شبكة متعددة الأبعاد

في نظرية الشبكات الأولية، يتم تمثيل الشبكة بواسطة رسم بياني${\displaystyle G=(V,E)}$في أي${\displaystyle V}$هي مجموعة العقد و${\displaystyle E}$الروابط بين العقد، والتي يتم تمثيلها عادةً على شكل مجموعة من العقد .${\displaystyle u,v\in V}$على الرغم من أن هذا التوصيف الأساسي مفيد لتحليل العديد من الأنظمة، إلا أن شبكات العالم الحقيقي غالبًا ما تتسم بتعقيد إضافي يتمثل في أنواع متعددة من العلاقات بين عناصر النظام. وقد ظهر توصيف مبكر لهذه الفكرة من خلال تطبيقها في مجال تحليل الشبكات الاجتماعية (انظر، على سبيل المثال، ^{[ 33 ]} والأوراق البحثية المتعلقة بالجبر العلائقي في الشبكات الاجتماعية)، حيث تم تمثيل أشكال متعددة من التواصل الاجتماعي بين الأفراد بأنواع متعددة من الروابط. ^{[ 34 ]}

لاستيعاب وجود أكثر من نوع واحد من الروابط، يتم تمثيل الشبكة متعددة الأبعاد بثلاثية${\displaystyle G=(V,E,D)}$، أين${\displaystyle D}$هي مجموعة من الأبعاد (أو الطبقات)، كل عنصر منها يمثل نوعًا مختلفًا من الروابط، و${\displaystyle E}$يتكون من ثلاثيات${\displaystyle (u,v,d)}$مع${\displaystyle u,v\in V}$و${\displaystyle d\in D}$[ ^{6 ]​}

لاحظ أنه كما هو الحال في جميع الرسوم البيانية الموجهة ، فإن الروابط${\displaystyle (u,v,d)}$و${\displaystyle (v,u,d)}$متميزة.

بحسب الاصطلاح، يكون عدد الروابط بين عقدتين في بُعد معين إما صفرًا أو واحدًا في الشبكة متعددة الأبعاد. مع ذلك، فإن العدد الإجمالي للروابط بين عقدتين عبر جميع الأبعاد أقل من أو يساوي${\displaystyle |D|}$.

في حالة الشبكة الموزونة ، يتم توسيع هذه الثلاثية إلى رباعية.${\displaystyle e=(u,v,d,w)}$، أين${\displaystyle w}$الوزن على الرابط بين${\displaystyle u}$و${\displaystyle v}$في البعد${\displaystyle d}$.

علاوة على ذلك، وكما هو مفيد غالبًا في تحليل الشبكات الاجتماعية، قد تأخذ أوزان الروابط قيمًا موجبة أو سالبة. ويمكن لهذه الشبكات الموقعة أن تعكس بشكل أفضل العلاقات مثل الودّ والعداء في الشبكات الاجتماعية. ^{[ 31 ]} بدلاً من ذلك، يمكن اعتبار إشارات الروابط أبعادًا بحد ذاتها، ^{[ 35 ]} على سبيل المثال${\displaystyle G=(V,E,D)}$أين${\displaystyle D=\{-1,0,1\}}$و${\displaystyle E=\{(u,v,d);u,v\in V,d\in D\}}$يُعد هذا النهج ذا قيمة خاصة عند النظر في الشبكات غير الموزونة.

يمكن توسيع هذا المفهوم للأبعاد إذا دعت الحاجة إلى تحديد سمات في أبعاد متعددة. في هذه الحالة، تكون الروابط عبارة عن مجموعات من n عنصر.${\displaystyle e=(u,v,d_{1}\dots d_{n-2})}$إن هذا النوع من الصياغة الموسعة، التي قد توجد فيها الروابط ضمن أبعاد متعددة، أمر غير شائع ولكنه استخدم في دراسة الشبكات متعددة الأبعاد المتغيرة مع الزمن . ^{[ 36 ]}

بينما تحتوي الشبكات أحادية البعد على مصفوفات تجاور ثنائية الأبعاد بحجم${\displaystyle V\times V}$، في شبكة متعددة الأبعاد مع${\displaystyle D}$عند هذه الأبعاد، تصبح مصفوفة التجاور موتر تجاور متعدد الطبقات، وهي مصفوفة رباعية الأبعاد بحجم${\displaystyle (V\times D)\times (V\times D)}$[ ^{3 ]} باستخدام ترميز الفهرس ^، يمكن الإشارة إلى مصفوفات التجاور بواسطة${\displaystyle A_{j}^{i}}$لترميز الاتصالات بين العقد${\displaystyle i}$و${\displaystyle j}$بينما يُشار إلى موترات التجاور متعددة الطبقات بواسطة${\displaystyle M_{j\beta }^{i\alpha }}$لترميز الاتصالات بين العقد${\displaystyle i}$في طبقة${\displaystyle \alpha }$والعقدة${\displaystyle j}$في طبقة${\displaystyle \beta }$كما هو الحال في المصفوفات أحادية البعد، فإن الروابط الموجهة والروابط الموقعة والأوزان كلها يتم استيعابها بسهولة بواسطة هذا الإطار.

في حالة الشبكات المتعددة الطبقات ، وهي أنواع خاصة من الشبكات متعددة الطبقات حيث لا يمكن ربط العقد ببعضها البعض في طبقات أخرى، يتم استخدام مصفوفة ثلاثية الأبعاد بحجم${\displaystyle (V\times V)\times D}$مع إدخالات${\displaystyle A_{ij}^{\alpha }}$يكفي لتمثيل بنية النظام ^{[ 8 ] [ 37 ]} عن طريق ترميز الاتصالات بين العقد${\displaystyle i}$و${\displaystyle j}$في طبقة${\displaystyle \alpha }$.

في الشبكة متعددة الأبعاد، جيران عقدة معينة${\displaystyle v}$هل جميع العقد متصلة بـ${\displaystyle v}$عبر الأبعاد.

يمكن تمثيل المسار بين عقدتين في شبكة متعددة الأبعاد بواسطة متجه r${\displaystyle =(r_{1},\dots r_{|D|})}$حيث${\displaystyle i}$المدخل رقم في r هو عدد الروابط التي تم اجتيازها في${\displaystyle i}$البعد النوني لـ${\displaystyle G}$[ ^{38 ] كما هو الحال} مع درجة التداخل، يمكن اعتبار مجموع هذه العناصر مقياسًا تقريبيًا لطول المسار بين عقدتين.

يُتيح وجود طبقات (أو أبعاد) متعددة تقديم مفهوم جديد هو شبكة الطبقات ، ^{[ 3 ]} وهو مفهوم خاص بالشبكات متعددة الطبقات. في الواقع، قد تكون الطبقات مترابطة بطريقة تسمح بوصف بنيتها بواسطة شبكة، كما هو موضح في الشكل.

عادةً ما تكون شبكة الطبقات مُرجّحة (وقد تكون مُوجّهة)، على الرغم من أن الأوزان تعتمد عمومًا على التطبيق المُراد دراسته. يتمثل أحد الأساليب البسيطة في جمع جميع الأوزان في الروابط بين عُقد كل زوج من الطبقات للحصول على أوزان الحواف التي يُمكن ترميزها في مصفوفة.${\displaystyle q_{\alpha \beta }}$موتر التجاور من الرتبة الثانية، الذي يمثل الشبكة الأساسية للطبقات في الفضاء${\displaystyle \mathbb {R} ^{L\times L}}$يُعطى بواسطة

${\displaystyle \Psi _{\delta }^{\gamma }=\sum \limits _{\alpha ,\beta =1}^{L}q_{\alpha \beta }E_{\delta }^{\gamma }(\alpha \beta )}$

أين${\displaystyle E_{\delta }^{\gamma }(\alpha \beta )}$هي المصفوفة الأساسية التي جميع عناصرها تساوي صفرًا باستثناء العنصر المقابل للصف${\displaystyle \alpha }$والعمود${\displaystyle \beta }$، أي يساوي واحدًا. باستخدام الترميز الموتري، من الممكن الحصول على شبكة الطبقات (الموزونة) من موتر التجاور متعدد الطبقات كما يلي:${\displaystyle \Psi _{\delta }^{\gamma }=M_{j\delta }^{i\gamma }U_{i}^{j}}$[ ^{3 ]​}

في شبكة متعددة الأبعاد غير مترابطة، حيث لا توجد روابط بين الطبقات، يتم تمثيل درجة العقدة بواسطة متجه طوله${\displaystyle |D|:\mathbf {k} =(k_{i}^{1},\dots k_{i}^{|D|})}$. هنا${\displaystyle |D|}$هي طريقة بديلة للدلالة على عدد الطبقات${\displaystyle L}$في الشبكات متعددة الطبقات. مع ذلك، قد يكون من المفيد في بعض العمليات الحسابية جمع عدد الروابط المجاورة لعقدة ما عبر جميع الأبعاد. ^{[ 3 ] [ 39 ]} هذه هي درجة التداخل : ^{[ 4 ]}${\displaystyle \sum _{\alpha =1}^{|D|}k_{i}^{\alpha }}$كما هو الحال مع الشبكات أحادية البعد، يمكن التمييز بالمثل بين الروابط الواردة والروابط الصادرة. في حال وجود روابط بين الطبقات، يجب تعديل التعريف المذكور أعلاه ليأخذها في الحسبان، وتُعطى درجة تعدد الطبقات بالصيغة التالية:

${\displaystyle k^{i}=M_{j\beta }^{i\alpha }U_{\alpha }^{\beta }u^{j}=\sum _{\alpha ,\beta =1}^{L}\sum _{j=1}^{N}M_{j\beta }^{i\alpha }}$

حيث الموترات${\displaystyle U_{\alpha }^{\beta }}$و${\displaystyle u^{j}}$تكون جميع مكوناتها مساوية لـ 1. ويمكن مراعاة عدم التجانس في عدد اتصالات العقدة عبر الطبقات المختلفة من خلال معامل المشاركة. ^{[ 4 ]}

عند تطبيق مفهوم المركزية على الشبكات متعددة الطبقات المترابطة، أي تلك الأنظمة التي تتصل فيها العقد عبر الطبقات، يُفهم هذا المفهوم بشكل أفضل من حيث التنوع. ^{[ 10 ]} قد تكون العقد غير المركزية في كل طبقة هي الأهم بالنسبة للأنظمة متعددة الطبقات في بعض الحالات. على سبيل المثال، في حالة وجود طبقتين تُشفّران شبكتين مختلفتين تشتركان في عقدة واحدة فقط، فمن المرجح أن تحصل هذه العقدة على أعلى درجة مركزية لأنها مسؤولة عن تدفق المعلومات عبر الطبقات.

اقترح موتشا وآخرون ^{[ 8 ]} تعميمًا لطريقة تعظيم النمطية المعروفة لاكتشاف المجتمعات. تفترض هذه الطريقة متعددة الدقة تمثيلًا موترًا ثلاثي الأبعاد لاتصال الشبكة داخل الطبقات، كما هو الحال في الرسوم البيانية المتعددة الملونة الحواف، وتمثيلًا موترًا ثلاثي الأبعاد لاتصال الشبكة عبر الطبقات. وتعتمد هذه الطريقة على معامل الدقة.${\displaystyle \gamma }$والوزن${\displaystyle \omega }$من الاتصالات بين الطبقات. في تدوين أكثر إيجازًا، باستخدام التدوين الموتري، يمكن كتابة النمطية على النحو التالي:${\displaystyle Q\propto S_{i\alpha }^{a}B_{j\beta }^{i\alpha }S_{a}^{j\beta }}$، أين${\displaystyle B_{j\beta }^{i\alpha }=M_{j\beta }^{i\alpha }-P_{j\beta }^{i\alpha }}$،${\displaystyle M_{j\beta }^{i\alpha }}$هو موتر التجاور متعدد الطبقات،${\displaystyle P_{j\beta }^{i\alpha }}$يمثل الموتر الذي يرمز إلى النموذج الصفري وقيمة مكونات${\displaystyle S_{a}^{i\alpha }}$يُعرَّف بأنه يساوي 1 عندما تكون العقدة${\displaystyle i}$في طبقة${\displaystyle \alpha }$ينتمي إلى مجتمع معين، مصنف حسب الفهرس${\displaystyle a}$وصفر عندما لا يحدث ذلك. ^{[ 3 ]}

تم اقتراح تحليل المصفوفات غير السالبة لاستخراج بنية نشاط المجتمع في الشبكات الزمنية. ^{[ 46 ]} يتم تمثيل الشبكة متعددة الطبقات بواسطة موتر ثلاثي الأبعاد${\displaystyle T_{ij}^{\tau }}$يشبه ذلك الرسم البياني متعدد الطبقات الملون الحواف، حيث يرمز ترتيب الطبقات إلى اتجاه الزمن. وبالتالي، يتم تطبيق تحليل الموتر باستخدام تحليل كروسكال على${\displaystyle T_{ij}^{\tau }}$لتعيين كل عقدة إلى مجتمع عبر الزمن.

تم اقتراح طرق تعتمد على الاستدلال الإحصائي، وهي تعميم للمناهج الحالية المُقدمة للشبكات أحادية البعد. يُعد نموذج الكتلة العشوائية النموذج التوليدي الأكثر استخدامًا، وقد تم تعميمه بشكل مناسب لحالة الشبكات متعددة الطبقات. ^{[ 47 ] [ 48 ]}

أما بالنسبة للشبكات أحادية البعد، فيمكن استخدام أساليب مبدئية مثل الحد الأدنى لطول الوصف لاختيار النموذج في أساليب الكشف عن المجتمعات القائمة على تدفق المعلومات. ^{[ 9 ]}

إن مسألة ارتباطات الدرجات في الشبكات أحادية البعد واضحة نسبيًا: هل تميل العقد ذات الدرجات المتشابهة إلى الاتصال ببعضها البعض؟ أما في الشبكات متعددة الأبعاد، فيصبح معنى هذه المسألة أقل وضوحًا. فعندما نشير إلى درجة عقدة ما، هل نشير إلى درجتها في بُعد واحد، أم إلى درجتها في جميع الأبعاد؟ وعندما نسعى إلى استكشاف الاتصال بين العقد، هل نقارن العقد نفسها عبر الأبعاد، أم العقد المختلفة داخل الأبعاد، أم مزيجًا من الاثنين؟ ^{[ 6 ]} ما هي تبعات التغيرات في كل من هذه الإحصائيات على خصائص الشبكة الأخرى؟ في إحدى الدراسات، وُجد أن خاصية التماثل تقلل من متانة الشبكة المزدوجة. ^{[ 50 ]}

إذا افترضنا وجود مسارين متعددي الأبعاد، r و s ، نقول إن r يهيمن على s إذا وفقط إذا:${\displaystyle \forall d\in \langle 1,|D|\rangle ,r_{l}\leq s_{l}}$و${\displaystyle \exists i}$بحيث${\displaystyle r_{l}<s_{l}}$[ ^{38 ]​}

من بين إحصاءات الشبكة الأخرى، تعتمد العديد من مقاييس المركزية على القدرة على تقييم أقصر المسارات بين العقد. ويتطلب توسيع هذه التحليلات لتشمل شبكة متعددة الأبعاد دمج روابط إضافية بين العقد في الخوارزميات المستخدمة حاليًا (مثل خوارزمية ديكسترا ). تتضمن الأساليب الحالية دمج الروابط المتعددة بين العقد في خطوة معالجة مسبقة قبل إجراء تعديلات على بحث العرض أولًا في الشبكة. ^{[ 28 ]}

إحدى طرق تقييم المسافة بين عقدتين في شبكة متعددة الأبعاد هي مقارنة جميع المسارات متعددة الأبعاد بينهما واختيار المجموعة الفرعية التي نحددها على أنها الأقصر من خلال هيمنة المسار: ليكن${\displaystyle MP(u,v)}$لتكن مجموعة جميع المسارات بين${\displaystyle u}$و${\displaystyle v}$ثم المسافة بين${\displaystyle u}$و${\displaystyle v}$هي مجموعة من المسارات${\displaystyle P\subseteq MP}$بحيث${\displaystyle \forall p\in P,\nexists p'\in MP}$بحيث${\displaystyle p'}$يهيمن${\displaystyle p}$وبالتالي، يُعرَّف طول العناصر في مجموعة أقصر المسارات بين عقدتين بأنه المسافة متعددة الأبعاد . ^{[ 38 ]}

في شبكة متعددة الأبعاد${\displaystyle G=(V,E,D)}$أهمية بُعد معين (أو مجموعة أبعاد)${\displaystyle D'}$يمكن تقييم عقدة واحدة من خلال النسبة التالية:${\displaystyle {\frac {{\text{Neighbors}}(v,D')}{{\text{Neighbors}}(v,D)}}}$[ ^{39 ]​}

في شبكة متعددة الأبعاد، حيث تختلف قيم الاتصال باختلاف أبعادها في الواقع، تُعدّ الإحصاءات التي تُحدد توزيع الروابط بين مختلف الفئات ذات أهمية. لذا، من المفيد النظر في مقياسين لتقييم ذلك: اتصال الأبعاد واتصال الأبعاد الحصري للحواف. يُعرَّف الأول ببساطة بأنه نسبة إجمالي عدد الروابط في بُعد مُحدد إلى إجمالي عدد الروابط في جميع الأبعاد.${\displaystyle {\frac {|\{(u,v,d)\in E|u,v\in V\}|}{|E|}}}$. يقوم الأخير بتقييم عدد أزواج العقد المتصلة فقط برابط في ذلك البعد، وذلك بالنسبة لبُعد معين:${\displaystyle {\frac {|\{(u,v,d)\in E|u,v\in V\wedge \forall j\in D,j\neq d:(u,v,j)\notin E\}|}{|\{(u,v,d)\in E|u,v\in V\}|}}}$[ ^{39 ]​}

تُعدّ ظاهرة الانقطاع المفاجئ ظاهرةً معروفةً في العديد من الشبكات الواقعية، مثل البريد الإلكتروني أو شبكات التواصل البشري الأخرى. وتُوفّر الأبعاد الإضافية للتواصل تمثيلاً أدقّ للواقع، وقد تُبرز هذه الأنماط أو تُخفّفها. لذا، من الأهمية بمكان أن تُراعي أساليبنا في الكشف عن سلوك الانقطاع المفاجئ في الشبكات الشبكات متعددة الأبعاد. ^{[ 51 ]}

أما بالنسبة للشبكات أحادية البعد، فمن الممكن تعريف مسارات عشوائية على قمة الأنظمة متعددة الطبقات. ومع ذلك، ونظرًا لبنية الطبقات المتعددة الأساسية، فإن المسارات العشوائية لا تقتصر على الانتقال من عقدة إلى أخرى داخل الطبقة نفسها ( قفزة )، بل يُسمح لها أيضًا بالانتقال بين الطبقات ( تبديل ). ^{[ 15 ]}

يمكن استخدام المسارات العشوائية لاستكشاف نظام متعدد الطبقات بهدف نهائي هو كشف تنظيمه على المستوى المتوسط ، أي تقسيمه إلى مجموعات ، ^{[ 8 ] [ 9 ]} وقد استُخدمت مؤخرًا لفهم قابلية التنقل في الشبكات متعددة الطبقات ومرونتها في مواجهة الأعطال العشوائية بشكل أفضل، ^{[ 15 ]} بالإضافة إلى استكشاف هذا النوع من البنى بكفاءة. ^{[ 54 ]}

في حالة الأنظمة متعددة الطبقات المترابطة، فإن احتمال الانتقال من عقدة${\displaystyle i}$في طبقة${\displaystyle \alpha }$إلى العقدة${\displaystyle j}$في طبقة${\displaystyle \beta }$يمكن ترميزها في موتر الانتقال من الرتبة الرابعة${\displaystyle T_{j\beta }^{i\alpha }}$ويمكن وصف المسار الزمني المتقطع بالمعادلة الرئيسية

${\displaystyle p_{j\beta }(t+1)=\sum _{\alpha =1}^{L}\sum _{i=1}^{N}T_{j\beta }^{i\alpha }p_{i\alpha }(t)=\sum _{\alpha =1}^{L}\sum _{i=1}^{N}(T^{t})_{j\beta }^{i\alpha }p_{i\alpha }(0)}$

أين${\displaystyle p_{i\alpha }(t)}$يشير إلى احتمالية العثور على الشخص الذي يمشي في العقدة${\displaystyle i}$في طبقة${\displaystyle \alpha }$في ذلك الوقت${\displaystyle t}$[ ^{3 ] [ 15 ]​}

توجد أنواع عديدة ومختلفة من المسارات التي يمكن ترميزها في موتر الانتقال.${\displaystyle T_{j\beta }^{i\alpha }}$يعتمد ذلك على كيفية السماح للمتحركين بالقفز والتبديل. على سبيل المثال، قد يقفز المتحرك أو ينتقل في خطوة زمنية واحدة دون التمييز بين الروابط بين الطبقات وداخلها ( المشي العشوائي الكلاسيكي )، أو يمكنه اختيار البقاء في الطبقة الحالية والقفز، أو الانتقال إلى طبقة أخرى ثم القفز إلى عقدة أخرى في نفس الخطوة الزمنية ( المشي العشوائي الفيزيائي ). يمكن إيجاد قواعد أكثر تعقيدًا، تتوافق مع مسائل محددة لحلها، في المراجع. ^{[ 23 ]} في بعض الحالات، من الممكن إيجاد الحل الثابت للمعادلة الرئيسية تحليليًا. ^{[ 15 ] [ 54 ]}

تتمثل مشكلة الانتشار الكلاسيكي في الشبكات المعقدة في فهم كيفية تدفق كمية ما عبر النظام والمدة الزمنية اللازمة لوصولها إلى حالة الاستقرار. وقد دُرِسَ الانتشار الكلاسيكي في الشبكات المتعددة الطبقات مؤخرًا من خلال تقديم مفهوم مصفوفة التجاور الفائقة ^{[ 55 ]} ، والتي اعتُرِفَت لاحقًا على أنها تسطيح خاص لموتر التجاور متعدد الطبقات ^{[ 3 ]} . في الترميز الموتري، يمكن كتابة معادلة الانتشار على قمة نظام متعدد الطبقات عام، بإيجاز، على النحو التالي:

${\displaystyle {\frac {dX_{j\beta }(t)}{dt}}=-L_{j\beta }^{i\alpha }X_{i\alpha }(t)}$

أين${\displaystyle X_{i\alpha }(t)}$كمية الانتشار في وقت${\displaystyle t}$في العقدة${\displaystyle i}$في طبقة${\displaystyle \alpha }$الموتر ذو الرتبة الرابعة الذي يحكم المعادلة هو موتر لابلاس، وهو تعميم لمصفوفة لابلاس التوافقية للشبكات أحادية البعد. تجدر الإشارة إلى أن المعادلة، في حالتها غير الموترية، تأخذ شكلاً أكثر تعقيداً.

تُفهم العديد من خصائص عملية الانتشار هذه فهمًا كاملًا من خلال ثاني أصغر قيمة ذاتية لموتر لابلاس. ومن المثير للاهتمام أن الانتشار في نظام متعدد الطبقات قد يكون أسرع من الانتشار في كل طبقة على حدة، أو في تجميعها، شريطة استيفاء خصائص طيفية معينة. ^{[ 55 ]}

في الآونة الأخيرة، أصبح موضوع كيفية انتشار المعلومات (أو الأمراض) عبر نظام متعدد الطبقات موضوعًا لبحوث مكثفة. ^{[ 56 ] [ 1 ] [ 57 ] [ 58 ] [ 59 ]}