ماكسيما

📅 آخر تحديث: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
الموسوعة الحرة

يُعدّ برنامج Macsyma ( يُلفظ / ˈmæksɪmə / ؛ " معالج الرموز لمشروع MAC") [ 1 ] أحد أقدم أنظمة الجبر الحاسوبية للأغراض العامة التي لا تزال تُستخدم على نطاق واسع. وقد طُوّر في الأصل بين عامي 1968 و1982 في مشروع MAC التابع لمعهد ماساتشوستس للتكنولوجيا . [ 2 ]

في عام ١٩٨٢، تم ترخيص برنامج Macsyma لشركة Symbolics [ ٢ ] وأصبح منتجًا تجاريًا. وفي عام ١٩٩٢، انفصلت Symbolics Macsyma لتصبح شركة Macsyma, Inc. [ ٢ ] التي واصلت تطوير البرنامج حتى عام ١٩٩٩. ولا تزال هذه النسخة متاحة لنظام التشغيل Windows XP من مايكروسوفت .

ظلّت نسخة MIT Macsyma لعام 1982 متاحةً للأكاديميين والوكالات الحكومية الأمريكية، وتتولى وزارة الطاقة الأمريكية توزيعها . وقد تولى بيل شيلتر صيانة تلك النسخة، المعروفة باسم DOE Macsyma. أُصدرت هذه النسخة، تحت اسم Maxima ، بموجب رخصة GPL في عام 1999، ولا تزال تخضع لصيانة دورية.

تطوير

بدأ المشروع في يوليو 1968 على يد كارل إنجلمان ، [ 3 ] وويليام أ. مارتن (الواجهة الأمامية، عرض التعبيرات، الحساب متعدد الحدود) وجويل موسى (المبسط، التكامل غير المحدد : الاستدلال/ريش). تولى مارتن مسؤولية المشروع حتى عام 1971، وأداره موسى للعقد التالي. غادر إنجلمان وفريقه في عام 1969 للعودة إلى مؤسسة MITRE . [ 1 ] استُخدمت بعض الشفرات البرمجية من أعمال سابقة، ولا سيما مبسط كنوت كورسفولد. [ 4 ] [ 5 ] كان من بين المساهمين الرئيسيين اللاحقين في محرك الرياضيات الأساسي: [ 6 ] يانيس أوغوستيس ( الدوال الخاصة )، ديفيد بارتون (حل أنظمة المعادلات الجبرية )، ريتشارد بوغن ( الدوال الخاصة )، بيل دوبوك ( التكامل غير المحدد ، النهايات، متسلسلات القوى، نظرية الأعداد ، الدوال الخاصة ، المعادلات الوظيفية، مطابقة الأنماط ، استعلامات الإشارة، غروبنر ، نظام المثلثات)، ريتشارد فيتمان ( الدوال الكسرية ، مطابقة الأنماط ، الفاصلة العائمة ذات الدقة التعسفية )، مايكل جينسيريث (المقارنة، قاعدة المعرفة)، جيف غولدن (المبسط، اللغة، النظام)، آر دبليو غوسبر ( المجموع المحدد ، الدوال الخاصة ، التبسيط، نظرية الأعداد )، كارل هوفمان (المبسط العام، وحدات الماكرو، المبسط غير التبادلي ، المنافذ إلى Multics و LispM ، النظام، محرر المعادلات المرئي )، تشارلز كارني (الرسم البياني)، جون كولب، إد لافيرتي ( حلول المعادلات التفاضلية العادية، الدوال الخاصة )، ستافروس ماكراكيس ( الأجزاء الحقيقية/الخيالية ، المترجم، النظام)، ريتشارد بافيل ( حساب الموتر الدليلي ، حزمة النسبية العامة ، المعادلات التفاضلية العادية والجزئية )، ديفيد أ. سبير ( غروبنر )، [ 7 ] [ 8 ] باري تراجر (التكامل الجبري، [ 9 ] التحليل إلى عوامل ، غروبنر [ 10 ] )، بول س. وانغ ( تحليل كثيرات الحدود وGCD ، الأعداد المركبة ، النهايات، التكامل المحدد ، توليد كود Fortran و LaTeX )، ديفيد واي واي يون ( القاسم المشترك الأكبر لكثيرات الحدود )، غيل زاكارياس ( غروبنر ) [ 10 ] [ 11 ] وريتش زيبيل ( متسلسلات القوى ، تحليل كثيرات الحدود ، نظرية الأعداد ، التوافقية ).

كُتب برنامج Macsyma بلغة Maclisp ، وكان في بعض الحالات دافعًا رئيسيًا لتحسين هذه اللهجة من لغة Lisp في مجالات الحوسبة العددية، والترجمة الفعّالة، وتصميم اللغة. كان Maclisp يعمل بشكل أساسي على حواسيب PDP-6 وPDP-10 ، ولكن أيضًا على نظام التشغيل Multics وعلى معمارية Lisp Machine . كان Macsyma أحد أكبر برامج Lisp في ذلك الوقت، وربما كان أكبرها.

التسويق التجاري

استجابةً لطلب من ريتشارد فيتمان، الأستاذ آنذاك في جامعة كاليفورنيا في بيركلي ، منح معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا ترخيصًا مؤقتًا لبرنامج ماكسيما عام ١٩٧٩. وتم تشغيل البرنامج فورًا تقريبًا على حاسوب VAX-11/780 الجديد باستخدام لهجة من لغة ماك ليسب، تُعرف باسم فرانز ليسب ، والتي طوّرها فريق فيتمان. وقد رخص معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا، على مضض، نسخًا من برنامج VAX ماكسيما من بيركلي لحوالي ٥٠ جامعة، بدءًا من معهد كاليفورنيا للتكنولوجيا (كالتك)، بشرط إلغاء التراخيص عند اكتمال المفاوضات للحصول على ترخيص دائم. وقد حدث ذلك بالفعل عند اكتمال المفاوضات مع شركة سيمبوليكس (انظر أدناه). كانت سيمبوليكس مترددة في ترخيص منتج VAX، نظرًا لأن VAX كان يُمثل منافسًا قويًا لأجهزة ليسب الخاصة بها، ولذلك قامت بحظر برنامج VAX لمدة خمس سنوات. كما قامت جامعة كاليفورنيا في بيركلي بتشغيل نسخ من ماكسيما على أنظمة تعتمد على معالجات موتورولا ٦٨٠٠٠ ، وأبرزها محطات عمل صن . وقامت سيمبوليكس بحظر هذه الأنظمة أيضًا. وفي الوقت نفسه، عمل فاتيمان على تغيير الترخيص المؤقت (الذي تم إلغاؤه الآن) لبرنامج ماكسيما إلى ترخيص أكثر ديمومة.

في نهاية المطاف، فرضت وزارة الطاقة الأمريكية على معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا (MIT) شرطًا يقضي بنشر نسخة من برنامجها في مكتبة المركز الوطني لبرمجيات الطاقة (NESC) عام ١٩٨٢، مع السماح للمعهد بفرض قيود تتعلق بالسعر المرتفع ومنع إعادة التوزيع. كان الهدف من ذلك حماية نقل التكنولوجيا إلى شركة Symbolics. (رُفعت هذه القيود منذ حوالي عام ٢٠٠٢). أُعيدت كتابة برنامج DOE Macsyma في معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا باستخدام لهجة NIL lisp ، وهي لهجة سابقة للغة Common Lisp ، ونُفذت بشكل غير مكتمل على نظام VAX/VMS ، وهو نظام غير شائع في الأوساط الأكاديمية، حيث كان نظام Berkeley VAX Unix شائعًا. شكّل برنامج DOE Macsyma الأساس لنظام Maxima مفتوح المصدر الذي ظهر لاحقًا .

في عام ١٩٨١، حاول موسى وريتشارد بافيل ، وهو عضو هيئة تدريس في معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا (MIT) ومؤيد لتطبيق لغة ماكسيما في الهندسة والعلوم، تأسيس شركة لتسويقها. كان بافيل قد نشر العديد من الأبحاث العلمية باستخدام ماكسيما. وبناءً على هذه الأبحاث، تواصل بافيل وموسى مع عدة شركات رأس مال مخاطر أبدت اهتمامًا بتمويل شركة ناشئة تستخدم ماكسيما. ومع اقتراب إتمام الصفقات المحتملة، قرر معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا فجأةً منع موظفيه من الاستفادة بشكل مباشر من تطويراته. في أوائل عام ١٩٨٢، رخص معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا استخدام ماكسيما لشركة آرثر دي ليتل (ADL)، التي أصبحت وسيطًا لها، وسرعان ما رخصتها بدورها لشركة سيمبوليكس في أواخر عام ١٩٨٢. أُجبر موسى على الانسحاب من المشروع من قبل شركة آرثر دي ليتل، وأصبح بافيل رئيسًا لقسم ماكسيما في سيمبوليكس. كان من الواضح أن سيمبوليكس لم تكن مهتمة بالبرنامج بقدر اهتمامها بإبقاء ماكسيما خارج كتالوج برامج منافستها في مجال آلات ليسب، شركة LMI . نصّت الاتفاقية التجارية بين شركتي سيمبوليكس وآرثر دي ليتل على دفع 15% من إجمالي مبيعات برنامج ماكسيما كحقوق ملكية لشركة آرثر دي ليتل. أثارت هذه الحقوق تكهنات حول رغبة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا وشركة آرثر دي ليتل في ازدهار برنامج ماكسيما. استمر تطوير ماكسيما في سيمبوليكس رغم اعتباره تحويلاً عن مبيعات أجهزة ليسب ، التي كانت سيمبوليكس تعتبرها نشاطها الرئيسي، على الرغم من أن مبيعات ماكسيما ومبيعات أجهزة ليسب مجتمعة بلغت 10% من إجمالي مبيعات سيمبوليكس في غضون عامين. وعلى الرغم من معارضة الكثيرين في سيمبوليكس، تم إصدار ماكسيما لأجهزة كمبيوتر دي إي سي فاكس ومحطات عمل صن باستخدام لغة فرانز ليسب من بيركلي في أوائل ومنتصف الثمانينيات.

مع ذلك، أدت المشاكل التي واجهتها شركة Symbolics بشأن مبيعات برنامج Macsyma على أجهزة كمبيوتر أخرى غير أجهزة Symbolics إلى انخفاض مبيعات البرنامج. في النصف الأول من عام 1986، كانت إيرادات Macsyma أقل من النصف الأول من عام 1985، في قطاع يشهد نموًا. في ذلك الوقت، كان برنامج SMP من Wolfram وبرنامج Waterloo Maple يشهدان نموًا، على الرغم من أن برنامج MACSYMA كان متفوقًا بشكل واضح على هذه البرامج الأخرى في مجال الرياضيات الرمزية.

أدار بافيل قسم ماكسيما في شركة سيمبوليكس حتى أوائل عام ١٩٨٦. وفي النصف الثاني من ذلك العام، تولى ريتشارد بيتي إدارة أعمال ماكسيما بهدف خفض المبيعات وتجنب أي خلافات مع موظفي سيمبوليكس. خفضت ماكسيما عدد موظفيها، لكنها وسّعت فريق المبيعات والتسويق، وركّزت جهود مطوريها على الميزات التي طلبها العملاء. (على سبيل المثال، لم تُثبّت خوارزمية أساس سبير-زاكارياس ( غروبنر ) التي طُبّقت في سبعينيات القرن الماضي في معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا في أي جهاز ماكسيما مُباع حتى عام ١٩٨٧). في عام ١٩٨٧، تضاعفت إيرادات ماكسيما السنوية تقريبًا. أصبح نظام ماكسيما أكثر سهولة في الاستخدام: أُعيد تنظيم وتوسيع الوثائق والمساعدة عبر الإنترنت، وغُيّرت بعض أسماء الأوامر لتكون أكثر سهولة في التذكر. نُقل النظام إلى لغة كومون ليسب (بواسطة كينت إم. بيتمان ). جادل بيتي لإدارة سيمبوليكس بأن ماكسيما وحدة أعمال استراتيجية يجب تمويلها بناءً على أدائها وإمكاناتها، لا بناءً على آفاق أعمال محطات العمل الرئيسية. مع ذلك، خفضت سيمبوليكس عدد موظفي ماكسيما بعد فترة النمو السريع هذه؛ إذ حاولت استخدام ماكسيما كمصدر دخل صغير لتغطية خسائر أعمال محطات العمل التي كانت تفوقها حجماً بثلاثين ضعفاً.

كانت أبرز نقاط ضعف برنامج Macsyma هي تحليله العددي. كان إتقان الرياضيات الرمزية مهمة شاقة للغاية، لكن القدرات العددية كانت ضرورية للحصول على حصة من أسواق الهندسة والعلوم الأقل تكلفة والأوسع نطاقًا. في معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا، كان لبرنامج Macsyma ارتباط بمكتبات IMSL العددية (التي أصبحت الآن منتجًا لشركة Perforce Software )، لكن هذا الارتباط انقطع عندما انتقل Macsyma إلى Symbolics. كان مطورو لغة Lisp في Symbolics يعتقدون عمومًا أن التحليل العددي تقنية قديمة غير مهمة لتطبيقات Lisp، لذا رفضوا الاستثمار فيها. كانت العمليات الحسابية ذات الدقة المزدوجة في Macsyma (على إصدار الحاسوب الشخصي ) أبطأ بست مرات تقريبًا من Fortran. كما تم تنفيذ مصفوفات Macsyma كقوائم من القوائم، مما أدى إلى انخفاض سرعة الخوارزميات الرئيسية بمقدار 5 إلى 10 أضعاف. لم يكن لدى Macsyma العديد من الخوارزميات الأساسية للجبر الخطي العددي ، مثل تحليل LU .

في عامي 1987-1988، حاولت مجموعة ماكسيما بناء جهاز كمبيوتر شخصي (PC) يُدعى ماكسيما باستخدام لغة غولد هيل ليسب . (في وقت سابق، أوقفت شركة سيمبوليكس مشروعها الخاص لبناء مُترجم لغة ليسب لأجهزة الكمبيوتر القياسية لتجنب منافسة مبيعات أجهزة ليسب. كانت هذه خطوة مثيرة للجدل، وبحسب بعض الروايات، تم اتخاذها دون موافقة الإدارة العليا. كما رفضت سيمبوليكس التعاون مع شركة صن لجعل لغة ليسب متاحة على محطات عمل صن للسبب نفسه). كانت لغة غولد هيل ليسب غير مستقرة للغاية، وبنيتها الضعيفة جعلت من المستحيل على غولد هيل التخلص من الأخطاء. كان هذا فشلاً ذريعاً لماكسيما، إذ عجزت عن المنافسة على أجهزة الكمبيوتر الشخصية عندما ظهر برنامج ماثيماتيكا على أجهزة أبل في منتصف عام 1988. ظهر ماكسيما على أجهزة الكمبيوتر الشخصية التي تعمل بنظام ويندوز في أغسطس 1989 باستخدام لغة كلوي ليسب من سيمبوليكس. ومع ذلك، كان فريق عمل ماكسيما صغيرًا جدًا ويفتقر إلى مزيج المهارات اللازمة لإضافة الرسومات وواجهة دفتر الملاحظات والقدرات الحسابية المحسّنة التي تميز بها برنامج ماثيماتيكا .

بحلول عام ١٩٨٩، بات واضحًا لبيتي أن شركة سيمبوليكس ستنهار بسبب ضعف استراتيجية منتجاتها، وأن ذلك سيؤثر سلبًا على شركة ماكسيما. (بعض مشكلات المنتج: (١) صُمم برنامج سيمبوليكس لمطوري برامج من طراز معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا دون مراعاة كافية للآخرين. (٢) كان برنامج سيمبوليكس، ذو المستوى العالمي، يفقد حصته في السوق بسبب اعتماده على أجهزة باهظة التكلفة. (٣) عند الانتقال إلى أجهزة VLSI في منتصف الثمانينيات، تحولت سيمبوليكس من حجم كلمة ٣٦ بت إلى ٤٠ بت، دون مبرر من السوق لتكلفة التطوير الباهظة لهذا التغيير). لم تتمكن ماكسيما من تشكيل فريق للاستحواذ عليها بسبب عدم تعاون معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. بعد التزام الصمت نسبيًا منذ عام ١٩٨٦ بشأن مشكلات المنتج، حاول بيتي في أواخر عام ١٩٨٨ إقناع سيمبوليكس بتبني استراتيجية تعتمد على البرامج فقط أو على مستوى اللوحة؛ لكن الرئيس الرابع في أربع سنوات رفض الفكرة رفضًا قاطعًا. في عام ١٩٩٠، غادر بيتي سيمبوليكس ليؤسس شركة ناشئة.

شركة ماكسيما

تأسست شركة ماكسيما عام 1992 على يد راسل نوفتسكر (رئيس مجلس الإدارة، الذي شارك في تأسيس شركة سيمبوليكس ) وريتشارد بيتي (الرئيس، الذي أنقذ ماكسيما لفترة من الزمن في سيمبوليكس) من خلال جمع الأموال وشراء حقوق ماكسيما من سيمبوليكس المتعثرة. [ 12 ] على الرغم من النمو السريع للسوق، إلا أن مبيعات ماكسيما في عام 1991 وأوائل عام 1992 كانت لا تزال تتراجع بسرعة. انخفضت حصة ماكسيما في سوق برامج الرياضيات الرمزية من 70% عام 1987 إلى 1% عام 1992. وبحلول عام 1993، تباطأ نمو السوق واستقر على برنامجي ماثيماتيكا ومابل. كان لدى المنافسين فرق تطوير تفوق حجم فريق ماكسيما من 4 إلى 8 أضعاف طوال فترة التسعينيات.

في أوائل عام 1995، أصدرت الشركة برنامج Macsyma 2.0.5، الذي تضمن العديد من التحسينات: ففي اختبار ويستر الشامل للرياضيات الرمزية، حقق Macsyma 2.0.5 أداءً أفضل بنسبة 10% من برنامج Maple وأفضل بنسبة 15% من برنامج Mathematica. [ 13 ] على الرغم من أن Macsyma 2.0.5 كان لا يزال بطيئًا جدًا في العمليات العددية، إلا أنه تميز بمجموعة محسّنة بشكل كبير من إجراءات التحليل العددي والجبر الخطي. (في عام 1996، أضافت Macsyma حزمة LAPACK التي زادت بشكل كبير من سرعة معظم عمليات الجبر الخطي العددي).

ضمّ فريق التطوير آنذاك جيف غولدن (اللغة، والمترجم، وما إلى ذلك)، وبيل غوسبر (الدوال الخاصة، والجمع)، وهوارد كانون (واجهة المستخدم، والتحسين)، بالإضافة إلى عدد من المستشارين. عمل بيل دوبوك على التكامل، وحل المعادلات، وقواعد البيانات، والتحسين. أضاف كريستوفر ستايسي وديفيد إتش. وود لغة MATLAB ووظائف المصفوفات. وقدّم مطورون آخرون إسهاماتٍ كبيرة في التحليل العددي، والرسومات، وأنظمة المساعدة.

لم تستطع الشركة الاستمرار في التفوق على موظفين يفوقونها حجماً بأربعة إلى ثمانية أضعاف، مما أدى إلى تراجع زخم السوق. لم تتجاوز حصتها السوقية 2%، نظراً لسيطرة المنافسين على جميع الحسابات الرئيسية، وارتفاع تكلفة التحول إلى منتج جديد من حيث وقت التعلم، وتراجع نمو السوق. كذلك، بدأت شركة ماثسوفت، ابتداءً من عام 1992 أو 1993، في اتباع استراتيجية إنفاق 10 ملايين دولار على التسويق المباشر عبر البريد بأسعار منخفضة للغاية، مما ساهم في تحقيق جزء كبير من النمو المتبقي في سوق الرياضيات الرمزية، في الوقت الذي كانت فيه شركة ماكسيما تكافح لإعادة بناء منتجها العالمي.

في عام 1999، استحوذت شركة تينيدوس المحدودة ، وهي شركة قابضة كانت قد اشترت سابقًا شركة سيمبوليكس، على برنامج ماكسيما. لم تقم الشركة القابضة بإعادة إصدار أو بيع برنامج ماكسيما، لكن سيمبوليكس لا تزال توزعه لأنظمة مايكروسوفت ويندوز حتى ويندوز إكس بي . [ 14 ]

الإصدار المتاح

يوجد أيضًا إصدار مرخص بموجب رخصة جنو العمومية (GPL) يُسمى ماكسيما ، وهو مبني على إصدار عام 1982 من برنامج ماكسيما التابع لوزارة الطاقة الأمريكية، والذي تم تعديله لاحقًا ليتوافق مع لغة كومون ليسب، وطوّره ويليام شيلتر . وهو قيد التطوير المستمر، ويمكن تجميعه على العديد من أنظمة كومون ليسب . تتوفر ملفات تنفيذية قابلة للتنزيل لأنظمة لينكس ، ومايكروسوفت ويندوز ، وماك أو إس إكس، وغيرها، بما في ذلك واجهات المستخدم الرسومية . لا يتضمن ماكسيما العديد من الميزات التي أُضيفت خلال فترة التطوير التجاري بين عامي 1982 و1999، ولكنه قاعدة بيانات مفتوحة المصدر ومجانية وحديثة تتضمن العديد من الميزات الإضافية، والعديد من الواجهات الأمامية البديلة، ويعمل مع عدد من محركات كومون ليسب. ورغم أن هذا قد أدى إلى بعض حالات عدم التوافق بين ماكسيما وماكسيما، إلا أنه غالبًا ما يمكن تشغيل البرامج المكتوبة بلغة ماكسيما الجبرية، مع تغييرات طفيفة فقط، على أي من النظامين.

يتوفر برنامج ITS Macsyma من حوالي عام 1982، مع وجود معظم الملفات في دليل يسمى MAXSRC .

مراجع

  1. 1 2 موسى، جويل (مايو 2008). "ماكسيما: تاريخ شخصي" (ملف PDF) . معالم بارزة في الجبر الحاسوبي.انظر أيضًا: جويل موسى (2012)، "ماكسيما: تاريخ شخصي"، مجلة الحوسبة الرمزية ، 47 (2): 123-130 ، doi : 10.1016/j.jsc.2010.08.018
  2. 1 2 3 روس، بول دبليو، محرر. (1996). دليل البرمجيات للمهندسين والعلماء . بوكا راتون، فلوريدا : [نيويورك]: مطبعة سي آر سي؛ مطبعة آي إي إي إي. رقم ISBN  978-0-8493-2530-4.
  3. ↑ "صندوق كارل إنجلمان التذكاري" (ملف PDF) . نشرة FINITE STRING الإخبارية . المجلة الأمريكية للغويات الحاسوبية، المجلد 9، العددان 3-4، يوليو-ديسمبر 1983. مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 28-04-2003.
  4. ↑ ريتشارد ج. فيتمان، "المبسط العام لبرنامج ماكسيما: الفلسفة والتشغيل"، مؤتمر مستخدمي ماكسيما 1979، النص الكامل ، القسم 2
  5. ↑ كنوت كورسفولد، "برنامج عبر الإنترنت للجبر غير العددي"، وقائع ندوة ACM الأولى حول المعالجة الرمزية والجبرية SYMSAC '66 ، ص 1301-1314، doi : 10.1145/800005.807963
  6. ↑ ماكون، كلود (2012). البحث الرياضي عن ذكاء خارج الأرض: الإحصاء، معالجة الإشارات، مهمات الفضاء . سبرينغر. ص 75. ISBN  978-3-642-27436-7.
  7. ↑ سبير، ديفيد (يوليو 1977). "نهج بنائي لنظرية الحلقة التبادلية" . وقائع مؤتمر مستخدمي MACSYMA لعام 1977.
  8. ↑ مورا، تيو (2005). الفصل 26، سبير، في: حل أنظمة المعادلات متعددة الحدود II: نموذج ماكولاي وتقنية غروبنر . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 9780521811569.
  9. ↑ تراجر، باري (1984). تكامل الدوال الجبرية. أطروحة دكتوراه، معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا، كامبريدج، ماساتشوستس (أطروحة). معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. hdl : 1721.1/15391 .
  10. 1 2 جياني، باتريزيا ؛ تراجر، باري؛ زكرياس، غيل (1988). "قواعد غروبنر والتحليل الأولي للمثاليات متعددة الحدود". مجلة الحساب الرمزي . 6 ( 2-3 ): 149-167 . doi : 10.1016/S0747-7171(88)80040-3 .
  11. ↑ زكرياس، غيل (يونيو 1978). "قواعد غروبنر المعممة في حلقات كثيرات الحدود التبادلية". رسالة بكالوريوس، معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا، كامبريدج، ماساتشوستس.{{cite web}}: مفقود أو فارغ |url=( مساعدة )
  12. ↑ ماكون، كلاوديو (30 أغسطس 2012). البحث الرياضي عن ذكاء خارج الأرض: الإحصاء، معالجة الإشارات، مهمات الفضاء . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ISBN 9783642274374.
  13. ↑ "نقد القدرات الرياضية لأنظمة CA" .مراجعة ويستر لعام 1995 ومراجعة عام 1999
  14. ↑ الصفحة الرئيسية لـ Macsyma، http://www.symbolics-dks.com/Macsyma-1.htm
  • ملخص ريتشارد بيتي لتاريخ شركة ماكسيما التجارية ، 30 أكتوبر 2003
  • ملحمة ماكسيما ريتشارد بيتي، 2 نوفمبر 2003
  • الرموز ماكسيما