مضاد المشتق

{\displaystyle F(x)={\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{2}}{2}}-x+C} — حقل المنحدرات لـ $F(x)={\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{2}}{2}}-x+C$ ، مما يوضح ثلاثة من الحلول العديدة التي يمكن إنتاجها عن طريق تغيير الثابت التعسفي $C.$

في حساب التفاضل والتكامل ، الدالة الأصلية ، أو المشتقة العكسية ، أو الدالة الأولية ، أو التكامل الأولي ، أو التكامل غير المحدد ^[^{ملاحظة 1}^] للدالة $f$ هي دالة قابلة للتفاضل $F$ مشتقتها تساوي الدالة الأصلية $f$ . ويمكن التعبير عن ذلك رمزياً بـ $F'$ $=$ $f$ . ^[¹^]^[²^] تُسمى عملية إيجاد الدوال الأصلية بالتفاضل العكسي (أو التكامل غير المحدد )، وتُسمى العملية المعاكسة لها بالتفاضل ، وهي عملية إيجاد المشتقة. غالباً ما يُرمز للدوال الأصلية بأحرف لاتينية كبيرة مثل $F$ و $G.$

ترتبط الدوال الأصلية بالتكاملات المحددة من خلال النظرية الأساسية الثانية للتفاضل والتكامل : التكامل المحدد لدالة على فترة مغلقة حيث تكون الدالة قابلة للتكامل وفقًا لريمان يساوي الفرق بين قيم الدالة الأصلية المحسوبة عند نقاط نهاية الفترة.

في الفيزياء ^، تظهر الدوال الأصلية في سياق الحركة المستقيمة ( على سبيل المثال، في شرح العلاقة بين الموضع والسرعة والتسارع ). [ ^{3 ]} المكافئ المتقطع لمفهوم الدالة الأصلية هو الفرق العكسي .

أمثلة

الوظيفة $F(x)={\tfrac {x^{3}}{3}}$ هو مضاد للمشتقة $f(x)=x^{2}$ ، لأن مشتق ${\tfrac {x^{3}}{3}}$ يكون $x^{2}$ بما أن مشتقة الثابت تساوي صفرًا ، $x^{2}$ سيكون لها عدد لا نهائي من المشتقات المضادة، مثل ${\tfrac {x^{3}}{3}},{\tfrac {x^{3}}{3}}+1,{\tfrac {x^{3}}{3}}-2$ إلخ. وبالتالي، فإن جميع مضادات المشتقات لـ $x^{2}$ يمكن الحصول على ذلك عن طريق تغيير قيمة $C$ في $F(x)={\tfrac {x^{3}}{3}}+C$ حيث $C$ ثابت اختياري يُعرف بثابت التكامل . وتُمثل رسوم الدوال الأصلية لدالة معينة إزاحات رأسية لبعضها البعض، ويعتمد الموقع الرأسي لكل رسم بياني على قيمة $C.$

وبشكل أعم، دالة القوة $f(x)=x^{n}$ يحتوي على مضاد للمشتق $F(x)={\tfrac {x^{n+1}}{n+1}}+C$ إذا كان $n \neq - 1$ ، و $F(x)=\ln |x|+C$ إذا كان $n = -1 .$

في الفيزياء ، ينتج عن تكامل التسارع السرعة بالإضافة إلى ثابت. هذا الثابت هو حد السرعة الابتدائية الذي يُفقد عند اشتقاق السرعة، لأن مشتقة الثابت تساوي صفرًا. وينطبق هذا النمط نفسه على عمليات التكامل والاشتقاق الأخرى للحركة (الموقع، السرعة، التسارع، وما إلى ذلك). ^{[ 3 ]} وبالتالي، ينتج عن التكامل علاقات التسارع والسرعة والإزاحة . ${\begin{aligned}\int a\,dt&=v+v_{0}\\\int v\,dt&=s+s_{0}\end{aligned}}$

الاستخدامات والخصائص

يمكن استخدام الدوال الأصلية لحساب التكاملات المحددة ، باستخدام النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل : إذا كانت $F$ دالة أصلية للدالة المتصلة $f$ على الفترة $[a,b]$ ، ثم: $\int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).$

ولهذا السبب، يمكن تسمية كل دالة من الدوال الأصلية اللانهائية لدالة معينة $f$ بـ "التكامل غير المحدد" لـ f وكتابتها باستخدام رمز التكامل بدون حدود: $\int f(x)\,dx.$

إذا كانت $F$ دالة أصلية للدالة $f$ ، وكانت الدالة $f$ معرفة على فترة ما، فإن كل دالة أصلية أخرى $G$ للدالة $f$ تختلف عن $F$ بمقدار ثابت: يوجد عدد $c$ بحيث $G(x)=F(x)+c$ لكل قيمة لـ $x$ ، يُسمى $c$ ثابت التكامل . إذا كان مجال $F$ عبارة عن اتحاد منفصل لفترتين أو أكثر (مفتوحتين)، فيمكن اختيار ثابت تكامل مختلف لكل فترة من هذه الفترات. على سبيل المثال $F(x)={\begin{cases}-{\dfrac {1}{x}}+c_{1}&x<0\\[1ex]-{\dfrac {1}{x}}+c_{2}&x>0\end{cases}}$

هو أكثر أنواع مضادات الاشتقاق عمومية $f(x)=1/x^{2}$ في نطاقها الطبيعي $(-\infty ,0)\cup (0,\infty ).$

كل دالة متصلة $f$ لها دالة أصلية، ودالة أصلية واحدة $F$ تُعطى بالتكامل المحدد لـ $f$ مع حد علوي متغير: $F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt~,$ لأي قيمة لـ $a$ في مجال $f$ . يؤدي تغيير الحد الأدنى إلى إنتاج دوال أصلية أخرى، ولكن ليس بالضرورة جميع الدوال الأصلية الممكنة. هذه صياغة أخرى للنظرية الأساسية في حساب التفاضل والتكامل .

توجد العديد من الدوال الأولية التي لا يمكن التعبير عن دوالها الأصلية، على الرغم من وجودها، بدلالة الدوال الأولية. تشمل الدوال الأولية كثيرات الحدود ، والدوال الأسية ، واللوغاريتمات ، والدوال المثلثية ، والدوال المثلثية العكسية ، وتراكيبها تحت التركيب والتركيب الخطي . ومن أمثلة هذه التكاملات غير الأولية :

دالة الخطأ $\int e^{-x^{2}}\,dx,$
دالة فرينل $\int \sin x^{2}\,dx,$
التكامل الجيبي $\int {\frac {\sin x}{x}}\,dx,$
دالة التكامل اللوغاريتمي $\int {\frac {1}{\log x}}\,dx,$ و
حلم طالب السنة الثانية $\int x^{x}\,dx.$

للحصول على مناقشة أكثر تفصيلاً، انظر أيضًا نظرية غالوا التفاضلية .

أساليب التكامل

يُعدّ إيجاد الدوال الأصلية للدوال الأولية أصعب بكثير من إيجاد مشتقاتها (في الواقع، لا توجد طريقة مُحددة مسبقًا لحساب التكاملات غير المحددة). ^{[ 4 ]} بالنسبة لبعض الدوال الأولية، يستحيل إيجاد دالة أصلية بدلالة دوال أولية أخرى. لمزيد من المعلومات، انظر الدوال الأولية والتكاملات غير الأولية .

توجد العديد من الخصائص والتقنيات لاكتشاف مضادات المشتقات. وتشمل هذه، على سبيل المثال لا الحصر:

خطية التكامل (التي تقسم التكاملات المعقدة إلى تكاملات أبسط)
التكامل بالتعويض ، وغالباً ما يتم دمجه مع المتطابقات المثلثية أو اللوغاريتم الطبيعي
طريقة قاعدة السلسلة العكسية ( حالة خاصة من التكامل بالتعويض)
التكامل بالتجزئة (لدمج نواتج الدوال)
التكامل العكسي للدالة (صيغة تعبر عن المشتقة الأصلية للدالة العكسية $f -1$ لدالة قابلة للعكس ومستمرة $f$ ، بدلالة $f -1$ والمشتقة الأصلية لـ $f$ ).
طريقة الكسور الجزئية في التكامل (والتي تسمح لنا بتكامل جميع الدوال الكسرية - كسور كثيرتي حدود)
خوارزمية ريش
تقنيات إضافية للتكاملات المتعددة (انظر على سبيل المثال التكاملات المزدوجة ، والإحداثيات القطبية ، والمصفوفة اليعقوبية ، ونظرية ستوكس ).
التكامل العددي (تقنية لتقريب التكامل المحدد عندما لا توجد دالة أصلية أولية، كما هو الحال في $exp(- x 2)$ )
المعالجة الجبرية للدالة المراد تكاملها (بحيث يمكن استخدام تقنيات تكامل أخرى، مثل التكامل بالتعويض)
صيغة كوشي للتكامل المتكرر (لحساب الدالة الأصلية من الرتبة $n مرة)$ $\displaystyle \int _{x_{0}}^{x}\int _{x_{0}}^{x_{1}}\cdots \int _{x_{0}}^{x_{n-1}}f(x_{n})\,dx_{n}\cdots \,dx_{2}\,dx_{1}=\int _{x_{0}}^{x}f(t){\frac {(xt)^{n-1}}{(n-1)!}}\,dt.}$

يمكن استخدام أنظمة الجبر الحاسوبية لأتمتة بعض أو كل العمليات الحسابية المتعلقة بالتقنيات الرمزية المذكورة أعلاه، وهو أمر مفيد للغاية عندما تكون العمليات الجبرية معقدة أو طويلة. ويمكن البحث عن التكاملات التي تم اشتقاقها مسبقًا في جدول التكاملات .

من الدوال غير المتصلة

يمكن أن يكون للدوال غير المتصلة دوال أصلية. ورغم وجود بعض الأسئلة التي لا تزال مطروحة في هذا المجال، فمن المعروف أن:

قد يكون لبعض الوظائف المرضية للغاية التي تحتوي على مجموعات كبيرة من الانقطاعات مشتقات مضادة.
في بعض الحالات، يمكن إيجاد المشتقات المضادة لهذه الوظائف المرضية عن طريق تكامل ريمان ، بينما في حالات أخرى لا تكون هذه الوظائف قابلة للتكامل بواسطة ريمان.

بافتراض أن مجالات الدوال هي فترات مفتوحة:

الشرط الضروري، ولكنه غير الكافي، لكي تمتلك الدالة $f$ دالة أصلية هو أن تتمتع $f$ بخاصية القيمة المتوسطة . أي، إذا كانت الفترة $[a, b]$ فترة جزئية من مجال $f$ ، وكان $y$ أي عدد حقيقي بين $f (a)$ و $f (b)$ ، فإنه يوجد عدد حقيقي $c$ بين $a$ و $b$ بحيث يكون $f (c) = y$ . هذه نتيجة لنظرية داربو .
يجب أن تكون مجموعة نقاط عدم الاتصال للدالة $f$ مجموعةً ضئيلة . ويجب أن تكون هذه المجموعة أيضًا مجموعة F-sigma (لأن مجموعة نقاط عدم الاتصال لأي دالة يجب أن تكون من هذا النوع). علاوة على ذلك، لأي مجموعة F-sigma ضئيلة، يمكن إنشاء دالة $f$ لها دالة أصلية، وتكون هذه المجموعة هي مجموعة نقاط عدم الاتصال الخاصة بها.
إذا كانت للدالة $f$ دالة أصلية، ومحدودة على فترات جزئية مغلقة منتهية من مجالها، ولها مجموعة من نقاط عدم الاستمرارية ذات قياس ليبيغ يساوي صفرًا، فإنه يمكن إيجاد دالة أصلية لها بالتكامل وفقًا لمفهوم ليبيغ. في الواقع، باستخدام تكاملات أقوى مثل تكامل هينستوك-كورزويل ، فإن كل دالة لها دالة أصلية قابلة للتكامل، ويتطابق تكاملها العام مع دالتها الأصلية.
إذا كان للدالة $f دالة أصلية$ $F$ على فترة مغلقة $[a,b]$ ثم لأي اختيار للتقسيم $a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\dots <x_{n}=b,$ إذا اختار المرء نقاط العينة $x_{i}^{*}\in [x_{i-1},x_{i}]$ كما هو محدد في نظرية القيمة المتوسطة ، فإن مجموع ريمان المقابل يتقارب إلى القيمة $F(b)-F(a)$ . ${\begin{aligned}\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})(x_{i}-x_{i-1})&=\sum _{i=1}^{n}[F(x_{i})-F(x_{i-1})]\\&=F(x_{n})-F(x_{0})=F(b)-F(a)\end{aligned}}$ مع ذلك، إذا كانت $f$ غير محدودة، أو إذا كانت $f$ محدودة ولكن مجموعة نقاط عدم استمرارية $f$ لها قياس ليبيغ موجب، فسيتم اختيار نقاط عينة مختلفة. $x_{i}^{*}$ قد تعطي قيمة مختلفة بشكل ملحوظ لمجموع ريمان، بغض النظر عن مدى دقة التقسيم. انظر المثال 4 أدناه.

بعض الأمثلة

الوظيفة $f(x)=2x\sin \left({\frac {1}{x}}\right)-\cos \left({\frac {1}{x}}\right)$ مع $f(0)=0$ ليست متصلة عند $x=0$ لكن له مضاد المشتق $F(x)=x^{2}\sin \left({\frac {1}{x}}\right)$ مع $F(0)=0$ بما أن الدالة $f$ محدودة على فترات مغلقة محدودة وغير متصلة فقط عند الصفر، فإنه يمكن الحصول على الدالة الأصلية $F عن طريق التكامل:$ $F(x)=\int _{0}^{x}f(t)\,dt$ .
الوظيفة $f(x)=2x\sin \left({\frac {1}{x^{2}}}\right)-{\frac {2}{x}}\cos \left({\frac {1}{x^{2}}}\right)$ مع $f(0)=0$ ليست متصلة عند $x=0$ لكن له مضاد المشتق $F(x)=x^{2}\sin \left({\frac {1}{x^{2}}}\right)$ مع $F(0)=0$ على عكس المثال 1، فإن $f (x)$ غير محدودة في أي فترة تحتوي على 0، لذا فإن تكامل ريمان غير معرف.
إذا كانت $f (x)$ هي الدالة في المثال 1 و $F$ هي دالتها الأصلية، و $\{x_{n}\}_{n\geq 1}$ هي مجموعة جزئية كثيفة قابلة للعد من الفترة المفتوحة $(-1,1),$ ثم الدالة $g(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(x-x_{n})}{2^{n}}}$ يحتوي على مضاد للمشتق $G(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {F(x-x_{n})}{2^{n}}}.$ مجموعة عدم استمرارية الدالة $g$ هي تحديدًا المجموعة $\{x_{n}\}_{n\geq 1}$ بما أن $g$ محدودة على فترات مغلقة محدودة ومجموعة الانقطاعات لها قياس 0، يمكن إيجاد الدالة الأصلية $G عن طريق التكامل.$
يترك $\{x_{n}\}_{n\geq 1}$ لتكن مجموعة جزئية كثيفة قابلة للعد من الفترة المفتوحة $(-1,1).$ لنفترض دالة مستمرة ومتزايدة تمامًا في كل مكان $F(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}(x-x_{n})^{1/3}.$ يمكن إثبات ذلك $F'(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{3\cdot 2^{n}}}(x-x_{n})^{-2/3}$
الشكل 1.
الشكل 2.
لجميع قيم $x$ التي تتقارب عندها المتسلسلة، وأن الرسم البياني للدالة $F (x) له خطوط مماسية رأسية عند جميع قيم$ $x$ الأخرى . على وجه الخصوص، يحتوي الرسم البياني على خطوط مماسية رأسية عند جميع النقاط في المجموعة. $\{x_{n}\}_{n\geq 1}$ .
علاوة على ذلك $F(x)\geq 0$ لكل $x$ حيث تكون المشتقة معرفة. ويترتب على ذلك أن الدالة العكسية $G=F^{-1}$ قابلة للتفاضل في كل مكان، وهذا $g(x)=G'(x)=0$
لكل $x$ في المجموعة $\{F(x_{n})\}_{n\geq 1}$ والتي تكون كثيفة في الفترة $[F(-1),F(1)].$ وبالتالي فإن $الدالة g$ لها دالة أصلية $G.$ من ناحية أخرى، لا يمكن أن يكون صحيحًا أن $\int _{F(-1)}^{F(1)}g(x)\,dx=GF(1)-GF(-1)=2,$
لأنه لأي تقسيم لـ $[F(-1),F(1)]$ يمكن اختيار نقاط عينة لمجموع ريمان من المجموعة $\{F(x_{n})\}_{n\geq 1}$ مما يعطي قيمة صفرية للمجموع. ويترتب على ذلك أن للدالة $g$ مجموعة من نقاط عدم الاستمرارية ذات قياس ليبيغ موجب. يوضح الشكل 1 على اليمين تقريبًا لمنحنى الدالة $g (x)$ حيث $\{x_{n}=\cos(n)\}_{n\geq 1}$ وتُختزل المتسلسلة إلى 8 حدود. يوضح الشكل 2 رسمًا بيانيًا لتقريب الدالة الأصلية $G (x)$ ، المختزل أيضًا إلى 8 حدود. من جهة أخرى، إذا استُبدل تكامل ريمان بتكامل ليبيغ ، فإن مبرهنة فاتو أو مبرهنة التقارب المُهيمن تُبين أن $g$ تُحقق المبرهنة الأساسية للتفاضل والتكامل في هذا السياق.
في المثالين 3 و4، تكون مجموعات عدم استمرارية الدوال $g$ كثيفة فقط في فترة مفتوحة محدودة $(a,b).$ ومع ذلك، يمكن تعديل هذه الأمثلة بسهولة بحيث تحتوي على مجموعات من الانقطاعات الكثيفة على كامل خط الأعداد الحقيقية. $(-\infty ,\infty )$ . يترك $\lambda (x)={\frac {a+b}{2}}+{\frac {b-a}{\pi }}\tan ^{-1}x.$ ثم $g(\lambda (x))\lambda '(x)$ يحتوي على مجموعة كثيفة من الانقطاعات على $(-\infty ,\infty )$ وله مضاد للمشتقات $G\cdot \lambda .$
باستخدام طريقة مشابهة لتلك المستخدمة في المثال 5، يمكن تعديل $الدالة g$ في المثال 4 بحيث تتلاشى عند جميع الأعداد النسبية . إذا استخدمنا صيغة مبسطة لتكامل ريمان، المعرّف على أنه نهاية مجاميع ريمان اليسرى أو اليمنى على التقسيمات المنتظمة، فسنحصل على أن تكامل هذه الدالة $g$ على فترة $[a,b]$ تكون قيمتها صفرًا عندما يكون كل من $a$ و $b$ عددًا نسبيًا، بدلًا من $G(b)-G(a)$ وبالتالي، ستفشل النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل فشلاً ذريعاً.
قد لا تكون الدالة التي لها دالة أصلية قابلة للتكامل وفقًا لريمان. مشتقة دالة فولتيرا مثال على ذلك.

الصيغ الأساسية

لو ${\frac {d}{dx}}f(x)=g(x)$ ، ثم $\int g(x)dx=f(x)+C$ .
$\int 1dx=x+C$
$\int a\ dx=ax+C$
$\int x^{n}\ dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C;\ n\neq -1$
$\int \sin {x}\ dx=-\cos {x}+C$
$\int \cos {x}\ dx=\sin {x}+C$
$\int \sec ^{2}{x}\ dx=\tan {x}+C$
$\int \csc ^{2}{x}\ dx=-\cot {x}+C$
$\int \sec {x}\tan {x}\ dx=\sec {x}+C$
$\int \csc {x}\cot {x}\ dx=-\csc {x}+C$
$\int {\frac {dx}{x}}=\ln |x|+C$
$\int e^{x}\ dx=e^{x}+C$
$\int a^{x}\ dx={\frac {a^{x}}{\ln a}}+C;\ a>0,\ a\neq 1$
$\int {\frac {1}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}\ dx=\arcsin \left({\frac {x}{a}}\right)+C$
$\int {\frac {1}{a^{2}+x^{2}}}\ dx={\frac {1}{a}}\arctan \left({\frac {x}{a}}\right)+C$

انظر أيضاً

ملحوظات

تُسمى الدوال الأصلية أيضًا بالتكاملات العامة ، وأحيانًا بالتكاملات . هذا المصطلح الأخير عام، ولا يقتصر على التكاملات غير المحددة (الدوال الأصلية)، بل يشمل أيضًا التكاملات المحددة . عندما تُستخدم كلمة "تكامل" دون تحديد إضافي، يُفترض بالقارئ أن يستنتج من السياق ما إذا كانت تشير إلى تكامل محدد أو غير محدد. يُعرّف بعض المؤلفين التكامل غير المحدد لدالة ما بأنه مجموعة الدوال الأصلية الممكنة لها، والتي لا حصر لها. بينما يُعرّفه آخرون بأنه عنصر مُختار عشوائيًا من تلك المجموعة. تتبنى هذه المقالة النهج الأخير. في كتب الرياضيات الإنجليزية للمستوى المتقدم (A-Level)، نجد مصطلح " الأساس الكامل" - L. Bostock و S. Chandler (1978) Pure Mathematics 1 ؛ يُطلق على حل المعادلة التفاضلية الذي يتضمن الثابت الاختياري اسم الحل العام (أو أحيانًا الأساس الكامل) .

مراجع

↑ ستيوارت، جيمس (2008). حساب التفاضل والتكامل: الدوال المتسامية المبكرة ( الطبعة السادسة). بروكس/كول . ISBN 978-0-495-01166-8.
↑ لارسون، رون ؛ إدواردز، بروس هـ. (2009). حساب التفاضل والتكامل ( الطبعة التاسعة). بروكس/كول . ISBN 978-0-547-16702-2.
1 2 "4.9: الدوال الأصلية" . نصوص الرياضيات الحرة . 27-04-2017 . تم الاسترجاع في 18-08-2020 .
↑ "المضاد للمشتقة والتكامل غير المحدد | موسوعة الرياضيات والعلوم الرائعة" . brilliant.org . تم الاطلاع عليه بتاريخ 18 أغسطس 2020 .

للمزيد من القراءة

مقدمة في التحليل الحقيقي الكلاسيكي ، بقلم كارل ر. سترومبرغ؛ وادزورث، 1981 (انظر أيضًا )
مقال تاريخي عن استمرارية المشتقات بقلم ديف ل. رينفرو

روابط خارجية

برنامج Wolfram Integrator — برنامج مجاني للتكامل الرمزي عبر الإنترنت مع Mathematica
آلة حاسبة للوظائف من WIMS
التكامل في هايبرفيزيكس
الدوال الأصلية والتكاملات غير المحددة في أكاديمية خان
حاسبة التكامل في Symbolab
المشتق المضاد في معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا
مقدمة في التكاملات على موقع سبارك نوتس
مضادات المشتقات في كلية هارفي مود

[1] تُسمى الدوال الأصلية أيضًا بالتكاملات العامة ، وأحيانًا بالتكاملات . هذا المصطلح الأخير عام، ولا يقتصر على التكاملات غير المحددة (الدوال الأصلية)، بل يشمل أيضًا التكاملات المحددة . عندما تُستخدم كلمة "تكامل" دون تحديد إضافي، يُفترض بالقارئ أن يستنتج من السياق ما إذا كانت تشير إلى تكامل محدد أو غير محدد. يُعرّف بعض المؤلفين التكامل غير المحدد لدالة ما بأنه مجموعة الدوال الأصلية الممكنة لها، والتي لا حصر لها. بينما يُعرّفه آخرون بأنه عنصر مُختار عشوائيًا من تلك المجموعة. تتبنى هذه المقالة النهج الأخير. في كتب الرياضيات الإنجليزية للمستوى المتقدم (A-Level)، نجد مصطلح " الأساس الكامل" - L. Bostock و S. Chandler (1978) Pure Mathematics 1 ؛ يُطلق على حل المعادلة التفاضلية الذي يتضمن الثابت الاختياري اسم الحل العام (أو أحيانًا الأساس الكامل) .

[2] ستيوارت، جيمس (2008). حساب التفاضل والتكامل: الدوال المتسامية المبكرة ( الطبعة السادسة). بروكس/كول . ISBN 978-0-495-01166-8.

[3] لارسون، رون ؛ إدواردز، بروس هـ. (2009). حساب التفاضل والتكامل ( الطبعة التاسعة). بروكس/كول . ISBN 978-0-547-16702-2.

[:1-4] 1 2 "4.9: الدوال الأصلية" . نصوص الرياضيات الحرة . 27-04-2017 . تم الاسترجاع في 18-08-2020 .

[5] "المضاد للمشتقة والتكامل غير المحدد | موسوعة الرياضيات والعلوم الرائعة" . brilliant.org . تم الاطلاع عليه بتاريخ 18 أغسطس 2020 .

[

[

[

[ 4 ]