كمية بلا أبعاد

الكميات عديمة الأبعاد ، أو الكميات أحادية البعد ، ^{[ 1 ]} هي كميات مُعرَّفة بطريقة تمنع تجميعها في وحدات قياس . ^{[ 2 ] [ 3 ]} تُعبَّر هذه الكميات عادةً كنسب تتوافق مع نظام آخر، ولا تتطلب وحدات مُحدَّدة صراحةً . على سبيل المثال، يُمثِّل الكحول بالحجم (ABV) نسبة حجمية ؛ وتبقى قيمته مستقلة عن وحدات الحجم المُستخدمة، مثل ملليلتر لكل ملليلتر (مل/مل). العدد المميز هو كمية أحادية البعد مُعرَّفة بمجموعة من الكميات، قد تتضمن الضرب والأس، وليس القسمة فقط. ^{[ 4 ]}

يُعتبر العدد واحد كمية أساسية لا بُعدية . [ 5 ] ^{وتُستخدم الراديان كوحدات} لا بُعدية لقياس الزوايا ، وهي مشتقة من النسبة العالمية 2π مضروبة في نصف قطر الدائرة، والتي تساوي محيطها. ^{[ 6 ]}

تلعب الكميات عديمة الأبعاد دورًا محوريًا كمعاملات في المعادلات التفاضلية في مختلف التخصصات التقنية. ففي حساب التفاضل والتكامل ، غالبًا ما تتضمن مفاهيم مثل النسب عديمة الوحدات في النهايات أو المشتقات كميات عديمة الأبعاد. وفي الهندسة التفاضلية ، يتجلى استخدام المعاملات عديمة الأبعاد في العلاقات والتحويلات الهندسية. ويعتمد علم الفيزياء على أعداد عديمة الأبعاد مثل عدد رينولدز في ديناميكا الموائع ، ^{[ 7 ]} وثابت البنية الدقيقة في ميكانيكا الكم ، ^{[ 8 ]} ومعامل لورنتز في النسبية . ^{[ 9 ]} وفي الكيمياء ، تُعد خصائص الحالة والنسب، مثل الكسور المولية (كنسب تركيز)، عديمة الأبعاد. ^{[ 10 ]}

الكميات ذات البعد الواحد، أو الكميات عديمة الأبعاد ، شائعة في العلوم، وتُعالج رسميًا ضمن مجال التحليل البُعدي . في القرن التاسع عشر، قاد عالم الرياضيات الفرنسي جوزيف فورييه والفيزيائي الاسكتلندي جيمس كلارك ماكسويل تطوراتٍ هامة في المفاهيم الحديثة للبعد والوحدة . وساهمت أعمال لاحقة للفيزيائيين البريطانيين أوزبورن رينولدز واللورد رايلي في فهم الأعداد عديمة الأبعاد في الفيزياء. وبالاستناد إلى منهج رايلي في التحليل البُعدي، أثبت إدغار باكنغهام نظرية باي (بشكل مستقل عن أعمال عالم الرياضيات الفرنسي جوزيف برتراند السابقة) لإضفاء الطابع الرسمي على طبيعة هذه الكميات. ^{[ 11 ]}

تم ابتكار العديد من الأرقام عديمة الأبعاد، ومعظمها نسب، في أوائل القرن العشرين، وخاصة في مجالات ميكانيكا الموائع وانتقال الحرارة . ويُستخدم قياس لوغاريتم النسب كمستويات في وحدة الديسيبل (dB) (المشتقة) على نطاق واسع في الوقت الحاضر.

ظهرت بين الحين والآخر مقترحات لتعديل النظام الدولي للوحدات (SI) بهدف الحد من الالتباس المتعلق بالأبعاد الفيزيائية. فعلى سبيل المثال، دعت مقالة رأي نُشرت عام 2017 في مجلة Nature ^{[ 12 ]} إلى اعتماد الراديان كوحدة فيزيائية رسمية. إلا أن هذه الفكرة رُفضت ^{[ 13 ]} بحجة أن مثل هذا التغيير سيُحدث تناقضات في كل من المجموعات اللابعدية المعروفة، مثل عدد ستروهال ، وفي الكيانات الرياضية المختلفة التي تتشارك نفس الوحدات، مثل عزم الدوران (وهو حاصل ضرب متجهي ) مقابل الطاقة ( وهي حاصل ضرب قياسي ). وفي مثال آخر في أوائل العقد الأول من القرن الحادي والعشرين، ناقشت اللجنة الدولية للأوزان والمقاييس تسمية وحدة الواحد بـ " أونو "، ولكن تم التخلي عن فكرة استحداث اسم جديد للواحد في النظام الدولي للوحدات. ^{[ 14 ] [ 15 ] [ 16 ]}

The Buckingham π theorem^[17] indicates that validity of the laws of physics does not depend on a specific unit system. A statement of this theorem is that any physical law can be expressed as an identity involving only dimensionless combinations (ratios or products) of the variables linked by the law (e.g., pressure and volume are linked by Boyle's law – they are inversely proportional). If the dimensionless combinations' values changed with the systems of units, then the equation would not be an identity, and Buckingham's theorem would not hold.

Another consequence of the theorem is that the functional dependence between a certain number (say, n) of variables can be reduced by the number (say, k) of independentdimensions occurring in those variables to give a set of p = n − k independent, dimensionless quantities. For the purposes of the experimenter, different systems that share the same description by dimensionless quantity are equivalent.

Integer numbers may represent dimensionless quantities. They can represent discrete quantities, which can also be dimensionless. More specifically, counting numbers can be used to express countable quantities.^[18][19] The concept is formalized as quantity number of entities (symbol N) in ISO 80000-1.^[20] Examples include number of particles and population size. In mathematics, the "number of elements" in a set is termed cardinality. Countable nouns is a related linguistics concept. Counting numbers, such as number of bits, can be compounded with units of frequency (inverse second) to derive units of count rate, such as bits per second. Count data is a related concept in statistics. The concept may be generalized by allowing non-integer numbers to account for fractions of a full item, e.g., number of turns equal to one half.

يمكن الحصول على الكميات عديمة الأبعاد كنسب لكميات ذات أبعاد، ولكن أبعادها تُحذف في العملية الحسابية. ^{[ 20 ] [ 21 ]} تشمل أمثلة نواتج القسمة ذات البعد الواحد حساب الميل أو بعض عوامل تحويل الوحدات . ومن الأمثلة الأخرى الكسور الكتلية أو الكسور المولية ، والتي تُكتب غالبًا باستخدام ترميز الأجزاء لكل وحدة ^، مثل جزء في المليون (ppm) (=  10⁻⁶ )، ^وجزء في البليون (ppb) (=  10⁻⁹ )، وجزء في التريليون (ppt ⁾ (=  10⁻¹² )، أو ربما بشكل مُربك كنسب بين وحدتين متطابقتين ( كجم /كجم أو مول /مول). على سبيل المثال، يمكن كتابة نسبة الكحول الحجمية ، التي تُحدد تركيز الإيثانول في مشروب كحولي ، على النحو التالي: مل/100 مل .

من النسب الشائعة الأخرى النسب المئوية %  (=  0.01) و ‰ (= 0.001). تُعرَّف بعض وحدات الزاوية ، مثل الدوران والراديان والستراديان ، كنسب بين كميات من النوع نفسه. في الإحصاء، معامل التباين هو نسبة الانحراف المعياري إلى المتوسط ، ويُستخدم لقياس تشتت البيانات .   

لقد طُرحت فكرة أن الكميات المُعرَّفة كنسبة Q = A / B، والتي لها أبعاد متساوية في البسط والمقام، هي في الواقع كميات بلا وحدات ، ومع ذلك لها بُعد فيزيائي مُعرَّف كـ dim Q = dim A × dim B ⁻¹ . ^{[ 22 ]} على سبيل المثال، يمكن تعريف محتوى الرطوبة كنسبة بين حجمين (رطوبة حجمية، م³ ^× م⁻³ ^، بُعد L³ ^{× L⁻³} ) أو كنسبة بين كتلتين (رطوبة وزنية، وحدة كجم × كجم⁻¹ ^، بُعد M × ^M⁻¹ )؛ وكلاهما كميات بلا وحدات، ولكن بأبعاد مختلفة. بدلاً من ذلك، يمكن الإشارة إلى البُعد برفع بُعد المقسوم إلى القوة صفر ، كما في ( ^L³ ) ^⁰ أو ^M⁰ . ^{[ 23 ]}

يمكن توحيد بعض الثوابت الفيزيائية ذات الأبعاد الكونية، مثل سرعة الضوء في الفراغ، وثابت الجاذبية الكونية ، وثابت بلانك ، وثابت كولوم ، وثابت بولتزمان، لتصبح قيمتها 1 إذا تم اختيار وحدات مناسبة للزمن ، والطول ، والكتلة ، والشحنة ، ودرجة الحرارة . يُعرف نظام الوحدات الناتج بالوحدات الطبيعية ، وتحديدًا فيما يتعلق بهذه الثوابت الخمسة، وهي وحدات بلانك . مع ذلك، لا يمكن توحيد جميع الثوابت الفيزيائية بهذه الطريقة. على سبيل المثال، قيم الثوابت التالية مستقلة عن نظام الوحدات، ولا يمكن تعريفها، ولا يمكن تحديدها إلا تجريبيًا: ^{[ 24 ]}

• الإجهاد الهندسي ، وهو مقياس للتشوه الفيزيائي يُعرَّف بأنه التغير في الطول مقسومًا على الطول الأولي.

• ثابت البنية الدقيقة ، α ≈ 1/137، والذي يحدد مقدار التفاعل الكهرومغناطيسي بين الإلكترونات. ^{[ 25 ]}
• β (أو μ ) ≈ 1836، وهي نسبة كتلة البروتون إلى كتلة الإلكترون . هذه النسبة هي كتلة سكون البروتون مقسومة على كتلة سكون الإلكترون . ويمكن تعريف نسبة مماثلة لأي جسيم أولي .
• قوة اقتران القوة القوية α _s ≈ 1.
• نسبة الموتر إلى الكمية القياسية${\displaystyle r}$، وهي نسبة بين مساهمات الأنماط الموترية والقياسية في طيف القدرة البدائي المرصود في إشعاع الخلفية الكونية الميكروي . ^{[ 25 ]}
• معامل إميرزي -باربيرو${\displaystyle \gamma }$، وهو ما يميز فجوة المساحة في الجاذبية الكمومية الحلقية . ^{[ 26 ]}
• الانبعاثية ، وهي نسبة الإشعاع المنبعث فعلياً من سطح ما إلى الإشعاع المنبعث من سطح مثالي عند نفس درجة الحرارة

• قائمة الكميات عديمة الأبعاد
• وحدة اعتباطية
• التحليل البُعدي
• التطبيع (الإحصاء) والعزم المعياري ، المفاهيم المتناظرة في الإحصاء
• رتب المقدار (الأرقام)
• التشابه (النموذج)

• فلاتر، ديفيد (أكتوبر 2017) [2017-05-20، 2017-03-23، 2016-11-22]. كُتب في المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا ، غايثرسبيرغ، ماريلاند، الولايات المتحدة الأمريكية. "معالجة المظالم المتعلقة بمعالجة الكميات غير البعدية في النظام الدولي للوحدات" . القياس . 109. لندن ، المملكة المتحدة: إلسيفير المحدودة : 105-110 . Bibcode : 2017Meas..109..105F . doi : 10.1016/j.measurement.2017.05.043 . eISSN 1873-412X . ISSN 0263-2241 . PMC 7727271. PMID 33311828 . NIHMS1633436.    (15 صفحة)

• الوسائط المتعلقة بالأعداد اللابعدية على ويكيميديا ​​كومنز