دالة زيتا المحلية

في الرياضيات ، تُعرَّف دالة زيتا المحلية Z ( V , s )  (والتي تُسمى أحيانًا دالة زيتا المتطابقة أو دالة زيتا هاس-ويل ) على النحو التالي:

${\displaystyle Z(V,s)=\exp \left(\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {N_{k}}{k}}(q^{-s})^{k}\right)}$

حيث V عبارة عن تنوع جبري إسقاطي غير منفرد ذو n بُعد على الحقل F _q مع q عنصرًا و N _k هو عدد نقاط V المعرفة على امتداد الحقل المنتهي F _{q ^k} لـ F _q . ^{[ 1 ]}

بإجراء التحويل المتغير t  = q ^{− s} ،  نحصل على

${\displaystyle {\mathit {Z}}(V,t)=\exp \left(\sum _{k=1}^{\infty }N_{k}{\frac {t^{k}}{k}}\right)}$

باعتبارها سلسلة القوى الرسمية في المتغير${\displaystyle t}$.

وبالمثل، تُعرَّف دالة زيتا المحلية أحيانًا على النحو التالي:

${\displaystyle (1)\ \ {\mathit {Z}}(V,0)=1\,}$

${\displaystyle (2)\ \ {\frac {d}{dt}}\log {\mathit {Z}}(V,t)=\sum _{k=1}^{\infty }N_{k}t^{k-1}\ .}$

وبعبارة أخرى، يتم تعريف دالة زيتا المحلية Z ( V , t )  ذات المعاملات في الحقل المنتهي F _q على أنها دالة ينتج مشتقها اللوغاريتمي عدد N _k من حلول المعادلة التي تحدد V في امتداد الدرجة k F _{q ^k} .

بالنظر إلى حقل منتهٍ F ، يوجد، حتى التشاكل ، حقل واحد فقط F _k بحيث

${\displaystyle [F_{k}:F]=k\,}$،

لـ k = 1، 2، ... . عندما يكون F هو الحقل الوحيد الذي يحتوي على q عنصرًا، فإن F _k هو الحقل الوحيد الذي${\displaystyle q^{k}}$العناصر. بالنظر إلى مجموعة من المعادلات متعددة الحدود - أو صنف جبري V - معرف على F ، يمكننا حساب عدد

${\displaystyle N_{k}\,}$

من الحلول في F _k وإنشاء الدالة المولدة

${\displaystyle G(t)=N_{1}t+N_{2}t^{2}/2+N_{3}t^{3}/3+\cdots \,}$.

التعريف الصحيح لـ Z ( t ) هو جعل log Z مساوياً لـ G ، لذلك

${\displaystyle Z=\exp(G(t))\,}$

و Z (0) = 1، لأن G (0) = 0، و Z ( t ) هي سلسلة قوى رسمية مسبقًا .

المشتق اللوغاريتمي

${\displaystyle Z'(t)/Z(t)\,}$

يساوي الدالة المولدة

${\displaystyle G'(t)=N_{1}+N_{2}t^{1}+N_{3}t^{2}+\cdots \,}$.

على سبيل المثال، لنفترض أن جميع قيم N _k تساوي 1؛ يحدث هذا مثلاً إذا بدأنا بمعادلة مثل X = 0، بحيث نعتبر V نقطة هندسياً.

${\displaystyle G(t)=-\log(1-t)}$

هو توسيع اللوغاريتم (لـ | t | < 1). في هذه الحالة لدينا

${\displaystyle Z(t)={\frac {1}{(1-t)}}\ .}$

ولنأخذ مثالاً أكثر إثارة للاهتمام، ليكن V هو الخط الإسقاطي فوق F. إذا كان F يحتوي على q عنصرًا، فإن هذا الخط يحتوي على q + 1 نقطة، بما في ذلك النقطة الموجودة في اللانهاية . وبالتالي، لدينا

${\displaystyle N_{k}=q^{k}+1}$

و

${\displaystyle G(t)=-\log(1-t)-\log(1-qt)}$

لأن | t | صغيرة بما فيه الكفاية، وبالتالي

${\displaystyle Z(t)={\frac {1}{(1-t)(1-qt)}}\ .}$

أُجريت أول دراسة لهذه الدوال في أطروحة إميل أرتين عام 1923. وقد توصل إلى نتائج تخص المنحنى الزائدي الإهليلجي ، وتكهن بالنقاط الرئيسية الأخرى للنظرية عند تطبيقها على المنحنيات. ثم طوّر هذه النظرية كلٌ من إف. كيه. شميدت وهيلموت هاس . ^{[ 2 ]} أما أقدم الحالات غير التافهة المعروفة لدوال زيتا المحلية، فقد وردت ضمنيًا في كتاب كارل فريدريش غاوس " Disquisitiones Arithmeticae" ، المقالة 358. وهناك، تم حساب نقاط أمثلة محددة لمنحنيات إهليلجية فوق حقول منتهية ذات ضرب عقدي باستخدام طريقة القطع الدائري . ^{[ 3 ]}

للاطلاع على التعريف وبعض الأمثلة، انظر أيضًا. ^{[ 4 ]}

يمكن تفسير العلاقة بين تعريفات G و Z بعدة طرق. (انظر على سبيل المثال صيغة الضرب اللانهائي لـ Z أدناه). عمليًا، يجعل هذا Z دالة كسرية لـ t ، وهو أمر مثير للاهتمام حتى في حالة V، وهو منحنى إهليلجي فوق حقل منتهٍ.

يتم ضرب دوال زيتا المحلية Z للحصول على الدوال العالمية${\displaystyle \zeta }$دوال زيتا،

${\displaystyle \zeta =\prod Z}$

تتضمن هذه بشكل عام حقولًا منتهية مختلفة (على سبيل المثال، عائلة الحقول Z / p Z بأكملها عندما يمتد p على جميع الأعداد الأولية ).

في هذه الحقول، يتم استبدال المتغير t بالمتغير p ^−s ، حيث s هو المتغير المركب المستخدم تقليديًا في متسلسلات ديريشليه . (للمزيد من التفاصيل، انظر دالة زيتا لهاس-ويل ).

وبالتالي، فإن الناتج العالمي لـ Z في الحالتين المستخدمتين كمثالين في القسم السابق هو${\displaystyle \zeta (s)}$و${\displaystyle \zeta (s)\zeta (s-1)}$بعد السماح${\displaystyle q=p}$.

بالنسبة للمنحنيات الإسقاطية C على F غير المنفردة ، يمكن إثبات أن

${\displaystyle Z(t)={\frac {P(t)}{(1-t)(1-qt)}}\ ,}$

حيث P ( t ) متعددة حدود من الدرجة 2g ، حيث g هو جنس C. إعادة كتابة

${\displaystyle P(t)=\prod _{i=1}^{2g}(1-\omega _{i}t)\ ,}$

تنص فرضية ريمان للمنحنيات فوق الحقول المنتهية على

${\displaystyle |\omega _{i}|=q^{1/2}\ .}$

على سبيل المثال، في حالة المنحنى الإهليلجي، يوجد جذران، ومن السهل إثبات أن القيم المطلقة للجذرين هي q ^1/2 . تنص نظرية هاس على أن لهما نفس القيمة المطلقة؛ وهذا له تبعات مباشرة على عدد النقاط.

أثبت أندريه ويل ذلك للحالة العامة، حوالي عام ١٩٤٠ ( ملاحظة في مجلة Comptes Rendus ، أبريل ١٩٤٠): وقد أمضى وقتًا طويلًا في السنوات اللاحقة في كتابة الهندسة الجبرية ذات الصلة. قاده ذلك إلى حدسيات ويل العامة . طور ألكسندر غروتينديك نظرية المخططات لغرض حل هذه الحدسيات. وبعد جيل، أكمل بيير ديلين البرهان . (انظر علم التماثل الإيتالي للاطلاع على الصيغ الأساسية للنظرية العامة).

إنها نتيجة لصيغة أثر ليفشيتز لتشكل فروبينيوس الذي

${\displaystyle Z(X,t)=\prod _{i=0}^{2\dim X}\det {\big (}1-t{\mbox{Frob}}_{q}|H_{c}^{i}({\overline {X}},{\mathbb {Q} }_{\ell }){\big )}^{(-1)^{i+1}}.}$

هنا${\displaystyle X}$هو مخطط منفصل من النوع المحدود على الحقل المحدود F مع${\displaystyle q}$العناصر، و Frob _q هو فروبينيوس الهندسي المؤثر على${\displaystyle \ell }$علم التماثل الإيتالي -adic ذو الدعامات المدمجة لـ${\displaystyle {\overline {X}}}$، رفع${\displaystyle X}$إلى الإغلاق الجبري للحقل F. وهذا يُظهر أن دالة زيتا هي دالة كسرية لـ${\displaystyle t}$.

صيغة الضرب اللانهائي لـ ${\displaystyle Z(X,t)}$يكون

${\displaystyle Z(X,t)=\prod \ (1-t^{\deg(x)})^{-1}.}$

هنا، يمتد نطاق الضرب على جميع النقاط المغلقة x من X، و deg( x ) هي درجة x . تُعتبر دالة زيتا المحلية Z(X, t) دالةً للمتغير المركب s من خلال تغيير المتغيرات q ^{− s} .

في حالة كون X هو المتنوع V الذي تمت مناقشته أعلاه، فإن النقاط المغلقة هي فئات التكافؤ x=[P] للنقاط P على${\displaystyle {\overline {V}}}$حيث تكون نقطتان متكافئتين إذا كانتا مترافقتين على F. درجة x هي درجة امتداد الحقل F الناتج عن إحداثيات P. من السهل ملاحظة أن المشتقة اللوغاريتمية للجداء اللانهائي Z(X, t) هي الدالة المولدة التي نوقشت أعلاه، وهي

${\displaystyle N_{1}+N_{2}t^{1}+N_{3}t^{2}+\cdots \,}$.

• قائمة دوال زيتا
• تخمينات ويل
• منحنى إهليلجي