معادلة ديراك غير الخطية

انظر إلى حساب ريتشي ورمز فان دير فاردن للاطلاع على الرموز.

في نظرية الحقل الكمومي ، تُعد معادلة ديراك غير الخطية نموذجًا لفيرميونات ديراك ذاتية التفاعل . ويُعتبر هذا النموذج على نطاق واسع في الفيزياء الكمومية نموذجًا مبسطًا للإلكترونات ذاتية التفاعل . ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}

تظهر معادلة ديراك غير الخطية في نظرية أينشتاين-كارتان -سياما-كيبل للجاذبية، التي تُوسّع النسبية العامة لتشمل المادة ذات الزخم الزاوي الذاتي ( اللف المغزلي ). ^{[ 6 ] [ 7 ]} تُزيل هذه النظرية قيد تناظر الاتصال الأفيني ، وتُعامل الجزء غير المتناظر منه، وهو موتر الالتواء ، كمتغير في تغيير الفعل. في معادلات المجال الناتجة، يكون موتر الالتواء دالة خطية متجانسة لموتر اللف المغزلي . وبالتالي، يُولّد الحد الأدنى من الاقتران بين موتر الالتواء وموتر ديراك تفاعلًا محوريًا-محوريًا، وتفاعل لف-لف مغزلي في المادة الفرميونية ، والذي يصبح ذا أهمية فقط عند الكثافات العالية للغاية. ونتيجة لذلك، تُصبح معادلة ديراك غير خطية (تكعيبية) في مجال اللف المغزلي، ^{[ 8 ] [ 9 ]} مما يؤدي إلى امتداد الفرميونات مكانيًا، وقد يُزيل التباعد فوق البنفسجي في نظرية المجال الكمومي. ^{[ 10 ]}

ومن الأمثلة الشائعة على ذلك نموذج ثيرينغ الضخم ونموذج سولر .

في نظرية أينشتاين-كارتان، تُعطى كثافة لاغرانج لحقل سبينور ديراك بالصيغة التالية: (${\displaystyle c=\hbar =1}$)

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\sqrt {-g}}\left({\overline {\psi }}\left(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m\right)\psi \right),}$

أين

${\displaystyle D_{\mu}=\جزئي _{\mu}+{\frac {1}{4}}\أوميغا _{\nu \rho \mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }}$

هو المشتق المتغير المشترك لفوك-إيفانينكو للسبينور بالنسبة للوصلة الأفينية،${\displaystyle \omega _{\mu \nu \rho }}$هل هو اتصال الدوران ؟${\displaystyle g}$هو محدد موتر القياس${\displaystyle g_{\mu \nu }}$، ومصفوفات ديراك تحقق

${\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=2g^{\mu \nu }I.}$

تُنتج معادلات أينشتاين -كارتان للمجال الخاصة بالوصلة المغزلية قيدًا جبريًا بين هذه الوصلة ومجال السبينور بدلًا من معادلة تفاضلية جزئية ، مما يسمح بحذف الوصلة المغزلية صراحةً من النظرية. والنتيجة النهائية هي معادلة ديراك غير خطية تتضمن تفاعلًا ذاتيًا فعالًا بين المغزلين.

${\displaystyle i\gamma ^{\mu }D_{\mu }\psi -m\psi =i\gamma ^{\mu }\nabla _{\mu }\psi +{\frac {3\kappa }{8}}\left({\overline {\psi }}\gamma _{\mu }\gamma ^{5}\psi \right)\gamma ^{\mu }\gamma ^{5}\psi -m\psi =0,}$

أين${\displaystyle \nabla _{\mu }}$هو المشتق التغايري النسبي العام للسبينور، و${\displaystyle \kappa }$هو ثابت الجاذبية لأينشتاين،${\textstyle {\frac {8\pi G}{c^{4}}}}$يصبح الحد التكعيبي في هذه المعادلة ذا أهمية عند كثافات من رتبة${\textstyle {\frac {m^{2}}{\kappa }}}$.

في نظرية أكثر عمومية ينتشر فيها الالتواء، عندما يُؤخذ الالتواء في التقريب الفعال، فإن اللاخطية في معادلة ديراك سيكون لها نفس البنية، ولكن مع الثابت${\textstyle {\frac {3\kappa }{8}}}$تم استبدالها بدلالة الثابت${\textstyle -{\frac {X^{2}}{M^{2}}}}$حيث X هو ثابت اقتران الدوران-الالتواء وM كتلة الالتواء: في هذه النظرية، يكون التفاعل الذاتي تنافريًا، تمامًا كما هو الحال في نموذج نامبو-جونا-لاسينيو ، مع ظهور اللاخطية عند مقياس الطاقة المحدد بواسطة كتلة الالتواء. ^{[ 13 ]}