الكتلة في النسبية الخاصة

📅 آخر تحديث: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 53 صور
الموسوعة الحرة

لكلمة " الكتلة " معنيان في النسبية الخاصة : الكتلة الثابتة (وتسمى أيضًا كتلة السكون) هي كمية ثابتة لا تتغير بالنسبة لجميع المراقبين في جميع الأطر المرجعية ، بينما تعتمد الكتلة النسبية على سرعة المراقب. ووفقًا لمفهوم تكافؤ الكتلة والطاقة ، فإن الكتلة الثابتة تعادل طاقة السكون ، بينما تعادل الكتلة النسبية الطاقة النسبية (وتسمى أيضًا الطاقة الكلية).

لا يُستخدم مصطلح "الكتلة النسبية" عادةً في فيزياء الجسيمات والفيزياء النووية، ويتجنبه غالبًا الباحثون في النسبية الخاصة، مفضلين الإشارة إلى الطاقة النسبية للجسم. [ 1 ] في المقابل، يُفضّل استخدام مصطلح "الكتلة الثابتة" على مصطلح "طاقة السكون". يُحدد القصور الذاتي القابل للقياس لجسم ما في إطار مرجعي معين بكتلته النسبية، وليس فقط بكتلته الثابتة. على سبيل المثال، لا تمتلك الفوتونات كتلة سكون، لكنها تُساهم في القصور الذاتي (والوزن في مجال الجاذبية) لأي نظام يحتوي عليها.

يتم تعميم هذا المفهوم في مفهوم الكتلة في النسبية العامة .

قداس الراحة

يشير مصطلح الكتلة في النسبية الخاصة عادةً إلى كتلة السكون للجسم، وهي الكتلة النيوتونية كما يقيسها مراقب يتحرك مع الجسم. الكتلة الثابتة هي اسم آخر لكتلة السكون للجسيمات المفردة. الكتلة الثابتة الأكثر عمومية (المحسوبة بصيغة أكثر تعقيدًا) تُقابل تقريبًا "كتلة السكون" لـ"نظام". بالتالي، تُعد الكتلة الثابتة وحدة كتلة طبيعية تُستخدم للأنظمة التي تُرى من إطار مركز الزخم (إطار COM)، كما هو الحال عند وزن أي نظام مغلق (مثل زجاجة غاز ساخن)، الأمر الذي يتطلب إجراء القياس في إطار مركز الزخم حيث لا يمتلك النظام زخمًا صافيًا. في مثل هذه الظروف، تساوي الكتلة الثابتة الكتلة النسبية (الموضحة أدناه)، وهي الطاقة الكلية للنظام مقسومة على مربع سرعة الضوء ( c² ).

لا يتطلب مفهوم الكتلة الثابتة أنظمة جسيمات مترابطة، بل يمكن تطبيقه على أنظمة جسيمات غير مترابطة تتحرك حركة نسبية عالية السرعة. ولهذا السبب، يُستخدم غالبًا في فيزياء الجسيمات للأنظمة التي تتكون من جسيمات عالية الطاقة متباعدة على نطاق واسع. إذا كانت هذه الأنظمة مشتقة من جسيم واحد، فإن حساب الكتلة الثابتة لهذه الأنظمة، وهي كمية لا تتغير، سيوفر كتلة السكون للجسيم الأصلي (لأنها محفوظة مع الزمن).

من الملائم في كثير من الأحيان ، عند الحساب، اعتبار الكتلة الثابتة لنظام ما هي الطاقة الكلية للنظام (مقسومة على مربع سرعة الضوء c² ) في إطار مركز الكتلة (حيث يكون زخم النظام، بحكم التعريف، صفرًا). مع ذلك، ولأن الكتلة الثابتة لأي نظام هي نفسها في جميع الأطر المرجعية العطالية، فإنها تُحسب غالبًا من الطاقة الكلية في إطار مركز الكتلة، ثم تُستخدم لحساب طاقات النظام وزخمه في أطر مرجعية أخرى حيث لا يكون الزخم صفرًا، وبالتالي ستكون الطاقة الكلية للنظام مختلفة بالضرورة عن تلك الموجودة في إطار مركز الكتلة. وكما هو الحال مع الطاقة والزخم، لا يمكن تدمير الكتلة الثابتة للنظام أو تغييرها، فهي محفوظة، طالما أن النظام مغلق أمام جميع المؤثرات. (يُطلق على هذا المصطلح تقنيًا اسم النظام المعزول ، أي أنه يتم رسم حدود مثالية حول النظام، ولا يُسمح بمرور أي كتلة أو طاقة عبرها).

الكتلة النسبية

الكتلة النسبية هي مجموع كمية الطاقة في جسم أو نظام (مقسومة على مربع سرعة الضوء c² ) . وبالتالي، فإن الكتلة في الصيغةهـ=مrelج2{\displaystyle E=m_{\text{rel}}c^{2}} هي الكتلة النسبية. بالنسبة لجسيم ذي كتلة سكون غير صفرية m يتحرك بسرعةv{\displaystyle v}بالنسبة للمراقب، يجد المرء مrel=م1-v2ج2.{\displaystyle m_{\text{rel}}={\frac {m}{\sqrt {1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}}.}

في مركز إطار الزخم ،v=0{\displaystyle v=0}والكتلة النسبية تساوي كتلة السكون. في أطر مرجعية أخرى، تشمل الكتلة النسبية (لجسم أو نظام أجسام) مساهمة من الطاقة الحركية "الصافية" للجسم (الطاقة الحركية لمركز كتلة الجسم)، وتزداد كلما زادت سرعة الجسم. وبالتالي، على عكس الكتلة الثابتة، تعتمد الكتلة النسبية على إطار مرجعي الراصد . مع ذلك، بالنسبة لأطر مرجعية مفردة محددة وللأنظمة المعزولة، تُعد الكتلة النسبية كمية محفوظة. كما أن الكتلة النسبية هي عامل التناسب بين السرعة والزخم. ص=مrelv.{\displaystyle \mathbf {p} =m_{\text{rel}}\mathbf {v} .}

لا يزال قانون نيوتن الثاني ساري المفعول بالشكل التالي: F=د(مrelv)دت.{\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {d(m_{\text{rel}}\mathbf {v} )}{dt}}.}

عندما ينبعث من جسم ما ضوء بترددν{\displaystyle \nu }والطول الموجيλ{\displaystyle \lambda }كفوتون من الطاقةهـ=حν=حج/λ{\displaystyle E=h\nu =hc/\lambda }، تنخفض كتلة الجسم بمقدارهـ/ج2=ح/λج{\displaystyle E/c^{2}=h/\lambda c}[ 2 ] والتي يفسرها البعض [ 3 ] [ 4 ] على أنها الكتلة النسبية للفوتون المنبعث لأنها تحقق أيضًاص=مrelج=ح/λ{\displaystyle p=m_{\text{rel}}c=h/\lambda }على الرغم من أن بعض المؤلفين يقدمون الكتلة النسبية كمفهوم أساسي في النظرية، فقد جادل البعض بأن هذا غير صحيح لأن أساسيات النظرية تتعلق بالزمكان. وهناك خلاف حول جدوى هذا المفهوم تعليميًا. [ 5 ] [ 3 ] [ 6 ] فهو يشرح ببساطة وبشكل كمي لماذا لا يستطيع جسم يخضع لتسارع ثابت أن يصل إلى سرعة الضوء، ولماذا تتناقص كتلة نظام ينبعث منه فوتون. [ 3 ] في الكيمياء الكمية النسبية ، تُستخدم الكتلة النسبية لتفسير انكماش مدارات الإلكترون في العناصر الثقيلة. [ 7 ] [ 8 ] إن مفهوم الكتلة كخاصية للجسم في الميكانيكا النيوتونية لا يرتبط ارتباطًا دقيقًا بمفهومها في النسبية. [ 9 ] لا يتم الإشارة إلى الكتلة النسبية في الفيزياء النووية وفيزياء الجسيمات، [ 1 ] وأظهر مسح للكتب التمهيدية في عام 2005 أن 5 فقط من أصل 24 نصًا استخدمت المفهوم، [ 10 ] على الرغم من أنه لا يزال شائعًا في الكتب الشعبية.

إذا احتوى صندوق ساكن على العديد من الجسيمات، فإن وزنه يزداد في إطار سكونه كلما زادت سرعة حركة هذه الجسيمات. تُضاف أي طاقة في الصندوق (بما في ذلك الطاقة الحركية للجسيمات) إلى كتلته، بحيث تُساهم الحركة النسبية للجسيمات في كتلة الصندوق. ولكن إذا كان الصندوق نفسه يتحرك ( يتحرك مركز كتلته )، يبقى السؤال مطروحًا حول ما إذا كان ينبغي تضمين الطاقة الحركية للحركة الكلية في كتلة النظام. تُحسب الكتلة الثابتة باستبعاد الطاقة الحركية للنظام ككل (المحسوبة باستخدام سرعة الصندوق فقط، أي سرعة مركز كتلته)، بينما تُحسب الكتلة النسبية بإضافة الكتلة الثابتة إلى الطاقة الحركية للنظام، والتي تُحسب من سرعة مركز كتلته.

النسبية مقابل كتلة السكون

الكتلة النسبية وكتلة السكون مفهومان تقليديان في الفيزياء، لكن الكتلة النسبية تُعادل الطاقة الكلية. الكتلة النسبية هي كتلة النظام كما تُقاس على الميزان، ولكن في بعض الحالات (مثل الصندوق المذكور أعلاه) لا تتحقق هذه الحقيقة إلا لأن النظام، في المتوسط، يجب أن يكون ساكنًا ليتم وزنه (أي يجب أن يكون زخمه الكلي صفرًا، بمعنى آخر، أن يكون القياس في إطار مركز الزخم ). على سبيل المثال، إذا كان إلكترون في سيكلوترون يتحرك في دوائر بسرعة نسبية، فإن كتلة نظام السيكلوترون والإلكترون تزداد بالكتلة النسبية للإلكترون، وليس بكتلة سكونه. وينطبق الأمر نفسه على أي نظام مغلق، مثل إلكترون وصندوق، إذا ارتد الإلكترون بسرعة عالية داخل الصندوق. إن انعدام الزخم الكلي في النظام (مجموع زخم النظام يساوي صفرًا) هو ما يسمح بـ"وزن" الطاقة الحركية للإلكترون. إذا تم إيقاف الإلكترون ووزنه، أو إذا تم توجيه الميزان نحوه، فلن يكون متحركًا بالنسبة للميزان، وبالتالي ستكون الكتلة النسبية والكتلة السكونية متساويتين للإلكترون الواحد (وستكونان أصغر). عمومًا، تتساوى الكتلة النسبية والكتلة السكونية فقط في الأنظمة التي لا تمتلك زخمًا صافيًا ويكون مركز كتلة النظام ساكنًا؛ وإلا فقد تختلفان.

تتناسب الكتلة الثابتة طرديًا مع قيمة الطاقة الكلية في إطار مرجعي واحد، وهو الإطار الذي يكون فيه الجسم ككل ساكنًا (كما هو مُعرَّف أدناه بدلالة مركز الكتلة). ولهذا السبب، فإن الكتلة الثابتة هي نفسها كتلة السكون للجسيمات المفردة. مع ذلك، تُمثِّل الكتلة الثابتة أيضًا الكتلة المقاسة عندما يكون مركز الكتلة ساكنًا لأنظمة الجسيمات المتعددة. يُسمى هذا الإطار الخاص، الذي يحدث فيه ذلك، إطار مركز الزخم ، ويُعرَّف بأنه الإطار العطالي الذي يكون فيه مركز كتلة الجسم ساكنًا (بمعنى آخر، هو الإطار الذي يكون فيه مجموع زخم أجزاء النظام صفرًا). بالنسبة للأجسام المركبة (المكونة من أجسام أصغر متعددة، قد يكون بعضها متحركًا) ومجموعات الأجسام غير المرتبطة (التي قد يكون بعضها متحركًا أيضًا)، يكفي أن يكون مركز كتلة النظام ساكنًا لكي تتساوى الكتلة النسبية للجسم مع كتلة سكونه.

تتحرك الجسيمات عديمة الكتلة (مثل الفوتون، أو الجرافيتون النظري) بسرعة الضوء في جميع الأطر المرجعية. في هذه الحالة، لا يوجد تحول من شأنه أن يُوقف الجسيم. تتضاءل الطاقة الكلية لهذه الجسيمات تدريجيًا في الأطر التي تتحرك فيها بسرعة متزايدة في الاتجاه نفسه. ولذلك، فهي لا تمتلك كتلة سكون، لأنه لا يمكن قياسها أبدًا في إطار مرجعي تكون فيه ساكنة. هذه الخاصية، أي انعدام كتلة السكون، هي ما يجعل هذه الجسيمات تُسمى "عديمة الكتلة". مع ذلك، حتى الجسيمات عديمة الكتلة لها كتلة نسبية، تتغير بتغير طاقتها المرصودة في مختلف الأطر المرجعية.

الكتلة الثابتة

الكتلة الثابتة هي نسبة الزخم الرباعي (التعميم رباعي الأبعاد للزخم الكلاسيكي ) إلى السرعة الرباعية : [ 11 ]صμ=مvμ{\displaystyle p^{\mu }=mv^{\mu }} وهي أيضاً نسبة التسارع إلى القوة عندما تكون كتلة السكون ثابتة. الصيغة الرباعية الأبعاد لقانون نيوتن الثاني هي: Fμ=مأμ.{\displaystyle F^{\mu }=mA^{\mu }.}

معادلة الطاقة والزخم النسبية

العلاقة بين كتلة السكون والطاقة E ، معطاة في إحداثيات الزخم الرباعي ( p₀ , p₁ ) ، حيث p₀c = E

تخضع التعبيرات النسبية لـ E و p لعلاقة الطاقة النسبية بالزخم : [ 12 ]هـ2-(صج)2=(مج2)2{\displaystyle E^{2}-(pc)^{2}=\left(mc^{2}\right)^{2}} حيث m هي كتلة السكون، أو الكتلة الثابتة للأنظمة، و E هي الطاقة الكلية.

المعادلة صالحة أيضاً للفوتونات، التي لها m = 0 : هـ2-(صج)2=0{\displaystyle E^{2}-(pc)^{2}=0} وبالتالي هـ=صج{\displaystyle E=pc}

زخم الفوتون هو دالة لطاقته، ولكنه لا يتناسب مع السرعة، التي هي دائمًا c .

بالنسبة لجسم ساكن، فإن الزخم p يساوي صفرًا، لذلك هـ=مج2.{\displaystyle E=mc^{2}.}لاحظ أن الصيغة صحيحة فقط للجسيمات أو الأنظمة ذات الزخم الصفري.

كتلة السكون تتناسب فقط مع إجمالي الطاقة في إطار السكون للجسم.

عندما يتحرك الجسم، تُعطى الطاقة الكلية بالعلاقة التالية: هـ=(مج2)2+(صج)2{\displaystyle E={\sqrt {\left(mc^{2}\right)^{2}+(pc)^{2}}}}

لإيجاد شكل الزخم والطاقة كدالة للسرعة، يمكن ملاحظة أن السرعة الرباعية، التي تتناسب مع(ج،v→){\displaystyle \left(c,{\vec {v}}\right)}، هو المتجه الرباعي الوحيد المرتبط بحركة الجسيم، بحيث إذا كان هناك زخم رباعي محفوظ(هـ،ص→ج){\displaystyle \left(E,{\vec {p}}c\right)}يجب أن يكون متناسبًا مع هذا المتجه. وهذا يسمح بالتعبير عن نسبة الطاقة إلى الزخم على النحو التالي: صج=هـvج،{\displaystyle pc=E{\frac {v}{c}},} مما ينتج عنه علاقة بين E و v : هـ2=(مج2)2+هـ2v2ج2،{\displaystyle E^{2}=\left(mc^{2}\right)^{2}+E^{2}{\frac {v^{2}}{c^{2}}},}

وينتج عن ذلك هـ=مج21-v2ج2{\displaystyle E={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}}} و ص=مv1-v2ج2.{\displaystyle p={\frac {mv}{\sqrt {1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}}.}

يمكن كتابة هذه التعبيرات على النحو التالي هـ0=مج2،هـ=γمج2،ص=مvγ،{\displaystyle {\begin{aligned}E_{0}&=mc^{2},\\E&=\gamma mc^{2},\\p&=mv\gamma ,\end{aligned}}} حيث العاملγ=1/1-v2ج2.{\textstyle \gamma ={1}/{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}.}

عند العمل بوحدات حيث c = 1 ، والمعروفة باسم نظام الوحدات الطبيعية ، يتم تبسيط جميع المعادلات النسبية وتكون كميات الطاقة والزخم والكتلة لها نفس البعد الطبيعي : [ 13 ]

م2=هـ2-ص2.{\displaystyle m^{2}=E^{2}-p^{2}.}

غالباً ما تُكتب المعادلة بهذه الطريقة لأن الفرقهـ2-ص2{\displaystyle E^{2}-p^{2}}يمثل الطول النسبي لمتجه الطاقة والزخم الرباعي ، وهو طول مرتبط بالكتلة السكونية أو الكتلة الثابتة في الأنظمة. عندما تكون m > 0 و p = 0 ، فإن هذه المعادلة تعبر مرة أخرى عن تكافؤ الكتلة والطاقة E = m .

كتلة الأنظمة المركبة

كتلة السكون لنظام مركب لا تساوي مجموع كتل السكون لأجزائه، إلا إذا كانت جميع الأجزاء في حالة سكون. تشمل الكتلة الكلية لنظام مركب الطاقة الحركية وطاقة المجال في النظام.

يمكن تحديد الطاقة الكلية E لنظام مركب عن طريق جمع مجموع طاقات مكوناته. الزخم الكليص→{\displaystyle {\vec {p}}}يمكن أيضًا حساب كمية متجهة للنظام عن طريق جمع كميات حركة جميع مكوناته. بمعلومية الطاقة الكلية E وطول (مقدار) متجه كمية الحركة الكلية pص→{\displaystyle {\vec {p}}}، الكتلة الثابتة معطاة بالصيغة التالية: م=هـ2-(صج)2ج2{\displaystyle m={\frac {\sqrt {E^{2}-(pc)^{2}}}{c^{2}}}}

في نظام الوحدات الطبيعية حيث c = 1 ، بالنسبة لأنظمة الجسيمات (سواء كانت مرتبطة أو غير مرتبطة)، فإن الكتلة الثابتة الكلية للنظام تُعطى بشكل مكافئ بما يلي: م2=(∑هـ)2-‖∑ص→ ‖2{\displaystyle m^{2}=\left(\sum E\right)^{2}-\left\|\sum {\vec {p}}\ \right\|^{2}}

حيث، مرة أخرى، زخم الجسيماتص→{\displaystyle {\vec {p}}}تُجمع هذه القيم أولاً كمتجهات، ثم يُستخدم مربع مجموعها الكلي ( المعيار الإقليدي ). ينتج عن ذلك عدد قياسي، يُطرح من القيمة القياسية لمربع الطاقة الكلية.

في مثل هذا النظام، وفي إطار مركز الزخم الخاص حيث يكون مجموع الزخم صفرًا، تتوافق كتلة النظام (وتُسمى الكتلة الثابتة) مع طاقة النظام الكلية، أو تُطابقها تمامًا في الوحدات التي يكون فيها c = 1. تبقى هذه الكتلة الثابتة للنظام ثابتة في أي إطار مرجعي قصوري، على الرغم من أن طاقة النظام الكلية وزخمه الكلي دالتان للإطار المرجعي القصوري المُختار، وتتغيران بين الأطر المرجعية القصورية بحيث تبقى الكتلة الثابتة ثابتة لجميع المراقبين. وبالتالي، تعمل الكتلة الثابتة لأنظمة الجسيمات بنفس قدرة "كتلة السكون" للجسيمات المفردة.

تجدر الإشارة إلى أن الكتلة الثابتة لنظام معزول (أي نظام مغلق من حيث الكتلة والطاقة) مستقلة عن الراصد أو الإطار المرجعي العطالي، وهي كمية ثابتة محفوظة للأنظمة المعزولة والمراقبين المنفردين، حتى أثناء التفاعلات الكيميائية والنووية. يُستخدم مفهوم الكتلة الثابتة على نطاق واسع في فيزياء الجسيمات ، لأن الكتلة الثابتة لمنتجات تحلل الجسيم تساوي كتلته السكونية . ويُستخدم هذا لقياس كتلة جسيمات مثل بوزون Z أو الكوارك العلوي .

حفظ الكتلة مقابل ثباتها في النسبية الخاصة

الطاقة الكلية كمية محفوظة جمعية (بالنسبة لمراقب واحد) في الأنظمة وفي التفاعلات بين الجسيمات، لكن كتلة السكون (بمعنى كونها مجموع كتل سكون الجسيمات) قد لا تكون محفوظة خلال حدث تتحول فيه كتل سكون الجسيمات إلى أنواع أخرى من الطاقة، مثل الطاقة الحركية. يتطلب إيجاد مجموع كتل سكون الجسيمات الفردية وجود عدة مراقبين، مراقب لكل إطار مرجعي قصوري لسكون الجسيمات، ويتجاهل هؤلاء المراقبون الطاقة الحركية لكل جسيم على حدة. تتطلب قوانين الحفظ مراقبًا واحدًا وإطارًا مرجعيًا قصوريًا واحدًا.

بشكل عام، بالنسبة للأنظمة المعزولة والمراقبين المنفردين، تُحفظ الكتلة النسبية (يرى كل مراقب أنها ثابتة مع مرور الوقت)، ولكنها ليست ثابتة (أي أن المراقبين المختلفين يرون قيمًا مختلفة). أما الكتلة الثابتة، فهي محفوظة وثابتة في آن واحد ( يرى جميع المراقبين المنفردين القيمة نفسها، والتي لا تتغير مع مرور الوقت).

تتناسب الكتلة النسبية مع الطاقة، لذا فإن قانون حفظ الطاقة يعني تلقائيًا أن الكتلة النسبية محفوظة لأي مراقب وإطار مرجعي قصوري. مع ذلك، فإن هذه الكمية، مثل الطاقة الكلية للجسيم، ليست ثابتة. هذا يعني أنه على الرغم من حفظها لأي مراقب أثناء التفاعل، فإن قيمتها المطلقة ستتغير بتغير إطار المراقب، وبالنسبة لمراقبين مختلفين في أطر مرجعية مختلفة.

على النقيض من ذلك، فإن كتلة السكون والكتلة الثابتة للأنظمة والجسيمات محفوظة وثابتة . على سبيل المثال: يمتلك وعاء مغلق من الغاز (مغلق أيضًا أمام الطاقة) "كتلة سكون" للنظام، بمعنى أنه يمكن وزنه على ميزان ثابت، حتى مع احتوائه على مكونات متحركة. هذه الكتلة هي الكتلة الثابتة، وهي تساوي الطاقة النسبية الكلية للوعاء (بما في ذلك الطاقة الحركية للغاز) فقط عند قياسها في إطار الزخم المركزي . وكما هو الحال بالنسبة للجسيمات المفردة، فإن "كتلة السكون" المحسوبة لمثل هذا الوعاء من الغاز لا تتغير عند حركته، على الرغم من أن "كتلته النسبية" تتغير.

قد يتعرض الوعاء لقوة تُكسبه سرعةً كلية، أو (بصورة مكافئة) قد يُنظر إليه من إطار مرجعي قصوري يمتلك فيه سرعةً كلية (أي، من الناحية التقنية، إطار مرجعي يمتلك فيه مركز كتلته سرعة). في هذه الحالة، تزداد كتلته النسبية الكلية وطاقته الكلية. مع ذلك، في مثل هذه الحالة، ورغم ازدياد طاقة الوعاء النسبية الكلية وزخمه الكلي، فإن هذه الزيادة في الطاقة والزخم تُطرح من تعريف الكتلة الثابتة ، بحيث تُحسب الكتلة الثابتة للوعاء المتحرك بنفس القيمة كما لو تم قياسها في حالة سكون، على ميزان.

الأنظمة المغلقة

تتطلب جميع قوانين الحفظ في النسبية الخاصة (للطاقة والكتلة والزخم) أنظمة معزولة، أي أنظمة معزولة تمامًا، لا يُسمح فيها بدخول أو خروج أي طاقة أو كتلة مع مرور الوقت. إذا كان النظام معزولًا، فإن كلًا من الطاقة الكلية والزخم الكلي فيه يُحفظان مع مرور الوقت لأي مراقب في أي إطار مرجعي قصوري، على الرغم من أن قيمهما المطلقة ستختلف باختلاف المراقبين في الأطر المرجعية القصورية المختلفة. كما تُحفظ الكتلة الثابتة للنظام، لكنها لا تتغير باختلاف المراقبين. وهذا هو الوضع المألوف مع الجسيمات المفردة: يحسب جميع المراقبين نفس كتلة سكون الجسيم (وهي حالة خاصة من الكتلة الثابتة) بغض النظر عن كيفية حركته (أي الإطار المرجعي القصوري الذي يختارونه)، لكن المراقبين المختلفين يرون طاقات وزخمات كلية مختلفة لنفس الجسيم.

يتطلب قانون حفظ الكتلة الثابتة أن يكون النظام مغلقًا بحيث لا يمكن للحرارة والإشعاع (وبالتالي الكتلة الثابتة) أن يتسربا. وكما في المثال السابق، لا يحتاج النظام المغلق أو المقيد فيزيائيًا إلى أن يكون معزولًا تمامًا عن القوى الخارجية لكي تبقى كتلته ثابتة، لأن هذه القوى في الأنظمة المقيدة لا تؤثر إلا على الإطار المرجعي العطالي للنظام أو للمراقب. ورغم أن هذه التأثيرات قد تغير الطاقة الكلية أو زخم النظام المقيد، إلا أن هذين التغيرين يلغيان بعضهما، فلا يحدث أي تغيير في الكتلة الثابتة للنظام. وهذه هي النتيجة نفسها كما في حالة الجسيمات المفردة: فكتلتها السكونية المحسوبة تبقى ثابتة بغض النظر عن سرعتها، أو سرعة رصدها من قبل المراقب.

من جهة أخرى، بالنسبة للأنظمة غير المقيدة، يمكن فرض "انغلاق" النظام بواسطة سطح مثالي، حيث لا يُسمح بدخول أو خروج أي طاقة أو كتلة من حجم الاختبار بمرور الوقت، إذا ما أُريدَ لقانون حفظ كتلة النظام الثابتة أن يبقى ساريًا خلال تلك الفترة. إذا سُمح لقوة بالتأثير على جزء واحد فقط من هذا النظام غير المقيد (بذل شغل عليه)، فإن هذا يُعادل السماح بدخول أو خروج الطاقة من النظام، وبالتالي يُنتهك شرط "انغلاق" الطاقة والكتلة (العزل التام). في هذه الحالة، لن يبقى قانون حفظ كتلة النظام الثابتة ساريًا أيضًا. إن فقدان كتلة السكون في الأنظمة عند إزالة الطاقة، وفقًا للمعادلة E = mc² حيث E هي الطاقة المُزالة، و m هو التغير في كتلة السكون، يعكس تغيرات الكتلة المرتبطة بحركة الطاقة، وليس "تحويل" الكتلة إلى طاقة.

الكتلة الثابتة للنظام مقابل كتل السكون الفردية لأجزاء النظام

مرة أخرى، في النسبية الخاصة، لا يُشترط أن تكون كتلة السكون لنظام ما مساوية لمجموع كتل السكون لأجزائه (وهو وضع يُشابه قانون حفظ الكتلة الإجمالي في الكيمياء). على سبيل المثال، يمكن لجسيم ذي كتلة أن يتحلل إلى فوتونات لا كتلة لها منفردة، ولكنها (كنظام) تحتفظ بالكتلة الثابتة للجسيم الذي أنتجها. كذلك، فإن صندوقًا يحتوي على جسيمات متحركة غير متفاعلة (مثل الفوتونات، أو غاز مثالي) ستكون كتلته الثابتة أكبر من مجموع كتل السكون للجسيمات المكونة له. وذلك لأن الطاقة الكلية لجميع الجسيمات والمجالات في النظام يجب جمعها، وهذه الكمية، كما تُرى في إطار مركز الزخم ، وعند قسمتها على مربع سرعة الضوء (c² ) ، تُصبح الكتلة الثابتة للنظام.

في النسبية الخاصة، لا تتحول الكتلة إلى طاقة، إذ تحتفظ جميع أنواع الطاقة بكتلتها المرتبطة بها. لا يمكن تدمير الطاقة ولا الكتلة الثابتة في النسبية الخاصة، ويُحفظ كل منهما على حدة بمرور الزمن في الأنظمة المغلقة. وبالتالي، قد تتغير الكتلة الثابتة للنظام فقط عندما يُسمح لها بالخروج، ربما على شكل ضوء أو حرارة. لذلك، عندما تُطلق التفاعلات (سواء كانت كيميائية أو نووية) طاقة على شكل حرارة وضوء، إذا لم يُسمح للحرارة والضوء بالخروج (أي أن النظام مغلق ومعزول)، فإن الطاقة ستستمر في المساهمة في كتلة سكون النظام، ولن تتغير كتلة النظام. فقط في حال إطلاق الطاقة إلى البيئة المحيطة، ستُفقد الكتلة؛ وذلك لأن الكتلة المرتبطة بها قد خرجت من النظام، حيث تُساهم في كتلة المحيط. [ 12 ]

تاريخ مفهوم الكتلة النسبية

الكتلة المستعرضة والطولية

كانت مفاهيم مشابهة لما يُعرف اليوم باسم "الكتلة النسبية" موجودة قبل ظهور النسبية الخاصة. فعلى سبيل المثال، أدرك جيه جيه طومسون عام 1881 أن تحريك جسم مشحون أصعب من تحريك جسم غير مشحون، وهو ما فصّله أوليفر هيفسايد (1889) وجورج فريدريك تشارلز سيرل (1897). لذا، تتصرف الطاقة الكهروستاتيكية وكأنها تمتلك نوعًا من الكتلة الكهرومغناطيسية.مإم=43هـإم/ج2{\textstyle m_{\text{em}}={\frac {4}{3}}E_{\text{em}}/c^{2}}، مما قد يزيد من الكتلة الميكانيكية الطبيعية للأجسام. [ 14 ] [ 15 ]

ثم أشار تومسون وسيرل إلى أن هذه الكتلة الكهرومغناطيسية تزداد أيضًا مع السرعة. وقد فصّل هندريك لورنتز (1899، 1904) هذا الأمر في إطار نظرية لورنتز للأثير . عرّف لورنتز الكتلة بأنها نسبة القوة إلى التسارع، وليس نسبة الزخم إلى السرعة، لذا كان عليه التمييز بين الكتلةمل=γ3م{\displaystyle m_{\text{L}}=\gamma ^{3}m}موازية لاتجاه الحركة والكتلةمتي=γم{\displaystyle m_{\text{T}}=\gamma m}عمودي على اتجاه الحركة (حيثγ=1/1-v2/ج2{\textstyle \gamma =1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}(حيث μ هو عامل لورنتز ، وv هي السرعة النسبية بين الأثير والجسم، و c هي سرعة الضوء). فقط عندما تكون القوة عمودية على السرعة، تتساوى كتلة لورنتز مع ما يُسمى الآن "الكتلة النسبية". وقد أطلق ماكس أبراهام (1902) على ذلك اسممل{\displaystyle m_{\text{L}}}الكتلة الطولية ومتي{\displaystyle m_{\text{T}}}الكتلة المستعرضة (مع أن أبراهام استخدم تعابير أكثر تعقيدًا من تلك التي استخدمها لورنتز في نظريته النسبية). لذا، وفقًا لنظرية لورنتز، لا يمكن لأي جسم أن يصل إلى سرعة الضوء لأن الكتلة تصبح لانهائية عند هذه السرعة. [ 16 ] [ 17 ] [ 18 ]

استخدم ألبرت أينشتاين أيضًا في البداية مفاهيم الكتلة الطولية والعرضية في ورقته البحثية حول الديناميكا الكهربائية عام 1905 (وهي مفاهيم مكافئة لتلك التي وضعها لورنتز، ولكن بشكل مختلف).متي{\displaystyle m_{\text{T}}}من خلال تعريف غير موفق للقوة، والذي تم تصحيحه لاحقًا)، وفي ورقة أخرى في عام 1906. [ 19 ] [ 20 ] ومع ذلك، فقد تخلى لاحقًا عن مفاهيم الكتلة المعتمدة على السرعة (انظر الاقتباس في نهاية القسم التالي ).

التعبير النسبي الدقيق (المكافئ لتعبير لورنتز) الذي يربط القوة والتسارع لجسيم ذي كتلة سكون غير صفريةم{\displaystyle m}يتحرك في اتجاه المحور السيني بسرعة v ومعامل لورنتز المرتبط بهγ{\displaystyle \gamma }يكون وx=مγ3أx=ملأx،وy=مγأy=متيأy،وz=مγأz=متيأz.{\displaystyle {\begin{aligned}f_{\text{x}}&=m\gamma ^{3}a_{\text{x}}&=m_{\text{L}}a_{\text{x}},\\f_{\text{y}}&=m\gamma a_{\text{y}}&=m_{\text{T}}a_{\text{y}},\\f_{\text{z}}&=m\gamma a_{\text{z}}&=m_{\text{T}}a_{\text{z}}.\end{aligned}}}

الكتلة النسبية

في النسبية الخاصة، لا يمكن لجسم ذي كتلة سكونية غير صفرية أن يتحرك بسرعة الضوء. وكلما اقترب الجسم من سرعة الضوء، ازدادت طاقته وزخمه بلا حدود.

في السنوات الأولى التي تلت عام 1905، وبعد لورنتز وأينشتاين، ظل مصطلحا الكتلة الطولية والعرضية مستخدمين. إلا أن هذين المصطلحين استُبدلا بمفهوم الكتلة النسبية ، وهو مصطلح عرّفه جيلبرت ن. لويس وريتشارد س. تولمان لأول مرة عام 1909. [ 21 ] وقد عرّفا الطاقة الكلية وكتلة الجسم على النحو التالي: مrel=هـج2،{\displaystyle m_{\text{rel}}={\frac {E}{c^{2}}},} وجسم في حالة سكون م0=هـ0ج2،{\displaystyle m_{0}={\frac {E_{0}}{c^{2}}},} مع النسبة مrelم0=γ.{\displaystyle {\frac {m_{\text{rel}}}{m_{0}}}=\gamma .}

قام تولمان في عام 1912 بتوسيع هذا المفهوم، وذكر: "إن التعبير m 0 (1 − v 2 / c 2 ) −1/2 هو الأنسب لكتلة جسم متحرك." [ 22 ] [ 23 ] [ 24 ]

في عام 1934، جادل تولمان بأن صيغة الكتلة النسبيةمrel=هـ/ج2{\displaystyle m_{\text{rel}}=E/c^{2}}ينطبق هذا على جميع الجسيمات، بما في ذلك تلك التي تتحرك بسرعة الضوء، بينما الصيغةمrel=γم0{\displaystyle m_{\text{rel}}=\gamma m_{0}}ينطبق هذا فقط على الجسيمات الأبطأ من سرعة الضوء (الجسيمات ذات الكتلة السكونية غير الصفرية). وقد أشار تولمان إلى هذه العلاقة قائلاً: "لدينا، علاوة على ذلك، التحقق التجريبي من صحة هذا التعبير في حالة الإلكترونات المتحركة... وبالتالي، لن نتردد في قبول هذا التعبير على أنه صحيح بشكل عام لكتلة الجسيم المتحرك." [ 25 ]

عندما تكون السرعة النسبية صفرًا،γ{\displaystyle \gamma }يساوي ببساطة 1، وتُختزل الكتلة النسبية إلى كتلة السكون كما هو موضح في المعادلتين التاليتين. ومع ازدياد السرعة باتجاه سرعة الضوء c ، يقترب مقام الطرف الأيمن من الصفر، وبالتاليγ{\displaystyle \gamma }يقترب من اللانهاية. بينما يظل قانون نيوتن الثاني ساريًا بالشكل التالي: و=د(مrelv)دت،{\displaystyle \mathbf {f} ={\frac {d(m_{\text{rel}}\mathbf {v} )}{dt}},} الشكل المشتقو=مrelأ{\displaystyle \mathbf {f} =m_{\text{rel}}\mathbf {a} }غير صالح لأنمrel{\displaystyle m_{\text{rel}}}فيد(مrelv){\displaystyle {d(m_{\text{rel}}\mathbf {v} )}}لا يكون ثابتًا بشكل عام [ 26 ] (انظر القسم أعلاه حول الكتلة المستعرضة والطولية).

على الرغم من أن أينشتاين استخدم في البداية مصطلحي الكتلة "الطولية" و"العرضية" في ورقتين بحثيتين (انظر القسم السابق )، إلا أنه في ورقته البحثية الأولى حولهـ=مج2{\displaystyle E=mc^{2}}(1905) تعامل مع m على أنها ما يُسمى الآن كتلة السكون . [ 2 ] لم يشتق أينشتاين معادلة لـ "الكتلة النسبية"، وفي سنوات لاحقة أعرب عن عدم إعجابه بالفكرة: [ 27 ]

ليس من الجيد إدخال مفهوم الكتلةم=م/1-v2/ج2{\textstyle M=m/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}لجسم متحرك لا يمكن تعريفه تعريفًا واضحًا. من الأفضل عدم استخدام مفهوم الكتلة سوى "كتلة السكون" m . بدلًا من استخدام M، من الأفضل ذكر تعبير الزخم والطاقة لجسم متحرك.

— ألبرت أينشتاين في رسالة إلى لينكولن بارنيت ، 19 يونيو 1948 (اقتباس من إل بي أوكون (1989)، ص  42 [ 5 ] )

يُستخدم مفهوم الكتلة النسبية على نطاق واسع في كتابات العلوم الشعبية وفي كتب المدارس الثانوية والجامعية. وقد جادل مؤلفون مثل أوكون وإيه بي آرونز ضد هذا المفهوم ووصفوه بأنه قديم ومُربك، ولا يتوافق مع نظرية النسبية الحديثة. [ 5 ] [ 28 ] كتب آرونز: [ 28 ]

لسنوات عديدة، كان من المعتاد البدء بمناقشة الديناميكا من خلال اشتقاق الكتلة النسبية، أي علاقة الكتلة بالسرعة، وربما لا يزال هذا هو الأسلوب السائد في الكتب الدراسية. ولكن في الآونة الأخيرة، تزايد الاعتراف بأن الكتلة النسبية مفهوم إشكالي ومثير للشك. [انظر، على سبيل المثال، أوكون (1989). [ 5 ] ]... يتمثل النهج السليم والدقيق للديناميكا النسبية في التطوير المباشر لتعبير الزخم الذي يضمن حفظ الزخم في جميع الأطر المرجعية.ص=م0v1-v2ج2{\displaystyle p={m_{0}v \over {\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}بدلاً من ذلك من خلال الكتلة النسبية.

يتخذ كارل ج. أدلر موقفًا مماثلًا من الاستخفاف بالكتلة في النسبية. ففي كتاباته حول هذا الموضوع، يقول إن "إدخالها في نظرية النسبية الخاصة كان أشبه بمصادفة تاريخية"، مشيرًا إلى المعرفة الواسعة النطاق بمعادلة E = mc² وكيف أثر تفسير العامة لهذه المعادلة بشكل كبير على كيفية تدريسها في التعليم العالي. [ 29 ] ويفترض بدلًا من ذلك ضرورة تدريس الفرق بين الكتلة الساكنة والكتلة النسبية بشكل صريح، حتى يعرف الطلاب لماذا ينبغي اعتبار الكتلة ثابتة "في معظم مناقشات القصور الذاتي".

يتجنب العديد من المؤلفين المعاصرين مثل تايلور وويلر استخدام مفهوم الكتلة النسبية تمامًا:

إن مفهوم "الكتلة النسبية" عرضة لسوء الفهم، ولذلك لا نستخدمه. أولًا، يُطلق هذا المفهوم اسم الكتلة - التي تنتمي إلى مقدار متجه رباعي الأبعاد - على مفهوم مختلف تمامًا، وهو المكون الزمني لمتجه رباعي الأبعاد. ثانيًا، يُوحي هذا المفهوم بأن زيادة طاقة الجسم مع السرعة أو الزخم مرتبطة بتغير في بنيته الداخلية. في الواقع، لا تنشأ زيادة الطاقة مع السرعة من الجسم نفسه، بل من الخصائص الهندسية للزمكان ذاته. [ 12 ]

بينما يتميز الزمكان بهندسة غير محدودة كفضاء مينكوفسكي، فإن فضاء السرعة محدود بالسرعة c وله هندسة زائدية حيث تلعب الكتلة النسبية دورًا مشابهًا لدور الكتلة النيوتونية في الإحداثيات الباريسنترية للهندسة الإقليدية . [ 30 ] إن ربط السرعة بالهندسة الزائدية يمكّن من ربط الكتلة النسبية المعتمدة على السرعة الثلاثية بصيغة مينكوفسكي ذات السرعة الرباعية. [ 31 ]

انظر أيضاً

مراجع

  1. 1 2 روش، ج. (2005). "ما هي الكتلة؟" (ملف PDF) . المجلة الأوروبية للفيزياء . 26 (2): 225. Bibcode : 2005EJPh...26..225R . doi : 10.1088/0143-0807/26/2/002 . S2CID 122254861 . 
  2. 1 2 أ. أينشتاين (1905)، “Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhängig؟” (PDF) ، أنالين دير فيزيك (بالألمانية)، 18 (13): 639–643 ، بيب كود : 1905AnP...323..639E ، دوى : 10.1002/andp.19053231314( الترجمة الإنجليزية )
  3. 1 2 3 تي. آر. ساندين (1991)، "دفاعًا عن الكتلة النسبية"، المجلة الأمريكية للفيزياء ، 59 (11): 1032-1036 ، Bibcode : 1991AmJPh..59.1032S ، doi : 10.1119/1.16642
  4. ↑ كيترلي، دبليو. وجاميسون، إيه أو (2020). "منظور فيزيائي ذري حول التعريف الجديد للكيلوغرام"، "فيزياء اليوم" 73 ، 32-38
  5. 1 2 3 4 ل. ب. أوكون (1989)، "مفهوم الكتلة" (ملف PDF) ، مجلة الفيزياء اليوم ، 42 (6): 31-36 ، رمز Bibcode : 1989PhT....42f..31O ، doi : 10.1063/1.881171 ، مؤرشف من النسخة الأصلية (ملف PDF) بتاريخ 2011-06-07
  6. ↑ إل بي أوكون (2009)، "الكتلة مقابل الكتل النسبية وكتل السكون"، المجلة الأمريكية للفيزياء ، 77 (5): 430-431 ، Bibcode : 2009AmJPh..77..430O ، doi : 10.1119/1.3056168
  7. ↑ بيتزر، كينيث س. (1979). "التأثيرات النسبية على الخصائص الكيميائية" (ملف PDF) . مجلة أبحاث الكيمياء . 12 (8): 271-276 . doi : 10.1021/ar50140a001 . S2CID 95601322 . 
  8. ↑ نوربي، لارس ج. (1991). "لماذا الزئبق سائل؟ أو لماذا لا تُدرج التأثيرات النسبية في كتب الكيمياء المدرسية؟" . مجلة التعليم الكيميائي . 68 (2): 110-113 . Bibcode : 1991JChEd..68..110N . doi : 10.1021/ed068p110 . ISSN 0021-9584 . 
  9. ↑ إ. إريكسن؛ ك. فويينلي (1976)، "المفاهيم الكلاسيكية والنسبية للكتلة"، أسس الفيزياء ، 6 (1): 115-124 ، Bibcode : 1976FoPh....6..115E ، doi : 10.1007/BF00708670 ، S2CID 120139174 
  10. ↑ أواس، "حول إساءة استخدام الكتلة النسبية واستخدامها"، 2005، http://arxiv.org/abs/physics/0504110
  11. ↑ ماكجلين، ويليام د. (2004)، مقدمة في النسبية ، مطبعة جامعة جونز هوبكنز، ص 43، ISBN  978-0-8018-7047-7مقتطف من الصفحة 43
  12. 1 2 3 إي. إف. تايلور؛ جيه. إيه. ويلر (1992)، فيزياء الزمكان ( الطبعة الثانية)، نيويورك: دبليو إتش فريمان وشركاه ، الصفحات 248-249 ، رقم ISBN   978-0-7167-2327-1
  13. ↑ ماندل، فرانز؛ شو، غراهام (2013). نظرية الحقل الكمومي ( الطبعة الثانية). جون وايلي وأولاده. ص 70. ISBN   978-1-118-71665-6.مقتطف من الصفحة 70
  14. ↑ جيه جيه طومسون (1881)، "حول التأثيرات الكهربائية والمغناطيسية الناتجة عن حركة الأجسام المشحونة كهربائياً" ، المجلة الفلسفية ، 5، 11 (68): 229-249 ، doi : 10.1080/14786448108627008 
  15. ↑ جي إف سي سيرل (1897)، "حول الحركة المستقرة لجسم بيضاوي كهربائي" ، المجلة الفلسفية ، 5، 44 (269): 329-341 ، doi : 10.1080/14786449708621072 
  16. ↑ HA Lorentz ( 1899)، "نظرية مبسطة للظواهر الكهربائية والبصرية في الأنظمة المتحركة" ، وقائع الأكاديمية الملكية الهولندية للفنون والعلوم ، 1 : 427-442 
  17. ↑ HA Lorentz ( 1904)، "الظواهر الكهرومغناطيسية في نظام يتحرك بأي سرعة أصغر من سرعة الضوء" ، وقائع الأكاديمية الملكية الهولندية للفنون والعلوم ، 6 : 809-831 
  18. ^ م. أبراهام (1903)، “Prinzipien der Dynamik des Elektrons” ، Annalen der Physik ، 315 (1): 105–179 ، بيب كود : 1902AnP...315..105A ، دوى : 10.1002/andp.19023150105
  19. ^ A. Einstein (1905)، “Zur Elektrodynamik bewegter Körper” (PDF) ، Annalen der Physik (في الألمانية)، 322 (10): 891–921 ، بيب كود : 1905AnP...322..891E ، دوى : 10.1002/وp.19053221004( الترجمة الإنجليزية )
  20. ^ A. Einstein (1906)، “Über eine Methode zur Bestimmung des Verhältnisses der transversalen und longitudinalen Masse des Elektrons” (PDF) ، Annalen der Physik (في المانيا)، 21 (13): 583–586 ، بيب كود : 1906AnP...326..583E ، دوى : 10.1002/وp.19063261310
  21. ↑ لويس، جيلبرت ن. وتولمان، ريتشارد س. (1909)، "مبدأ النسبية والميكانيكا غير النيوتونية" ، وقائع الأكاديمية الأمريكية للفنون والعلوم ، 44 (25): 709-726 ، doi : 10.2307/20022495 ، JSTOR 20022495  
  22. ↑ ر. تولمان (1911)، "ملاحظة حول اشتقاق المعادلة الأساسية الخامسة لنظرية ماكسويل-لورنتز من مبدأ النسبية" ، المجلة الفلسفية ، 21 (123): 296-301 ، doi : 10.1080/14786440308637034 
  23. ↑ ر. تولمان (1911)، "الميكانيكا غير النيوتونية : اتجاه القوة والتسارع" ، المجلة الفلسفية ، 22 (129): 458-463 ، doi : 10.1080/14786440908637142  
  24. ↑ ر. تولمان (1912)، "الميكانيكا غير النيوتونية. كتلة الجسم المتحرك." ، المجلة الفلسفية ، 23 (135): 375-380 ، doi : 10.1080/14786440308637231 
  25. ↑ آر سي تولمان (1934)، النسبية، الديناميكا الحرارية، وعلم الكونيات ، أكسفورد: مطبعة كلارندون ، رقم ISBN 978-0-486-65383-9، إل سي سي إن 34032023 {{citation}}رقم ISBN / عدم توافق التاريخ ( مساعدة ) أعيد إصداره (1987)، نيويورك: دوفر ، رقم ISBN 0-486-65383-8.
  26. ↑ فيليب جيبس؛ جيم كار. "ما هي الكتلة النسبية؟" . تم الاسترجاع في 27-09-2011 .
  27. ↑ يوجين هيشت (19 أغسطس 2009). "أينشتاين لم يوافق قط على الكتلة النسبية". مُعلِّم الفيزياء . 47 (6): 336-341 . Bibcode : 2009PhTea..47..336H . CiteSeerX 10.1.1.205.5072 . doi : 10.1119/1.3204111 . 
  28. 1 2 أ.ب. آرونز (1990)، دليل لتدريس الفيزياء التمهيدية ، ص 263  وأيضًا في كتاب "تدريس الفيزياء التمهيدية" ، 2001، صفحة 308 
  29. ↑ أدلر، كارل (30 سبتمبر 1986). "هل تعتمد الكتلة حقًا على السرعة يا أبي؟" (ملف PDF) . المجلة الأمريكية للفيزياء . 55 (8): 739-743 . رمز Bibcode : 1987AmJPh..55..739A . doi : 10.1119/1.15314 . مؤرشف من الأصل (ملف PDF) في 6 مايو 2021. تم الاسترجاع في 12 ديسمبر 2017 - عبر استضافة مواقع HUIT.
  30. ↑ أونغار، أبراهام أ. (2010). مراكز المثلثات الزائدية: منهج النسبية الخاصة . دوردريخت: سبرينغر. ISBN 978-90-481-8636-5. OCLC 663096629 . 
  31. ↑ عندما تلتقي الكتلة النسبية بالهندسة الزائدية ، أبراهام أ. أونجار، مجلة التحليل الرياضي، المجلد 10، العدد 1 (2011)، 30-56.