التشتت الإحصائي

في الإحصاء ، يُعرف التشتت (ويُسمى أيضًا التباين أو الانتشار ) بأنه مدى تمدد أو انضغاط التوزيع. [ 1 ^{] من الأمثلة} الشائعة لمقاييس التشتت الإحصائي: التباين، والانحراف المعياري ، والمدى الربيعي . فعلى سبيل المثال، عندما يكون تباين البيانات في مجموعة ما كبيرًا، تكون البيانات متناثرة على نطاق واسع. أما عندما يكون التباين صغيرًا، فتكون البيانات في المجموعة متجمعة.

يتم التباين بين التشتت والموقع أو النزعة المركزية ، وهما معًا أكثر خصائص التوزيعات استخدامًا.

مقياس التشتت الإحصائي هو عدد حقيقي غير سالب يساوي صفرًا إذا كانت جميع البيانات متماثلة، ويزداد كلما أصبحت البيانات أكثر تنوعًا.

تتشابه معظم مقاييس التشتت في وحداتها مع وحدات الكمية المقاسة. بمعنى آخر، إذا كانت القياسات بالمتر أو الثانية، فإن مقياس التشتت يكون كذلك. ومن أمثلة مقاييس التشتت ما يلي:

• الانحراف المعياري
• المدى الربيعي (IQR)
• يتراوح
• متوسط ​​الفرق المطلق (المعروف أيضًا باسم متوسط ​​الفرق المطلق لجيني)
• الانحراف المطلق الوسيط (MAD)
• متوسط ​​الانحراف المطلق (أو ببساطة متوسط ​​الانحراف)
• الانحراف المعياري للمسافة

تُستخدم هذه المقاييس (إلى جانب عوامل المقياس ) بشكل متكرر كتقديرات لمعلمات المقياس ، وفي هذه الحالة تُسمى تقديرات المقياس. وتُعتبر مقاييس المقياس القوية تلك التي لا تتأثر بعدد قليل من القيم الشاذة ، وتشمل المدى الربيعي (IQR) والانحراف المطلق المتوسط ​​(MAD).

تتميز جميع مقاييس التشتت الإحصائي المذكورة أعلاه بخاصية مفيدة، وهي أنها ثابتة الموقع وخطية المقياس . وهذا يعني أنه إذا كان المتغير العشوائي${\displaystyle X}$يتميز بتشتت${\displaystyle S_{X}}$ثم تحويل خطي${\displaystyle Y=aX+b}$لريال مدريد${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$ينبغي أن يكون هناك تشتت${\displaystyle S_{Y}=|a|S_{X}}$، أين${\displaystyle |a|}$هي القيمة المطلقة لـ${\displaystyle a}$أي أنه يتجاهل الإشارة السالبة السابقة${\displaystyle -}$.

هناك مقاييس أخرى للتشتت لا بُعدية . بمعنى آخر، ليس لها وحدات حتى لو كان للمتغير نفسه وحدات. وتشمل هذه المقاييس ما يلي:

• معامل التباين
• معامل تشتت الربيعيات
• الفرق المتوسط ​​النسبي ، يساوي ضعف معامل جيني
• الإنتروبيا : في حين أن إنتروبيا المتغير المنفصل ثابتة الموقع ومستقلة عن المقياس، وبالتالي فهي ليست مقياسًا للتشتت بالمعنى المذكور أعلاه، فإن إنتروبيا المتغير المستمر ثابتة الموقع وقابلة للجمع في المقياس: إذا${\displaystyle H(z)}$هي إنتروبيا متغير مستمر${\displaystyle z}$و${\displaystyle z=ax+b}$، ثم${\displaystyle H(z)=H(x)+\log(a)}$.

توجد مقاييس أخرى للتشتت:

• التباين (مربع الانحراف المعياري) - ثابت الموقع ولكنه ليس خطيًا في المقياس.
• نسبة التباين إلى المتوسط ​​- تستخدم في الغالب لبيانات العد عندما يتم استخدام مصطلح معامل التشتت وعندما تكون هذه النسبة بلا أبعاد ، لأن بيانات العد نفسها بلا أبعاد، وليس خلاف ذلك.

تُستخدم بعض مقاييس التشتت لأغراض متخصصة. يُمكن استخدام تباين ألان في التطبيقات التي يُعيق فيها التشويش التقارب. ^{[ 2 ]} كما يُمكن استخدام تباين هادامارد لمواجهة حساسية الانحراف الخطي للتردد. ^{[ 3 ]}

بالنسبة للمتغيرات الفئوية ، من غير الشائع قياس التشتت برقم واحد؛ انظر التباين النوعي . أحد المقاييس التي تفعل ذلك هو الإنتروبيا المنفصلة .

في العلوم الفيزيائية ، قد ينجم هذا التباين عن أخطاء قياس عشوائية: فغالبًا ما تكون قياسات الأجهزة غير دقيقة تمامًا، أي غير قابلة للتكرار ، كما يوجد تباين إضافي بين المُقيِّمين في تفسير النتائج المقاسة والإبلاغ عنها. يمكن افتراض أن الكمية المقاسة ثابتة، وأن التباين بين القياسات ناتج عن خطأ في الرصد . يتميز نظام يتكون من عدد كبير من الجسيمات بالقيم المتوسطة لعدد قليل نسبيًا من الكميات العيانية مثل درجة الحرارة والطاقة والكثافة. يُعد الانحراف المعياري مقياسًا مهمًا في نظرية التقلبات، التي تفسر العديد من الظواهر الفيزيائية، بما في ذلك سبب زرقة السماء. ^{[ 4 ]}

في العلوم البيولوجية ، نادرًا ما تكون الكمية المقاسة ثابتة وغير متغيرة، وقد يكون التباين الملحوظ متأصلًا في الظاهرة نفسها: فقد يعود إلى التباين بين الأفراد ، أي اختلاف أفراد المجموعة السكانية عن بعضهم البعض. كما قد يعود إلى التباين داخل الفرد الواحد ، أي اختلاف الشخص نفسه في الاختبارات التي تُجرى في أوقات مختلفة أو في ظروف متباينة. وتُلاحظ هذه الأنواع من التباين أيضًا في مجال المنتجات المصنعة؛ فحتى هناك، يجد العالم الدقيق تباينًا.

الانتشار الحافظ للمتوسط ​​( MPS) هو تغيير من توزيع احتمالي A إلى توزيع احتمالي B، حيث يتكون B من خلال نشر جزء أو أكثر من دالة كثافة الاحتمال لـ A مع الحفاظ على المتوسط ​​(القيمة المتوقعة) دون تغيير. ^{[ 5 ]} يوفر مفهوم الانتشار الحافظ للمتوسط ​​ترتيبًا جزئيًا للتوزيعات الاحتمالية وفقًا لتشتتها: فمن بين توزيعين احتماليين، يمكن تصنيف أحدهما على أنه أكثر تشتتًا من الآخر، أو بدلاً من ذلك، لا يمكن تصنيف أي منهما على أنه أكثر تشتتًا.

• متوسط
• التشتت الدائري
• مصفوفة التشتت
• دالة كثافة الاحتمال
• التباين النوعي
• عدم اليقين في القياس
• الدقة (الإحصاء)
• مقاييس قوية للمقياس
• إحصائيات موجزة