أنظمة الأرقام الموضعية غير القياسية

قد تكون هذه المقالة تقنية للغاية بحيث يصعب على معظم القراء فهمها . يرجى المساعدة في تحسينها لجعلها مفهومة لغير المتخصصين ، دون إزالة التفاصيل التقنية. ( نوفمبر 2023 ) ( تعرف على كيفية ومتى يمكنك إزالة هذه الرسالة )

Part of a series on
Numeral systems
Place-value notation Hindu–Arabic numerals Western Arabic Eastern Arabic Bengali Devanagari Gujarati Gurmukhi Odia Sinhala Tamil Malayalam Telugu Kannada Dzongkha Tibetan Balinese Burmese Javanese Khmer Lao Mongolian Sundanese Thai East Asian systems Contemporary Chinese Suzhou Hokkien Japanese Korean Vietnamese Historic Counting rods Tangut Other systems History Ancient Babylonian Post-classical Cistercian Mayan Muisca Pentadic Quipu Rumi Contemporary Cherokee Kaktovik (Iñupiaq) By radix/base Common radices/bases 2 3 4 5 6 8 10 12 16 20 60 Non-standard radices/bases Bijective (1) Signed-digit (balanced ternary) Mixed (factorial) Negative Complex (2i) Non-integer (φ) Asymmetric
Sign-value notation Non-alphabetic Aegean Attic Aztec Brahmi Chuvash Egyptian Etruscan Kharosthi Prehistoric counting Proto-cuneiform Roman Tally marks Alphabetic Abjad Armenian Alphasyllabic Akṣarapallī Āryabhaṭa Kaṭapayādi Coptic Cyrillic Geʽez Georgian Glagolitic Greek Hebrew
List of numeral systems
v t e

تشير أنظمة الأرقام الموضعية غير القياسية هنا إلى أنظمة الأرقام التي يمكن وصفها بشكل فضفاض بأنها أنظمة أرقام موضعية ، ولكنها لا تتوافق تمامًا مع الوصف التالي لأنظمة الأرقام الموضعية القياسية:

في نظام الأرقام الموضعية القياسي، يكون الأساس b عددًا صحيحًا موجبًا، وتُستخدم أرقام مختلفة لتمثيل جميع الأعداد الصحيحة غير السالبة . تحتوي المجموعة القياسية من الأرقام على قيم b 0 و1 و2 وما إلى ذلك، حتى b  − 1، ولكن القيمة مرجحة وفقًا لموضع الرقم في الرقم. تُعطى قيمة سلسلة الأرقام مثل pqrs في الأساس b بالشكل متعدد الحدود

${\displaystyle p\times b^{3}+q\times b^{2}+r\times b+s}$.

الأرقام المكتوبة بالأعلى تمثل قوى القاعدة المستخدمة.

على سبيل المثال، في النظام السداسي عشر ( b  = 16)، باستخدام الأرقام A لـ 10، وB لـ 11 وما إلى ذلك، فإن سلسلة الأرقام 7A3F تعني

${\displaystyle 7\times 16^{3}+10\times 16^{2}+3\times 16+15}$,

والذي نكتبه في النظام العشري العادي هو 31295.

عند إدخال نقطة الأساس "." وعلامة الطرح "-"، يمكن تمثيل الأعداد الحقيقية بدقة تعسفية.

تلخص هذه المقالة الحقائق المتعلقة ببعض أنظمة الأعداد الموضعية غير القياسية. في أغلب الحالات، لا يزال الشكل متعدد الحدود المستخدم في وصف الأنظمة القياسية ساريًا.

يمكن وصف بعض أنظمة الأرقام التاريخية بأنها أنظمة أرقام موضعية غير قياسية. على سبيل المثال، يمكن تصنيف نظام الأرقام البابلي الستيني والأرقام الصينية القضيبية ، والتي يمكن تصنيفها كأنظمة قياسية ذات قاعدة 60 و10 على التوالي، مع حساب المساحة التي تمثل الصفر كرقم، كما يمكن تصنيفها كأنظمة غير قياسية، وبشكل أكثر تحديدًا، أنظمة ذات قاعدة مختلطة مع مكونات أحادية، مع الأخذ في الاعتبار الحروف الهيروغليفية المكررة البدائية التي تشكل الأرقام.

ومع ذلك، فإن معظم الأنظمة غير القياسية المدرجة أدناه لم تكن مخصصة للاستخدام العام مطلقًا، بل صممها علماء الرياضيات أو المهندسون للاستخدام الأكاديمي أو التقني الخاص.

يستخدم نظام الأعداد الثنائية ذات القاعدة b أرقامًا مختلفة لتمثيل جميع الأعداد الصحيحة غير السالبة. ومع ذلك، فإن الأرقام لها قيم 1 و2 و3 وما إلى ذلك، بما في ذلك b ، بينما يتم تمثيل الصفر بسلسلة أرقام فارغة. على سبيل المثال، من الممكن أن يكون لديك عدد عشري بدون صفر .

الأحادي هو نظام عددي ثنائي الاتجاه بقاعدة b  = 1. في الأحادي، يتم استخدام رقم واحد لتمثيل جميع الأعداد الصحيحة الموجبة. يمكن تبسيط قيمة سلسلة الأرقام pqrs المعطاة بواسطة الشكل متعدد الحدود إلى p + q + r + s حيث أن b ⁿ  = 1 لجميع n . تشمل الميزات غير القياسية لهذا النظام ما يلي:

• لا تعتمد قيمة الرقم على موضعه. وبالتالي، يمكن للمرء أن يزعم بسهولة أن الأحادي ليس نظامًا موضعيًا على الإطلاق.
• لن يؤدي تقديم نقطة أساسية في هذا النظام إلى تمكين تمثيل القيم غير الصحيحة.
• الرقم المفرد يمثل القيمة 1، وليس القيمة 0 =  b  − 1.
• لا يمكن تمثيل القيمة 0 (أو يتم تمثيلها ضمناً بواسطة سلسلة أرقام فارغة).

في بعض الأنظمة، بينما تكون القاعدة عددًا صحيحًا موجبًا، يُسمح بالأرقام السالبة. الشكل غير المتجاور هو نظام معين حيث تكون القاعدة b  = 2. في النظام الثلاثي المتوازن ، تكون القاعدة b  = 3، والأرقام لها القيم −1 و0 و+1 (بدلاً من 0 و1 و2 كما هو الحال في النظام الثلاثي القياسي ، أو 1 و2 و3 كما هو الحال في النظام الثلاثي الثنائي).

يرتبط الكود الثنائي المنعكس، المعروف أيضًا باسم الكود الرمادي، ارتباطًا وثيقًا بالأرقام الثنائية ، ولكن يتم عكس بعض البتات ، اعتمادًا على تكافؤ البتات ذات الترتيب الأعلى.

الأرقام السيسترسية هي نظام رقمي موضعي عشري، لكن المواضع ليست محاذية كما هو الحال في التدوين العشري الشائع؛ بدلاً من ذلك، يتم ربطها بالجزء العلوي الأيمن والجزء العلوي الأيسر والجزء السفلي الأيمن والجزء السفلي الأيسر من الجذع الرأسي، على التوالي، وبالتالي يقتصر عددها على أربعة (لذلك يمكن تمثيل الأعداد الصحيحة من 0 إلى 9999 فقط). يتشابه النظام بشكل وثيق مع أنظمة الأرقام الموضعية القياسية، ولكن يمكن مقارنته أيضًا بالأرقام اليونانية ، حيث تُستخدم مجموعات مختلفة من الرموز (في الواقع، الحروف اليونانية ) للآحاد والعشرات والمئات والآلاف، مما يعطي أيضًا حدًا أعلى للأرقام التي يمكن تمثيلها.

على نحو مماثل، في أجهزة الكمبيوتر، على سبيل المثال، يعد تنسيق الأعداد الصحيحة الطويلة نظامًا ثنائيًا قياسيًا (بصرف النظر عن بت الإشارة)، ولكنه يحتوي على عدد محدود من المواضع، وقد لا تكون المواقع المادية لتمثيلات الأرقام متوازية. في عداد المسافات التناظري ، تكون الأرقام العشرية متوازية ولكن محدودة العدد.

لقد تم اقتراح بعض الأنظمة الموضعية حيث لا تكون القاعدة b عددًا صحيحًا موجبًا.

تتضمن الأنظمة ذات القاعدة السالبة النظام الثنائي السالب والنظام الثلاثي السالب والنظام العشري السالب ، مع القواعد −2 و−3 و−10 على التوالي؛ في القاعدة −b يكون عدد الأرقام المختلفة المستخدمة هو b . ونظرًا لخصائص الأرقام السالبة المرفوعة إلى قوى، يمكن تمثيل جميع الأعداد الصحيحة، الموجبة والسالبة، بدون إشارة.

في نظام أساس وهمي بحت ، حيث b هو عدد صحيح أكبر من 1 و i هي الوحدة التخيلية ، تتكون المجموعة القياسية من الأرقام من b ² أرقام من 0 إلى b ² − 1. ويمكن تعميمها على قواعد معقدة أخرى، مما يؤدي إلى ظهور أنظمة القواعد المعقدة .

في القواعد غير الصحيحة، من الواضح أن عدد الأرقام المختلفة المستخدمة لا يمكن أن يكون b . بدلاً من ذلك، يتم استخدام الأرقام من 0 إلى . على سبيل المثال، تستخدم قاعدة النسبة الذهبية ( phinary ) الرقمين المختلفين 0 و1. ${\displaystyle \lfloor b\rfloor }$

قد يكون نظام القاعدة المختلطة مألوفًا بالفعل وهو قياس الوقت في مزيج من القاعدة 12 (للساعات) والقاعدة 60 (للدقائق والثواني)، على الرغم من أن القياس غالبًا ما يتم الإبلاغ عنه من حيث القاعدة 10 ، على سبيل المثال 20:00:00 يمثل عادةً عشرين ساعة (بعد منتصف الليل).

مثال آخر على القاعدة المختلطة هو استخدام النقود في دول الكومنولث قبل النظام العشري . في هذه الدول، كانت الجنيهات والشلنات والبنسات هي العملات حيث كان الجنيه يساوي عشرين شلنًا أو مائتين وأربعين بنسًا.

من المناسب أحيانًا التفكير في أنظمة الأعداد الموضعية حيث لا تشكل الأوزان المرتبطة بالمواضع تسلسلًا هندسيًا 1، ب ، ب ² ، ب ³ ، إلخ، بدءًا من الموضع الأقل أهمية، كما هو موضح في الشكل متعدد الحدود. في نظام الأساس المختلط مثل نظام الأعداد العاملية ، تشكل الأوزان تسلسلًا حيث يكون كل وزن مضاعفًا صحيحًا للوزن السابق، ويختلف عدد قيم الأرقام المسموح بها وفقًا لذلك من موضع إلى آخر.

بالنسبة للاستخدام التقويمي، كان نظام الأرقام الماياني عبارة عن نظام مختلط الجذور، حيث يمثل أحد مواضعه عملية ضرب في 18 بدلاً من 20، وذلك لتناسب تقويم 360 يومًا. كما يمكن تفسير إعطاء الزاوية بالدرجات والدقائق والثواني (بالأرقام العشرية)، أو الوقت بالأيام والساعات والدقائق والثواني، على أنها أنظمة مختلطة الجذور.

يمكن أيضًا استخدام تسلسلات حيث لا يكون كل وزن مضاعفًا صحيحًا للوزن السابق، ولكن بعد ذلك قد لا يكون لكل عدد صحيح تمثيل فريد. على سبيل المثال، يستخدم ترميز فيبوناتشي الأرقام 0 و1، الموزونة وفقًا لتسلسل فيبوناتشي (1، 2، 3، 5، 8، ...)؛ يمكن ضمان تمثيل فريد لجميع الأعداد الصحيحة غير السلبية من خلال منع 1 المتتالية. الأعداد العشرية المشفرة ثنائيًا (BCD) هي أنظمة أساسية مختلطة حيث تُستخدم البتات (الأرقام الثنائية) للتعبير عن الأرقام العشرية. على سبيل المثال، في 1001 0011، قد تمثل كل مجموعة من أربعة بتات رقمًا عشريًا (في هذا المثال 9 و3، لذا فإن البتات الثمانية مجتمعة تمثل العدد العشري 93). الأوزان المرتبطة بهذه المواضع الثمانية هي 80، 40، 20، 10، 8، 4، 2 و1. يتم ضمان التفرد من خلال اشتراط أنه في كل مجموعة مكونة من أربعة بتات، إذا كان البت الأول هو 1، فيجب أن يكون البتان التاليان 00.

الأنظمة الرقمية غير المتماثلة هي أنظمة تستخدم في علوم الكمبيوتر حيث يمكن أن يكون لكل رقم قواعد مختلفة، وعادة ما تكون غير صحيحة. في هذه الأنظمة، لا تختلف قواعد الرقم المعطى فحسب، بل يمكن أن تكون غير موحدة ومتغيرة بطريقة غير متماثلة لتشفير المعلومات بكفاءة أكبر. وهي مُحسَّنة لتوزيعات احتمالية غير موحدة مختارة للرموز، باستخدام ما يقرب من بتات إنتروبيا شانون لكل رمز في المتوسط. ^[1]

• قائمة الأنظمة العددية
• ثابت كومورنيك-لوريتي

• التوسعات في القواعد غير الصحيحة: الترتيب العلوي والذيل