نظام غير هولونومي

بشكل عام، ضع في اعتبارك نظامًا يتم تحديد حالته بالكامل بواسطة${\displaystyle q=(q_{1},\dots ,q_{n})}$إن تطورها بمرور الوقت مقيد، حيث يُسمح بسرعات معينة فقط، بينما تُمنع سرعات أخرى.

تخيل عجلة عمودية على طائرة.${\displaystyle \theta }$تكون زاوية التوجيه بالنسبة إلى${\displaystyle x}$المحور، و${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$ليكن هذا هو الموضع الذي تلامس فيه العجلة السطح. وبما أن العجلة لا يمكنها التحرك إلا في الاتجاه الذي تشير إليه، فإننا نحصل على القيد التالي:${\displaystyle {\dot {x}}\sin \theta -{\dot {y}}\cos \theta =0}$يُعاد كتابة القيد في شكل من الرتبة الأولى كما يلي:${\displaystyle \omega$ :=dx\sin \theta -dy\cos \theta } .

بشكل عام، يمكن كتابة القيد على شكل صيغة من الدرجة الأولى في${\displaystyle (n+1)}$فضاء ذو ​​أبعاد${\displaystyle (t,q_{1},\dots ,q_{n})}$يُطلق عليه قيد بفافي . وإلا فهو قيد غير بفافي.

يتم إعطاء قيود بفاف غير الهولونومية بواسطة توزيعات غير قابلة للتكامل ؛ أي أن أخذ قوس لي لحقلين متجهين في مثل هذا التوزيع قد يؤدي إلى حقل متجه غير موجود في هذا التوزيع.

هندسيًا، يكون نظام القيود البفافية القابلة للتكامل قابلاً للتكامل: إذ يمكن تقسيم فضاء التكوين بأكمله إلى فضاءات فرعية ذات بُعد أقصى، بحيث يُحقق مسارٌ ما جميع القيود إذا وفقط إذا بقي المسار ضمن فضاء فرعي. راجع شروط قابلية التكامل للأنظمة التفاضلية لمعرفة كيفية تحديد ما إذا كان نظام القيود البفافية قابلاً للتكامل أم لا.

في الحالة الخاصة للعجلة العمودية على مستوى، يكون القيد الوحيد غير قابل للتكامل، لأنه شكل تلامس :$${\displaystyle \omega \wedge d\omega =-\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} \theta \neq 0}$$بالنسبة لنظام ذي قيود هولونومية، تقتصر ديناميكياته على فضاء فرعي من فضاء التكوين الكامل. لذا، لا يمكننا إنشاء مخطط إحداثيات إلا على فضاء فرعي محدد، مما يسمح لنا بإزالة القيود، لأن أي مسار داخل هذا الفضاء الفرعي يفي تلقائيًا بجميع القيود. يُسمى مخطط الإحداثيات هذا بالإحداثيات المعممة ، وهو أساس ميكانيكا لاغرانج. لا يمكن إزالة القيود غير الهولونومية باستخدام الإحداثيات المعممة.

لنفترض كرة وحدة تتدحرج دون انزلاق على سطح مستوٍ. فضاء التكوين للنظام خماسي الأبعاد: بعدان لنقطة التلامس، وثلاثة لاتجاه الكرة، وهو SO(3) . يعني شرط عدم الانزلاق أنه على الرغم من وجود خمسة أبعاد للتكوين، فإن السرعة عند أي نقطة في فضاء التكوين محصورة في فضاء فرعي ثنائي الأبعاد. وبالتالي، فهو نظام قيود بفافي بثلاثة قيود.

القيود غير قابلة للتكامل، لأن أي تكوين يمكن الوصول إليه من أي تكوين آخر. ^{[ 2 ]} ولتوضيح ذلك، لاحظ أنه يمكن إنشاء فضاء التكوين كحزمة رئيسية من نوع SO(3) على${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$لذلك يبقى أن نثبت أن مجموعة الهولوونومي هي كل SO(3).

عن طريق التدحرج في مربع طول ضلعه${\displaystyle \pi /2}$ستعود الكرة إلى نقطة البداية، لكن نقطة التلامس ستدور بمقدار${\displaystyle \pi /2}$يُتيح هذا تغيير نقطة التماس إلى أي نقطة على الدائرة العظمى عمودية على نقطة التماس السابقة. بتطبيق هذا البناء مرتين، نرى أن زمرة الهولوونوميا قادرة على تدوير أي نقطة إلى أي نقطة أخرى على كرة الوحدة (أي أنها متعدية). الزمرة الفرعية المغلقة الوحيدة من SO(3) التي تُحقق هذا الشرط هي SO(3) نفسها.

على الرغم من كونها غير هولونومية، إلا أنه يمكن حل بعض مسائل الكرة المتدحرجة بصيغة مغلقة باستخدام قوانين نيوتن مباشرة في شكل متجه. ^{[ 3 ]}

تخيل عجلة معلقة على محور عديم الاحتكاك. يبقى المحور عموديًا على سطح منحني. يتكون هذا التكوين من ثلاثة أبعاد:${\displaystyle x,y}$لتحديد الموقع، و${\displaystyle \theta }$بالنسبة لزاوية العجلة. يحتوي النظام على قيد واحد يصف النقل المتوازي لـ${\displaystyle \theta }$مثل${\displaystyle x,y}$التغييرات. إذا كان للسطح انحناء غاوسي غير صفري، فإن القيد يكون غير هولونومي، لأن أي تغيير في${\displaystyle \theta }$يمكن أن يتأثر ذلك بالتحرك${\displaystyle x,y}$حول حلقات معينة.

تُظهر هذه الحالة على وجه الخصوص وجود صلة واضحة بين القيود غير الهولونومية ومجموعة الهولونومي في الهندسة التفاضلية.

مع ذلك، تجدر الإشارة إلى أنه في هذه الحالة، يمكن نمذجة النظام نفسه كنظام ميكانيكي لاغرانجي (أو هاميلتوني) بدون قيود. ويمكن إنتاج مجموعة الهولوونومي غير التافهة بواسطة حد اقتران يشبه القياس.${\displaystyle {\dot {\theta }}A_{i}(x){\dot {x}}^{i}}$في لاغرانجيان${\displaystyle {\frac {1}{2}}mg_{ij}(x){\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{j}+{\frac {1}{2}}I{\dot {\theta }}^{2}+{\dot {\theta }}A_{i}(x){\dot {x}}^{i}}$لذا في هذه الحالة، فإن ما إذا كان النظام "غير هولونومي" حقًا هو مسألة اختيار النموذج.

زلاجة تشابليغين هي جسم صلب ينزلق على سطح مستوٍ دون احتكاك. تلامس الزلاجة السطح عند نقطتين وحافة حادة. يمكن للنقطتين الانزلاق في أي اتجاه، بينما لا يمكن للحافة الحادة الانزلاق إلا في اتجاه موازٍ لها. ^{[ 4 ]} من حيث القيود، فهي مطابقة تمامًا للعجلة الدوارة العمودية. إلا أنها تختلف عنها في أن الزلاجة تمتلك كتلة وعزم قصور ذاتي .

في مجال الروبوتات ، دُرست خاصية عدم الهولونومية في سياق تخطيط الحركة وتخطيط التغذية الراجعة الخطية للروبوتات المتنقلة . ^{[ 5 ]} وهي مرتبطة بنقص التشغيل ، لأنه في حالة نقص التشغيل، يمكن التحكم في نظام ما باستخدام${\displaystyle d}$درجات الحرية باستخدام أقل من${\displaystyle d}$متغيرات التحكم، على غرار كيفية دحرجة كرة في بعدين مما يسمح بالوصول إلى مساحة التكوين الخماسية الأبعاد بأكملها.