الستيني

النظام الستيني ، المعروف أيضاً بالنظام ذي الأساس 60 ، ^{[ 1 ]} هو نظام عددي أساسه ستون . نشأ هذا النظام مع السومريين القدماء في الألفية الثالثة قبل الميلاد، وانتقل إلى البابليين القدماء ، ولا يزال يستخدم -بشكل معدل- لقياس الوقت والزوايا والإحداثيات الجغرافية .

العدد 60، وهو عدد مركب فائق ، له اثنا عشر قاسمًا ، وهي: 1، 2، 3، 4، 5، 6، 10، 12، 15، 20، 30، و60، منها 2 و3 و5 أعداد أولية . بفضل هذا العدد الكبير من القواسم، تُبسط العديد من الكسور التي تتضمن أعدادًا ستينية. على سبيل المثال، يمكن تقسيم ساعة واحدة بالتساوي إلى فترات زمنية مدتها 30 دقيقة، و20 دقيقة، و15 دقيقة، و12 دقيقة، و10 دقائق، و6 دقائق، و5 دقائق، و4 دقائق، و3 دقائق، ودقيقتين، ودقيقة واحدة. 60 هو أصغر عدد يقبل القسمة على جميع الأعداد من 1 إلى 6؛ أي أنه المضاعف المشترك الأصغر للأعداد 1، 2، 3، 4، 5، و6.

في هذه المقالة، تُعرض جميع الأرقام الستينية كأرقام عشرية، إلا إذا ذُكر خلاف ذلك. على سبيل المثال، أكبر رقم ستيني هو "59".

أصل

بحسب أوتو نويغباور ، فإن أصول النظام الستيني ليست بالبساطة أو الاتساق أو التفرد الزمني الذي يُصوَّر غالبًا. فعلى مرّ قرونٍ عديدة من الاستخدام، والذي لا يزال مستمرًا حتى اليوم في مواضيع متخصصة كالوقت والزوايا وأنظمة الإحداثيات الفلكية، لطالما احتوت رموز النظام الستيني على تأثيرٍ قويّ للنظام العشري، كما في طريقة كتابة الأرقام الستينية. كما أن استخدامها لطالما تضمن (ولا يزال يتضمن) تناقضات في مواضع وكيفية استخدام مختلف الأنظمة لتمثيل الأرقام حتى في النص الواحد. ^{[ 2 ]}

لطالما كان الدافع الأقوى لاستخدام النظام الستيني بدقة واتساق تام هو مزاياه الرياضية في كتابة الكسور وحسابها. ويتجلى ذلك في النصوص القديمة من خلال استخدام النظام الستيني بشكل أكثر توحيدًا واتساقًا في جداول البيانات الرياضية. ^{[ 2 ]} ومن العوامل العملية الأخرى التي ساهمت في توسيع نطاق استخدام النظام الستيني في الماضي، وإن كان ذلك بدرجة أقل اتساقًا من استخدامه في الجداول الرياضية، مزاياه الواضحة للتجار والمشترين في تسهيل المعاملات المالية اليومية عند التفاوض على كميات كبيرة من البضائع وتقسيمها. في أواخر الألفية الثالثة قبل الميلاد، تضمنت وحدات الوزن السومرية / الأكادية الكاكارو ( التالنت ، حوالي 30 كجم) المقسمة إلى 60 مانو ( مينا )، والتي كانت بدورها مقسمة إلى 60 شيكل ( شيكل ). استمرت سلالات هذه الوحدات لآلاف السنين، على الرغم من أن اليونانيين قاموا لاحقًا بتحويل هذه العلاقة إلى نسبة أكثر توافقًا مع الأساس 10، حيث يمثل الشيكل واحدًا من 50 من المينا .

إلى جانب الجداول الرياضية، امتدت التناقضات في كيفية تمثيل الأرقام في معظم النصوص حتى أبسط الرموز المسمارية المستخدمة لتمثيل الكميات العددية. ^{[ 2 ]} على سبيل المثال، كان الرمز المسماري للعدد 1 عبارة عن شكل بيضاوي يُرسم بتطبيق الطرف المستدير للقلم بزاوية على الطين، بينما كان الرمز الستيني للعدد 60 عبارة عن شكل بيضاوي أكبر أو "الرقم 1 الكبير". ولكن في النصوص نفسها التي استُخدمت فيها هذه الرموز، كان يُرمز للعدد 10 بدائرة تُرسم بتطبيق الطرف المستدير للقلم عموديًا على الطين، واستُخدمت دائرة أكبر أو "الرقم 10 الكبير" لتمثيل العدد 100. ويمكن خلط رموز الكميات العددية متعددة القواعد هذه مع بعضها البعض ومع الاختصارات، حتى داخل الرقم الواحد. وكانت التفاصيل، وحتى المقادير الضمنية (نظرًا لعدم استخدام الصفر بشكل متسق )، خاصة بالفترات الزمنية والثقافات والكميات أو المفاهيم التي يتم تمثيلها. في العصر الحديث، ظهر ابتكار حديث يتمثل في إضافة الكسور العشرية إلى الإحداثيات الفلكية الستينية. ^{[ 2 ]}

الاستخدام

الرياضيات البابلية

لم يكن النظام الستيني المستخدم في بلاد ما بين النهرين القديمة نظامًا ستينيًا خالصًا، بمعنى أنه لم يستخدم 60 رمزًا مختلفًا لأرقامه . بل استخدمت الأرقام المسمارية العشرة كأساس فرعي على غرار تدوين الإشارة والقيمة : يتكون الرقم الستيني من مجموعة من العلامات الضيقة على شكل إسفين تمثل الآحاد حتى تسعة ( 1 ، 2 ، 3 ، ... ، 6)، ومجموعة من العلامات العريضة على شكل إسفين تمثل حتى خمسة عشرات ( 1، 2 ، 3 ، ...، 4). وكانت قيمة الرقم هي مجموع قيم أجزائه المكونة له.

كانت الأعداد الأكبر من 59 تُشار إليها بمجموعات متعددة من الرموز بهذا الشكل في نظام القيمة المكانية . ولأنه لم يكن هناك رمز للصفر ، فليس من الواضح دائمًا كيفية تفسير العدد، وقد تُحدد قيمته الحقيقية أحيانًا من خلال سياقه. على سبيل المثال، رمزا 1 و60 متطابقان. ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]} استخدمت النصوص البابلية اللاحقة رمزًا مكانيًا ( ) لتمثيل الصفر، ولكن فقط في المواضع الوسطى، وليس على الجانب الأيمن من العدد، كما هو الحال في أعداد مثل13200. ^[⁴^]

استخدامات تاريخية أخرى

في التقويم الصيني ، يُستخدم نظام شائع تُسمى فيه الأيام أو السنوات بمواقعها في تسلسل من عشرة جذوع وفي تسلسل آخر من اثني عشر فرعاً. ويتكرر نفس الجذع والفرع كل ستين خطوة خلال هذه الدورة.

يتضمن الكتاب الثامن من جمهورية أفلاطون رمزية الزواج التي تتمحور حول الرقم 60 ⁴ =العدد 12,960,000 وقواسمه. يتميز هذا العدد بتمثيل ستينيّ بسيط للغاية: 1,0,0,0,0. وقد استعان باحثون لاحقون بالرياضيات البابلية ونظرية الموسيقى في محاولة لتفسير هذا المقطع . ^{[ 5 ]}

يستخدم كتاب المجسطي لبطليموس ، وهو رسالة في علم الفلك الرياضي كُتبت في القرن الثاني الميلادي، النظام الستيني للتعبير عن الأجزاء الكسرية للأعداد. وعلى وجه الخصوص، يحتوي جدول الأوتار الخاص به، والذي كان الجدول المثلثي الشامل الوحيد لأكثر من ألف عام، على أجزاء كسرية من الدرجة بالنظام الستيني، وكان عمليًا مكافئًا لجدول قيم دالة الجيب في العصر الحديث .

استخدم علماء الفلك في العصور الوسطى أيضًا الأرقام الستينية لتدوين الوقت. وقد قسّم البيروني الساعة لأول مرة إلى دقائق وثوانٍ وأثلاث وأرباع في عام 1000 أثناء حديثه عن الأشهر اليهودية. ^[⁶^] وحوالي عام 1235، واصل يوحنا السكروبوسكي هذا التقليد، على الرغم من أن نوثافت اعتقد أن السكروبوسكي كان أول من فعل ذلك. ^[⁷^] واستخدمت النسخة الباريسية من جداول ألفونسين (حوالي عام 1320) اليوم كوحدة أساسية للوقت، مسجلةً مضاعفات وكسور اليوم بنظام العد الستيني. ^[⁸^]

استمر استخدام النظام الستيني بشكل متكرر من قبل علماء الفلك الأوروبيين لإجراء الحسابات حتى عام 1671. ^{[ 9 ]} على سبيل المثال، استخدم جوست بورغي في كتابه "Fundamentum Astronomiae" (الذي قدمه للإمبراطور رودولف الثاني عام 1592)، وزميله أورسوس في كتابه "Fundamentum Astronomicum" ، وربما هنري بريغز أيضًا ، جداول الضرب القائمة على النظام الستيني في أواخر القرن السادس عشر لحساب الجيوب. ^{[ 10 ]}

في أواخر القرن الثامن عشر وأوائل القرن التاسع عشر، وُجد أن علماء الفلك التاميل كانوا يقومون بحسابات فلكية، ويحسبون الأصداف باستخدام مزيج من الترميز العشري والستيني الذي طوره علماء الفلك الهلنستيون . ^{[ 11 ]}

كما تم استخدام أنظمة الأرقام ذات الأساس 60 في بعض الثقافات الأخرى التي لا ترتبط بالسومريين، على سبيل المثال من قبل شعب إيكاري في غرب غينيا الجديدة . ^{[ 12 ]}^{[ 13 ]}

الاستخدام الحديث

تشمل الاستخدامات الحديثة للنظام الستيني قياس الزوايا والإحداثيات الجغرافية والملاحة الإلكترونية والوقت . ^{[ 14 ]}

تُقسّم الساعة الواحدة إلى 60 دقيقة ، وتُقسّم الدقيقة الواحدة إلى 60 ثانية. لذا، يُمكن تفسير قياس زمني مثل 3:23:17 (3 ساعات و23 دقيقة و17 ثانية) على أنه عدد ستينيّ صحيح (بدون فاصلة ستينية)، أي 3 × ^60² + 23 × ^60¹ + 17 × 60⁰ ^ثانية . مع ذلك، كُتبت الأرقام الستينية الثلاثة في هذا العدد (3 و 23 و 17) باستخدام النظام العشري .

وبالمثل، فإن الوحدة العملية لقياس الزاوية هي الدرجة ، والتي تساوي 360 درجة (ست درجات وستون) في الدائرة. وتحتوي الدرجة على 60 دقيقة قوسية ، والدقيقة على 60 ثانية قوسية .

YAML

في الإصدار 1.1 ^{[ 15 ]} من تنسيق تخزين البيانات YAML ، تم دعم الأعداد الستينية للقيم العددية البسيطة، وتم تحديدها رسميًا لكل من الأعداد الصحيحة ^{[ 16 ]} والأعداد العشرية. ^{[ 17 ]} وقد أدى ذلك إلى بعض الالتباس، حيث تم التعرف على بعض عناوين MAC كأعداد ستينية وتحميلها كأعداد صحيحة، بينما لم يتم التعرف على عناوين أخرى وتحميلها كسلاسل نصية. في الإصدار 1.2 من YAML، تم إسقاط دعم الأعداد الستينية. ^{[ 18 ]}

الرموز

في النصوص الفلكية اليونانية الهلنستية ، مثل كتابات بطليموس ، كُتبت الأعداد الستينية باستخدام الأرقام الأبجدية اليونانية ، حيث عُومِل كل رقم ستيني كرقم مستقل. اعتمد الفلكيون الهلنستيون رمزًا جديدًا للصفر، وهو ° ، والذي تطور عبر القرون إلى أشكال أخرى، بما في ذلك الحرف اليوناني أوميكرون، ο، الذي يعني عادةً 70، ولكنه مسموح به في النظام الستيني حيث القيمة القصوى في أي موضع هي 59. ^{[ 19 ]}^{[ 20 ]} وقد اقتصر استخدام اليونانيين للأعداد الستينية على الجزء الكسري من العدد. ^{[ 21 ]}

في النصوص اللاتينية في العصور الوسطى، كانت الأعداد الستينية تُكتب باستخدام الأرقام العربية ؛ وكانت مستويات الكسور المختلفة تُرمز إليها بـ minuta (أي الكسر)، minuta secunda ، minuta tertia ، إلخ. وبحلول القرن السابع عشر، أصبح من الشائع الإشارة إلى الجزء الصحيح من الأعداد الستينية بصفر مرفوع، وإلى الأجزاء الكسرية المختلفة بعلامة أو أكثر من علامات التشكيل. وقد عمم جون واليس ، في كتابه Mathesis universalis ، هذه الصيغة لتشمل مضاعفات أعلى من 60؛ وأعطى كمثال العدد 49‵‵‵‵36‵‵‵25‵‵15‵1°15′25″36‴49⁗ ؛ حيث تُضرب الأرقام على اليسار بقوى أعلى من 60، وتُقسم الأرقام على اليمين على قوى 60، ويُضرب الرقم الذي يحمل الصفر المرفوع في 1. ^{[ 22 ]} يؤدي هذا الترميز إلى الرموز الحديثة للدرجات والدقائق والثواني. ويُستخدم نفس نظام تسمية الدقائق والثواني لوحدات الزمن، ويمكن تفسير الترميز الحديث للوقت، حيث تُكتب الساعات والدقائق والثواني بالنظام العشري وتُفصل عن بعضها بنقطتين رأسيتين، على أنه شكل من أشكال الترميز الستيني.

في بعض أنظمة الاستخدام، كان يُرقّم كل موضع بعد الفاصلة الستينية باستخدام أصول لاتينية أو فرنسية: prime أو primus ، seconde أو secundus ، tierce ، quatre ، quinte ، إلخ. وحتى يومنا هذا ، نُطلق على الجزء الثاني من الساعة أو الدرجة ^اسم "ثانية". وحتى القرن الثامن عشر على الأقل، كان يُطلق على 1/60 من الثانية اسم "tierce" أو "ثالثة". ^[ 23 ^]^[²⁴^]

في ثلاثينيات القرن العشرين، قدّم أوتو نويغباور نظامًا حديثًا لتدوين الأعداد البابلية والهيلينية، يستبدل فيه الترميز العشري الحديث من 0 إلى 59 في كل خانة، مستخدمًا الفاصلة المنقوطة (؛) للفصل بين الجزء الصحيح والكسري من العدد، والفاصلة (،) للفصل بين الخانات داخل كل جزء. ^{[ 25 ]} على سبيل المثال، يبلغ متوسط الشهر الاقتراني، الذي استخدمه علماء الفلك البابليون والهيلينيون، والذي لا يزال يُستخدم في التقويم العبري، 29 يومًا، و31 يومًا، و50 يومًا، و8 أيام، و20 يومًا. ويُستخدم هذا الترميز في هذه المقالة.

الكسور والأعداد غير النسبية

الكسور

في النظام الستيني، يمكن التعبير عن أي كسر يكون مقامه عددًا منتظمًا ( أي أن تحليله إلى عوامله الأولية يقتصر على 2 و3 و5 ) بدقة. ^{[ 26 ]} فيما يلي جميع الكسور من هذا النوع التي يكون مقامها أقل من أو يساوي 60:

١/٢ = ٠ ؛ ٣٠

١/٣ = ٠ ؛ ٢٠

١/٤ = ٠.١٥

١/٥ = ٠ ؛ ١٢

1/6 = 0.10

1/8 = 0 ؛ 7.30

1/9 = 0.640

1/10 = 0.6

1/12 = 0.5

1 / 15 = 0؛4

١/١٦ = ٠ ؛٣,٤٥

1/18 = 0 ؛3.20

١/٢٠ = ٠؛ ٣

١/٢٤ = ٠؛ ٢،٣٠

١/٢٥ = ٠ ؛٢,٢٤

١ ⁄ ٢٧ = ٠؛ ٢، ١٣، ٢٠

1/30 = 0.2

1/32 = 0؛ 1 ، 52 ، 30

1/36 = 0 ؛1.40

1/40 = 0 ؛1.30

١/٤٥ = ٠؛ ١,٢٠

1/48 = 0 ؛1.15

١/٥٠ = ٠؛ ١,١٢

1 / 54 = 0؛ 1، 6، 40

1/60 = 0 ؛ 1

لكن الأعداد غير المنتظمة تُشكّل كسورًا دورية أكثر تعقيدًا . على سبيل المثال:

1 ⁄ 7 = 0؛ 8،34،17 (يشير الخط إلى تسلسل الأرقام الستينية 8،34،17 الذي يتكرر إلى ما لا نهاية من المرات)

1 / 11 = 0؛ 5، 27، 16، 21، 49

١/١٣ = ٠؛ ٤ ، ٣٦، ٥٥، ٢٣

١ ⁄ ١٤ = ٠؛٤، ١٧،٨،٣٤

١ ⁄ ١٧ = ٠؛ ٣، ٣١، ٤٥، ٥٢، ٥٦، ٢٨، ١٤، ٧

1 / 19 = 0؛ 3 ، 9، 28، 25، 15، 47، 22، 6، 18، 56، 50، 31، 34، 44، 12، 37، 53، 41

1 / 59 = 0؛ 1

1 / 61 = 0؛ 0.59

إن حقيقة أن العددين المجاورين للعدد 60، وهما 59 و61، كلاهما أعداد أولية تعني أن الكسور التي تتكرر بفترة من رقم واحد أو رقمين ستينيين لا يمكن أن يكون لها إلا مضاعفات منتظمة للعددين 59 أو 61 كمقامات لها، وأن الأعداد غير المنتظمة الأخرى لها كسور تتكرر بفترة أطول.

الأعداد غير النسبية

لوح بابلي YBC 7289 يُظهر العدد الستيني 1؛ 24، 51، 10 الذي يُقارب √2

إن تمثيلات الأعداد غير النسبية في أي نظام عددي موضعي (بما في ذلك النظام العشري والنظام الستيني) لا تنتهي ولا تتكرر .

قام البابليون في العصر البابلي القديم ( 1900 ق.م. - 1650 ق.م. ) بتقريب الجذر التربيعي للعدد 2 ، وهو طول قطر المربع ذي الوحدة الواحدة ، على النحو التالي:

1;24,51,10=1+{\frac {24}{60}}+{\frac {51}{60^{2}}}+{\frac {10}{60^{3}}}={\frac {30547}{21600}}\approx 1.41421296\ldots

^{[ 27 ]}

لأن √2 ≈ 1.414 213 56 ... هو عدد غير نسبي ، ولا يمكن التعبير عنه بدقة في النظام الستيني (أو في أي نظام عدد صحيح)، ولكن توسيعه الستيني يبدأ بـ 1؛24،51،10،7،46،6،4،44... ( OEIS : A070197 )

كانت قيمة $π$ كما استخدمها عالم الرياضيات والعالم اليوناني بطليموس هي 3.8.30 = 3 + 8 / 60 + 30 / 60 ² = 377 / 120 ≈3.141666 .... ^[ 28 ^] قام جمشيد الكاشي ، عالم الرياضيات الفارسي من القرن الخامس عشر ، بحساب 2π $كعدد$ ستينيّ، ووصل إلى قيمته الصحيحة عند تقريبه إلى تسعة أرقام فرعية (أي إلى ^1/609 ) ؛ وكانت قيمته لـ 2π $هي$ 6؛ 16، 59، 28، 1، 34، 51، 46، 14، 50. ^[ 29 ] [ ³⁰^]^ومثل^√2^أعلاه^، فإن 2π عدد $غير نسبيّ، ولا يمكن التعبير عنه بدقة بالنظام الستينيّ. يبدأ توسيعه الستينيّ بـ 6؛ 16، 59، 28، 1، 34،$ 51 ، 46، 14، 49، 55، 12، 35... ( OEIS : A091649 )

انظر أيضاً

مراجع

↑ منطوق / sɛ ks ə ˈ dʒ ɛ s ɪ m əl / و / s ɛ k ˈ s æ dʒ ɪ n ər i / ; انظر "الستيني" ، قاموس أوكسفورد الإنجليزي ( الطبعة على الإنترنت)، مطبعة جامعة أكسفورد(يشترط الاشتراك أو عضوية المؤسسة المشاركة )
1 2 3 4 Neugebauer، O. (1969)، العلوم الدقيقة في العصور القديمة ، دوفر، الصفحات من 17 إلى 19، ISBN 0-486-22332-9
↑ بيلو، إغناسيو؛ بريتون، جاك ر.؛ كاول، أنطون (2009)، موضوعات في الرياضيات المعاصرة ( الطبعة التاسعة)، سينغيج ليرنينج، ص 182، ISBN 9780538737791.
1 2 لامب، إيفلين (31 أغسطس 2014)، "انظري يا أمي، لا صفر!" ، مجلة ساينتفك أمريكان ، جذور الوحدة
↑ بارتون، جورج أ. (1908)، "حول الأصل البابلي لعدد أفلاطون الزوجي"، مجلة الجمعية الشرقية الأمريكية ، 29 : 210-219 ، doi : 10.2307/592627 ، JSTOR 592627 . ماكلين، إرنست ج .؛ أفلاطون (1974)، "الزيجات الموسيقية" في "جمهورية" أفلاطون، مجلة نظرية الموسيقى ، 18 (2): 242-272 ، JSTOR 843638
↑ البيروني (1879) [1000]، تسلسل الأمم القديمة ، ترجمة سي . إدوارد ساشاو، ص 147-149
↑ نوثافت، سي. فيليب إي. (2018)، خطأ فاضح: إصلاح التقويم وعلم الفلك التقويمي في أوروبا في العصور الوسطى ، أكسفورد: مطبعة جامعة أكسفورد، ص 126، ISBN 9780198799559، قام ساكروبوسكو بالتحول إلى الكسور الستينية، لكنه جعلها أكثر ملاءمة للاستخدام الحسابي من خلال تطبيقها ليس على اليوم ولكن على الساعة، وبالتالي دشن استخدام الساعات والدقائق والثواني الذي لا يزال سائداً في القرن الحادي والعشرين.
↑ نوثافت، سي. فيليب إي. (2018)، خطأ فاضح: إصلاح التقويم وعلم الفلك التقويمي في أوروبا في العصور الوسطى ، أكسفورد: مطبعة جامعة أكسفورد، ص 196، ISBN 9780198799559ومن السمات الجديرة بالذكر في جداول ألفونسين في نسختها اللاتينية الباريسية هو "التحويل الستيني" الصارم لجميع المعلمات المجدولة، حيث تم تحليل الحركات والفترات الزمنية باستمرار إلى مضاعفات وأجزاء من الأيام أو الدرجات في النظام الستيني.
↑ نيوتن، إسحاق (1671)، طريقة التدفقات والمتسلسلات اللانهائية: مع تطبيقها على هندسة الخطوط المنحنية. ، لندن : هنري وودفول (نُشر عام 1736)، ص 146، وأبرزها المقياس الستيني للحساب، وهو كثير الاستخدام بين علماء الفلك، والذي يعبر عن جميع الأعداد الممكنة، سواء كانت أعدادًا صحيحة أو كسورًا، نسبية أو صماء، بقوى العدد ستين ، ومعاملات عددية معينة لا تتجاوز تسعة وخمسين.
^ فولكيرتس، مينسو ؛ لونرت، ديتر. توم، أندرياس (2016)، “طريقة جوست بورجي لحساب الجيوب”، هيستوريا ماثيماتيكا ، 43 (2): 133–147 ، أرخايف : 1510.03180 ، دوى : 10.1016/j.hm.2016.03.001 ، MR 3489006 ، S2CID 119326088
↑ نويغباور، أوتو (1952)، "علم الفلك التاميلي: دراسة في تاريخ علم الفلك في الهند"، أوزيريس ، 10 : 252-276 ، doi : 10.1086/368555 ، S2CID 143591575 أُعيد طبعه في: نويغباور، أوتو (1983)، علم الفلك والتاريخ: مقالات مختارة ، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، رمز Bibcode : 1983ahse.book.....N ، رقم ISBN 0-387-90844-7
↑ باورز، نانسي (1977)، "ترقيم كاباوكو: الحساب، والعنصرية، والبحث العلمي، وأنظمة العد الميلانيزية" (ملف PDF) ، مجلة الجمعية البولينيزية ، 86 (1): 105-116 ، مؤرشفة من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 2009-03-05
↑ لين، جليندون أنجوف (1992)، أنظمة العد في بابوا غينيا الجديدة وأوقيانوسيا ، أطروحة دكتوراه، جامعة بابوا غينيا الجديدة للتكنولوجيا ، مؤرشفة من الأصل في 2007-09-05 انظر تحديداً الفصل 4. مؤرشف بتاريخ 28-09-2007 في Wayback Machine .
↑ باول، مارفن أ. (2008). "النظام الستيني". موسوعة تاريخ العلوم والتكنولوجيا والطب في الثقافات غير الغربية . ص 1998-1999 . doi : 10.1007/978-1-4020-4425-0_9055 . ISBN 978-1-4020-4559-2.
↑ "YAML ليست لغة ترميز (YAML™) الإصدار 1.1" .
↑ "نوع عدد صحيح مستقل عن اللغة لـ YAML الإصدار 1.1" .
↑ "نوع مستقل عن اللغة ذو نقطة عائمة لـ YAML™ الإصدار 1.1" .
↑ أورين بن كيكي؛ كلارك إيفانز؛ برايان إنجرسون (1 أكتوبر 2009)، "YAML ليست لغة ترميز (YAML™) الإصدار 1.2 (الطبعة الثالثة، تم تحديثها في 1 أكتوبر 2009) §10.3.2 حل الوسوم" ، الموقع الرسمي لـ YAML ، تم الاطلاع عليه في 30 يناير 2019
↑ نويغباور، أوتو (1969)، العلوم الدقيقة في العصور القديمة ( الطبعة الثانية)، منشورات دوفر ، الصفحات 13-14 ، اللوحة 2، رقم ISBN 978-0-486-22332-2
↑ ميرسييه، ريموند، "دراسة الرمز اليوناني 'الصفر'"( ملف PDF) ، موطن كايروس
↑ آبو، أسجر ( 1964)، حلقات من التاريخ المبكر للرياضيات ، المكتبة الرياضية الجديدة، المجلد 13، نيويورك: راندوم هاوس، الصفحات 103-104
↑ كاجوري، فلوريان (2007) [1928]، تاريخ الرموز الرياضية ، المجلد 1، نيويورك: كوزيمو، ص 216، ISBN 9781602066854
^ واد ، نيكولاس (1998) ، تاريخ طبيعي للرؤية ، مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا، ص. 193، ردمك 978-0-262-73129-4
↑ لويس، روبرت إي. (1952)، قاموس اللغة الإنجليزية الوسطى ، مطبعة جامعة ميشيغان، ص 231، رقم ISBN 978-0-472-01212-1{{citation}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
↑ نويغباور، أوتو ؛ ساكس، أبراهام جوزيف ؛ غوتزه، ألبريشت (1945)، نصوص رياضية مسمارية ، سلسلة الدراسات الشرقية الأمريكية، المجلد 29، نيو هيفن: الجمعية الشرقية الأمريكية والمدارس الأمريكية للبحوث الشرقية، ص 2
^ Neugebauer، Otto E. (1955)، النصوص المسمارية الفلكية ، لندن: لوند همفريز
↑ فاولر، ديفيد ؛ روبسون، إليانور (1998)، "تقريبات الجذر التربيعي في الرياضيات البابلية القديمة: YBC 7289 في سياقها"، Historia Mathematica ، 25 (4): 366-378 ، doi : 10.1006/hmat.1998.2209 ، MR 1662496
^ تومر، جي جي ، أد. (1984)، المجسطي لبطليموس ، نيويورك: سبرينغر فيرلاغ، ص. 302، ردمك 0-387-91220-7
↑ يوشكفيتش، أدولف ب.، "الكاشي"، في روزنفيلد، بوريس أ. (محرر)، قاموس السير العلمية ، ص 256 .
↑ آبو (1964) ، ص 125

للمزيد من القراءة

إفراه، جورج (1999)، التاريخ العالمي للأرقام: من عصور ما قبل التاريخ إلى اختراع الحاسوب ، وايلي، رقم ISBN 0-471-37568-3.
نيسن، هانز ج.؛ داميرو، ب.؛ إنجلوند، ر. (1993)، المحاسبة القديمة ، مطبعة جامعة شيكاغو، رقم ISBN 0-226-58659-6

روابط خارجية

كتاب "حقائق في حساب الدرجات والدقائق" هو كتاب باللغة العربية من تأليف سبط المريديني، بدر الدين محمد بن محمد (مواليد 1423). يقدم هذا العمل شرحًا مفصلًا للغاية للرياضيات الستينية، ويتضمن ما يبدو أنه أول ذكر لدورية الكسور الستينية.

[1] منطوق / sɛ ks ə ˈ dʒ ɛ s ɪ m əl / و / s ɛ k ˈ s æ dʒ ɪ n ər i / ; انظر "الستيني" ، قاموس أوكسفورد الإنجليزي ( الطبعة على الإنترنت)، مطبعة جامعة أكسفورد(يشترط الاشتراك أو عضوية المؤسسة المشاركة )

[Neugebauer-2] 1 2 3 4 Neugebauer، O. (1969)، العلوم الدقيقة في العصور القديمة ، دوفر، الصفحات من 17 إلى 19، ISBN 0-486-22332-9

[3] بيلو، إغناسيو؛ بريتون، جاك ر.؛ كاول، أنطون (2009)، موضوعات في الرياضيات المعاصرة ( الطبعة التاسعة)، سينغيج ليرنينج، ص 182، ISBN 9780538737791.

[lmnz-4] 1 2 لامب، إيفلين (31 أغسطس 2014)، "انظري يا أمي، لا صفر!" ، مجلة ساينتفك أمريكان ، جذور الوحدة

[5] بارتون، جورج أ. (1908)، "حول الأصل البابلي لعدد أفلاطون الزوجي"، مجلة الجمعية الشرقية الأمريكية ، 29 : 210-219 ، doi : 10.2307/592627 ، JSTOR 592627 . ماكلين، إرنست ج .؛ أفلاطون (1974)، "الزيجات الموسيقية" في "جمهورية" أفلاطون، مجلة نظرية الموسيقى ، 18 (2): 242-272 ، JSTOR 843638

[al-Biruni-6] البيروني (1879) [1000]، تسلسل الأمم القديمة ، ترجمة سي . إدوارد ساشاو، ص 147-149

[7] نوثافت، سي. فيليب إي. (2018)، خطأ فاضح: إصلاح التقويم وعلم الفلك التقويمي في أوروبا في العصور الوسطى ، أكسفورد: مطبعة جامعة أكسفورد، ص 126، ISBN 9780198799559، قام ساكروبوسكو بالتحول إلى الكسور الستينية، لكنه جعلها أكثر ملاءمة للاستخدام الحسابي من خلال تطبيقها ليس على اليوم ولكن على الساعة، وبالتالي دشن استخدام الساعات والدقائق والثواني الذي لا يزال سائداً في القرن الحادي والعشرين.

[8] نوثافت، سي. فيليب إي. (2018)، خطأ فاضح: إصلاح التقويم وعلم الفلك التقويمي في أوروبا في العصور الوسطى ، أكسفورد: مطبعة جامعة أكسفورد، ص 196، ISBN 9780198799559ومن السمات الجديرة بالذكر في جداول ألفونسين في نسختها اللاتينية الباريسية هو "التحويل الستيني" الصارم لجميع المعلمات المجدولة، حيث تم تحليل الحركات والفترات الزمنية باستمرار إلى مضاعفات وأجزاء من الأيام أو الدرجات في النظام الستيني.

[9] نيوتن، إسحاق (1671)، طريقة التدفقات والمتسلسلات اللانهائية: مع تطبيقها على هندسة الخطوط المنحنية. ، لندن : هنري وودفول (نُشر عام 1736)، ص 146، وأبرزها المقياس الستيني للحساب، وهو كثير الاستخدام بين علماء الفلك، والذي يعبر عن جميع الأعداد الممكنة، سواء كانت أعدادًا صحيحة أو كسورًا، نسبية أو صماء، بقوى العدد ستين ، ومعاملات عددية معينة لا تتجاوز تسعة وخمسين.

[folkerts-10] فولكيرتس، مينسو ؛ لونرت، ديتر. توم، أندرياس (2016)، “طريقة جوست بورجي لحساب الجيوب”، هيستوريا ماثيماتيكا ، 43 (2): 133–147 ، أرخايف : 1510.03180 ، دوى : 10.1016/j.hm.2016.03.001 ، MR 3489006 ، S2CID 119326088

[11] نويغباور، أوتو (1952)، "علم الفلك التاميلي: دراسة في تاريخ علم الفلك في الهند"، أوزيريس ، 10 : 252-276 ، doi : 10.1086/368555 ، S2CID 143591575 أُعيد طبعه في: نويغباور، أوتو (1983)، علم الفلك والتاريخ: مقالات مختارة ، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، رمز Bibcode : 1983ahse.book.....N ، رقم ISBN 0-387-90844-7

[12] باورز، نانسي (1977)، "ترقيم كاباوكو: الحساب، والعنصرية، والبحث العلمي، وأنظمة العد الميلانيزية" (ملف PDF) ، مجلة الجمعية البولينيزية ، 86 (1): 105-116 ، مؤرشفة من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 2009-03-05

[13] لين، جليندون أنجوف (1992)، أنظمة العد في بابوا غينيا الجديدة وأوقيانوسيا ، أطروحة دكتوراه، جامعة بابوا غينيا الجديدة للتكنولوجيا ، مؤرشفة من الأصل في 2007-09-05 انظر تحديداً الفصل 4. مؤرشف بتاريخ 28-09-2007 في Wayback Machine .

[14] باول، مارفن أ. (2008). "النظام الستيني". موسوعة تاريخ العلوم والتكنولوجيا والطب في الثقافات غير الغربية . ص 1998-1999 . doi : 10.1007/978-1-4020-4425-0_9055 . ISBN 978-1-4020-4559-2.

[15] "YAML ليست لغة ترميز (YAML™) الإصدار 1.1" .

[16] "نوع عدد صحيح مستقل عن اللغة لـ YAML الإصدار 1.1" .

[17] "نوع مستقل عن اللغة ذو نقطة عائمة لـ YAML™ الإصدار 1.1" .

[18] أورين بن كيكي؛ كلارك إيفانز؛ برايان إنجرسون (1 أكتوبر 2009)، "YAML ليست لغة ترميز (YAML™) الإصدار 1.2 (الطبعة الثالثة، تم تحديثها في 1 أكتوبر 2009) §10.3.2 حل الوسوم" ، الموقع الرسمي لـ YAML ، تم الاطلاع عليه في 30 يناير 2019

[19] نويغباور، أوتو (1969)، العلوم الدقيقة في العصور القديمة ( الطبعة الثانية)، منشورات دوفر ، الصفحات 13-14 ، اللوحة 2، رقم ISBN 978-0-486-22332-2

[Mercier-20] ميرسييه، ريموند، "دراسة الرمز اليوناني 'الصفر'"( ملف PDF) ، موطن كايروس

[21] آبو، أسجر ( 1964)، حلقات من التاريخ المبكر للرياضيات ، المكتبة الرياضية الجديدة، المجلد 13، نيويورك: راندوم هاوس، الصفحات 103-104

[22] كاجوري، فلوريان (2007) [1928]، تاريخ الرموز الرياضية ، المجلد 1، نيويورك: كوزيمو، ص 216، ISBN 9781602066854

[23] واد ، نيكولاس (1998) ، تاريخ طبيعي للرؤية ، مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا، ص. 193، ردمك 978-0-262-73129-4

[24] لويس، روبرت إي. (1952)، قاموس اللغة الإنجليزية الوسطى ، مطبعة جامعة ميشيغان، ص 231، رقم ISBN 978-0-472-01212-1{{citation}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )

[25] نويغباور، أوتو ؛ ساكس، أبراهام جوزيف ؛ غوتزه، ألبريشت (1945)، نصوص رياضية مسمارية ، سلسلة الدراسات الشرقية الأمريكية، المجلد 29، نيو هيفن: الجمعية الشرقية الأمريكية والمدارس الأمريكية للبحوث الشرقية، ص 2

[26] Neugebauer، Otto E. (1955)، النصوص المسمارية الفلكية ، لندن: لوند همفريز

[27] فاولر، ديفيد ؛ روبسون، إليانور (1998)، "تقريبات الجذر التربيعي في الرياضيات البابلية القديمة: YBC 7289 في سياقها"، Historia Mathematica ، 25 (4): 366-378 ، doi : 10.1006/hmat.1998.2209 ، MR 1662496

[28] تومر، جي جي ، أد. (1984)، المجسطي لبطليموس ، نيويورك: سبرينغر فيرلاغ، ص. 302، ردمك 0-387-91220-7

[29] يوشكفيتش، أدولف ب.، "الكاشي"، في روزنفيلد، بوريس أ. (محرر)، قاموس السير العلمية ، ص 256 .

[30] آبو (1964) ، ص 125

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[

[

[

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

اسم

[

[ 25 ]

[ 26 ]

[ 27 ]

[

30

√2

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗