مجموعة مولدة لوحدة نمطية

في الرياضيات ، تُعرَّف المجموعة المولدة Γ لوحدة نمطية M على حلقة R بأنها مجموعة جزئية من M بحيث تكون أصغر وحدة نمطية جزئية من M تحتوي على Γ هي M نفسها (أصغر وحدة نمطية جزئية تحتوي على مجموعة جزئية هي تقاطع جميع الوحدات النمطية الجزئية التي تحتوي على المجموعة). يُقال حينها أن المجموعة Γ تولد M. على سبيل المثال، الحلقة R مولدة بواسطة العنصر المحايد 1 كوحدة نمطية يسارية على R فوق نفسها. إذا كانت هناك مجموعة مولدة منتهية ، يُقال إن الوحدة النمطية مولدة منتهية .

ينطبق هذا على المُثُل ، وهي الوحدات الفرعية للحلقة نفسها. وعلى وجه الخصوص، فإن المُثُل الرئيسي هو مُثُل له مجموعة مولدة تتكون من عنصر واحد.

بصورة أدق، إذا كانت Γ مجموعة مولدة لوحدة نمطية M ، فإن كل عنصر من M هو توليفة خطية (محدودة) من R لبعض عناصر Γ؛ _أي ، لكل x في M ، يوجد r₁ _, ..., rm في R و g₁ _, ..., gₘ _في Γ بحيث

${\displaystyle x=r_{1}g_{1}+\cdots +r_{m}g_{m}.}$

وبعبارة أخرى، هناك عملية شاملة.

${\displaystyle \bigoplus _{g\in \Gamma }R\to M,\,r_{g}\mapsto r_{g}g,}$

حيث كتبنا r _g للدلالة على عنصر في المكون g من المجموع المباشر. (ومن المصادفة، بما أن المجموعة المولدة موجودة دائمًا، مثل M نفسها، فإن هذا يُظهر أن الوحدة النمطية هي خارج قسمة وحدة نمطية حرة ، وهي حقيقة مفيدة.)

تُسمى المجموعة المولدة لوحدة نمطية مجموعةً صغرى إذا لم تولد أي مجموعة جزئية فعلية منها تلك الوحدة. إذا كان R حقلاً ، فإن المجموعة المولدة الصغرى هي نفسها الأساس . ما لم تكن الوحدة النمطية مولدة توليداً منتهياً ، فقد لا توجد مجموعة مولدة صغرى. ^{[ 1 ]}

لا يشترط أن يكون عدد عناصر المجموعة المولدة الدنيا ثابتًا في الوحدة؛ فالمجموعة Z تُولَّد كمثال رئيسي بواسطة 1، ولكنها تُولَّد أيضًا بواسطة، على سبيل المثال، مجموعة مولدة دنيا {2، 3 }. ما يُحدَّد بشكل فريد بواسطة الوحدة هو الحد الأدنى لأعداد مولدات الوحدة.

ليكن R حلقة محلية ذات مثالي أعظمي m وحقل متبقٍ k، وليكن M وحدة مولدة نهائيًا. عندئذٍ، تنص مبرهنة ناكاياما على أن M لها مجموعة مولدة صغرى عدد عناصرها هو${\displaystyle \dim _{k}M/mM=\dim _{k}M\otimes _{R}k}$إذا كانت M مسطحة ، فإن مجموعة التوليد الدنيا هذه مستقلة خطيًا (أي أن M حرة). انظر أيضًا: الحد الأدنى للدقة .

يمكن الحصول على معلومات أكثر دقة إذا أخذنا في الاعتبار العلاقات بين المولدات؛ انظر العرض الحر للوحدة النمطية .

• وحدة توليد قابلة للعد
• وحدة مسطحة
• عدد الأساس الثابت

• دوميت، ديفيد؛ فوت، ريتشارد. الجبر المجرد .