متتاليتين بواسطة

a ₁ a ₂ ... a _k < ^lex b ₁ b ₂ ... b _k إذا كان a _i < b _i لأول i حيثيختلف a _i و b _{i ،}

يتم تحديد الترتيب المعجمي بواسطة

a1 _a2 ... ak < ^colex b1 _b2 ... bk إذا _كان ai < bi للأخير i حيثيختلف ai و bi​_​​​_{​​​​​}

بشكل عام، لا يُعدّ الفرق بين الترتيب المعجمي والترتيب المعجمي ذا أهمية كبيرة. مع ذلك، عند النظر إلى التسلسلات المتزايدة، وخاصةً لترميز المجموعات الفرعية، يختلف الترتيبان اختلافًا كبيرًا.

على سبيل المثال، لترتيب المتتاليات المتزايدة (أو المجموعات) لعددين صحيحين طبيعيين، يبدأ الترتيب المعجمي بـ

12 < 13 < 14 < 15 < ... < 23 < 24 < 25 < ... < 34 < 35 < ... < 45 < ... ,

ويبدأ الترتيب المعجمي بـ

12 < 13 < 23 < 14 < 24 < 34 < 15 < 25 < 35 < 45 < ... .

تتمثل الخاصية الرئيسية للترتيب المعجمي للمتتاليات المتزايدة ذات الطول المحدد في أن كل جزء أولي منها يكون محدودًا. بعبارة أخرى، يُنشئ الترتيب المعجمي للمتتاليات المتزايدة ذات الطول المحدد تماثلًا ترتيبيًا مع الأعداد الطبيعية، مما يسمح بتعداد هذه المتتاليات. يُستخدم هذا الترتيب بكثرة في التوافقية ، على سبيل المثال في برهان نظرية كروسكال-كاتونا . في المقابل، تحذف كل علامة حذف في الترتيب المعجمي المذكور عددًا لا نهائيًا من المتتاليات، مما يعني أن الجزء الأولي الذي ينتهي بالعدد 23 ، على سبيل المثال، هو عدد لا نهائي.

عند دراسة كثيرات الحدود ، لا يهم ترتيب الحدود عمومًا، لأن عملية الجمع تبديلية. مع ذلك، تتطلب بعض الخوارزميات ، مثل القسمة المطولة لكثيرات الحدود ، أن تكون الحدود بترتيب محدد. ترتبط العديد من الخوارزميات الرئيسية لكثيرات الحدود متعددة المتغيرات بقواعد غروبنر ، وهو مفهوم يتطلب اختيار ترتيب أحادي الحد ، أي ترتيب كلي ، يتوافق مع بنية أحاديات الحدود . هنا، تعني كلمة "متوافق" أن${\displaystyle a<b{\text{ يعني }}ac<bc,}$إذا رُمز لعملية المونويد بالضرب. هذا التوافق يعني أن حاصل ضرب كثير الحدود في أحادي الحد لا يُغير ترتيب الحدود. بالنسبة لقواعد غروبنر، يجب استيفاء شرط إضافي، وهو أن يكون كل أحادي حد غير ثابت أكبر من أحادي الحد 1. مع ذلك، لا يُشترط هذا الشرط للخوارزميات الأخرى ذات الصلة، مثل خوارزميات حساب المخروط المماسي .

بما أن قواعد غروبنر تُعرَّف لكثيرات الحدود في عدد ثابت من المتغيرات، فمن الشائع تحديد أحاديات الحدود (على سبيل المثال${\displaystyle x_{1}x_{2}^{3}x_{4}x_{5}^{2}}$) مع متجهات الأسس الخاصة بها (هنا [1، 3، 0، 1، 2] ). إذا كان n هو عدد المتغيرات، فإن كل رتبة أحادية الحد هي بالتالي تقييد لـ${\displaystyle \mathbb {N} ^{n}}$من رتبة أحادية الحد${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$(انظر أعلاه §  ترتيبات المجموعة للزنك)${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n},}$(للتصنيف).

أحد هذه الترتيبات المقبولة هو الترتيب المعجمي. وهو، تاريخياً، أول ترتيب تم استخدامه لتحديد قواعد غروبنر، ويُطلق عليه أحياناً اسم الترتيب المعجمي البحت لتمييزه عن الترتيبات الأخرى المرتبطة أيضاً بالترتيب المعجمي.

تتمثل طريقة أخرى في مقارنة الدرجات الكلية أولاً ، ثم حل التعارضات باستخدام الترتيب المعجمي. هذا الترتيب غير شائع الاستخدام، إذ يتمتع كل من الترتيب المعجمي أو الترتيب المعجمي العكسي للدرجات بخصائص أفضل عموماً.

يتضمن الترتيب المعجمي العكسي للدرجات أيضًا مقارنة الدرجات الكلية أولًا، وفي حالة تساوي الدرجات الكلية، يتم استخدام عكس الترتيب المعجمي المشترك. أي، عند إعطاء متجهين أسيين، يكون لدينا $${\displaystyle [a_{1},\ldots ,a_{n}]<[b_{1},\ldots ,b_{n}]}$$ إذا كان أي منهما $${\displaystyle a_{1}+\cdots +a_{n}<b_{1}+\cdots +b_{n},}$$ أو $${\displaystyle a_{1}+\cdots +a_{n}=b_{1}+\cdots +b_{n}\quad {\text{ و }}\quad a_{i}>b_{i}{\text{ لأكبر قيمة }}i{\text{ التي تحقق }}a_{i}\neq b_{i}.}$$

في هذا الترتيب، يكون ترتيب أحاديات الحدود من الدرجة الأولى مماثلاً لترتيب المتغيرات المقابلة لها (وهذا لا ينطبق في حال استخدام الترتيب المعجمي العكسي). عند مقارنة أحاديات الحدود في متغيرين لهما نفس الدرجة الكلية، يكون هذا الترتيب مطابقًا للترتيب المعجمي. لكن هذا لا ينطبق على المتغيرات الأكثر. على سبيل المثال، بالنسبة لمتجهات الأسس لأحاديات الحدود من الدرجة الثانية في ثلاثة متغيرات، يكون الترتيب المعجمي العكسي للدرجة كما يلي: $${\displaystyle [0,0,2]<[0,1,1]<[1,0,1]<[0,2,0]<[1,1,0]<[2,0,0]}$$

بالنسبة للترتيب المعجمي، يتم ترتيب متجهات الأس نفسها كما يلي: $${\displaystyle [0,0,2]<[0,1,1]<[0,2,0]<[1,0,1]<[1,1,0]<[2,0,0].}$$

تتمثل إحدى الخصائص المفيدة للترتيب المعجمي العكسي للدرجة في أن كثير الحدود المتجانس يكون مضاعفًا لأقل حد غير محدد إذا وفقط إذا كان حده الرئيسي (حده الأكبر) مضاعفًا لهذا الحد الأقل غير المحدد.

• التجميع
• ترتيب كلين-بروير
• التفضيلات المعجمية - تطبيق الترتيب المعجمي في الاقتصاد.
• التحسين المعجمي - مشكلة خوارزمية لإيجاد عنصر معجمي أقصى.
• طوبولوجيا الترتيب المعجمي على المربع الواحد
• الترتيب المعجمي في تدوين الفهرس المجرد الموتري
• الحد الأدنى من دوران السلسلة المعجمي
• ترتيب ليكسيمين
• خط طويل (طوبولوجيا)
• كلمة ليندون
• الترتيب المسبق - اسم الترتيب المعجمي (للبتات) في اجتياز الشجرة الثنائية
• المنتج المميز – طريقة مختلفة لدمج الطلبات الجزئية
• طلب قصير
• الطلبات على حاصل الضرب الديكارتي للمجموعات المطلوبة بالكامل

• مواد تعليمية متعلقة بالترتيب المعجمي والمعجمي المشترك على ويكي الجامعة