طريقة الخصائص الكمومية

📅 آخر تحديث: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 95 صور
الموسوعة الحرة

الخصائص الكمومية هي مسارات في فضاء الطور تنشأ في صياغة فضاء الطور لميكانيكا الكم من خلال تحويل ويغنر لمؤثرات هايزنبرغ للإحداثيات والزخم الكنسيين . تخضع هذه المسارات لمعادلات هاميلتون في صيغتها الكمومية، وتؤدي دور الخصائص التي يمكن من خلالها التعبير عن رموز فايل المعتمدة على الزمن للمؤثرات الكمومية. في الحد الكلاسيكي ، تختزل الخصائص الكمومية إلى مسارات كلاسيكية. إن معرفة الخصائص الكمومية تُكافئ معرفة الديناميكا الكمومية .

قاعدة ارتباط ويل-ويغنر

في ديناميكيات هاميلتون ، الأنظمة الكلاسيكية ذاتن{\displaystyle n}يتم وصف درجات الحرية بواسطة2ن{\displaystyle 2n}الإحداثيات والزخمات المتعارف عليها ξأنا=(x1،...،xن،ص1،...،صن)∈R2ن،{\displaystyle \xi ^{i}=(x^{1},\ldots ,x^{n},p_{1},\ldots ,p_{n})\in \mathbb {R} ^{2n},} تشكل هذه المتغيرات نظام إحداثيات في فضاء الطور. وتخضع هذه المتغيرات لعلاقات بواسون بين الأقواس.{ξك،ξل}=-أناكل.{\displaystyle \{\xi ^{k},\xi ^{l}\}=-I^{kl}.} المصفوفة المتناظرة المائلةأناكل{\displaystyle I^{kl}}،

‖أنا‖=‖0-هـنهـن0‖،{\displaystyle \left\|I\right\|={\begin{Vmatrix}0&-E_{n}\\E_{n}&0\end{Vmatrix}},}

أينهـن{\displaystyle E_{n}}هون×ن{\displaystyle n\times n}تُعرّف مصفوفة الوحدة شكلاً تفاضلياً ثنائياً غير منحل في فضاء الطور. وبذلك، يكتسب فضاء الطور بنية مشعب تماثلي . فضاء الطور ليس فضاءً مترياً ، لذا فإن المسافة بين نقطتين غير مُعرّفة. يمكن تفسير قوس بواسون لدالتين على أنه المساحة الموجهة لمتوازي أضلاع أضلاعه المتجاورة هي تدرجات هاتين الدالتين. تُبقي الدورانات في الفضاء الإقليدي المسافة بين نقطتين ثابتة. كما تُبقي التحويلات الكنسية في المشعب التماثلي المساحات ثابتة.

في ميكانيكا الكم، المتغيرات الأساسيةξ{\displaystyle \xi }ترتبط هذه العمليات بمؤثرات الإحداثيات والزخم المتعارف عليهما

ξ^أنا=(x^1،...،x^ن،ص^1،...،ص^ن)∈عملية⁡(ل2(Rن)).{\displaystyle {\hat {\xi }}^{i}=({\hat {x}}^{1},\ldots ,{\hat {x}}^{n},{\hat {p}}_{1},\ldots ,{\hat {p}}_{n})\in \operatorname {Op} (L^{2}(\mathbb {R} ^{n})).}

تعمل هذه المؤثرات في فضاء هيلبرت وتخضع لعلاقات التبادل

[ξ^ك،ξ^ل]=-أناℏأناكل.{\displaystyle [{\hat {\xi }}^{k},{\hat {\xi }}^{l}]=-i\hbar I^{kl}.}

قاعدة ارتباط ويل [ 1 ] توسع نطاق التطابقξأنا→ξ^أنا{\displaystyle \xi ^{i}\rightarrow {\hat {\xi }}^{i}}إلى دوال ومؤثرات فضاء الطور العشوائية.

توسعة تايلور

قاعدة ارتباط من جانب واحدو(ξ)→و^{\displaystyle f(\xi )\to {\hat {f}}}تمت صياغتها بواسطة ويل في البداية بمساعدة توسيع تايلور لدوال مؤثرات المتغيرات الأساسية

و^=و(ξ^)≡∑s=0∞1s!∂sو(0)∂ξأنا1...∂ξأناsξ^أنا1...ξ^أناs.{\displaystyle {\hat {f}}=f({\hat {\xi }})\equiv \sum _{s=0}^{\infty }{\frac {1}{s!}}{\frac {\partial ^{s}f(0)}{\partial \xi ^{i_{1}}\ldots \partial \xi ^{i_{s}}}}{\hat {\xi }}^{i_{1}}\ldots {\hat {\xi }}^{i_{s}}.}

المشغلونξ^{\displaystyle {\hat {\xi }}}لا تتبادل هذه العمليات، لذا فإن متسلسلة تايلور غير مُعرَّفة بشكل فريد. تستخدم الوصفة أعلاه الضرب المتناظر للمؤثرات. تتوافق الدوال الحقيقية مع المؤثرات الهرميتية.و(ξ){\displaystyle f(\xi )}يُطلق عليه رمز ويل للمؤثرو^{\displaystyle {\hat {f}}}.

في ظل الارتباط العكسيو(ξ)←و^{\displaystyle f(\xi )\leftarrow {\hat {f}}}تتحول مصفوفة الكثافة إلى دالة ويغنر . [ 2 ] لدوال ويغنر تطبيقات عديدة في فيزياء الكم متعددة الأجسام، والنظرية الحركية، ونظرية التصادم، والكيمياء الكمية .

اقترح غرونيفولد [ 3 ] وستراتونوفيتش [ 4 ] نسخة محسنة من قاعدة ارتباط ويل-ويغنر.

أساس المشغل

مجموعة المؤثرات العاملة في فضاء هيلبرت مغلقة تحت ضرب المؤثرات بـج{\displaystyle c}الأعداد والجمع. تشكل هذه المجموعة فضاءً متجهيًاV{\displaystyle \mathbb {V} }تحافظ قاعدة الربط المصاغة باستخدام متسلسلة تايلور على العمليات على المؤثرات. ويمكن توضيح هذه العلاقة بالرسم التخطيطي التالي: و(ξ)⟷و^ز(ξ)⟷ز^ج×و(ξ)⟷ج×و^و(ξ)+ز(ξ)⟷و^+ز^}فضاء المتجهاتVو(ξ)⋆ز(ξ)⟷و^ز^}الجبر{\displaystyle \left.{\begin{array}{c}{\begin{array}{c}\left.{\begin{array}{ccc}f(\xi )&\longleftrightarrow &{\hat {f}}\\g(\xi )&\longleftrightarrow &{\hat {g}}\\c\times f(\xi )&\longleftrightarrow &c\times {\hat {f}}\\f(\xi )+g(\xi )&\longleftrightarrow &{\hat {f}}+{\hat {g}}\end{array}}\right\}\;{\text{vector space}}\;\;\mathbb {V} \end{array}}\\{\begin{array}{ccc}{f(\xi )\star g(\xi )}&{\longleftrightarrow }&\;\;{{\hat {f}}{\hat {g}}}\end{array}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\end{array}}\right\}{\text{algebra}}} هنا،و(ξ){\displaystyle f(\xi )}وز(ξ){\displaystyle g(\xi )}هي دوال،و^{\displaystyle {\hat {f}}}وز^{\displaystyle {\hat {g}}}وهي العوامل المرتبطة، و⋆{\displaystyle \star }وهو المنتج النجمي المحدد في القسم التالي.

عناصر الأساس لـV{\displaystyle \mathbb {V} }يتم تصنيفها بواسطة متغيرات أساسيةξأنا∈(-∞،+∞){\displaystyle \xi ^{i}\in (-\infty ,+\infty )}تبدو قاعدة غرونيفولد-ستراتونوفيتش الشائعة الاستخدام كما يلي:

ب^(ξ)=∫د2نη(2πℏ)نخبرة⁡(-أناℏηك(ξ-ξ^)ك)∈V.{\displaystyle {\hat {B}}(\xi )=\int {\frac {d^{2n}\eta {(2\pi \hbar )^{n}}}\exp(-{\frac {i}{\hbar }}\eta _{k}(\xi -{\hat {\xi }})^{k})\in \mathbb {V} .}

قاعدة الارتباط ثنائية الجانب لـ Weyl–Wigner للدالةو(ξ){\displaystyle f(\xi )}والمشغلو^{\displaystyle {\hat {f}}}له الشكل

و(ξ)=Tr⁡[ب^(ξ)و^]،{\displaystyle f(\xi )=\operatorname {Tr} [{\hat {B}}(\xi ){\hat {f}}],}و^=∫د2نξ(2πℏ)نو(ξ)ب^(ξ).{\displaystyle {\hat {f}}=\int {\frac {d^{2n}\xi }{(2\pi \hbar )^{n}}}f(\xi ){\hat {B}}(\xi ).}

الوظيفةو(ξ){\displaystyle f(\xi )}يوفر إحداثيات المشغلو^{\displaystyle {\hat {f}}}في الأساسب^(ξ){\displaystyle {\hat {B}}(\xi )}الأساس كامل ومتعامد: ∫د2نξ(2πℏ)نب^(ξ)Tr⁡[ب^(ξ)و^]=و^،{\displaystyle \int {\frac {d^{2n}\xi }{(2\pi \hbar )^{n}}}{\hat {B}}(\xi )\operatorname {Tr} [{\hat {B}}(\xi ){\hat {f}}]={\hat {f}},}Tr⁡[ب^(ξ)ب^(ξ′)]=(2πℏ)ندلتا2ن(ξ-ξ′).{\displaystyle \operatorname {Tr} [{\hat {B}}(\xi ){\hat {B}}(\xi ^{\prime })]=(2\pi \hbar )^{n}\delta ^{2n}(\xi -\xi ^{\prime }).}

تُناقش أيضًا قواعد المؤثرات البديلة. [ 5 ] تُعرف حرية اختيار قاعدة المؤثر باسم مشكلة ترتيب المؤثرات. وتعتمد إحداثيات مسارات الجسيمات في فضاء الطور على قاعدة المؤثر.

المنتج النجمي

مجموعة المؤثرات Op( L² (Rⁿ ) ) مغلقة تحت عملية ضرب المؤثرات. الفضاء المتجهيV{\displaystyle \mathbb {V} }وبذلك، تتمتع ببنية جبرية ترابطية. بالنظر إلى دالتين و(ξ)=تير[ب^(ξ)و^]  أند  ز(ξ)=تير[ب^(ξ)ز^]،{\displaystyle f(\xi )=\mathrm {Tr} [{\hat {B}}(\xi ){\hat {f}}]~~\mathrm {and} ~~g(\xi )=\mathrm {Tr} [{\hat {B}}(\xi ){\hat {g}}],} يمكن للمرء أن يبني دالة ثالثة، و(ξ)⋆ز(ξ)=تير[ب^(ξ)و^ز^]{\displaystyle f(\xi )\star g(\xi )=\mathrm {Tr} [{\hat {B}}(\xi ){\hat {f}}{\hat {g}}]} يُطلق عليه اسم⋆{\displaystyle \star }-الناتج. [ 3 ] وهو معطى صراحةً بواسطة و(ξ)⋆ز(ξ)=و(ξ)خبرة⁡(أناℏ2P)ز(ξ)،{\displaystyle f(\xi )\star g(\xi )=f(\xi )\exp({\frac {i\hbar }{2}}{\mathcal {P}})g(\xi ),} أين P=-أناكل∂∂ξك←∂∂ξل→{\displaystyle {\mathcal {P}}=-{I}^{kl}{\overleftarrow {\frac {\partial }{\partial \xi ^{k}}}}{\overrightarrow {\frac {\partial }{\partial \xi ^{l}}}}} هو عامل بواسون.⋆{\displaystyle \star }- ينقسم الناتج إلى أجزاء متناظرة وأجزاء متناظرة معكوسة، و⋆ز=و∘ز+أناℏ2و∧ز.{\displaystyle f\star g=f\circ g+{\frac {i\hbar }{2}}f\wedge g.}

في الحد الكلاسيكي،∘{\displaystyle \circ }يتحول حاصل الضرب السالب إلى حاصل الضرب النقطي . الجزء المتناظر عكسيًاو∧ز{\displaystyle f\wedge g}يُعرف باسم قوس مويال . [ 6 ] وهو رمز ويل للمبدل. في الحد الكلاسيكي، يتحول قوس مويال إلى قوس بواسون. قوس مويال هو تشويه كمي لقوس بواسون.⋆{\displaystyle \star }المنتج ترابطي، بينما الـ∘{\displaystyle \circ }-المنتج وقوس مويال ليسا ترابطيين.

الخصائص الكمومية

المراسلاتξ↔ξ^{\displaystyle \xi \leftrightarrow {\hat {\xi }}}يُظهر ذلك أن تحويلات الإحداثيات في فضاء الطور مصحوبة بتحويلات لمؤثرات الإحداثيات والزخم الكنسي، والعكس صحيح . ليكنيو^{\displaystyle \mathbf {\hat {U}} }كن عامل التطور، يو^=خبرة⁡(-أناℏح^τ)،{\displaystyle {\hat {U}}=\exp {\Bigl (}-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}\tau {\Bigr )},} وح^{\displaystyle {\hat {H}}} ليكن الهاميلتوني. انظر إلى المخطط التالي، ξ⟶qξ´↕↕ξ^⟶يو^ξ^´{\displaystyle {\begin{aligned}&{}\,\xi {\stackrel {q}{\longrightarrow }}\,{\acute {\xi }}\\&{}\updownarrow \;\;\;\;\;\;\updownarrow \\&{}\,{\hat {\xi }}{\stackrel {\hat {U}}{\longrightarrow }}{\acute {\hat {\xi }}}\end{aligned}}}

يُحوّل التطور الكمومي المتجهات في فضاء هيلبرت، وبموجب خريطة ويغنر للارتباط، يُحوّل الإحداثيات في فضاء الطور. في تمثيل هايزنبرغ ، تتحول معاملات المتغيرات الأساسية كما يلي: ξ^أنا→ξ^أنا´=يو^†ξ^أنايو^.{\displaystyle {\hat {\xi }}^{i}\rightarrow {\acute {{\hat {\xi }}^{i}}}={\hat {U}}^{\dagger }{\hat {\xi }}^{i}{\hat {U}}.} إحداثيات فضاء الطورξ´أنا{\displaystyle {\acute {\xi }}^{i}}والتي تتوافق مع عوامل التشغيل الجديدةξ^أنا´{\displaystyle {\acute {{\hat {\xi }}^{i}}}}في الأساس القديمب^(ξ){\displaystyle {\hat {B}}(\xi )}يتم تقديمها بواسطة ξأنا→ξ´أنا=qأنا(ξ،τ)=تير[ب^(ξ)يو^†ξ^أنايو^]،{\displaystyle \xi ^{i}\rightarrow {\acute {\xi }}^{i}=q^{i}(\xi ,\tau )=\mathrm {Tr} [{\hat {B}}(\xi ){\hat {U}}^{\dagger }{\hat {\xi }}^{i}{\hat {U}}],} مع الشروط الأولية qأنا(ξ،0)=ξأنا.{\displaystyle q^{i}(\xi ,0)=\xi ^{i}.} الوظائفqأنا(ξ،τ){\displaystyle q^{i}(\xi ,\tau )} حدد تدفق الطور الكمومي . في الحالة العامة، يكون قياسيًا من الدرجة الأولى في τ . [ 7 ]

وظائف النجوم

تُعتبر مجموعة عوامل المتغيرات الأساسية كاملة بمعنى أنه يمكن تمثيل أي عامل كدالة لعوامل أخرى.ξ^{\displaystyle {\hat {\xi }}}التحولات و^→و^´=يو^†و^يو^{\displaystyle {\hat {f}}\rightarrow {\acute {\hat {f}}}={\hat {U}}^{\dagger }{\hat {f}}{\hat {U}}} تُحدث، بموجب قاعدة ويغنر للارتباط، تحولات في دوال فضاء الطور، و(ξ)⟶qو´(ξ)=تير[ب^(ξ)يو^†و^يو^]↕↕و^⟶يو^و^´=يو^†و^يو^{\displaystyle {\begin{aligned}&{}f(\xi ){\stackrel {q}{\longrightarrow }}{\acute {f}}(\xi )=\mathrm {Tr} [{\hat {B}}(\xi ){\hat {U}}^{\dagger }{\hat {f}}{\hat {U}}]\\&{}\updownarrow \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\updownarrow \\&{}{\hat {f}}\;\;\;\;{\stackrel {\hat {U}}{\longrightarrow }}\,{\acute {\hat {f}}}\;\;\;\;\;={\hat {U}}^{\dagger }{\hat {f}}{\hat {U}}\end{aligned}}}

باستخدام متسلسلة تايلور، تحويل الدالةو(ξ){\displaystyle f(\xi )}يمكن أن نجد في ظل التطور و(ξ)→و´(ξ)≡تير[ب^(ξ)يو†^و(ξ^)يو^]=∑s=0∞1s!∂sو(0)∂ξأنا1...∂ξأناsqأنا1(ξ،τ)⋆...⋆qأناs(ξ،τ)≡و(⋆q(ξ،τ)).{\displaystyle f(\xi )\rightarrow {\acute {f}}(\xi )\equiv \mathrm {Tr} [{\hat {B}}(\xi ){\hat {U^{\dagger }}}f({\hat {\xi }}){\hat {U}}]=\sum _{s=0}^{\infty }{\frac {1}{s!}}{\frac {\partial ^{s}f(0)}{\partial \xi ^{i_{1}}\ldots \partial \xi ^{i_{s}}}}q^{i_{1}}(\xi ,\tau )\star \ldots \star q^{i_{s}}(\xi ,\tau )\equiv f(\star q(\xi ,\tau )).} تُسمى الدالة المركبة المعرفة بهذه الطريقة⋆{\displaystyle \star }-وظيفة.

يختلف قانون التركيب عن القانون الكلاسيكي. ومع ذلك، فإن التوسع شبه الكلاسيكي لـو(⋆q(ξ،τ)){\displaystyle f(\star q(\xi ,\tau ))}حولو(q(ξ،τ)){\displaystyle f(q(\xi ,\tau ))}محدد بشكل رسمي جيد ويتضمن قوى متساوية منℏ{\displaystyle \hbar }فقط. تُظهر هذه المعادلة أنه، بالنظر إلى كيفية بناء الخصائص الكمومية، يمكن إيجاد الكميات الفيزيائية القابلة للرصد دون الرجوع إلى الهاميلتوني. الدوالqأنا(ξ،τ){\displaystyle q^{i}(\xi ,\tau )}تلعب دور الخصائص، [ 8 ] على غرار الخصائص الكلاسيكية المستخدمة لحل معادلة ليوفيل الكلاسيكية .

معادلة ليوفيل الكمومية

يؤدي تحويل ويغنر لمعادلة التطور لمصفوفة الكثافة في تمثيل شرودنغر إلى معادلة ليوفيل الكمومية لدالة ويغنر. أما تحويل ويغنر لمعادلة التطور للمؤثرات في تمثيل هايزنبرغ، ∂∂τو^=-أناℏ[و^،ح^]،{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \tau }}{\hat {f}}=-{\frac {i}{\hbar }}[{\hat {f}},{\hat {H}}],} يؤدي ذلك إلى نفس المعادلة مع عكس الإشارة (الزائد) في الجانب الأيمن: ∂∂τو(ξ،τ)=و(ξ،τ)∧ح(ξ).{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \tau }}f(\xi ,\tau )=f(\xi ,\tau )\wedge H(\xi ).}⋆{\displaystyle \star }تقوم الدالة بحل هذه المعادلة من حيث الخصائص الكمومية: و(ξ،τ)=و(⋆q(ξ،τ)،0).{\displaystyle f(\xi ,\tau )=f(\star q(\xi ,\tau ),0).} وبالمثل، فإن تطور دالة ويغنر في تمثيل شرودنغر يُعطى بواسطة دبليو(ξ،τ)=دبليو(⋆q(ξ،-τ)،0).{\displaystyle W(\xi ,\tau )=W(\star q(\xi ,-\tau ),0).} تفشل نظرية ليوفيل في الميكانيكا الكلاسيكية، لدرجة أن حجم فضاء الطور لا يُحفظ محليًا مع مرور الوقت. في الواقع، لا يحافظ تدفق الطور الكمومي على جميع الأشكال التفاضلية.ω2s{\displaystyle \omega ^{2s}}محددة بقوى خارجية لـω2=أناكلدξك⋏دξل{\displaystyle \omega ^{2}=I^{kl}d\xi _{k}\curlywedge d\xi _{l}}.

تمثل دالة ويغنر نظامًا كميًا بصورة أكثر عمومية من دالة الموجة. تصف دوال الموجة الحالات النقية، بينما تميز دالة ويغنر مجموعات من الحالات الكمومية. يمكن تحويل أي مؤثر هيرميتي إلى دالة قطرية.

و^=∑sλs|s⟩⟨s|.{\displaystyle {\hat {f}}=\sum _{s}\lambda _{s}|s\rangle \langle s|.}

تلك المؤثرات التي تكون قيمها الذاتيةλs{\displaystyle \lambda _{s}}يمكن تمثيل الدوال غير السالبة التي يكون مجموعها عددًا محدودًا بمصفوفات الكثافة، أي ببعض الحالات الفيزيائية. دالة ويغنر هي صورة لمصفوفة الكثافة، لذا فإن دوال ويغنر تقبل تحليلًا مشابهًا.

دبليو(ξ)=∑sλsدبليوs(ξ)،{\displaystyle W(\xi )=\sum _{s}\lambda _{s}W_{s}(\xi ),}

معλs≥0{\displaystyle \lambda _{s}\geq 0}و

دبليوs(ξ)⋆دبليور(ξ)=دلتاsردبليوs(ξ).{\displaystyle W_{s}(\xi )\star W_{r}(\xi )=\delta _{sr}W_{s}(\xi ).}

معادلات هاميلتون الكمومية

يمكن الحصول على معادلات هاميلتون الكمومية بتطبيق تحويل ويغنر على معادلات التطور لمؤثرات هايزنبرغ للإحداثيات والزخم الكنسيين، ∂∂τqأنا(ξ،τ)={ζأنا،ح(ζ)}|ζ=⋆q(ξ،τ).{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \tau }}q^{i}(\xi ,\tau )=\{\zeta ^{i},H(\zeta )\}|_{\zeta =\star q(\xi ,\tau )}.}

يتم حساب الطرف الأيمن كما في الميكانيكا الكلاسيكية. أما الدالة المركبة فهي، مع ذلك،⋆{\displaystyle \star }الوظيفة. الـ⋆{\displaystyle \star }ينتهك المنتج مبدأ التماثل في تدفق الطور بما يتجاوز الرتبة الأولى فيτ{\displaystyle \tau }.

صيانة قوس مويال

تكون نواتج الضرب المضادة للتناظر لعدد زوجي من المؤثرات ذات المتغيرات الأساسية أعدادًا من النوع c نتيجة لعلاقات التبادل. وتبقى هذه النواتج ثابتةً بفعل التحويلات الوحدوية، مما يؤدي، على وجه الخصوص، إلى العلاقة التالية:

qأنا(ξ،τ)∧qج(ξ،τ)=ξأنا∧ξج=-أناأناج.{\displaystyle q^{i}(\xi ,\tau )\wedge q^{j}(\xi ,\tau )=\xi ^{i}\wedge \xi ^{j}=-I^{ij}.}

بشكل عام، المنتج غير المتماثل

q[أنا1(ξ،τ)⋆qأنا2(ξ،τ)⋆...⋆qأنا2s](ξ،τ){\displaystyle q^{[i_{1}}(\xi ,\tau )\star q^{i_{2}}(\xi ,\tau )\star \ldots \star q^{i_{2s}]}(\xi ,\tau )}

وهو ثابت أيضًا، أي أنه لا يعتمد على الوقت، وعلاوة على ذلك لا يعتمد على الإحداثيات.

تحافظ تحويلات فضاء الطور الناتجة عن عامل التطور على قوس مويال ولا تحافظ على قوس بواسون، لذا فإن خريطة التطور

ξ→ξ´=q(ξ،τ)،{\displaystyle \xi \rightarrow {\acute {\xi }}=q(\xi ,\tau ),}

لا تُعتبر هذه المجموعة قياسيةً بعد O(τ). [ 8 ] يُعرّف الترتيب الأول في τ جبر مجموعة التحويلات. وكما ذُكر سابقًا، يتطابق جبر التحويلات القياسية في الميكانيكا الكلاسيكية مع جبر التحويلات الوحدوية في ميكانيكا الكم. إلا أن هاتين المجموعتين مختلفتان لأن عمليات الضرب في الميكانيكا الكلاسيكية والكمية مختلفة.

تختلف خصائص تحويل المتغيرات الكنسية ووظائف فضاء الطور في ظل التحويلات الوحدوية في فضاء هيلبرت اختلافات مهمة عن حالة التحويلات الكنسية في فضاء الطور.

قانون التركيب

يصعب التعامل مع الخصائص الكمومية بصريًا كمسارات تتحرك عليها الجسيمات الفيزيائية. والسبب يكمن في قانون تكوين النجوم. q(ξ،τ1+τ2)=q(⋆q(ξ،τ1)،τ2)،{\displaystyle q(\xi ,\tau _{1}+\tau _{2})=q(\star q(\xi ,\tau _{1}),\tau _{2}),} وهو غير محلي ويختلف عن قانون التركيب النقطي للميكانيكا الكلاسيكية.

ترشيد استهلاك الطاقة

يشير الحفاظ على الطاقة إلى ح(ξ)=ح(⋆q(ξ،τ))،{\displaystyle H(\xi )=H(\star q(\xi ,\tau )),} أين ح(ξ)=تير[ب^(ξ)ح^]{\displaystyle H(\xi )=\mathrm {Tr} [{\hat {B}}(\xi ){\hat {H}}]} هي دالة هاميلتون. بالمعنى الهندسي المعتاد،ح(ξ){\displaystyle H(\xi )}لا يتم الحفاظ عليها وفقًا للخصائص الكمومية.

ملخص

يمكن تتبع أصل طريقة الخصائص إلى ميكانيكا المصفوفات لهايزنبرغ . لنفترض أننا حللنا في ميكانيكا المصفوفات معادلات تطور مؤثرات الإحداثيات والزخم الكنسي في تمثيل هايزنبرغ. تتطور هذه المؤثرات وفقًا لـ ξ^أنا→ξ^أنا(τ)=يو^†ξ^أنايو^.{\displaystyle {\hat {\xi }}^{i}\rightarrow {\hat {\xi }}^{i}(\tau )={\hat {U}}^{\dagger }{\hat {\xi }}^{i}{\hat {U}}.} من المعروف أن أي مشغلو^{\displaystyle {\hat {f}}}يمكن إيجاد دالة f ( ξ ) التي من خلالها و^{\displaystyle {\hat {f}}}يتم تمثيلها بالشكلو(ξ^){\displaystyle f({\hat {\xi }})}نفس المشغلو^{\displaystyle {\hat {f}}}عند الزمن τ يساوي و^(τ)=يو^†و^يو^=يو^†و(ξ^)يو^=و(يو^†ξ^يو^)=و(ξ^(τ)).{\displaystyle {\hat {f}}(\tau )={\hat {U}}^{\dagger }{\hat {f}}{\hat {U}}={\hat {U}}^{\dagger }f({\hat {\xi }}){\hat {U}}=f({\hat {U}}^{\dagger }{\hat {\xi }}{\hat {U}})=f({\hat {\xi }}(\tau )).} توضح هذه المعادلة أنξ^(τ){\displaystyle {\hat {\xi }}(\tau )}هي خصائص تحدد تطور جميع المؤثرات في Op( L 2 (R n )). تنتقل هذه الخاصية بالكامل إلى فضاء الطور عند تكميم التشوه، وفي حالة ħ → 0 ، إلى الميكانيكا الكلاسيكية .

الديناميكا الكلاسيكية مقابل الديناميكا الكمومية
معادلة ليوفيل
معادلة تفاضلية جزئية من الدرجة الأولىمعادلة تفاضلية جزئية من الرتبة اللانهائية
∂∂τρ(ξ،τ)=-{ρ(ξ،τ)،ح(ξ)}{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \tau }}\rho (\xi ,\tau )=-\{\rho (\xi ,\tau ),{\mathcal {H}}(\xi )\}}∂∂τدبليو(ξ،τ)=-دبليو(ξ،τ)∧ح(ξ){\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \tau }}W(\xi ,\tau )=-W(\xi ,\tau )\wedge H(\xi )}
معادلات هاميلتون
معادلة تفاضلية عادية من الرتبة المحدودةمعادلة تفاضلية جزئية من الرتبة اللانهائية
∂∂τجأنا(ξ،τ)={ζأنا،ح(ζ)}|ζ=ج(ξ،τ){\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \tau }}c^{i}(\xi ,\tau )=\{\zeta ^{i},{\mathcal {H}}(\zeta )\}|_{\zeta =c(\xi ,\tau )}}∂∂τqأنا(ξ،τ)={ζأنا،ح(ζ)}|ζ=⋆q(ξ،τ){\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \tau }}q^{i}(\xi ,\tau )=\{\zeta ^{i},H(\zeta )\}|_{\zeta =\star q(\xi ,\tau )}}
الشروط الأوليةالشروط الأولية
جأنا(ξ،0)=ξأنا{\displaystyle c^{i}(\xi ,0)=\xi ^{i}}qأنا(ξ،0)=ξأنا{\displaystyle q^{i}(\xi ,0)=\xi ^{i}}
قانون التركيب
تركيب النقاط⋆{\displaystyle \star }-تعبير
ج(ξ،τ1+τ2)=ج(ج(ξ،τ1)،τ2){\displaystyle c(\xi ,\tau _{1}+\tau _{2})=c(c(\xi ,\tau _{1}),\tau _{2})}q(ξ،τ1+τ2)=q(⋆q(ξ،τ1)،τ2){\displaystyle q(\xi ,\tau _{1}+\tau _{2})=q(\star q(\xi ,\tau _{1}),\tau _{2})}
الثبات
قوس بواسونقوس مويال
{جأنا(ξ،τ)،جج(ξ،τ)}={ξأنا،ξج}{\displaystyle \{c^{i}(\xi ,\tau ),c^{j}(\xi ,\tau )\}=\{\xi ^{i},\xi ^{j}\}}qأنا(ξ،τ)∧qج(ξ،τ)=ξأنا∧ξج{\displaystyle q^{i}(\xi ,\tau )\wedge q^{j}(\xi ,\tau )=\xi ^{i}\wedge \xi ^{j}}
ترشيد استهلاك الطاقة
تركيب النقاط⋆{\displaystyle \star }-تعبير
ح(ξ)=ح(ج(ξ،τ)){\displaystyle H(\xi )=H(c(\xi ,\tau ))}ح(ξ)=ح(⋆q(ξ،τ)){\displaystyle H(\xi )=H(\star q(\xi ,\tau ))}
حل معادلة ليوفيل
تركيب النقاط⋆{\displaystyle \star }-تعبير
ρ(ξ،τ)=ρ(ج(ξ،-τ)،0){\displaystyle \rho (\xi ,\tau )=\rho (c(\xi ,-\tau ),0)}دبليو(ξ،τ)=دبليو(⋆q(ξ،-τ)،0){\displaystyle W(\xi ,\tau )=W(\star q(\xi ,-\tau ),0)}

يقارن الجدول خصائص السمات في الميكانيكا الكلاسيكية والكمية. تشير PDE وODE إلى المعادلات التفاضلية الجزئية والمعادلات التفاضلية العادية ، على التوالي. معادلة ليوفيل الكمية هي تحويل فايل-ويغنر لمعادلة فون نيومان التطورية لمصفوفة الكثافة في تمثيل شرودنغر . معادلات هاميلتون الكمية هي تحويلات فايل-ويغنر لمعادلات التطور لمؤثرات الإحداثيات والزخم الكنسي في تمثيل هايزنبرغ .

في الأنظمة الكلاسيكية، الخصائصجأنا(ξ،τ){\displaystyle c^{i}(\xi ,\tau )}عادةً ما تُحقق الدوال المعادلات التفاضلية العادية من الرتبة الأولى، مثل معادلات هاميلتون الكلاسيكية، وتحل المعادلات التفاضلية الجزئية من الرتبة الأولى، مثل معادلة ليوفيل الكلاسيكية.qأنا(ξ،τ){\displaystyle q^{i}(\xi ,\tau )}وهي أيضاً من الخصائص، على الرغم من كليهماqأنا(ξ،τ){\displaystyle q^{i}(\xi ,\tau )}وو(ξ،τ){\displaystyle f(\xi ,\tau )}تخضع لمعادلات تفاضلية جزئية من الرتبة اللانهائية.

يحتوي تدفق الطور الكمومي على جميع المعلومات المتعلقة بالتطور الكمومي. التوسع شبه الكلاسيكي للخصائص الكمومية و⋆{\displaystyle \star }تتيح دوال الخصائص الكمومية في متسلسلة قوى في ħ حساب القيم المتوسطة للكميات الفيزيائية المتغيرة مع الزمن عن طريق حل نظام معادلات تفاضلية عادية مقترنة من رتبة محدودة لمسارات فضاء الطور وحقول جاكوبي. [ 9 ] [ 10 ] تعتمد رتبة نظام المعادلات التفاضلية العادية على اقتطاع متسلسلة القوى. تأثير النفق الكمومي غير اضطرابي في ħ ولا يتم تضمينه في التوسع. لا تُحفظ كثافة سائل الاحتمال الكمومي في فضاء الطور، حيث ينتشر السائل الكمومي. [ 6 ] يجب التمييز بين الخصائص الكمومية ومسارات نظرية دي برولي-بوم ، [ 11 ] ومسارات طريقة التكامل المساري في فضاء الطور للسعات [ 12 ] ودالة ويغنر، [ 13 ] [ 14 ] ومسارات ويغنر. [ 5 ] حتى الآن، لم يتم حل سوى عدد قليل من الأنظمة الكمومية بشكل صريح باستخدام طريقة الخصائص الكمومية. [ 15 ] [ 16 ] [ 17 ]

انظر أيضاً

مراجع

  1. ^ ويل ، هـ. (1927). “ميكانيكا الكم ونظرية المجموعة”. Zeitschrift für Physik . 46 ( 1– 2): 1– 46. بيب كود : 1927ZPhy...46....1W . دوى : 10.1007/BF02055756 . S2CID 121036548 . 
  2. ↑ ويغنر، إي بي (1932). "حول التصحيح الكمي للتوازن الديناميكي الحراري". مجلة Physical Review . 40 (5): 749–759 . Bibcode : 1932PhRv...40..749W . doi : 10.1103/PhysRev.40.749 . hdl : 10338.dmlcz/141466 .
  3. 1 2 غرونيفولد، هـ. ج. (1946). "حول مبادئ ميكانيكا الكم الأولية". فيزيكا . 12 (7): 405-460 . Bibcode : 1946Phy....12..405G . doi : 10.1016/S0031-8914(46)80059-4 .
  4. ↑ RL Stratonovich , Sov. Phys. JETP 4, 891 (1957).
  5. 1 2 لي، هاي وونغ (1995). "نظرية وتطبيق دوال توزيع فضاء الطور الكمومي". تقارير الفيزياء . 259 (3): 147-211 . Bibcode : 1995PhR...259..147L . doi : 10.1016/0370-1573(95)00007-4 .
  6. 1 2 مويال، جيه إي (1949). "ميكانيكا الكم كنظرية إحصائية". وقائع الجمعية الفلسفية في كامبريدج الرياضية . 45 (1): 99-124 . Bibcode : 1949PCPS...45...99M . doi : 10.1017/S0305004100000487 . S2CID 124183640 . 
  7. ↑ بام ديراك ، مبادئ ميكانيكا الكم ، الطبعة الأولى (أكسفورد: مطبعة كلارندون، 1930).
  8. 1 2 كريفوروتشينكو، إم آي؛ فاسلر، أ. (2007). "رموز فايل لمؤثرات هايزنبرغ للإحداثيات والزخم الكنسي كخصائص كمومية". مجلة الفيزياء الرياضية . 48 (5): 052107. arXiv : quant-ph/0604075 . Bibcode : 2007JMP....48e2107K . doi : 10.1063/1.2735816 . S2CID 42068076 . 
  9. ↑ كريفوروتشينكو، إم آي؛ فوكس، سي؛ فاسلر، إيه [بالألمانية] (2007). "التوسع شبه الكلاسيكي للخصائص الكمومية لمسألة تشتت الجهد متعدد الأجسام". حوليات الفيزياء . 519 (9): 587-614 . arXiv : nucl-th/0605015 . Bibcode : 2007AnP...519..587K . doi : 10.1002/andp.200610251 .
  10. ↑ ماكسيموف، س. (2009). "حول صورة خاصة للتطور الديناميكي للأنظمة الكمومية غير الخطية في تمثيل فضاء الطور". فيزيكا د . 238 (18): 1937-1950 . Bibcode : 2009PhyD..238.1937M . doi : 10.1016/j.physd.2009.07.001 .
  11. ↑ بي آر هولاند ، نظرية الكم للحركة: شرح للتفسير السببي لدي برولي-بوم لميكانيكا الكم ، (مطبعة جامعة كامبريدج، 1993)، رقم ISBN 0-521-35404-8.
  12. ↑ بيريزين، ف. أ. (1980). "تكاملات مسار فاينمان في فضاء الطور". الفيزياء السوفيتية أوسبيخي . 23 (11): 763-788 . Bibcode : 1980SvPhU..23..763B . doi : 10.1070/PU1980v023n11ABEH005062 .
  13. ↑ مارينوف، م.س. (1991). "نوع جديد من تكامل مسار فضاء الطور". رسائل الفيزياء أ . 153 (1): 5-11 . Bibcode : 1991PhLA..153....5M . doi : 10.1016/0375-9601(91)90352-9 .
  14. ↑ وونغ، سي واي (2003). "حل صريح للتطور الزمني لدالة ويغنر". مجلة البصريات ب: البصريات الكمية وشبه الكلاسيكية . 5 (3): S420– S428. arXiv : quant-ph/0210112 . Bibcode : 2003JOptB...5S.420W . doi : 10.1088/1464-4266/5/3/381 . S2CID 15478434 . 
  15. ↑ ماكواري، بي آر؛ أوزبورن، تي إيه؛ تابيز، جي سي (1998). "ميكانيكا الكم شبه الكلاسيكية لمويال للأنظمة الذرية". مجلة Physical Review A. 58 ( 4): 2944–2961 . Bibcode : 1998PhRvA..58.2944M . doi : 10.1103/physreva.58.2944 .{{cite journal}}: صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين ( رابط )
  16. ↑ براونس، ج. (2013). "الديناميكا الكمومية في فضاء الطور: مسارات مويال 2" . مجلة الفيزياء الرياضية . 54 (1): 012105. رمز Bibcode : 2013JMP....54a2105B . doi : 10.1063/1.4773229 .
  17. ↑ براونس، ج. (2017). "الديناميكا الكمومية في فضاء الطور: مسارات مويال 3" . مجلة الفيزياء الرياضية . 58 (6): 062104. رمز Bibcode : 2017JMP....58f2104B . doi : 10.1063/1.4984592 .

الكتب الدراسية

  • H. Weyl ، نظرية المجموعات وميكانيكا الكم ، (منشورات دوفر، نيويورك، 1931).
  • VI Arnold ، الأساليب الرياضية للميكانيكا الكلاسيكية ، (الطبعة الثانية، Springer-Verlag، نيويورك، 1989).
  • MV Karasev و VP Maslov ، أقواس بواسون غير الخطية. الهندسة والتكميم. ترجمات من الدراسات الرياضية، 119. (الجمعية الرياضية الأمريكية، بروفيدنس، رود آيلاند، 1993).