الاتصال (الرياضيات)

في الهندسة ، يُحدد مفهوم الاتصال بدقة فكرة نقل الأشكال الهندسية المحلية، مثل متجهات أو موترات المماس في فضاء المماس ، على طول منحنى أو مجموعة من المنحنيات بطريقة متوازية ومتسقة. توجد أنواع مختلفة من الاتصالات في الهندسة الحديثة، تبعًا لنوع البيانات المراد نقلها. على سبيل المثال، يوفر الاتصال الأفيني ، وهو أبسط أنواع الاتصالات، وسيلةً لنقل متجهات المماس بشكل متوازٍ على متعدد الشعب من نقطة إلى أخرى على طول منحنى. يُعطى الاتصال الأفيني عادةً في صورة مشتقة متغايرة ، مما يتيح حساب المشتقات الاتجاهية لحقول المتجهات، وقياس انحراف حقل المتجهات عن التوازي في اتجاه معين.

تُعدّ الروابط ذات أهمية محورية في الهندسة الحديثة، ويرجع ذلك في جزء كبير منه إلى أنها تُتيح المقارنة بين الهندسة المحلية عند نقطة ما والهندسة المحلية عند نقطة أخرى. تشمل الهندسة التفاضلية العديد من التباينات في موضوع الروابط، والتي تنقسم إلى مجموعتين رئيسيتين: النظرية التفاضلية والنظرية المحلية. تهتم النظرية المحلية بشكل أساسي بمفاهيم النقل المتوازي والهولونوميا . أما النظرية التفاضلية فتهتم بتفاضل البيانات الهندسية. وبالتالي، فإن المشتقة المتغيرة هي طريقة لتحديد مشتقة حقل متجهي على طول حقل متجهي آخر على مشعب. يُعدّ اتصال كارتان طريقة لصياغة بعض جوانب نظرية الروابط باستخدام الأشكال التفاضلية ومجموعات لي . اتصال إهرسمان هو اتصال في حزمة ليفية أو حزمة رئيسية من خلال تحديد اتجاهات الحركة المسموح بها للحقل. اتصال كوزول هو اتصال يُعرّف المشتقة الاتجاهية لمقاطع من حزمة متجهية أكثر عمومية من الحزمة المماسية.

تؤدي الروابط أيضًا إلى صياغات ملائمة للثوابت الهندسية ، مثل الانحناء (انظر أيضًا موتر الانحناء وشكل الانحناء )، وموتر الالتواء .

لنفترض المسألة التالية: لدينا متجه مماس للكرة S عند القطب الشمالي، ونريد تحديد طريقة لنقل هذا المتجه باستمرار إلى نقاط أخرى على سطح الكرة: أي وسيلة للنقل المتوازي . يمكن تحقيق ذلك مبدئيًا باستخدام نظام إحداثيات معين . مع ذلك، ما لم يُتخذ الحذر اللازم، فإن النقل المتوازي المُعرَّف في نظام إحداثيات معين لن يتطابق مع نظيره في نظام إحداثيات آخر. يستغل نظام النقل المتوازي الأنسب تناظر الكرة عند دورانها. فبمعرفة متجه عند القطب الشمالي، يمكن نقل هذا المتجه على طول منحنى بتدوير الكرة بحيث يتحرك القطب الشمالي على طول المنحنى دون دوران محوري. تُعرف هذه الوسيلة الأخيرة للنقل المتوازي بوصلة ليفي-تشيفيتا على سطح الكرة. إذا عُلم منحنيان مختلفان لهما نفس نقطة البداية والنهاية، ونُقل متجه v بشكل ثابت على طول المنحنى الأول عن طريق الدوران، فإن المتجه الناتج عند نقطة النهاية سيختلف عن المتجه الناتج عن نقل v بشكل ثابت على طول المنحنى الثاني. تعكس هذه الظاهرة انحناء الكرة. من الأجهزة الميكانيكية البسيطة التي يمكن استخدامها لتصور النقل المتوازي العربة التي تشير إلى الجنوب .

على سبيل المثال، لنفترض أن S كرة ذات إحداثيات محددة بواسطة الإسقاط المجسم . ولنعتبر S مكونة من متجهات وحدة في R³ . عندئذٍ، ^تحمل S زوجًا من رقعات الإحداثيات التي تتوافق مع الإسقاطات من القطب الشمالي والقطب الجنوبي.

$\displaystyle \begin{aligned}\varphi_0(x,y)&=\left(\frac{2x}{1+x^2+y^2}}},\frac{2y}{1+x^2+y^2}}},\frac{1-x^2-y^2}{1+x^2+y^2}}}\right)\\[8pt]\varphi_1(x,y)&=\left(\frac{2x}{1+x^2+y^2}}},\frac{2y}{1+x^2+y^2}}},\frac{x^2+y^2-1}{1+x^2+y^2}}}\right)\end{aligned}}}$

تغطي هذه الإحداثيات جوارًا U₀ للقطب الشمالي و U₁ للقطب الجنوبي، على التوالي. ولتكن X و Y و Z إحداثيات محيطة في الفضاء ثلاثي ^{الأبعاد} R³ . عندئذٍ _{، يكون لـ φ₀} و _φ₁ معكوسات _.

$\displaystyle \begin{aligned}\varphi_{0}^{-1}(X,Y,Z)&=\left(\frac{X}{Z+1}},\frac{Y}{Z+1}}\right),\\[8pt]\varphi_{1}^{-1}(X,Y,Z)&=\left(\frac{-X}{Z-1}},\frac{-Y}{Z-1}}\right),\end{aligned}}}$

بحيث تكون دالة انتقال الإحداثيات معكوسة في الدائرة :

${\displaystyle \varphi _{01}(x,y)=\varphi _{0}^{-1}\circ \varphi _{1}(x,y)=\left({\frac {x}{x^{2}+y^{2}}},{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}\right)}$

لنقم الآن بتمثيل حقل متجهي${\displaystyle v}$على S (تعيين متجه مماس لكل نقطة في S) في الإحداثيات المحلية. إذا كانت P نقطة من U ₀ ⊂ S ، فيمكن تمثيل حقل متجهي بواسطة الدفع الأمامي لحقل متجهي v ₀ على R ² بواسطة${\displaystyle \varphi _{0}}$:

${\displaystyle v(P)=J_{\varphi _{0}}\left(\varphi _{0}^{-1}(P)\right)\cdot {\mathbf {v} }_{0}\left(\varphi _{0}^{-1}(P)\right)}$

1

أين${\displaystyle J_{\varphi _{0}}}$تشير إلى مصفوفة جاكوبي لـ φ ₀ (${\displaystyle d{\varphi _{0}}_{x}({\mathbf {u} })=J_{\varphi _{0}}(x)\cdot {\mathbf {u} }}$و v₀ = _v₀ ( x , y ₎ هو حقل متجهي على ^R² مُحدد بشكل فريد بواسطة v (لأن عملية الدفع الأمامي للتشاكل التفاضلي المحلي عند أي نقطة قابلة للعكس ). علاوة _على ذلك، على منطقة التداخل بين مخططات الإحداثيات U₀ _∩ U₁ ، من الممكن تمثيل نفس الحقل المتجهي بالنسبة لإحداثيات _φ₁ .   

${\displaystyle v(P)=J_{\varphi _{1}}\left(\varphi _{1}^{-1}(P)\right)\cdot {\mathbf {v} }_{1}\left(\varphi _{1}^{-1}(P)\right).}$

2

لربط المكونات v ₀ و v ₁ ، قم بتطبيق قاعدة السلسلة على المتطابقة φ ₁ = φ ₀ o φ ₀₁ :

${\displaystyle J_{\varphi _{1}}\left(\varphi _{1}^{-1}(P)\right)=J_{\varphi _{0}}\left(\varphi _{0}^{-1}(P)\right)\cdot J_{\varphi _{01}}\left(\varphi _{1}^{-1}(P)\right).}$

بتطبيق طرفي معادلة المصفوفة هذه على متجه المركبة v ₁ (φ ₁ ⁻¹ ( P )) واستدعاء ( 1 ) و( 2 ) ينتج

${\displaystyle {\mathbf {v} }_{0}\left(\varphi _{0}^{-1}(P)\right)=J_{\varphi _{01}}\left(\varphi _{1}^{-1}(P)\right)\cdot {\mathbf {v} }_{1}\left(\varphi _{1}^{-1}(P)\right).}$

3

ننتقل الآن إلى السؤال الرئيسي حول كيفية نقل حقل متجهي بالتوازي على طول منحنى. لنفترض أن P ( t ) منحنى في S. بشكل مبسط، يمكن اعتبار الحقل المتجهي متوازيًا إذا كانت مركباته الإحداثية ثابتة على طول المنحنى. مع ذلك، يبرز غموض فوري: في أي نظام إحداثيات يجب أن تكون هذه المركبات ثابتة؟

_على سبيل المثال، لنفترض أن للدالة v ( P ( t )) مركبات ثابتة في نظام ^{الإحداثيات} U1 . أي أن الدوال v1 ( φ1 _- ¹ ( P ( t ))) ثابتة. ومع ذلك، بتطبيق قاعدة الضرب على ( 3 ) واستخدام حقيقة أن dv1 / _dt = 0، _نحصل على

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\mathbf {v} }_{0}\left(\varphi _{0}^{-1}(P(t))\right)=\left({\frac {d}{dt}}J_{\varphi _{01}}\left(\varphi _{1}^{-1}(P(t))\right)\right)\cdot {\mathbf {v} }_{1}\left(\varphi _{1}^{-1}\left(P(t)\right)\right).}$

لكن${\displaystyle \left({\frac {d}{dt}}J_{\varphi _{01}}\left(\varphi _{1}^{-1}(P(t))\right)\right)}$هي دائمًا مصفوفة غير منفردة (بشرط ألا يكون المنحنى P ( t ) ثابتًا)، لذلك لا يمكن أن تكون v ₁ و v ₀ ثابتة في نفس الوقت على طول المنحنى.

تاريخياً، دُرست الاتصالات من منظور متناهي الصغر في الهندسة الريمانية . بدأت دراسة الاتصالات المتناهية الصغر إلى حد ما مع إلفين كريستوفيل . ثم تناولها غريغوريو ريتشي-كورباسترو وتوليو ليفي-سيفيتا ( ليفي-سيفيتا وريتشي 1900 ) بمزيد من التفصيل ، حيث لاحظا جزئياً أن الاتصال بالمعنى المتناهي الصغر لكريستوفيل يسمح أيضاً بمفهوم النقل المتوازي .

ركز عمل ليفي-تشيفيتا حصراً على اعتبار الاتصالات نوعاً من المؤثرات التفاضلية التي تمثل إزاحاتها المتوازية حلولاً لمعادلات تفاضلية . ومع تقدم القرن العشرين، طور إيلي كارتان مفهوماً جديداً للاتصال. وسعى إلى تطبيق تقنيات أنظمة بفاف على هندسة برنامج إرلانجن لفيلكس كلاين . وفي هذه الدراسات، وجد أن مفهوماً متناهياً في الصغر للاتصال ( اتصال كارتان ) يمكن تطبيقه على هذه الهندسة وغيرها: إذ سمح مفهومه للاتصال بوجود انحناء كان سيغيب لولا ذلك في هندسة كلاين الكلاسيكية. (انظر، على سبيل المثال، ( كارتان 1926 ) و ( كارتان 1983 ) ). علاوة على ذلك، وباستخدام ديناميكيات غاستون داربو ، تمكن كارتان من تعميم مفهوم النقل المتوازي لفئة اتصالاته المتناهية الصغر. وقد أسس هذا خيطاً رئيسياً آخر في نظرية الاتصالات: أن الاتصال هو نوع معين من الأشكال التفاضلية .

استمرّ مساران رئيسيان في نظرية الاتصال حتى يومنا هذا: الاتصال كمؤثر تفاضلي، والاتصال كصيغة تفاضلية. في عام ١٩٥٠، قدّم جان لويس كوزول ( كوزول ١٩٥٠ ) إطارًا جبريًا للنظر إلى الاتصال كمؤثر تفاضلي باستخدام اتصال كوزول . كان اتصال كوزول أكثر عمومية من اتصال ليفي-سيفيتا، وأسهل في التعامل معه لأنه تمكّن أخيرًا من إزالة (أو على الأقل إخفاء) رموز كريستوفيل المعقدة من صيغة الاتصال. كما حظيت عمليات الإزاحة المتوازية المصاحبة بتفسيرات جبرية طبيعية في سياق الاتصال. وقد اعتمد معظم مجتمع الهندسة التفاضلية تعريف كوزول لاحقًا، لأنه حوّل فعليًا العلاقة التحليلية بين التفاضل المتغير والتحويل المتوازي إلى علاقة جبرية .

في العام نفسه، قدّم تشارلز إهرسمان ( إهرسمان 1950 ) ، أحد تلاميذ كارتان، تنويعًا على مفهوم الاتصال كشكل تفاضلي في سياق الحزم الرئيسية ، وبشكل أعم، حزم الألياف . لم تكن اتصالات إهرسمان ، بالمعنى الدقيق، تعميمًا لاتصالات كارتان. فقد كانت اتصالات كارتان مرتبطة ارتباطًا وثيقًا بالطوبولوجيا التفاضلية الأساسية للمتشعب نظرًا لعلاقتها بطريقة التكافؤ لكارتان . بل شكّلت اتصالات إهرسمان إطارًا متينًا لفهم الأعمال التأسيسية لعلماء الهندسة الآخرين في ذلك الوقت، مثل شينغ-شين تشيرن ، الذي كان قد بدأ بالفعل بالابتعاد عن اتصالات كارتان لدراسة ما يمكن تسميته باتصالات القياس . من وجهة نظر إهرسمان، يتكون الاتصال في الحزمة الرئيسية من تحديد حقول المتجهات الأفقية والرأسية على الفضاء الكلي للحزمة. وبالتالي ، فإن الإزاحة المتوازية هي رفع منحنى من القاعدة إلى منحنى أفقي في الحزمة الرئيسية. وقد أثبتت وجهة النظر هذه قيمتها بشكل خاص في دراسة علم الشمولية .

• يتمثل أحد الأساليب المباشرة في تحديد كيفية تأثير المشتقة المتغيرة على عناصر وحدة حقول المتجهات كمؤثر تفاضلي . وبشكل أعم، ينطبق أسلوب مماثل على الاتصالات في أي حزمة متجهات .
• تحدد رموز الفهرسة التقليدية الاتصال بالمكونات؛ انظر رموز كريستوفيل . ( ملاحظة : يحتوي هذا على ثلاثة فهارس، ولكنه ليس موترًا ) .
• في الهندسة شبه الريمانية والريمانية ، يعتبر اتصال ليفي -سيفيتا اتصالاً خاصاً مرتبطاً بموتر القياس .
• هذه أمثلة على الاتصالات الأفينية . يوجد أيضًا مفهوم الاتصال الإسقاطي ، الذي يُعد مشتق شوارتز في التحليل المركب مثالًا عليه. وبشكل أعم، تُعتبر كل من الاتصالات الأفينية والإسقاطية أنواعًا من اتصالات كارتان .
• باستخدام الحزم الرئيسية ، يمكن تمثيل الاتصال كصيغة تفاضلية ذات قيم في جبر لي . انظر الاتصال (الحزمة الرئيسية) .
• إن أحد أساليب الاتصال التي تستخدم بشكل مباشر مفهوم نقل "البيانات" (مهما كان ذلك) هو اتصال إهرسمان .
• قد يكون النهج الأكثر تجريدًا هو ذلك الذي اقترحه ألكسندر غروتينديك ، حيث يُنظر إلى اتصال غروتينديك على أنه بيانات انحدار من جوارات متناهية الصغر للقطر ؛ انظر ( أوسرمان 2004 ) .

• اتصال أفيني
• اتصال كارتان
• صلة إهرسمان
• اتصال غروتينديك
• العلاقة بين ليفي-تشيفيتا
• نموذج الاتصال
• وصلة (مجمع ألياف ضوئية)
• الاتصال (الحزمة الرئيسية)
• اتصال (حزمة متجهات)
• الاتصال (حزمة أفينية)
• وصلة (حزمة مركبة)
• الاتصال (الإطار الجبري)
• نظرية القياس (الرياضيات)
• اتصال كونز

• ليفي سيفيتا، T.؛ Ricci، G. (1900)، “Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs apps” ، مجلة الرياضيات ، 54 ( 1 – 2): 125 – 201، دوى : 10.1007 / BF01454201 ، S2CID 120009332 
• كارتان، إيلي (1924)، “Sur les variétés à connexion projective”، Bulletin de la Société Mathématique de France ، 52 : 205–241 ، دوى : 10.24033/bsmf.1053
• كارتان، إيلي (1926)، “Les groupes d’holonomie des espaces généralisés”، اكتا ماثيماتيكا ، 48 ( 1– 2): 1– 42، دوى : 10.1007 / BF02629755
• كارتان، إيلي (1983)، هندسة الفضاءات الريمانية ، دار نشر العلوم الرياضية، رقم ISBN 978-0-915692-34-7
• Ehresmann، C. (1950)، Les connexions infinitésimales dans un espace fibré différentiable ، Colloque de Toplogie، Bruxelles، pp . 29–55 
• Koszul، JL (1950)، “Homologie et cohomologie des algèbres de Lie”، Bulletin de la Société Mathématique de France ، 78 : 65– 127، دوى : 10.24033/bsmf.1410
• لوميست، أ. (2001) [1994]، "الترابط" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS
• أوسرمان، ب. (2004)، الاتصالات، والانحناء، والانحناء من النوع p (ملف PDF) ، مؤرشف من النسخة الأصلية (ملف PDF) بتاريخ 21-12-2006 ، تم استرجاعه بتاريخ 04-02-2007
• مانجياروتي، ل.؛ سارداناشفيلي، ج. (2000)، الروابط في نظرية الحقل الكلاسيكية والكمية ، وورلد ساينتيفيك، ISBN 981-02-2013-8.
• موريتا، شيغيوكي (2001)، هندسة الأشكال التفاضلية ، الجمعية الأمريكية للرياضيات، رقم ISBN 0-8218-1045-6

• الوسائط المتعلقة بالاتصال (الرياضيات) على ويكيميديا ​​كومنز
• الاتصالات في أطلس المانيفولد