تقاطع خط مع مستوى

في الهندسة ، يمكن أن يكون تقاطع خط مع مستوى في الفضاء ثلاثي الأبعاد مجموعة فارغة ، أو نقطة ، أو الخط نفسه. يكون الخط بأكمله إذا كان مغمورًا في المستوى، ويكون مجموعة فارغة إذا كان موازيًا للمستوى ولكنه خارجه. خلاف ذلك، يقطع الخط المستوى في نقطة واحدة.

إن التمييز بين هذه الحالات، وتحديد المعادلات الخاصة بالنقطة والخط في الحالات الأخيرة، له فائدة في رسومات الحاسوب ، وتخطيط الحركة ، واكتشاف التصادم .

في الترميز المتجهي ، يمكن التعبير عن المستوى كمجموعة من النقاط${\displaystyle \mathbf {p} }$والتي

${\displaystyle (\mathbf {p} -\mathbf {p_{0}} )\cdot \mathbf {n} =0}$

أين${\displaystyle \mathbf {n} }$هو متجه عمودي على المستوى و${\displaystyle \mathbf {p_{0}} }$هي نقطة على المستوى. (الرمز)${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }$يرمز إلى الضرب النقطي للمتجهات${\displaystyle \mathbf {a} }$و${\displaystyle \mathbf {b} }$.)

معادلة المتجهات للخط المستقيم هي

${\displaystyle \mathbf {p} =\mathbf {l_{0}} +\mathbf {l} \ d\quad d\in \mathbb {R} }$

أين${\displaystyle \mathbf {l} }$هو متجه وحدة في اتجاه الخط،${\displaystyle \mathbf {l_{0}} }$هي نقطة على الخط، و ${\displaystyle d}$هو كمية قياسية في مجال الأعداد الحقيقية . وبتعويض معادلة الخط في معادلة المستوى، نحصل على

${\displaystyle ((\mathbf {l_{0}} +\mathbf {l} \ d)-\mathbf {p_{0}} )\cdot \mathbf {n} =0.}$

توسيع العطاء

${\displaystyle (\mathbf {l} \cdot \mathbf {n} )\ d+(\mathbf {l_{0}} -\mathbf {p_{0}} )\cdot \mathbf {n} =0.}$

وحل لـ${\displaystyle d}$أعطِ

${\displaystyle d={(\mathbf {p_{0}} -\mathbf {l_{0}} )\cdot \mathbf {n} \over \mathbf {l} \cdot \mathbf {n} }.}$

لو${\displaystyle \mathbf {l} \cdot \mathbf {n} =0}$عندئذٍ يكون الخط والمستوى متوازيين. ستكون هناك حالتان: إذا${\displaystyle (\mathbf {p_{0}} -\mathbf {l_{0}} )\cdot \mathbf {n} =0}$عندئذٍ يكون الخط محصوراً في المستوى، أي أن الخط يتقاطع مع المستوى عند كل نقطة من نقاطه. وإلا، فلا يوجد تقاطع بين الخط والمستوى.

لو${\displaystyle \mathbf {l} \cdot \mathbf {n} \neq 0}$توجد نقطة تقاطع واحدة. قيمة${\displaystyle d}$يمكن حساب نقطة التقاطع،${\displaystyle \mathbf {p} }$، يتم تحديده بواسطة

${\displaystyle \mathbf {p} =\mathbf {l_{0}} +\mathbf {l} \ d}$.

يُعرَّف الخط بجميع النقاط التي تقع في اتجاه معين من نقطة ما. نقطة عامة على خط يمر بنقاط${\displaystyle \mathbf {l} _{a}=(x_{a},y_{a},z_{a})}$و${\displaystyle \mathbf {l} _{b}=(x_{b},y_{b},z_{b})}$يمكن تمثيلها على النحو التالي

${\displaystyle \mathbf {l} _{a}+\mathbf {l} _{ab}t,\quad t\in \mathbb {R} ,}$

أين${\displaystyle \mathbf {l} _{ab}=\mathbf {l} _{b}-\mathbf {l} _{a}}$هو المتجه الذي يشير من${\displaystyle \mathbf {l} _{a}}$ل${\displaystyle \mathbf {l} _{b}}$.

وبالمثل، فإن النقطة العامة على مستوى محدد بواسطة المثلث المحدد بالنقاط${\displaystyle \mathbf {p} _{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})}$،${\displaystyle \mathbf {p} _{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})}$و${\displaystyle \mathbf {p} _{2}=(x_{2},y_{2},z_{2})}$يمكن تمثيلها على النحو التالي

${\displaystyle \mathbf {p} _{0}+\mathbf {p} _{01}u+\mathbf {p} _{02}v,\quad u,v\in \mathbb {R} ,}$

أين${\displaystyle \mathbf {p} _{01}=\mathbf {p} _{1}-\mathbf {p} _{0}}$هو المتجه الذي يشير من${\displaystyle \mathbf {p} _{0}}$ل${\displaystyle \mathbf {p} _{1}}$، و${\displaystyle \mathbf {p} _{02}=\mathbf {p} _{2}-\mathbf {p} _{0}}$هو المتجه الذي يشير من${\displaystyle \mathbf {p} _{0}}$ل${\displaystyle \mathbf {p} _{2}}$.

وبالتالي، يتم وصف النقطة التي يتقاطع عندها الخط مع المستوى عن طريق جعل النقطة على الخط مساوية للنقطة على المستوى، مما يعطي المعادلة البارامترية التالية :

${\displaystyle \mathbf {l} _{a}+\mathbf {l} _{ab}t=\mathbf {p} _{0}+\mathbf {p} _{01}u+\mathbf {p} _{02}v.}$

يمكن إعادة كتابة هذا على النحو التالي

${\displaystyle \mathbf {l} _{a}-\mathbf {p} _{0}=-\mathbf {l} _{ab}t+\mathbf {p} _{01}u+\mathbf {p} _{02}v,}$

والتي يمكن التعبير عنها في شكل مصفوفة كما يلي

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {l} _{a}-\mathbf {p} _{0}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-\mathbf {l} _{ab}&\mathbf {p} _{01}&\mathbf {p} _{02}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}t\\u\\v\end{bmatrix}},}$

حيث تُكتب المتجهات كمتجهات عمودية.

ينتج عن ذلك نظام من المعادلات الخطية التي يمكن حلها لـ${\displaystyle t}$،${\displaystyle u}$و${\displaystyle v}$إذا كان الحل يحقق الشرط${\displaystyle t\in [0,1],}$إذن، تقع نقطة التقاطع على القطعة المستقيمة بين${\displaystyle \mathbf {l} _{a}}$و${\displaystyle \mathbf {l} _{b}}$وإلا فإنه يكون في مكان آخر على الخط. وبالمثل، إذا كان الحل يحقق${\displaystyle u,v\in [0,1],}$إذن، تقع نقطة التقاطع في متوازي الأضلاع المتكون من النقطة${\displaystyle \mathbf {p} _{0}}$والمتجهات${\displaystyle \mathbf {p} _{01}}$و${\displaystyle \mathbf {p} _{02}}$إذا كان الحل يحقق أيضًا${\displaystyle (u+v)\leq 1}$إذن، تقع نقطة التقاطع في المثلث المتكون من النقاط الثلاث.${\displaystyle \mathbf {p} _{0}}$،${\displaystyle \mathbf {p} _{1}}$و${\displaystyle \mathbf {p} _{2}}$.

يمكن حساب محدد المصفوفة على النحو التالي:

${\displaystyle \det({\begin{bmatrix}-\mathbf {l} _{ab}&\mathbf {p} _{01}&\mathbf {p} _{02}\end{bmatrix}})=-\mathbf {l} _{ab}\cdot (\mathbf {p} _{01}\times \mathbf {p} _{02}).}$

إذا كانت قيمة المحدد تساوي صفرًا، فلا يوجد حل وحيد؛ إما أن يكون الخط في المستوى أو موازيًا له.

إذا وُجد حل وحيد (المحدد ليس صفرًا)، فيمكن إيجاده عن طريق قلب المصفوفة وإعادة ترتيبها:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}t\\u\\v\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-\mathbf {l} _{ab}&\mathbf {p} _{01}&\mathbf {p} _{02}\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}\mathbf {l} _{a}-\mathbf {p} _{0}\end{bmatrix}},}$

والذي يتوسع إلى

${\displaystyle {\begin{bmatrix}t\\u\\v\end{bmatrix}}={\frac {1}{-\mathbf {l} _{ab}\cdot (\mathbf {p} _{01}\times \mathbf {p} _{02})}}{\begin{bmatrix}{(\mathbf {p} _{01}\times \mathbf {p} _{02})}^{\mathrm {T} }\\{(\mathbf {p} _{02}\times -\mathbf {l} _{ab})}^{\mathrm {T} }\\{(-\mathbf {l} _{ab}\times \mathbf {p} _{01})}^{\mathrm {T} }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {l} _{a}-\mathbf {p} _{0}\end{bmatrix}}}$

ثم إلى

${\displaystyle {\begin{bmatrix}t\\u\\v\end{bmatrix}}={\frac {1}{-\mathbf {l} _{ab}\cdot (\mathbf {p} _{01}\times \mathbf {p} _{02})}}{\begin{bmatrix}{(\mathbf {p} _{01}\times \mathbf {p} _{02})}\cdot (\mathbf {l} _{a}-\mathbf {p} _{0})\\{(\mathbf {p} _{02}\times -\mathbf {l} _{ab})}\cdot (\mathbf {l} _{a}-\mathbf {p} _{0})\\{(-\mathbf {l} _{ab}\times \mathbf {p} _{01})}\cdot (\mathbf {l} _{a}-\mathbf {p} _{0})\end{bmatrix}},}$

وبذلك يتم تقديم الحلول:

${\displaystyle t={\frac {{(\mathbf {p} _{01}\times \mathbf {p} _{02})}\cdot (\mathbf {l} _{a}-\mathbf {p} _{0})}{-\mathbf {l} _{ab}\cdot (\mathbf {p} _{01}\times \mathbf {p} _{02})}}}$

${\displaystyle u={\frac {{(\mathbf {p} _{02}\times -\mathbf {l} _{ab})}\cdot (\mathbf {l} _{a}-\mathbf {p} _{0})}{-\mathbf {l} _{ab}\cdot (\mathbf {p} _{01}\times \mathbf {p} _{02})}}}$

${\displaystyle v={\frac {{(-\mathbf {l} _{ab}\times \mathbf {p} _{01})}\cdot (\mathbf {l} _{a}-\mathbf {p} _{0})}{-\mathbf {l} _{ab}\cdot (\mathbf {p} _{01}\times \mathbf {p} _{02})}}.}$

تكون نقطة التقاطع مساوية لـ

${\displaystyle \mathbf {l} _{a}+\mathbf {l} _{ab}t}$

في تقنية تتبع الأشعة في رسومات الحاسوب ، يُمكن تمثيل السطح كمجموعة من المستويات. ويُستخدم تقاطع شعاع الضوء مع كل مستوى لإنتاج صورة للسطح. أما في إعادة البناء ثلاثي الأبعاد القائم على الرؤية الحاسوبية ، وهو فرع من فروعها ، فتُقاس قيم العمق عادةً باستخدام ما يُعرف بطريقة التثليث، التي تُحدد نقطة التقاطع بين مستوى الضوء والشعاع المنعكس باتجاه الكاميرا.

يمكن تعميم الخوارزمية لتغطية التقاطع مع الأشكال المستوية الأخرى، وعلى وجه الخصوص، تقاطع متعدد السطوح مع خط .

• إحداثيات بلوكر# حساب نقطة التقاطع بين المستوي والخط عندما يتم التعبير عن الخط بإحداثيات بلوكر.
• تقاطع مستويين

• تقاطع خط ومستوى