نموذج متعدد المستويات

النماذج متعددة المستويات هي نماذج إحصائية للمعلمات التي تتغير على أكثر من مستوى. ^{[ 1 ]} مثال على ذلك نموذج أداء الطلاب الذي يتضمن مقاييس للطلاب الأفراد ، بالإضافة إلى مقاييس للفصول الدراسية التي يُصنف الطلاب ضمنها. تُعرف هذه النماذج أيضًا بالنماذج الخطية الهرمية، ونماذج التأثيرات المختلطة الخطية، والنماذج المختلطة، ونماذج البيانات المتداخلة، ونماذج المعاملات العشوائية، ونماذج التأثيرات العشوائية، ونماذج المعلمات العشوائية، أو تصميمات القطع المنشقة. يمكن اعتبار هذه النماذج تعميمات للنماذج الخطية (وخاصة الانحدار الخطي )، على الرغم من إمكانية تطبيقها أيضًا على النماذج غير الخطية. وقد ازدادت شعبية هذه النماذج بشكل كبير بعد توفر القدرة الحاسوبية والبرمجيات الكافية. ^{[ 1 ]}

تُعدّ النماذج متعددة المستويات مناسبةً بشكلٍ خاص لتصميمات البحث التي تُنظّم فيها بيانات المشاركين على أكثر من مستوى (أي البيانات المتداخلة ). ^{[ 2 ]} عادةً ما تكون وحدات التحليل أفرادًا (على مستوى أدنى) مُتداخلين ضمن وحدات سياقية/تجميعية (على مستوى أعلى). ^{[ 3 ]} على الرغم من أن أدنى مستوى للبيانات في النماذج متعددة المستويات هو عادةً فرد، إلا أنه يُمكن أيضًا دراسة القياسات المتكررة للأفراد. ^{[ 2 ] [ 4 ]} وبذلك، تُوفّر النماذج متعددة المستويات نوعًا بديلًا من التحليل للتحليل الأحادي أو المتعدد المتغيرات للقياسات المتكررة . يُمكن دراسة الفروق الفردية في منحنيات النمو . ^{[ 2 ]} علاوةً على ذلك، يُمكن استخدام النماذج متعددة المستويات كبديل لتحليل التغاير (ANCOVA )، حيث يتم تعديل درجات المتغير التابع وفقًا للمتغيرات المصاحبة (مثل الفروق الفردية) قبل اختبار فروق المعالجة. ^{[ 5 ]} تستطيع النماذج متعددة المستويات تحليل هذه التجارب دون افتراضات تجانس منحدرات الانحدار التي يتطلبها تحليل التغاير (ANCOVA). ^{[ 2 ]}

يمكن استخدام النماذج متعددة المستويات على البيانات ذات المستويات المتعددة، على الرغم من أن النماذج ثنائية المستويات هي الأكثر شيوعًا، وسيقتصر باقي هذا المقال على تناولها. يجب فحص المتغير التابع عند أدنى مستوى من مستويات التحليل. ^{[ 1 ]}

عندما يكون هناك متغير مستقل واحد من المستوى 1، فإن نموذج المستوى 1 هو

${\displaystyle Y_{ij}=\beta _{0j}+\beta _{1j}X_{ij}+e_{ij}}$.

• ${\displaystyle Y_{ij}}$يشير إلى النتيجة على المتغير التابع لملاحظة فردية في المستوى j (يشير الرمز السفلي i إلى الحالة الفردية، ويشير الرمز السفلي j إلى المجموعة).
• ${\displaystyle X_{ij}}$يشير إلى المتنبئ من المستوى 1.
• ${\displaystyle \beta _{0j}}$يشير إلى نقطة تقاطع المتغير التابع للمجموعة j.
• ${\displaystyle \beta _{1j}}$يشير إلى ميل العلاقة في المجموعة j (المستوى 2) بين المتنبئ من المستوى 1 والمتغير التابع.
• ${\displaystyle e_{ij}}$يشير إلى الأخطاء العشوائية للتنبؤ بمعادلة المستوى 1 (ويشار إليها أحيانًا باسم${\displaystyle r_{ij}}$).

${\displaystyle e_{ij}\sim {\mathcal {N}}(0,\sigma _{1}^{2})}$

في المستوى 1، يمكن أن تكون كل من نقاط التقاطع والميول في المجموعات ثابتة (أي أن جميع المجموعات لها نفس القيم، على الرغم من أن هذا نادر الحدوث في الواقع)، أو متغيرة بشكل غير عشوائي (أي أن نقاط التقاطع و/أو الميول قابلة للتنبؤ من متغير مستقل في المستوى 2)، أو متغيرة بشكل عشوائي (أي أن نقاط التقاطع و/أو الميول تختلف في المجموعات المختلفة، ولكل منها متوسطها وتباينها الخاصان). ^{[ 2 ] [ 4 ]}

عندما يكون هناك عدة متغيرات مستقلة من المستوى 1، يمكن توسيع النموذج عن طريق استبدال المتجهات والمصفوفات في المعادلة.

عندما تكون العلاقة بين الاستجابة${\displaystyle Y_{ij}}$والمتنبئ${\displaystyle X_{ij}}$إذا لم يكن بالإمكان وصفها بعلاقة خطية، فيمكن إيجاد علاقة وظيفية غير خطية بين المتغير التابع والمتغير المستقل، وتوسيع النموذج إلى نموذج التأثيرات المختلطة غير الخطي . على سبيل المثال، عندما تكون المتغير التابع${\displaystyle Y_{ij}}$هو مسار العدوى التراكمي لـ${\displaystyle i}$الدولة رقم -، و${\displaystyle X_{ij}}$يمثل${\displaystyle j}$ثم يتم تحديد عدد النقاط الزمنية، ثم يتم تحديد الزوج المرتب.${\displaystyle (X_{ij},Y_{ij})}$قد يُظهر كل بلد شكلاً مشابهاً للدالة اللوجستية . ^{[ 6 ] [ 7 ]}

المتغيرات التابعة هي نقاط التقاطع والميول للمتغيرات المستقلة في المستوى 1 في مجموعات المستوى 2.

${\displaystyle u_{0j}\sim {\mathcal {N}}(0,\sigma _{2}^{2})}$

${\displaystyle u_{1j}\sim {\mathcal {N}}(0,\sigma _{3}^{2})}$

${\displaystyle \beta _{0j}=\gamma _{00}+\gamma _{01}w_{j}+u_{0j}}$

${\displaystyle \beta _{1j}=\gamma _{10}+\gamma _{11}w_{j}+u_{1j}}$

• ${\displaystyle \gamma _{00}}$يشير هذا إلى نقطة التقاطع الإجمالية. وهي المتوسط ​​العام للدرجات على المتغير التابع عبر جميع المجموعات عندما تكون جميع المتغيرات التنبؤية مساوية للصفر.
• ${\displaystyle \gamma _{10}}$يشير إلى متوسط ​​الميل بين المتغير التابع والمتغير التنبؤي من المستوى 1.
• ${\displaystyle w_{j}}$يشير إلى المتنبئ من المستوى الثاني.
• ${\displaystyle \gamma _{01}}$و${\displaystyle \gamma _{11}}$يشير ذلك إلى تأثير المتنبئ من المستوى 2 على نقطة التقاطع والميل من المستوى 1 على التوالي.
• ${\displaystyle u_{0j}}$يشير إلى الانحراف في المجموعة j عن نقطة التقاطع الكلية.
• ${\displaystyle u_{1j}}$يشير إلى الانحراف في المجموعة j عن متوسط ​​الميل بين المتغير التابع والمتنبئ من المستوى 1.

قبل إجراء تحليل نموذج متعدد المستويات، يجب على الباحث تحديد عدة جوانب، منها تحديد المتغيرات التنبؤية التي سيتم تضمينها في التحليل، إن وجدت. ثانيًا، يجب على الباحث تحديد ما إذا كانت قيم المعلمات (أي العناصر التي سيتم تقديرها) ثابتة أم عشوائية. ^{[ 2 ] [ 5 ] [ 4 ]} تتكون المعلمات الثابتة من قيمة ثابتة لجميع المجموعات، بينما تأخذ المعلمة العشوائية قيمة مختلفة لكل مجموعة. ^{[ 4 ]} بالإضافة إلى ذلك، يجب على الباحث تحديد ما إذا كان سيستخدم تقدير الاحتمال الأقصى أو تقدير الاحتمال الأقصى المقيد. ^{[ 2 ]}

تتشابه النماذج متعددة المستويات في افتراضاتها مع النماذج الخطية العامة الرئيسية الأخرى (مثل تحليل التباين ، والانحدار )، ولكن يتم تعديل بعض الافتراضات لتناسب الطبيعة الهرمية للتصميم (أي البيانات المتداخلة).

الخطية

يفترض النموذج الخطية وجود علاقة خطية (مستقيمة، على عكس العلاقات غير الخطية أو المنحنية) بين المتغيرات. ^{[ 9 ]} ومع ذلك، يمكن توسيع النموذج ليشمل العلاقات غير الخطية. ^{[ 10 ]} على وجه الخصوص، عندما يُستبدل الجزء المتوسط ​​من معادلة الانحدار من المستوى الأول بدالة بارامترية غير خطية، يُطلق على إطار النموذج هذا اسم نموذج التأثيرات المختلطة غير الخطي . ^{[ 7 ]}

الوضع الطبيعي

يفترض مبدأ التوزيع الطبيعي أن تكون حدود الخطأ في كل مستوى من مستويات النموذج موزعة توزيعًا طبيعيًا. ^{[ 9 ]} ومع ذلك، تسمح معظم البرامج الإحصائية بتحديد توزيعات مختلفة لحدود التباين، مثل توزيع بواسون، والتوزيع ذي الحدين، والتوزيع اللوجستي. ويمكن استخدام أسلوب النمذجة متعددة المستويات لجميع أشكال النماذج الخطية المعممة.

تجانس التباين

يفترض افتراض تجانس التباين ، المعروف أيضًا بتجانس التباين، تساوي تباينات المجتمع الإحصائي. ^{[ 9 ]} ومع ذلك، يمكن تحديد مصفوفة ارتباط التباين المختلفة لمراعاة ذلك، ويمكن نمذجة عدم تجانس التباين نفسه.

استقلالية الملاحظات (لا يوجد ارتباط ذاتي لبقايا النموذج)

الاستقلالية فرضية أساسية في النماذج الخطية العامة، وتنص على أن الحالات عينات عشوائية من المجتمع، وأن قيم المتغير التابع مستقلة عن بعضها البعض. ^{[ 9 ]} يتمثل أحد الأهداف الرئيسية للنماذج متعددة المستويات في معالجة الحالات التي لا تتحقق فيها فرضية الاستقلالية؛ ومع ذلك، تفترض هذه النماذج أن: 1) البواقي في المستوى الأول والمستوى الثاني غير مترابطة، و2) الأخطاء (كما تُقاس بالبواقي) في أعلى مستوى غير مترابطة. ^{[ 11 ]}

تعامد المتغيرات المستقلة مع التأثيرات العشوائية

يجب ألا ترتبط المتغيرات المستقلة بالتأثيرات العشوائية.${\displaystyle u_{0j}}$هذا الافتراض قابل للاختبار، ولكنه غالبًا ما يُتجاهل، مما يجعل المُقدِّر غير متسق. ^{[ 12 ]} إذا تم انتهاك هذا الافتراض، فيجب نمذجة التأثير العشوائي بشكل صريح في الجزء الثابت من النموذج، إما باستخدام متغيرات وهمية أو تضمين متوسطات المجموعات لجميع${\displaystyle X_{ij}}$المتغيرات المستقلة. ^{[ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]} يُعد هذا الافتراض على الأرجح أهم افتراض يعتمد عليه المُقدِّر، ولكنه افتراض يُساء فهمه من قِبل معظم الباحثين التطبيقيين الذين يستخدمون هذا النوع من النماذج. ^{[ 12 ]}

تعتمد أنواع الاختبارات الإحصائية المستخدمة في النماذج متعددة المستويات على ما إذا كان يتم فحص التأثيرات الثابتة أو مكونات التباين. عند فحص التأثيرات الثابتة، تُقارن الاختبارات بالخطأ المعياري للتأثير الثابت، مما ينتج عنه اختبار Z. ^{[ 5 ]} كما يمكن حساب اختبار t . عند حساب اختبار t، من المهم مراعاة درجات الحرية، والتي تعتمد على مستوى المتغير التنبؤي (مثلًا، متغير تنبؤي من المستوى 1 أو متغير تنبؤي من المستوى 2). ^{[ 5 ]} بالنسبة للمتغير التنبؤي من المستوى 1، تعتمد درجات الحرية على عدد المتغيرات التنبؤية من المستوى 1، وعدد المجموعات، وعدد المشاهدات الفردية. أما بالنسبة للمتغير التنبؤي من المستوى 2، فتعتمد درجات الحرية على عدد المتغيرات التنبؤية من المستوى 2 وعدد المجموعات. ^{[ 5 ]}

تختلف القوة الإحصائية للنماذج متعددة المستويات باختلاف ما إذا كانت التأثيرات المدروسة هي تأثيرات المستوى الأول أو الثاني. تعتمد قوة تأثيرات المستوى الأول على عدد المشاهدات الفردية، بينما تعتمد قوة تأثيرات المستوى الثاني على عدد المجموعات. ^{[ 16 ]} يتطلب إجراء بحث بقوة إحصائية كافية أحجام عينات كبيرة في النماذج متعددة المستويات. مع ذلك، فإن عدد المشاهدات الفردية في المجموعات ليس بنفس أهمية عدد المجموعات في الدراسة. للكشف عن التفاعلات بين المستويات، وبافتراض أن أحجام المجموعات ليست صغيرة جدًا، فقد وُصيَ باستخدام 20 مجموعة على الأقل، ^{[ 16 ]} مع إمكانية استخدام عدد أقل بكثير إذا كان الاهتمام ينصب فقط على الاستدلال على التأثيرات الثابتة، وكانت التأثيرات العشوائية عبارة عن متغيرات تحكم أو متغيرات "مُزعجة". ^{[ 4 ]} تتعقد مسألة القوة الإحصائية في النماذج متعددة المستويات نظرًا لتغيرها تبعًا لحجم التأثير ومعاملات الارتباط داخل الفئة، واختلافها بين التأثيرات الثابتة والعشوائية، وتغيرها تبعًا لعدد المجموعات وعدد المشاهدات الفردية في كل مجموعة. ^{[ 16 ]}

توجد عدة طرق بديلة لتحليل البيانات الهرمية، مع أن معظمها يعاني من بعض المشاكل. أولًا، يمكن استخدام الأساليب الإحصائية التقليدية. إذ يُمكن تفكيك المتغيرات ذات الرتبة الأعلى إلى مستوى الأفراد، ومن ثم إجراء تحليل على هذا المستوى (على سبيل المثال، إسناد متغيرات الفئة إلى مستوى الأفراد). تكمن مشكلة هذا النهج في أنه يُخالف فرضية الاستقلال، وبالتالي قد يُؤدي إلى تحيز النتائج. يُعرف هذا بمغالطة التجزؤ. ^{[ 17 ]} ثمة طريقة أخرى لتحليل البيانات باستخدام الأساليب الإحصائية التقليدية، وهي تجميع متغيرات مستوى الأفراد في متغيرات ذات رتبة أعلى، ثم إجراء تحليل على هذا المستوى الأعلى. تكمن مشكلة هذا النهج في أنه يُهمل جميع المعلومات داخل المجموعة (لأنه يأخذ متوسط ​​متغيرات مستوى الأفراد). قد يُهدر ما يصل إلى 80-90% من التباين، وتتضخم العلاقة بين المتغيرات المُجمعة، وبالتالي تُشوه. ^{[ 18 ]} يُعرف هذا بالمغالطة البيئية ، وإحصائياً، يؤدي هذا النوع من التحليل إلى انخفاض القدرة الإحصائية بالإضافة إلى فقدان المعلومات. ^{[ 2 ]}

هناك طريقة أخرى لتحليل البيانات الهرمية وهي استخدام نموذج المعاملات العشوائية. يفترض هذا النموذج أن لكل مجموعة نموذج انحدار مختلف، له حد ثابت وميل خاص به. ^{[ 5 ]} ولأن المجموعات تُختار عشوائيًا، يفترض النموذج أن الحدود الثابتة والميول تُختار عشوائيًا أيضًا من مجموعة من الحدود الثابتة والميول للمجموعات. وهذا يسمح بتحليل يُفترض فيه ثبات الميول مع السماح للحدود الثابتة بالتغير. ^{[ 5 ]} إلا أن هذا يطرح مشكلة، حيث أن المكونات الفردية مستقلة، بينما مكونات المجموعة مستقلة بين المجموعات، ولكنها مترابطة داخل المجموعات. كما يسمح هذا بتحليل تكون فيه الميول عشوائية؛ ومع ذلك، فإن ارتباطات حدود الخطأ (الاضطرابات) تعتمد على قيم المتغيرات على مستوى الأفراد. ^{[ 5 ]} وبالتالي، تكمن مشكلة استخدام نموذج المعاملات العشوائية لتحليل البيانات الهرمية في أنه لا يزال من غير الممكن دمج متغيرات من رتبة أعلى.

تحتوي النماذج متعددة المستويات على حدّي خطأ، يُعرفان أيضًا بالاضطرابات. جميع المكونات الفردية مستقلة، ولكن توجد أيضًا مكونات جماعية، وهي مستقلة بين المجموعات ولكنها مترابطة داخل المجموعات. ومع ذلك، يمكن أن تختلف مكونات التباين، حيث أن بعض المجموعات أكثر تجانسًا من غيرها. ^{[ 18 ]}

يُستخدم النمذجة متعددة المستويات بكثرة في تطبيقات متنوعة، ويمكن صياغتها باستخدام الإطار البايزي. وعلى وجه الخصوص، حظيت نماذج التأثيرات المختلطة غير الخطية البايزية باهتمام كبير مؤخرًا. ويمكن تمثيل نسخة أساسية من هذه النماذج بثلاث مراحل كما يلي:

المرحلة الأولى: نموذج المستوى الفردي

${\displaystyle {\begin{aligned}&{y}_{ij}=f(t_{ij};\theta _{1i},\theta _{2i},\ldots ,\theta _{li},\ldots ,\theta _{Ki})+\epsilon _{ij},\\{\phantom {spacer}}\\&\epsilon _{ij}\sim N(0,\sigma ^{2}),\\{\phantom {spacer}}\\&i=1,\ldots ,N,\,j=1,\ldots ,M_{i}.\end{aligned}}}$

المرحلة الثانية: نموذج السكان

$\begin{aligned}\theta_{li}=\alpha_{l}+\sum_{b=1}^{P}\beta_{lb}x_{ib}+\eta_{li},\\\beta_{li}\sim N(0,\omega_{l}^{2}),\\\beta_{lb}x_{ib}+\eta_{li},\\\beta_{li}\sim N(0,\omega_{l}^{2}),\\\begin{aligned} ...$

المرحلة الثالثة: السابقة

${\displaystyle {\begin{aligned}&\sigma ^{2}\sim \pi (\sigma ^{2}),\\{\phantom {spacer}}\\&\alpha _{l}\sim \pi (\alpha _{l}),\\{\phantom {spacer}}\\&(\beta _{l1},\ldots ,\beta _{lb},\ldots ,\beta _{lP})\sim \pi (\beta _{l1},\ldots ,\beta _{lb},\ldots ,\beta _{lP}),\\{\phantom {spacer}}\\&\omega _{l}^{2}\sim \pi (\omega _{l}^{2}),\\{\phantom {spacer}}\\&l=1,\ldots ,K.\end{aligned}}}$

هنا،${\displaystyle y_{ij}}$يشير إلى الاستجابة المستمرة لـ${\displaystyle i}$الموضوع رقم - في النقطة الزمنية${\displaystyle t_{ij}}$، و${\displaystyle x_{ib}}$هو${\displaystyle b}$المتغير المشترك رقم - من${\displaystyle i}$الموضوع رقم -th. تُكتب المعلمات المستخدمة في النموذج بالأحرف اليونانية.${\displaystyle f(t;\theta _{1},\ldots ,\theta _{K})}$هي دالة معروفة يتم تحديدها بواسطة${\displaystyle K}$متجه ذو أبعاد${\displaystyle (\theta _{1},\ldots ,\theta _{K})}$. عادة،${\displaystyle f}$هي دالة "غير خطية" وتصف المسار الزمني للأفراد. في النموذج،${\displaystyle \epsilon _{ij}}$و ${\displaystyle \eta _{li}}$يصف هذا النموذج التباين داخل الأفراد والتباين بين الأفراد على التوالي. إذا لم تُؤخذ المرحلة الثالثة: الافتراض المسبق في الاعتبار، فإن النموذج يختزل إلى نموذج إحصائي غير خطي ذي تأثيرات مختلطة.

تتمثل إحدى المهام الرئيسية في تطبيق نماذج التأثيرات المختلطة غير الخطية البايزية في تقييم الكثافة الاحتمالية اللاحقة:

${\displaystyle \pi (\{\theta _{li}\}_{i=1,l=1}^{N,K},\sigma ^{2},\{\alpha _{l}\}_{l=1}^{K},\{\beta _{lb}\}_{l=1,b=1}^{K,P},\{\أوميغا _ {ل}\} _ {ل = 1} ^ {K}|\ {y_ {ij}\} _ {i = 1، j = 1} ^ {N، M_ {i}})}$

$// _ {رطل}\} _ {ل = 1، ب = 1} ^ {K، P}، \ {\ أوميغا _ {ل} \} _ {ل = 1} ^ {K})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}=&~\left.{\pi (\{y_{ij}\}_{i=1,j=1}^{N,M_{i}}|\{\theta _{li}\}_{i=1,l=1}^{N,K},\sigma ^{2})}\right\}{\text{Stage 1: Individual-Level Model}}\\{\phantom {spacer}}\\\times &~\left.{\pi (\{\theta _{li}\}_{i=1,l=1}^{N,K}|\{\alpha _{l}\}_{l=1}^{K},\{\beta _{lb}\}_{l=1,b=1}^{K,P},\{\omega _{l}\}_{l=1}^{K})}\right\}{\text{Stage 2: Population Model}}\\{\phantom {spacer}}\\\times &~\left.{p(\sigma ^{2},\{\alpha _{l}\}_{l=1}^{K},\{\beta _{lb}\}_{l=1,b=1}^{K,P},\{\omega _{l}\}_{l=1}^{K})}\right\}{\text{Stage 3: Prior}}\end{aligned}}}$

يعرض الجزء الأيمن من الشكل دورة البحث البايزية باستخدام نموذج التأثيرات المختلطة غير الخطي البايزي. ^{[ 19 ]} تتألف دورة البحث باستخدام هذا النموذج من خطوتين: (أ) دورة البحث القياسية، و(ب) سير العمل البايزي الخاص. تتضمن دورة البحث القياسية مراجعة الأدبيات، وتحديد المشكلة، وتحديد سؤال البحث وفرضيته. أما سير العمل البايزي الخاص فيتألف من ثلاث خطوات فرعية: (ب) - (1) صياغة التوزيعات الاحتمالية المسبقة بناءً على المعرفة الأساسية واستنباط المعلومات المسبقة؛ (ب) - (2) تحديد دالة الاحتمال بناءً على دالة غير خطية.${\displaystyle f}$و(ب)–(3) إجراء استدلال لاحق. ويمكن استخدام الاستدلال اللاحق الناتج لبدء دورة بحثية جديدة.

• المعلمة الفائقة
• تحليل التباين للتصميم المختلط
• النمذجة متعددة المقاييس
• نموذج التأثيرات العشوائية
• نموذج التأثيرات المختلطة غير الخطي
• النمذجة الهرمية البايزية
• التوزيع العشوائي المقيد

• جيلمان، أ .؛ هيل، ج. (2007). تحليل البيانات باستخدام نماذج الانحدار والنماذج متعددة المستويات/الهرمية . نيويورك: مطبعة جامعة كامبريدج. ص 235-299 . ISBN  978-0-521-68689-1.
• جولدشتاين، هـ. (2011). النماذج الإحصائية متعددة المستويات (  الطبعة الرابعة). لندن: وايلي. ISBN 978-0-470-74865-7.
• هيديكر، د.؛ جيبونز، ر.د. (2012). تحليل البيانات الطولية (الطبعة الثانية  ). نيويورك: وايلي. ISBN 978-0-470-88918-3.
• هوكس، جيه جيه (2010). التحليل متعدد المستويات: التقنيات والتطبيقات (  الطبعة الثانية). نيويورك: روتليدج. ISBN 978-1-84872-845-5.
• راودنبوش، إس دبليو؛ برايك، إيه إس (2002). النماذج الخطية الهرمية: التطبيقات وأساليب تحليل البيانات (  الطبعة الثانية). ثاوزند أوكس، كاليفورنيا: سيج. يركز هذا على التعليم.
• سنايدرز، تاب؛ بوسكر، آر جيه (2011). التحليل متعدد المستويات: مقدمة في النمذجة متعددة المستويات الأساسية والمتقدمة (  الطبعة الثانية). لندن: سيج. ISBN 978-1-4462-5433-2.
• سوامي، بافب ؛ تافلاس، جورج س. (2001). "نماذج المعاملات العشوائية". في بالتاجي، بادي ح. (محرر). دليل الاقتصاد القياسي النظري . أكسفورد: بلاكويل. ص 410-429 . ISBN  978-0-631-21254-6.
• فيربيك، جي.؛ مولينبيرغز، جي. (2013). النماذج الخطية المختلطة للبيانات الطولية . سبرينغر.يتضمن رمز SAS
• غوميز، ديلان جي إي (20 يناير 2022). "هل أستخدم التأثيرات الثابتة أم التأثيرات العشوائية عندما يكون لدي أقل من خمسة مستويات لعامل التجميع في نموذج التأثيرات المختلطة؟" . PeerJ . 10 e12794 . doi : 10.7717/peerj.12794 . PMC 8784019. PMID 35116198 .  
• حاجم، أحلام؛ بيلافانس، فرانسوا؛ لاروك، دينيس (2011). "أشجار الانحدار ذات التأثيرات المختلطة للبيانات المجمعة" . رسائل الإحصاء والاحتمالات . 81 (4): 451-459 . doi : 10.1016/j.spl.2010.12.003 . ISSN 0167-7152 . 
• حاجم، أحلام؛ لاروك، دينيس؛ بيلافانس، فرانسوا (2017). "أشجار الانحدار ذات التأثيرات المختلطة المعممة" . رسائل الإحصاء والاحتمالات . 126 : 114-118 . doi : 10.1016/j.spl.2017.02.033 . ISSN 0167-7152 . 
• حاجم، أحلام؛ بيلافانس، فرانسوا؛ لاروك، دينيس (3 يونيو 2014). "غابة عشوائية ذات تأثيرات مختلطة للبيانات المجمعة" . مجلة الحساب الإحصائي والمحاكاة . 84 (6): 1313-1328 . doi : 10.1080/00949655.2012.741599 . ISSN 0094-9655 . 

• مركز النمذجة متعددة المستويات