طرق مونت كارلو لنقل الإلكترون

يُعد نموذج معادلة بولتزمان للنقل الأداة الرئيسية المستخدمة في تحليل النقل في أشباه الموصلات. وتُعطى معادلة بولتزمان للنقل بالصيغة التالية :

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {1}{\hbar }}\nabla _{k}E(k)\nabla _{r}f+{\frac {qF(r)}{\hbar }}\nabla _{k}f=\left[{\frac {\partial f}{\partial t}}\right]_{\mathrm {collision} }}$

${\displaystyle v={\frac {1}{\hbar }}\nabla _{k}E(k)}$

دالة التوزيع ، f ، هي دالة لا بُعدية تُستخدم لاستخلاص جميع المتغيرات القابلة للرصد ذات الأهمية، وتُعطي وصفًا كاملًا لتوزيع الإلكترونات في كلٍّ من الفضاء الحقيقي وفضاء k . علاوة على ذلك، فهي تُمثل فيزيائيًا احتمالية شغل الجسيم للطاقة k عند الموضع r والزمن t . بالإضافة إلى ذلك، نظرًا لكونها معادلة تفاضلية تكاملية سباعية الأبعاد (ستة أبعاد في فضاء الطور وبُعد واحد في الزمن)، فإن حل معادلة نقل الطاقة (BTE) معقد، ويمكن حله بصيغة تحليلية مغلقة في ظل قيود خاصة جدًا. عدديًا، يُستخدم حل معادلة نقل الطاقة (BTE) إما بطريقة حتمية أو طريقة عشوائية. يعتمد الحل بالطريقة الحتمية على طريقة عددية قائمة على الشبكة، مثل طريقة التوافقيات الكروية، بينما تُعد طريقة مونت كارلو هي الطريقة العشوائية المستخدمة لحل معادلة نقل الطاقة (BTE). 

طريقة مونت كارلو شبه الكلاسيكية هي طريقة إحصائية تُستخدم لإيجاد حل دقيق لمعادلة بولتزمان للنقل، والتي تتضمن بنية نطاق معقدة وعمليات تشتت . تُعتبر هذه الطريقة شبه كلاسيكية لأن آليات التشتت تُعالج ميكانيكيًا كميًا باستخدام قاعدة فيرمي الذهبية ، بينما يُعالج النقل بين أحداث التشتت باستخدام مفهوم الجسيم الكلاسيكي. يتتبع نموذج مونت كارلو مسار الجسيم في كل رحلة حرة ويختار آلية التشتت المناسبة عشوائيًا. من أهم مزايا مونت كارلو شبه الكلاسيكية قدرتها على توفير معالجة ميكانيكية كمية دقيقة لمختلف آليات التشتت ضمن حدود التشتت، وعدم وجود افتراضات حول شكل توزيع حاملات الشحنة في فضاء الطاقة أو فضاء k. المعادلة شبه الكلاسيكية التي تصف حركة الإلكترون هي

${\displaystyle {\frac {dr}{dt}}={\frac {1}{\hbar }}\nabla _{k}E(k)}$

${\displaystyle {\frac {dk}{dt}}={\frac {qF(r)}{\hbar }}}$

حيث F هو المجال الكهربائي، وE(k) هي علاقة تشتت الطاقة، وk هو متجه موجة الزخم. لحل المعادلة أعلاه، يلزم معرفة دقيقة ببنية النطاق (E(k)). تصف علاقة E(k) كيفية تحرك الجسيم داخل الجهاز، بالإضافة إلى توضيح معلومات مفيدة ضرورية للنقل مثل كثافة الحالات (DOS) وسرعة الجسيم. يمكن الحصول على علاقة E(k) كاملة النطاق باستخدام طريقة الجهد الزائف شبه التجريبية. ^{[ 1 ]}

يمكن اشتقاق كل من نموذج الانجراف والانتشار (DD) والنموذج الهيدروديناميكي (HD) من عزوم معادلة بولتزمان للنقل (BTE) باستخدام تقريب مبسط صالح للأجهزة ذات القنوات الطويلة. يُعدّ مخطط الانجراف والانتشار (DD) النهج الأكثر شيوعًا، وعادةً ما يحلّ معادلة بواسون ومعادلات الاستمرارية لحاملات الشحنة مع مراعاة مكونات الانجراف والانتشار. في هذا النهج، يُفترض أن يكون زمن انتقال الشحنة كبيرًا جدًا مقارنةً بزمن استرخاء الطاقة. ^{[ 2 ]} من ناحية أخرى، يحلّ نموذج الهيدروديناميكي (HD) مخطط الانجراف والانتشار (DD) باستخدام معادلات توازن الطاقة المشتقة من عزوم معادلة بولتزمان للنقل (BTE). ^{[ 3 ] [ 4 ]} وبالتالي، يمكن رصد وحساب التفاصيل الفيزيائية مثل تسخين حاملات الشحنة وتأثير تجاوز السرعة . من البديهي أن محاكاة الهيدروديناميكي (HD) تتطلب طريقة تجزئة دقيقة، نظرًا للترابط القوي بين المعادلات الحاكمة وضرورة التعامل مع عدد أكبر من المتغيرات مقارنةً بمخطط الانجراف والانتشار (DD).

تُقارن دقة النماذج شبه الكلاسيكية بناءً على معادلة بولتزمان للنقل (BTE) من خلال دراسة كيفية معالجتها لمشكلة تجاوز السرعة الكلاسيكية، وهي إحدى أبرز تأثيرات القناة القصيرة (SCE) في هياكل الترانزستور. يُعد تجاوز السرعة، في جوهره، تأثيرًا غير موضعي للأجهزة المصغرة، ويرتبط بالزيادة الملحوظة تجريبيًا في تيار القيادة والموصلية. ^{[ 5 ]} مع تناقص طول القناة، لا تصل السرعة إلى التشبع في منطقة المجال العالي، بل تتجاوز سرعة التشبع المتوقعة. ويعود سبب هذه الظاهرة إلى أن زمن انتقال حاملات الشحنة يصبح مُقاربًا لزمن استرخاء الطاقة، وبالتالي لا يتوفر لحاملات الشحنة المتحركة الوقت الكافي للوصول إلى حالة التوازن مع المجال الكهربائي المُطبق نتيجة التشتت في أجهزة القناة القصيرة. ^{[ 6 ]} يُظهر الشكل المجاور ملخص نتائج المحاكاة (أداة إلينوي: MOCA) باستخدام نموذجي DD وHD. في الشكل (أ)، تظهر الحالة التي لا يكون فيها المجال عاليًا بما يكفي لإحداث تأثير تجاوز السرعة في منطقة القناة بأكملها. تجدر الإشارة إلى أنه عند هذا الحد، تتطابق بيانات نموذج DD جيدًا مع نموذج MC في منطقة عدم التجاوز، بينما يبالغ نموذج HD في تقدير السرعة في تلك المنطقة. ويُلاحظ تجاوز السرعة فقط بالقرب من وصلة المصرف في بيانات MC، ويتطابق نموذج HD جيدًا في تلك المنطقة. ومن بيانات MC، يُلاحظ أن تأثير تجاوز السرعة يكون حادًا في منطقة المجال العالي، وهو ما لا يُؤخذ في الحسبان بشكل صحيح في نموذج HD. في ظروف المجال العالي كما هو موضح في الشكل (ب)، يمتد تأثير تجاوز السرعة تقريبًا على كامل القناة، وتكون نتائج HD ونتائج MC متقاربة جدًا في منطقة القناة.

يصف تركيب النطاقات العلاقة بين الطاقة (E) ومتجه الموجة (k). يُستخدم تركيب النطاقات لحساب حركة حاملات الشحنة تحت تأثير المجال الكهربائي، ومعدل التشتت، والحالة النهائية بعد التصادم. يوضح الشكل أدناه تركيب نطاقات السيليكون ومنطقة بريلوين الخاصة به، ولكن لا يوجد تعبير تحليلي يغطي منطقة بريلوين بأكملها . باستخدام بعض التقريبات، يوجد نموذجان تحليليان لتركيب النطاقات، وهما النموذج المكافئ والنموذج غير المكافئ.

احتمال تعرض الإلكترون للاصطدام التالي خلال الفترة الزمنية dt حول الزمن t يُعطى بالعلاقة التالية:

${\displaystyle p(t)\,dt=P[k(t)]\exp[-\int _{0}^{t}P[k(t')]\,dt']\,dt}$

حيث P[k(t)]dt هي احتمالية تعرض إلكترون في الحالة k لتصادم خلال الفترة الزمنية dt. ونظرًا لتعقيد التكامل عند الأس، فإنه من غير العملي توليد رحلات حرة عشوائية باستخدام توزيع المعادلة أعلاه. وللتغلب على هذه الصعوبة، يستخدم الباحثون مخطط "التشتت الذاتي" الوهمي. وبذلك، يكون معدل التشتت الكلي، بما في ذلك هذا التشتت الذاتي، ثابتًا ويساوي، على سبيل المثال،${\displaystyle \Gamma }$بالاختيار العشوائي، إذا تم اختيار التشتت الذاتي، فإن قيمة k′ بعد التصادم تكون مساوية لقيمة k، ويستمر الجسم الحامل في طيرانه دون اضطراب. بإدخال ثابت${\displaystyle P(k)=\tau _{0}^{-1}}$وبالتالي، تُختزل المعادلة أعلاه إلى

${\displaystyle p(t)={\frac {1}{\tau _{0}}}\exp(-t/\tau _{0}).}$

يمكن استخدام الأرقام العشوائية r ببساطة شديدة لتوليد رحلات طيران حرة عشوائية، والتي سيتم تحديد مدتها بعد ذلك بواسطة${\displaystyle t_{r}=-\tau _{0}\ln(r)}$يُعوَّض الوقت المُستغرَق في حساب التشتت الذاتي بشكلٍ كاملٍ بفضل تبسيط حساب مدة الطيران الحر. ^{[ 9 ]} ولتسريع حساب مدة الطيران الحر، تُستخدم عدة طرق، مثل "التقنية الثابتة" و"التقنية القطعية"، لتقليل أحداث التشتت الذاتي.

تُعدّ خصائص نقل الشحنة المهمة في أجهزة أشباه الموصلات، مثل الانحراف عن قانون أوم وتشبع حركة حاملات الشحنة، نتيجة مباشرة لآليات التشتت. لذا، من الأهمية بمكان أن تُجسّد محاكاة أجهزة أشباه الموصلات فيزياء هذه الآليات. وفي هذا السياق، تُعتبر محاكاة مونت كارلو لأشباه الموصلات أداةً فعّالة للغاية لما تُتيحه من سهولة ودقة في تضمين مجموعة شاملة تقريبًا من آليات التشتت. ويُحدد زمن الطيران الحر من معدلات التشتت. وفي نهاية كل رحلة، يجب اختيار آلية التشتت المناسبة لتحديد الطاقة النهائية لحامل الشحنة المُشتت، أو ما يُعادلها، زخمه الجديد وزاوية تشتته. وبهذا المعنى، يُمكن التمييز بين نوعين رئيسيين من آليات التشتت، واللذين ينبثقان بشكل طبيعي من النظرية الحركية الكلاسيكية للتصادم بين جسمين:

التشتت المرن هو عملية تحافظ على طاقة الجسيم بعد تشتته، وبالتالي لا يغير سوى اتجاه زخمه. يُعدّ كل من تشتت الشوائب وتشتت السطح، بتقريب معقول، مثالين جيدين على عمليات التشتت المرن.

التشتت غير المرن ، حيث تنتقل الطاقة بين الجسيم المتشتت ومركز التشتت. تُعد تفاعلات الإلكترون-فونون غير مرنة أساسًا، إذ ينبعث فونون ذو طاقة محددة أو يمتصه الجسيم المتشتت. قبل الخوض في تفاصيل رياضية أكثر دقة حول آليات التشتت، من المهم الإشارة إلى أنه عند إجراء محاكاة مونت كارلو لأشباه الموصلات، يتعين التعامل بشكل رئيسي مع الأنواع التالية من أحداث التشتت: ^{[ 9 ]}

الفونون الصوتي: يتبادل حامل الشحنة الطاقة مع نمط صوتي لاهتزاز الذرات في الشبكة البلورية. وينشأ الفونون الصوتي بشكل رئيسي من الإثارة الحرارية للشبكة البلورية.

الاستقطاب البصري: يتبادل حامل الشحنة الطاقة مع أحد أنماط الاستقطاب البصري للشبكة البلورية. هذه الأنماط غير موجودة في أشباه الموصلات التساهمية. تنشأ الفونونات الضوئية من اهتزاز ذرات من أنواع مختلفة ضد بعضها البعض عندما يكون هناك أكثر من ذرة واحدة في أصغر وحدة خلية، وعادةً ما تُثار بواسطة الضوء.

البصريات غير القطبية: يتم تبادل الطاقة مع نمط بصري. يجب عمومًا مراعاة الفونونات البصرية غير القطبية في أشباه الموصلات التساهمية ووادي L في GaAs.

الفونون المتكافئ بين الوديان: نتيجةً للتفاعل مع الفونون، ينتقل حامل الشحنة من حالات ابتدائية إلى حالات نهائية تنتمي إلى وديان مختلفة ولكنها متكافئة. عادةً، يصف هذا النوع من آليات التشتت انتقال الإلكترون من وادٍ X إلى وادٍ X آخر، أو من وادٍ L إلى وادٍ L آخر. ^{[ 10 ]}

الفونون غير المتكافئ بين الوديان: يتضمن انتقال حامل الشحنة بين وديان من أنواع مختلفة.

الفونون الكهروإجهادي: لدرجات الحرارة المنخفضة.

الشوائب المتأينة: تعكس انحراف الجسيم عن مساره الباليستي نتيجة تفاعل كولوم مع شوائب متأينة في الشبكة البلورية. ولأن كتلة الإلكترون صغيرة نسبيًا مقارنةً بكتلة الشوائب، فإن مقطع كولوم العرضي يتناقص بسرعة مع ازدياد الفرق في مقدار الزخم بين الحالة الابتدائية والنهائية. ^{[ 9 ]} لذلك، تُؤخذ أحداث تشتت الشوائب في الاعتبار بشكل أساسي لتشتت داخل الوادي، وتشتت داخل النطاق، وبدرجة أقل، لتشتت بين النطاقات.

التفاعل بين حاملات الشحنة: (تفاعلات الإلكترون-إلكترون، والفجوة-الفجوة، والإلكترون-الفجوة). عندما يكون تركيز حاملات الشحنة مرتفعًا، يعكس هذا النوع من التشتت التفاعل الكهروستاتيكي بينها. تصبح هذه المسألة مُكلفة حسابيًا بشكل كبير مع ازدياد عدد الجسيمات في محاكاة المجموعة. في هذا السياق، أثبتت خوارزميات P3M (جسيم-جسيم-جسيم-شبكة)، التي تُميز بين التفاعل قصير المدى وطويل المدى للجسيم مع غاز الشحنة المحيط به، كفاءتها في تضمين التفاعل بين حاملات الشحنة في محاكاة مونت كارلو لأشباه الموصلات. ^{[ 11 ]} غالبًا ما تُخصص شحنة حاملات الشحنة لشبكة باستخدام طريقة السحابة في الخلية، حيث يُخصص جزء من شحنة جسيم معين لعدد محدد من أقرب نقاط الشبكة بمعامل ترجيح معين.

البلازمون: يعكس تأثير التذبذب الجماعي لحاملات الشحنة على جسيم معين.

تتمثل إحدى الطرق الفعالة حسابيًا لإدراج التشتت في محاكاة مونت كارلو في تخزين معدلات التشتت للآليات الفردية في جداول. وبالنظر إلى معدلات التشتت المختلفة لحالة جسيم محددة، يمكن اختيار عملية التشتت عشوائيًا في نهاية الطيران الحر. غالبًا ما تُشتق معدلات التشتت هذه باستخدام تقريب بورن ، حيث يكون حدث التشتت مجرد انتقال بين حالتين من حالات الزخم للحامل المعني. وكما نوقش في القسم II-I، يمكن اختزال مسألة الأجسام المتعددة الكمومية الناشئة عن تفاعل حامل مع بيئته المحيطة (الفونونات، والإلكترونات، والفجوات، والبلازمونات، والشوائب، ...) إلى مسألة جسمين باستخدام تقريب شبه الجسيم، الذي يفصل الحامل محل الاهتمام عن بقية البلورة. ^{[ 9 ]} ضمن هذه التقريبات، تعطي قاعدة فيرمي الذهبية ، من الدرجة الأولى، احتمالية الانتقال لكل وحدة زمنية لآلية تشتت من حالة${\displaystyle |k\rangle }$إلى دولة${\displaystyle |k'\rangle }$:

${\displaystyle S(k,k')={\frac {2\pi }{\hbar }}\left|\langle k|H'|k'\rangle \right|^{2}\cdot \delta (E-E')}$

حيث يمثل H' هاميلتونيان الاضطراب الذي يمثل التصادم، وE وE′ هما على التوالي الطاقتان الابتدائية والنهائية للنظام المكون من كل من حاملات الشحنة وغاز الإلكترونات والفونونات. ديراك${\displaystyle \delta }$يشير مصطلح "الوظيفة" إلى حفظ الطاقة. بالإضافة إلى ذلك، فإن المصطلح${\displaystyle \langle k|H'|k'\rangle }$، والتي يشار إليها عمومًا باسم عنصر المصفوفة، تمثل رياضيًا حاصل الضرب الداخلي للدوال الموجية الأولية والنهائية للحامل: ^{[ 12 ]}

${\displaystyle \langle k|H'|k'\rangle ={\frac {1}{Vol}}\int _{\mathrm {Vol} }\psi _{k}(r)H'\psi _{k'}^{*}(r)\,dr}$

في الشبكة البلورية، الدوال الموجية ${\displaystyle \psi _{k}(r)}$و ${\displaystyle \psi _{k'}(r)}$هي ببساطة موجات بلوخ . عندما يكون ذلك ممكنًا، يتم عادةً إيجاد التعبير التحليلي لعناصر المصفوفة عن طريق توسيع فورييه للهاميلتوني H'، كما هو الحال في تشتت الشوائب ^{[ 13 ]} أو تشتت الفونونات الصوتية ^{[ 14 ]} . في الحالة المهمة للانتقال من حالة طاقة E إلى حالة طاقة E' بسبب فونون ذي متجه موجي q وتردد${\displaystyle \omega _{q}}$، يكون التغير في الطاقة والزخم كما يلي:

${\displaystyle E'-E=E(k')-E(k)\pm \hbar \omega _{q}\,}$

${\displaystyle k'-k\pm q={\begin{cases}0&{\text{ }}\\R&{\text{Umklapp-process}}\end{cases}}}$

حيث R متجه الشبكة المقلوبة . تُغير عمليات أومكلاب (أو عمليات U) زخم الجسيم بعد التشتت، وبالتالي تحد من التوصيل في بلورات أشباه الموصلات. فيزيائيًا، تحدث عمليات U عندما يشير الزخم النهائي للجسيم خارج منطقة بريلوين الأولى. بمجرد معرفة احتمالية التشتت لكل وحدة زمنية من الحالة k إلى الحالة k'، يصبح من المهم تحديد معدل التشتت لعملية تشتت معينة. يُعطي معدل التشتت احتمالية التشتت لكل وحدة زمنية من الحالة k إلى أي حالة أخرى في الفضاء المقلوب. لذلك، فإن معدل التشتت هو

${\displaystyle \lambda (k)=\sum _{k'}S(k,k')}$

والتي يمكن استخدامها بسهولة لتحديد زمن الطيران الحر وعملية التشتت كما نوقش في القسم 3-3. من المهم ملاحظة أن معدل التشتت هذا سيعتمد على بنية نطاق المادة (ينشأ هذا الاعتماد من عناصر المصفوفة).

في نهاية الرحلة الحرة، يجب اختيار نمط التشتت وزاويته عشوائياً. ولتحديد آلية التشتت، يجب مراعاة جميع معدلات التشتت.${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{n}}$من الآليات ذات الصلة بالمحاكاة بالإضافة إلى معدل التشتت الكلي في وقت التشتت${\displaystyle \lambda _{tot}(t_{sc})=\sum _{i}\lambda _{i}.}$يؤدي اختيار آلية التشتت ببساطة إلى توليد عدد عشوائي موزع بشكل منتظم 0 < r < 1، وذلك وفقًا للقواعد التالية

${\displaystyle {\begin{aligned}r&<{\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{\mathrm {tot} }}}\rightarrow {\text{scattering-mechanism-}}1\\r&<{\frac {\lambda _{1}+\lambda _{2}}{\lambda _{\mathrm {tot} }}}\rightarrow {\text{scattering-mechanism-}}2\\&{}\ \vdots \\r&<{\frac {\sum _{i=0}^{n}\lambda _{i}}{\lambda _{\mathrm {tot} }}}\rightarrow {\text{scattering-mechanism-}}n\end{aligned}}}$

تتمثل إحدى الطرق الفعالة حسابيًا لاختيار آلية التشتت في إضافة آلية تشتت "فراغية" بحيث${\displaystyle \lambda _{\mathrm {tot} }}$يظل ثابتًا بمرور الوقت. إذا تشتت جسيم وفقًا لهذه الآلية، فإنه سيحافظ على مساره الباليستي بعد حدوث التشتت. لاختيار مسار جديد، يجب أولًا حساب طاقة (أو زخم ) الجسيم بعد التشتت.

${\displaystyle E(k')=E(k)\pm \hbar \omega _{q}\pm \Delta E_{C}\,}$

حيث المصطلح${\displaystyle \hbar \omega _{q}}$يُفسر ذلك انبعاث أو امتصاص الفونونات، والمصطلح${\displaystyle \Delta E_{C}}$تكون قيمة غير صفرية في حالة التشتت بين الوديان. تُعطي الطاقة النهائية (وبنية النطاقات) مباشرةً قيمة الزخم الجديد k'. عند هذه النقطة، يكفي اختيار اتجاه جديد (أو زاوية) للجسيم المتشتت. في بعض الحالات البسيطة، مثل تشتت الفونونات وعلاقة التشتت المكافئة، تكون زاوية التشتت عشوائية وموزعة بانتظام على كرة نصف قطرها k'. باستخدام الإحداثيات الكروية، تُكافئ عملية اختيار الزاوية اختيار زاويتين عشوائيًا.${\displaystyle \theta }$و${\displaystyle \psi }$إذا كانت الزاوية موزعة بتوزيع${\displaystyle p(\theta ,\psi )}$إذن، بالنسبة للتوزيع المنتظم للزوايا، فإن احتمال اختيار نقطة من الكرة هو

${\displaystyle p(\theta ,\psi )\,d\theta d\psi ={\frac {\sin \theta \,d\theta \,d\psi }{4\pi }}}$

من الممكن، في هذه الحالة، فصل المتغيرين. التكامل على${\displaystyle \psi }$ثم فوق${\displaystyle \theta }$، يجد المرء

${\displaystyle p(\theta )={\frac {\sin \theta }{2}}}$

${\displaystyle p(\psi )={\frac {1}{2\pi }}}$

يمكن بعد ذلك اختيار الزاويتين الكرويتين، في حالة التوزيع المنتظم، عن طريق توليد عددين عشوائيين 0 < r ₁ , r ₂ < 1 بحيث

${\displaystyle r_{1}=\int _{0}^{\psi }p(\psi ')\,d\psi '={\frac {\psi }{2\pi }}}$

${\displaystyle r_{2}=\int _{0}^{\theta }p(\theta ')\,d\theta '={\frac {1-\cos \theta }{2}}}$

تشكل معادلة ويغنر للنقل الأساس للتصحيح الكمي القائم على ويغنر.

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}+r\cdot \nabla _{r}f-{\frac {1}{\hbar }}\nabla _{r}V\cdot \nabla _{k}f+\sum _{\alpha =1}^{\infty }{\frac {(-1)^{\alpha +1}}{\hbar 4^{\alpha }(2\alpha +1)!}}\times (\nabla _{r}\nabla _{k})^{2\alpha +1}Vf=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{c}}$

حيث k هو زخم البلورة، وV هو الجهد الكلاسيكي، والحد الموجود على الجانب الأيمن هو تأثير التصادم، والحد الرابع على الجانب الأيسر يمثل التأثيرات الكمومية غير المحلية. يتم الحصول على معادلة بولتزمان القياسية للنقل عندما تختفي الحدود غير المحلية على الجانب الأيسر في حالة التغيرات المكانية البطيئة. (لـ)${\displaystyle \alpha =0}$تصبح معادلة بولتزمان المصححة كميًا

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}+r\cdot \nabla _{r}f-{\frac {1}{\hbar }}\nabla _{r}V\cdot \nabla _{k}f=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{c}}$

حيث يتم تضمين الكمون الكمومي في المصطلح${\displaystyle V_{\omega }}$(لا بد أن يكون هناك خطأ:${\displaystyle V_{\omega }}$لم يتم ذكر ذلك مطلقا).

طُوِّرت هذه الطريقة للتصحيح الكمومي بواسطة فاينمان وهيبس عام 1965. في هذه الطريقة، يُشتق الجهد الفعال بحساب مساهمة تقلبات الجسيم الكمومية حول مساره الكلاسيكي في التكامل المساري. يُجرى هذا الحساب باستخدام طريقة حسابية تعتمد على جهد تجريبي من الرتبة الأولى. يصبح الجهد الكلاسيكي الفعال عند النقطة المتوسطة على كل مسار هو

${\displaystyle V_{\mathrm {eff} }(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}a}}\int _{-\infty }^{\infty }V(x')e^{-{\frac {(x'-x)^{2}}{2a^{2}}}}dx'}$

${\displaystyle a^{2}={\frac {\hbar ^{2}}{12m^{*}k_{B}T}}}$

تتضمن هذه الطريقة حلًا دوريًا لمعادلة شرودنغر في محاكاة، حيث يكون المدخل هو الجهد الكهروستاتيكي المتسق ذاتيًا. تُستخدم مستويات الطاقة الدقيقة والدوال الموجية المتعلقة بحل الجهد الكهروستاتيكي لحساب الجهد الكمي. ويمكن تمثيل التصحيح الكمي الناتج عن هذه الطريقة بالمعادلة التالية.

${\displaystyle V_{\mathrm {schr} }(z)=-k_{B}T\cdot \log(n_{q}(z))-V_{p}(z)+V_{0}}$

حيث _Vschr هو جهد التصحيح الكمومي، وz هو الاتجاه العمودي على السطح البيني، و _nq هي الكثافة الكمومية من معادلة شرودنغر، وهي مكافئة لتركيز مونت كارلو المتقارب، و _Vp هو الجهد الناتج عن حل بواسون، _و V0 هو جهد مرجعي اختياري بعيد عن المنطقة الكمومية بحيث ينعدم التصحيح في منطقة السلوك شبه الكلاسيكي. على الرغم من اختلاف جهود التصحيح الكمومي المذكورة أعلاه في طريقة حسابها وافتراضاتها الأساسية، إلا أنها تُدمج جميعها بنفس الطريقة عند إدراجها في محاكاة مونت كارلو.