نسبة الاحتمال الرتيب

لنفترض أنك تعمل على مشروع، ويمكنك إما العمل بجد أو التراخي. سمِّ اختيارك جهدًا${\displaystyle \ e\ }$وجودة المشروع الناتج${\displaystyle \ q~.}$إذا كانت نظرية MLRP صحيحة لتوزيع${\displaystyle \ q\ }$مشروط بجهودك${\displaystyle \ e\ }$كلما ارتفعت الجودة، زادت احتمالية أنك بذلت جهدًا كبيرًا. وعلى العكس، كلما انخفضت الجودة، زادت احتمالية أنك تهاونت.

1: اختر الجهد${\displaystyle \ e\in \{H,L\}\ }$أين${\displaystyle \ H\ }$يعني بذل جهد كبير، و${\displaystyle \ L\ }$يعني بذل جهد قليل.

2: الملاحظة${\displaystyle \ q\ }$مستمد من${\displaystyle \ f(q\ |\ e)~.}$بحسب قانون بايز مع توزيع احتمالي مسبق موحد ،

${\displaystyle \ \operatorname {\mathbb {P} } {\bigl [}\ e=H\ {\big |}\ q\ {\bigr ]}={\frac {f(q\ |\ H)}{\ f(q\ |\ H)+f(q\ |\ L)\ }}\ }$

3: لنفترض${\displaystyle \ f(q\ |\ e)\ }$يُحقق هذا الشرط مبدأ MLRP. بإعادة الترتيب، يكون احتمال أن يكون العامل قد عمل بجد هو

${\displaystyle \ {\frac {1}{\ 1+f(q\ |\ L)/f(q\ |\ H)\ }}\ }$

وهو ما يتزايد بشكل مطرد بفضل برنامج MLRP${\displaystyle \ q\ }$(لأن${\displaystyle \ {\frac {f(q\ |\ L)}{\ f(q\ |\ H)\ }}\ }$يتناقص في${\displaystyle \ q\ }$).

وبالتالي، إذا كان صاحب العمل يقوم بـ "مراجعة الأداء"، فيمكنه استنتاج سلوك موظفه من جدارة عمله.

إذا كانت عائلة المتغيرات العشوائية تحتوي على MLRP في${\displaystyle \ T(X)\ ,}$يمكن بسهولة تحديد اختبار قوي موحد للفرضية${\displaystyle \ H_{0}\$ θ ≤ θ₀ مقابل${\displaystyle \ H_{1}\$ :\ \theta >\theta _{0}~.}

مثال: ليكن${\displaystyle \ e\ }$أن تكون مدخلاً في تكنولوجيا عشوائية - جهد العامل، على سبيل المثال - و ${\displaystyle \ y\ }$مخرجاتها، والتي يتم وصف احتمالية حدوثها بواسطة دالة كثافة الاحتمال.${\displaystyle \ f(y;e)~.}$ثم خاصية نسبة الاحتمالية الرتيبة (MLRP) للعائلة${\displaystyle \ f\ }$يُعبَّر عنه على النحو التالي: لأي ${\displaystyle \ e_{1},e_{2}\ ,}$حقيقة أن ${\displaystyle e_{2}>e_{1}}$وهذا يعني أن النسبة ${\displaystyle \ {\frac {\ f(y;e_{2})\ }{f(y;e_{1})}}\ }$يتزايد في ${\displaystyle \ y~.}$

تتميز العائلات الأسية ذات المعامل الواحد بدوال احتمالية رتيبة. وعلى وجه الخصوص، فإن العائلة الأسية أحادية البعد لدوال كثافة الاحتمال أو دوال كتلة الاحتمال ذات

${\displaystyle \ f_{\theta }(x)=c(\theta )\ h(x)\ \exp {\Bigl (}\ \pi \left(\theta \right)\ T\left(x\right)\ {\Bigr )}\ }$

لها نسبة احتمالية رتيبة غير متناقصة في الإحصائية الكافية${\displaystyle \ T(x)\ ,}$بشرط أن${\displaystyle \ \pi (\theta )\ }$غير متناقصة.

تُستخدم دوال الاحتمالية الرتيبة لبناء اختبارات ذات قوة موحدة ، وفقًا لنظرية كارلين-روبين . ^{[ 1 ]} لنفترض قياسًا قياسيًا له دالة كثافة احتمالية مُعَلمة بمعامل قياسي.${\displaystyle \ \theta \ ,}$وحدد نسبة الاحتمال${\displaystyle \ \ell (x)={\frac {f_{\theta _{1}}(x)}{\ f_{\theta _{0}}(x)\ }}~.}$ لو${\displaystyle \ \ell (x)\ }$دالة رتيبة غير متناقصة، في${\displaystyle \ x\ ,}$لأي زوج${\displaystyle \ \theta _{1}\geq \theta _{0}\ }$(بمعنى أن الأكبر${\displaystyle \ x\ }$أي، كلما زاد الاحتمال${\displaystyle \ H_{1}\ }$ثم اختبار العتبة:

${\displaystyle \ \varphi (x)={\begin{cases}1&{\text{if }}x>x_{0}\\0&{\text{if }}x<x_{0}\end{cases}}\ }$

أين${\displaystyle \ x_{0}\ }$يتم اختيارها بحيث${\displaystyle \ \operatorname {\mathbb {E} } {\bigl \{}\ \varphi (X)\ {\big |}\ \theta _{0}\ {\bigr \}}=\alpha \ }$

اختبار UMP للحجم${\displaystyle \ \alpha \ }$للاختبار${\displaystyle \ H_{0}\$ :\ \theta \leq \theta _{0}~~} مقابل.${\displaystyle ~~H_{1}:\theta >\theta _{0}~.}$

لاحظ أن نفس الاختبار تمامًا هو أيضًا اختبار UMP للاختبار${\displaystyle \ H_{0}\$ :\ \theta =\theta _{0}~~} مقابل.${\displaystyle ~~H_{1}:\theta >\theta _{0}~.}$

تُستخدم دوال الاحتمال الرتيبة لبناء مُقدِّرات غير متحيزة للوسيط ، باستخدام الطرق التي حددها يوهان بفانزاغل وآخرون. ^{[ 2 ] [ 3 ]} أحد هذه الإجراءات هو نظير لإجراء راو-بلاك ويل للمُقدِّرات غير المتحيزة للمتوسط : ينطبق هذا الإجراء على فئة أصغر من التوزيعات الاحتمالية مقارنةً بإجراء راو-بلاك ويل للتقدير غير المتحيز للمتوسط، ولكنه ينطبق على فئة أكبر من دوال الخسارة . ^{[ 3 ] : 713}

إذا كانت عائلة من التوزيعات${\displaystyle \ f_{\theta }(x)\ }$تتمتع بخاصية نسبة الاحتمال الرتيبة في${\displaystyle \ T(X)\ ,}$

1. تتميز العائلة بانخفاض معدلات الخطر بشكل رتيب في${\displaystyle \ \theta \ }$(ولكن ليس بالضرورة في${\displaystyle \ T(X)\ }$)
2. تُظهر العائلة هيمنة عشوائية من الدرجة الأولى (وبالتالي من الدرجة الثانية) في${\displaystyle \ x\ ,}$وأفضل تحديث بايزي لـ${\displaystyle \ \theta \ }$يتزايد في${\displaystyle T(X)}$.

لكن ليس العكس: لا معدلات الخطر الرتيبة ولا الهيمنة العشوائية تعنيان نموذج MLRP.

البراهين

عائلة التوزيع${\displaystyle \ f_{\theta }\ }$استيفاء متطلبات MLR في${\displaystyle \ x\ ,}$لذلك من أجل${\displaystyle \ \theta _{1}>\theta _{0}\ }$و${\displaystyle \ x_{1}>x_{0}\$ :}

${\displaystyle \ {\frac {f_{\theta _{1}}(x_{1})}{\ f_{\theta _{0}}(x_{1})\ }}\geq {\frac {\ f_{\theta _{1}}(x_{0})\ }{f_{\theta _{0}}(x_{0})}}\ ,}$

أو ما يعادل ذلك:

${\displaystyle \ f_{\theta _{1}}(x_{1})\ f_{\theta _{0}}(x_{0})\geq f_{\theta _{1}}(x_{0})\ f_{\theta _{0}}(x_{1})~.}$

بإجراء التكامل على هذا التعبير مرتين، نحصل على:

1. إلى${\displaystyle \ x_{1}\ }$بالنسبة إلى${\displaystyle \ x_{0}\ }$ ${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{\min X}^{x_{1}}\ f_{\theta _{1}}(x_{1})\ f_{\theta _{0}}(x_{0})\ \mathrm {d} x_{0}\\[6pt]\geq {}&\int _{\min X}^{x_{1}}\ f_{\theta _{1}}(x_{0})\ f_{\theta _{0}}(x_{1})\ \mathrm {d} x_{0}\end{aligned}}}$ قم بالدمج وإعادة الترتيب للحصول على ${\displaystyle {\frac {f_{\theta _{1}}(x)}{\ f_{\theta _{0}}(x)\ }}\geq {\frac {F_{\theta _{1}}(x)}{\ F_{\theta _{0}}(x)\ }}\ }$		2. من${\displaystyle x_{0}}$بالنسبة إلى${\displaystyle \ x_{1}\ }$ ${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{x_{0}}^{\max X}\ f_{\theta _{1}}(x_{1})\ f_{\theta _{0}}(x_{0})\ \mathrm {d} x_{1}\\[6pt]\geq {}&\int _{x_{0}}^{\max X}\ f_{\theta _{1}}(x_{0})\ f_{\theta _{0}}(x_{1})\ \mathrm {d} x_{1}\end{aligned}}}$ قم بالدمج وإعادة الترتيب للحصول على ${\displaystyle {\frac {1-F_{\theta _{1}}(x)}{\ 1-F_{\theta _{0}}(x)\ }}\geq {\frac {f_{\theta _{1}}(x)}{\ f_{\theta _{0}}(x)\ }}\ }$

يُعدّ شرط الانحدار الخطي المتعدد (MLR) شرطًا هامًا لتوزيع أنواع الوكلاء في تصميم الآليات واقتصاديات المعلومات ، حيث عرّف بول ميلغروم "ملاءمة" الإشارات (من حيث الهيمنة العشوائية) كنتيجة لشرط الانحدار الخطي المتعدد. ^{[ 4 ]} تفترض معظم حلول نماذج تصميم الآليات توزيعات أنواع تُحقق شرط الانحدار الخطي المتعدد للاستفادة من أساليب الحلول التي قد تكون أسهل في التطبيق والتفسير.