متباينة ماركوف

إذا كانت φ دالة غير متناقصة وغير سالبة، و X متغير عشوائي (ليس بالضرورة غير سالب)، و φ ( a ) > 0 ، فإن ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \operatorname {P} (X\geq a)\leq {\frac {\operatorname {E} (\varphi (X))}{\varphi (a)}}.}$

والنتيجة المباشرة لذلك، باستخدام العزوم العليا لـ X المدعومة بقيم أكبر من 0، هي

${\displaystyle \operatorname {P} (|X|\geq a)\leq {\frac {\operatorname {E} (|X|^{n})}{a^{n}}}.}$

النسخ الخاصة بنظرية القياس هي

${\displaystyle \mu (\{x\in X:|f(x)|\geq \varepsilon \})\leq {\frac {1}{\varphi (\varepsilon )}}\int _{X}\varphi (|f|).}$

و

${\displaystyle \mu (\{x\in X:|f(x)|\geq \varepsilon \})\leq {\frac {1}{\varepsilon ^{p}}}\int _{X}|f|^{p}={\frac {1}{\varepsilon ^{p}}}\|f\|_{L^{p}}^{p}.}$

أين${\displaystyle \|\cdot \|_{L^{p}}}$يشير إلى معيار Lp .

إذا كان X متغيرًا عشوائيًا غير سالب و a  >  0 ، و U متغيرًا عشوائيًا موزعًا بشكل منتظم على${\displaystyle [0,1]}$وهذا مستقل عن X ، إذن ^{[ 4 ]}

${\displaystyle \operatorname {P} (X\geq Ua)\leq {\frac {\operatorname {E} (X)}{a}}.}$

بما أن U أصغر من واحد بشكل شبه مؤكد، فإن هذا الحد أقوى بكثير من متباينة ماركوف. والجدير بالذكر أنه لا يمكن استبدال U بأي ثابت أصغر من واحد، مما يعني أنه لا يمكن إيجاد تحسينات حتمية لمتباينة ماركوف بشكل عام. في حين أن متباينة ماركوف صحيحة مع المساواة للتوزيعات المدعومة على${\displaystyle \{0,a\}}$، ينطبق المتغير العشوائي المذكور أعلاه مع المساواة لأي توزيع محدود على${\displaystyle [0,a]}$.

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\operatorname {P} (X<a)\cdot \operatorname {E} (X|X<a)+\operatorname {P} (X\geq a)\cdot \operatorname {E} (X|X\geq a)}$أين${\displaystyle \operatorname {E} (X|X<a)}$أكبر من أو يساوي صفر كمتغير عشوائي${\displaystyle X}$غير سالب و${\displaystyle \operatorname {E} (X|X\geq a)}$أكبر من أو يساوي${\displaystyle a}$لأن التوقع الشرطي لا يأخذ في الاعتبار إلا القيم الأكبر من أو تساوي${\displaystyle a}$أي نوع من المركبات الترفيهية${\displaystyle X}$يمكن أن يأخذ.

الخاصية 1:${\displaystyle \operatorname {P} (X<a)\cdot \operatorname {E} (X\mid X<a)\geq 0}$

بافتراض متغير عشوائي غير سالب${\displaystyle X}$، التوقع الشرطي${\displaystyle \operatorname {E} (X\mid X<a)\geq 0}$لأن${\displaystyle X\geq 0}$كذلك، فإن الاحتمالات دائماً غير سالبة، أي${\displaystyle \operatorname {P} (X<a)\geq 0}$وبالتالي، فإن المنتج هو:

${\displaystyle \operatorname {P} (X<a)\cdot \operatorname {E} (X\mid X<a)\geq 0}$.

هذا أمر بديهي لأنه يعتمد على${\displaystyle X<a}$لا يزال ينتج عنه قيم غير سالبة، مما يضمن بقاء الناتج غير سالب.

الخاصية 2:${\displaystyle \operatorname {P} (X\geq a)\cdot \operatorname {E} (X\mid X\geq a)\geq a\cdot \operatorname {P} (X\geq a)}$

ل${\displaystyle X\geq a}$القيمة المتوقعة المعطاة${\displaystyle X\geq a}$هو على الأقل${\displaystyle a.\operatorname {E} (X\mid X\geq a)\geq a}$بضرب كلا الطرفين في${\displaystyle \operatorname {P} (X\geq a)}$، فنحصل على:

${\displaystyle \operatorname {P} (X\geq a)\cdot \operatorname {E} (X\mid X\geq a)\geq a\cdot \operatorname {P} (X\geq a)}$.

هذا أمر بديهي لأن جميع القيم التي تم أخذها في الاعتبار هي على الأقل${\displaystyle a}$مما يجعل متوسطهم أكبر من أو يساوي${\displaystyle a}$.

وبالتالي، وبشكل بديهي،${\displaystyle \operatorname {E} (X)\geq \operatorname {P} (X\geq a)\cdot \operatorname {E} (X|X\geq a)\geq a\cdot \operatorname {P} (X\geq a)}$مما يؤدي مباشرة إلى${\displaystyle \operatorname {P} (X\geq a)\leq {\frac {\operatorname {E} (X)}{a}}}$.

الطريقة الأولى: من تعريف التوقع:

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,dx}$

لكن X متغير عشوائي غير سالب، وبالتالي،

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,dx=\int _{0}^{\infty }xf(x)\,dx}$

ومن هذا يمكننا أن نستنتج،

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\int _{0}^{a}xf(x)\,dx+\int _{a}^{\infty }xf(x)\,dx\geq \int _{a}^{\infty }xf(x)\,dx\geq \int _{a}^{\infty }af(x)\,dx=a\int _{a}^{\infty }f(x)\,dx=a\operatorname {Pr} (X\geq a)}$

من هنا، ينقسم عبر${\displaystyle a}$يسمح لنا ذلك برؤية ذلك

${\displaystyle \Pr(X\geq a)\leq \operatorname {E} (X)/a}$

الطريقة الثانية: لأي مناسبة${\displaystyle E}$، يترك${\displaystyle I_{E}}$ليكن المتغير العشوائي المؤشر لـ${\displaystyle E}$، إنه،${\displaystyle I_{E}=1}$لو${\displaystyle E}$يحدث و${\displaystyle I_{E}=0}$خلاف ذلك.

باستخدام هذه الرموز، لدينا${\displaystyle I_{(X\geq a)}=1}$إذا كان الحدث${\displaystyle X\geq a}$يحدث، و${\displaystyle I_{(X\geq a)}=0}$لو${\displaystyle X<a}$ثم، بالنظر إلى${\displaystyle a>0}$،

${\displaystyle aI_{(X\geq a)}\leq X}$

ويتضح ذلك إذا نظرنا إلى القيمتين المحتملتين لـ${\displaystyle X\geq a}$. لو${\displaystyle X<a}$، ثم${\displaystyle I_{(X\geq a)}=0}$وهكذا${\displaystyle aI_{(X\geq a)}=0\leq X}$وإلا، فسيكون لدينا${\displaystyle X\geq a}$، والتي من أجلها${\displaystyle I_{X\geq a}=1}$وهكذا${\displaystyle aI_{X\geq a}=a\leq X}$.

منذ${\displaystyle \operatorname {E} }$بما أن الدالة تتزايد بشكل رتيب، فإن حساب القيمة المتوقعة لكلا طرفي المتباينة لا يمكن أن يعكس اتجاهها. لذلك،

${\displaystyle \operatorname {E} (aI_{(X\geq a)})\leq \operatorname {E} (X).}$

الآن، باستخدام خاصية خطية التوقعات، يكون الجانب الأيسر من هذه المتباينة هو نفسه

${\displaystyle a\operatorname {E} (I_{(X\geq a)})=a(1\cdot \operatorname {P} (X\geq a)+0\cdot \operatorname {P} (X<a))=a\operatorname {P} (X\geq a).}$

وهكذا لدينا

${\displaystyle a\operatorname {P} (X\geq a)\leq \operatorname {E} (X)}$

وبما أن a  >  0، فيمكننا قسمة كلا الطرفين على a . 

يمكننا أن نفترض أن الدالة${\displaystyle f}$هي غير سالبة، لأن قيمتها المطلقة فقط هي التي تدخل في المعادلة. الآن، لننظر إلى الدالة الحقيقية s على X المعطاة بـ

${\displaystyle s(x)={\begin{cases}\varepsilon ,&{\text{if }}f(x)\geq \varepsilon \\0,&{\text{if }}f(x)<\varepsilon \end{cases}}}$

ثم${\displaystyle 0\leq s(x)\leq f(x)}$بحسب تعريف تكامل لوبيغ

${\displaystyle \int _{X}f(x)\,d\mu \geq \int _{X}s(x)\,d\mu =\varepsilon \mu (\{x\in X:\,f(x)\geq \varepsilon \})}$

ومنذ ذلك الحين${\displaystyle \varepsilon >0}$يمكن تقسيم كلا الجانبين بواسطة${\displaystyle \varepsilon }$، الحصول على

${\displaystyle \mu (\{x\in X:\,f(x)\geq \varepsilon \})\leq {1 \over \varepsilon }\int _{X}f\,d\mu .}$

يمكن إثبات النسخة الموسعة بنفس الطريقة:

${\displaystyle \varphi (\varepsilon )\cdot \mu (\{x\in X:|f(x)|\geq \varepsilon \})=\int _{\{x\in X:|f(x)|\geq \varepsilon \}}\varphi (\varepsilon )\,d\mu \leq \int _{\{x\in X:|f(x)|\geq \varepsilon \}}\varphi (|f|)\,d\mu \leq \int _{X}\varphi (|f|)\,d\mu .}$

الغوص من خلال${\displaystyle \varphi (\varepsilon )}$وينتج عن ذلك النتيجة التالية:

${\displaystyle \mu (\{x\in X:\,|f(x)|\geq \varepsilon \})\leq {1 \over \varphi (\varepsilon )}\int _{X}\varphi (|f|)\,d\mu .}$

نقدم الآن برهاناً للحالة الخاصة عندما${\displaystyle X}$هو متغير عشوائي منفصل لا يأخذ إلا قيمًا صحيحة غير سالبة.

يترك${\displaystyle a}$ليكن عددًا صحيحًا موجبًا. بحسب التعريف${\displaystyle a\operatorname {Pr} (X>a)}$${\displaystyle =a\operatorname {Pr} (X=a+1)+a\operatorname {Pr} (X=a+2)+a\operatorname {Pr} (X=a+3)+...}$${\displaystyle \leq a\operatorname {Pr} (X=a)+(a+1)\operatorname {Pr} (X=a+1)+(a+2)\operatorname {Pr} (X=a+2)+...}$${\displaystyle \leq \operatorname {Pr} (X=1)+2\operatorname {Pr} (X=2)+3\operatorname {Pr} (X=3)+...}$${\displaystyle +a\operatorname {Pr} (X=a)+(a+1)\operatorname {Pr} (X=a+1)+(a+2)\operatorname {Pr} (X=a+2)+...}$${\displaystyle =\operatorname {E} (X)}$

القسمة على${\displaystyle a}$ويؤدي إلى النتيجة المرجوة.

تستخدم متباينة تشيبيشيف التباين لتقييد احتمال انحراف متغير عشوائي بعيدًا عن المتوسط. تحديدًا،

${\displaystyle \operatorname {P} (|X-\operatorname {E} (X)|\geq a)\leq {\frac {\operatorname {Var} (X)}{a^{2}}},}$

لأي قيمة a > 0. [ ^{3 ] هنا} Var ( X ) هو تباين X، والذي يُعرَّف على النحو التالي:

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} [(X-\operatorname {E} (X))^{2}].}$

تنتج متباينة تشيبيشيف من متباينة ماركوف من خلال النظر في المتغير العشوائي

${\displaystyle (X-\operatorname {E} (X))^{2}}$

والثابت${\displaystyle a^{2},}$والتي تُكتب لها متباينة ماركوف على النحو التالي:

${\displaystyle \operatorname {P} ((X-\operatorname {E} (X))^{2}\geq a^{2})\leq {\frac {\operatorname {Var} (X)}{a^{2}}}.}$

يمكن تلخيص هذه الحجة (حيث يشير "MI" إلى استخدام متباينة ماركوف):

${\displaystyle \operatorname {P} (|X-\operatorname {E} (X)|\geq a)=\operatorname {P} \left((X-\operatorname {E} (X))^{2}\geq a^{2}\right)\,{\overset {\underset {\mathrm {MI} }{}}{\leq }}\,{\frac {\operatorname {E} \left((X-\operatorname {E} (X))^{2}\right)}{a^{2}}}={\frac {\operatorname {Var} (X)}{a^{2}}}.}$

1. يمكن إثبات النتيجة "الرتيبة" من خلال:

   ${\displaystyle \operatorname {P} (|X|\geq a)=\operatorname {P} {\big (}\varphi (|X|)\geq \varphi (a){\big )}\,{\overset {\underset {\mathrm {MI} }{}}{\leq }}\,{\frac {\operatorname {E} (\varphi (|X|))}{\varphi (a)}}}$

2. والنتيجة هي أنه بالنسبة لمتغير عشوائي غير سالب X ، فإن دالة الكمية لـ X تحقق ما يلي:

   ${\displaystyle Q_{X}(1-p)\leq {\frac {\operatorname {E} (X)}{p}},}$

   البرهان باستخدام

   ${\displaystyle p\leq \operatorname {P} (X\geq Q_{X}(1-p))\,{\overset {\underset {\mathrm {MI} }{}}{\leq }}\,{\frac {\operatorname {E} (X)}{Q_{X}(1-p)}}.}$

3. يترك${\displaystyle M\succeq 0}$ليكن متغيرًا عشوائيًا ذاتي الترافق وقيمته مصفوفة و${\displaystyle A\succ 0}$. ثم

   ${\displaystyle \operatorname {P} (M\npreceq A)\leq \operatorname {Tr} (\operatorname {E} (M)A^{-1})}$

   ويمكن إثبات ذلك بطريقة مماثلة. ^{[ 5 ]}