الانتشار الدوراني

الانتشار الدوراني هو الحركة الدورانية التي تؤثر على أي جسم ، كالجسيمات والجزيئات والذرات ، عند وجودها في سائل ، من خلال تغييرات عشوائية في اتجاهاتها . ورغم أن اتجاهات هذه التغييرات وشدتها عشوائية إحصائيًا ، إلا أنها لا تنشأ عشوائيًا، بل هي نتاج تفاعلات بين الجسيمات. ومن الأمثلة على ذلك الغرويات ، حيث تُعلق جسيمات كبيرة نسبيًا غير قابلة للذوبان في كمية كبيرة من السائل. تحدث تغييرات الاتجاه نتيجة تصادمات بين الجسيم والعديد من جزيئات السائل المحيطة به، والتي ينقل كل منها طاقة حركية إلى الجسيم، ولذا يمكن اعتبارها عشوائية نظرًا لاختلاف سرعات وكميات جزيئات السائل التي تصطدم بكل جسيم على حدة في أي لحظة.

يُشابه الانتشار الدوراني الانتشار الانتقالي الذي يُحدد موضع الجسيم في الفضاء ، حيث يُغير عشوائياً اتجاه أي جسيم يؤثر عليه. أي شيء في المحلول سيخضع للانتشار الدوراني، بدءاً من المستوى المجهري حيث قد تؤثر الذرات الفردية على بعضها البعض، وصولاً إلى المستوى العياني .

للانتشار الدوراني تطبيقات متعددة في الكيمياء والفيزياء، وله دور محوري في العديد من المجالات البيولوجية. فعلى سبيل المثال، يُعدّ تفاعل البروتين مع البروتين خطوةً أساسيةً في نقل الإشارات البيولوجية. وللتواصل، يجب أن تتلامس البروتينات وأن تكون في الوضعية المناسبة للتفاعل مع مواقع الارتباط الخاصة بكل منها ، وهو ما يعتمد على قدرة البروتينات على الدوران. ^{[ 1 ]} وفي الفيزياء، يُمكن استخدام الحركة البراونية الدورانية في علم الفلك لتفسير اتجاهات المستويات المدارية للنجوم الثنائية ، بالإضافة إلى محاور الدوران العشوائية ظاهريًا للثقوب السوداء فائقة الكتلة . ^{[ 2 ]}

يُعدّ إعادة توجيه الجزيئات (أو الأنظمة الأكبر) بشكل عشوائي عمليةً مهمةً للعديد من المجسات الفيزيائية الحيوية . وبسبب نظرية التوزيع المتساوي للطاقة ، تُعيد الجزيئات الأكبر توجيه نفسها ببطءٍ أكبر من الأجسام الأصغر، وبالتالي، يُمكن أن تُقدّم قياسات ثوابت الانتشار الدوراني معلوماتٍ قيّمةً حول الكتلة الكلية وتوزيعها داخل الجسم. كميًا، يتناسب متوسط ​​مربع السرعة الزاوية حول كل محور من المحاور الرئيسية للجسم عكسيًا مع عزم قصوره الذاتي حول ذلك المحور. لذلك، ينبغي أن يكون هناك ثلاثة ثوابت انتشار دوراني - وهي القيم الذاتية لموتر الانتشار الدوراني - مما ينتج عنه خمسة ثوابت زمنية دورانية . ^{[ 3 ] [ 4 ]} إذا تساوى قيمتان ذاتيتان لموتر الانتشار، فإن الجسيم ينتشر على شكل كروي ذي معدلَي انتشار فريدين وثلاثة ثوابت زمنية. وإذا كانت جميع القيم الذاتية متساوية، فإن الجسيم ينتشر ككرة ذات ثابت زمني واحد. يمكن تحديد موتر الانتشار من معاملات احتكاك بيرين ، قياسًا على علاقة أينشتاين للانتشار الانتقالي، ولكنه غالبًا ما يكون غير دقيق ويتطلب قياسًا مباشرًا.

يمكن تحديد موتر الانتشار الدوراني تجريبيًا من خلال قياس تباين التألق ، وانكسار التدفق ، والتحليل الطيفي العازل ، والاسترخاء بالرنين المغناطيسي النووي ، وغيرها من الطرق الفيزيائية الحيوية الحساسة للعمليات الدورانية التي تستغرق بيكو ثانية أو أقل. في بعض التقنيات، مثل التألق، قد يكون من الصعب جدًا تحديد موتر الانتشار الكامل، فعلى سبيل المثال، قد يكون قياس معدلي انتشار ممكنًا أحيانًا عندما يكون هناك فرق كبير بينهما، كما هو الحال في الأجسام الإهليلجية الطويلة والرفيعة جدًا مثل بعض الفيروسات . ومع ذلك، لا ينطبق هذا على تقنية الاسترخاء بالرنين المغناطيسي النووي فائقة الحساسية وذات الدقة الذرية، والتي يمكن استخدامها لتحديد موتر الانتشار الدوراني بدقة عالية جدًا. يُعد الانتشار الدوراني للجزيئات الكبيرة في السوائل البيولوجية المعقدة (مثل السيتوبلازم ) بطيئًا بما يكفي ليتم قياسه بتقنيات ذات دقة زمنية تصل إلى ميكرو ثانية، مثل مطيافية ارتباط التألق . ^{[ 5 ]}

لنمذجة عملية الانتشار، ضع في اعتبارك عددًا كبيرًا من الجسيمات الدوارة المتطابقة. يتم وصف اتجاه كل جسيم بواسطة متجه وحدة.${\displaystyle {\hat {n}}}$؛ على سبيل المثال،${\displaystyle {\hat {n}}}$قد يُمثل اتجاه عزم ثنائي القطب الكهربائي أو المغناطيسي . لنفترض أن f ( θ, φ, t ) تُمثل توزيع كثافة الاحتمال لاتجاه${\displaystyle {\hat {n}}}$عند الزمن t . هنا، يمثل كل من θ و φ الزوايا الكروية ، حيث θ هي الزاوية القطبية بين${\displaystyle {\hat {n}}}$والمحور z و φ هي الزاوية السمتية لـ${\displaystyle {\hat {n}}}$في المستوى xy .

ينص قانون فيك الثاني للانتشار ، عند تطبيقه على الانتشار الزاوي، على أنه في غياب عزم دوران خارجي على الجسيمات، فإن تطور الدالة f ( θ, φ, t ) يخضع لـ

${\displaystyle {\frac {1}{D_{\mathrm {rot} }}}{\frac {\partial f}{\partial t}}=\nabla _{\theta \phi }^{2}f.}$

هنا${\displaystyle D_{\mathrm {rot} }}$هو معامل الانتشار الزاوي، ووحداته راديان ² /ثانية. ^{[ أ ]}

تحتوي هذه المعادلة على مؤثر لابلاس الزاوي${\displaystyle \nabla _{\theta \phi }^{2}}$والتي يمكن كتابتها

${\displaystyle \nabla _{\theta \phi }^{2}f={\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \phi ^{2}}}.}$

تدور الكرة حول محور ثابت في بُعدين فقط ، ويمكن رؤيتها من أعلى المحور الثابت كدائرة. في هذا المثال، تدور الكرة المثبتة على المحور الرأسي حول هذا المحور فقط، مما يعني أن الجسيم يمكن أن يأخذ قيمة θ من 0 إلى 360 درجة، أو 2π راديان، قبل أن يعود إلى دورانه الكامل بزاوية 0. ^{[ 7 ]}

يمكن تمثيل هذه الاتجاهات بيانيًا على رسم بياني يغطي جميع المواضع الممكنة للوجه بالنسبة لنقطة البداية، عبر زاوية 2π راديان، بدءًا من -π راديان مرورًا بـ 0 وصولًا إلى π راديان. بافتراض أن جميع الجسيمات تبدأ باتجاه واحد يساوي صفرًا، فإن القياس الأول للاتجاهات سيشبه دالة دلتا عند الصفر، حيث ستكون جميع الجسيمات في موضعها الابتدائي، أو الموضع الصفري، وبالتالي ستشكل خطًا واحدًا شديد الانحدار. مع مرور الوقت، سيؤدي ازدياد عدد القياسات إلى تشتت النتائج؛ ستشهد القياسات الأولية ظهور قمة رفيعة على الرسم البياني، حيث لا يمكن للجسيم أن يتحرك إلا قليلًا في فترة زمنية قصيرة. ثم مع مرور المزيد من الوقت، تزداد فرصة دوران الجزيء بعيدًا عن نقطة بدايته، مما يؤدي إلى اتساع القمة، حتى يمر وقت كافٍ لتوزيع القياسات بالتساوي على جميع الاتجاهات الممكنة.

سيصل توزيع الاتجاهات إلى نقطة يصبح فيها متجانساً، حيث تتوزع جميعها عشوائياً لتصبح متساوية تقريباً في جميع الاتجاهات. ويمكن تصور ذلك بطريقتين.

1. بالنسبة لجزيء واحد تُؤخذ منه قياسات متعددة على مدار الزمن، فإن الجزيء الذي تُحدد منطقة وجهه باتجاه الوضع الابتدائي، بدءًا من الزمن t₀، _سيبدأ بتوزيع اتجاهي يشبه خطًا واحدًا لأنه القياس الوحيد. كل قياس لاحق عند زمن أكبر من t₀ _سيؤدي إلى اتساع الذروة، حيث يكون الجزيء قد أتيحت له فرصة أكبر للدوران بعيدًا عن الوضع الابتدائي.
2. بالنسبة للجسيمات المتعددة التي تم قياسها مرة واحدة بعد فترة طويلة من القياس الأول ، يمكن تطبيق نفس الحالة على عدد كبير من الجزيئات، تبدأ جميعها من وضعها الصفري. بافتراض مرور وقت كافٍ ليكون أكبر بكثير من t₀ _، قد تكون الجزيئات قد دارت بالكامل إذا تطلبت القوى المؤثرة عليها ذلك، ويُظهر قياس واحد أنها موزعة بشكل متساوٍ تقريبًا.

مثال: جسيم كروي في الماء

لنفترض أن هناك فيروسًا يمكن نمذجته على شكل كرة مثالية بالشروط التالية:

• نصف القطر (أ) 100 نانومتر ، أ = 10 ⁻⁷ م.
• الكثافة: ρ = 1500  كجم ^/م³
• الاتجاه الأصلي كان يواجه اتجاهًا يُشار إليه بالرمز π .
• معلق في الماء.
• تبلغ لزوجة الماء η = 8.9 × 10⁻⁴ ^{باسكال.ثانية}  عند درجة حرارة 25  درجة مئوية
• افترض كتلة وكثافة متجانسة في جميع أنحاء الجسيم

أولاً، يمكن حساب كتلة جسيم الفيروس:

${\displaystyle m={\frac {4\rho \pi a^{3}}{3}}={\frac {4\times 1500\times \pi \times (10^{-7})^{3}}{3}}=6.3\times 10^{-18}\mathrm {kg} }$

ومن هذا، نعرف الآن جميع المتغيرات اللازمة لحساب عزم القصور الذاتي:

${\displaystyle I={\frac {2ma^{2}}{5}}={\frac {2\times (6.3\times 10^{-18})\times (10^{-7})^{2}}{5}}=2.5\times 10^{-32}\mathrm {kg} \cdot \mathrm {m} ^{2}}$

وبالتزامن مع ذلك، يمكننا أيضًا حساب مقاومة الدوران:

${\displaystyle \zeta ^{r}=8\pi \eta a^{3}=8\times \pi \times (8.9\times 10^{-4})\times (10^{-7})^{3}=2.237\times 10^{-23}\mathrm {Pa} \cdot \mathrm {s} \cdot \mathrm {m} ^{3}}$

وبدمج هذه المعادلات نحصل على:

${\displaystyle \tau _{L}={\frac {I}{\zeta ^{r}}}={\frac {2.5\times 10^{-32}\mathrm {kg} \cdot \mathrm {m} ^{2}}{2.2\times 10^{-23}\mathrm {Pa} \cdot \mathrm {s} \cdot \mathrm {m} ^{3}}}=1.1\times 10^{-9}\mathrm {kg} \cdot \mathrm {Pa} ^{-1}\cdot \mathrm {s} ^{-1}\cdot \mathrm {m} ^{-1}}$

بما أن وحدات النظام الدولي للوحدات (SI) للباسكال هي kg ⋅ m ⁻¹ ⋅ s ^−2، يمكن اختصار الوحدات في الإجابة لتصبح كالتالي:

${\displaystyle \tau _{L}=1.1\times 10^{-9}\mathrm {s} }$

في هذا المثال، يكون وقت تحلل الفيروس في حدود النانو ثانية.

لكتابة معادلة سمولوشوفسكي لجسيم يدور في بعدين، ندخل دالة كثافة احتمالية P(θ, t) لإيجاد المتجه u عند الزاوية θ والزمن t. ويمكن القيام بذلك عن طريق كتابة معادلة استمرارية:

${\displaystyle {\partial P(\theta ,t) \over \partial t}=-{\partial j(\theta ,t) \over \partial \theta }}$

حيث يمكن كتابة التيار على النحو التالي:

${\displaystyle j(\theta ,t)=-D^{r}{\partial P(\theta ,t) \over \partial \theta }}$

والتي يمكن دمجها للحصول على معادلة الانتشار الدوراني:

${\displaystyle {\partial P(\theta ,t) \over \partial t}=D^{r}{\partial ^{2}P(\theta ,t) \over \partial \theta ^{2}}=D^{r}P(\theta ,t)}$

يمكننا التعبير عن التيار بدلالة السرعة الزاوية الناتجة عن عزم الدوران البراوني T _B من خلال الحركة الدورانية باستخدام المعادلة التالية:

${\displaystyle j_{B}(\theta ,t)={\dot {\theta }}_{B}P(\theta ,t)}$

أين:

• ${\displaystyle {\dot {\theta }}_{B}=\mu ^{r}T_{B}}$
• ${\displaystyle T_{B}=-{\partial V_{B} \over \partial \theta }}$
• ${\displaystyle V_{B}(\theta ,t)=k_{B}T\ln P(\theta ,t)}$

الفرق الوحيد بين الانتشار الدوراني والانتقالي في هذه الحالة هو أن الانتشار الدوراني يتميز بدورية في الزاوية θ. وبما أن الجسيم يُنمذج على أنه كرة تدور في بعدين، فإن الحيز الذي يمكن أن يشغله الجسيم يكون محدودًا ومضغوطًا، إذ يمكنه الدوران مسافة 2π قبل العودة إلى موضعه الأصلي.

${\displaystyle P(\theta +2\pi ,t)={P(\theta ,t)}}$

يمكننا إنشاء دالة كثافة احتمالية شرطية، وهي احتمالية وجود المتجه u عند الزاوية θ والزمن t علماً بأنه كان عند الزاوية θ ₀ عند الزمن t=0. ويكتب هذا على النحو التالي:

${\displaystyle P(\theta ,0\mid \theta _{0})=\delta (\theta -\theta _{0})}$

يمكن إيجاد حل هذه المعادلة من خلال متسلسلة فورييه:

${\displaystyle P(\theta ,t\mid \theta _{0})={\frac {1}{2\pi }}\left[1+2\sum _{m=1}^{\infty }e^{-D^{r}m^{2}t}\cos m(\theta -\theta _{0})\right]={\frac {1}{2\pi }}\Theta _{3}({\frac {1}{2}}(\theta -\theta _{0}),e^{-D^{r}t})}$

أين${\displaystyle \Theta _{3}(z,\tau )}$هي دالة جاكوبيان ثيتا من النوع الثالث.

باستخدام المعادلة ^{[ 10 ]}

${\displaystyle \Theta _{3}(z,\tau )=(-i\tau )^{-1/2}\exp {\biggl (}{\frac {z^{2}}{i\pi \tau }}{\biggl )}\Theta _{3}{\biggl (}{\frac {z}{\tau }},-{\frac {1}{\tau }}{\biggl )}}$

يمكن كتابة دالة كثافة الاحتمال الشرطي على النحو التالي  :

${\displaystyle P(\theta ,t\mid \theta _{0})={\frac {1}{\sqrt {4\pi D^{r}t}}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\exp \left[-{\frac {(\theta -\theta _{0}-2n\pi )^{2}}{4D^{r}t}}\right]}$

بالنسبة لفترات زمنية قصيرة بعد نقطة البداية حيث t ≈ t ₀ و θ ≈ θ ₀ ، تصبح الصيغة كالتالي:

${\displaystyle P(\theta ,t\mid \theta _{0})\approx {\frac {1}{\sqrt {4\pi D^{r}t}}}\exp \left[-{\frac {(\theta -\theta _{0})^{2}}{4D^{r}t}}\right]+\cdots }$

الحدود المضمنة في هذه المعادلات صغيرة للغاية، ولا تُحدث فرقًا يُذكر، لذا لا داعي لإدراجها هنا. هذا يعني أنه في الفترات الزمنية القصيرة، يبدو الاحتمال الشرطي مشابهًا للانتشار الانتقالي، حيث يُظهر كلاهما اضطرابات صغيرة للغاية بالقرب من t₀ _. مع ذلك، في الفترات الزمنية الطويلة، t  ≥ t₀ _، يختلف سلوك الانتشار الدوراني عن الانتشار الانتقالي.

${\displaystyle P(\theta ,t\mid \theta _{0})\approx {\frac {1}{2\pi }},t\rightarrow \infty }$

الفرق الرئيسي بين الانتشار الدوراني والانتشار الانتقالي هو أن الانتشار الدوراني له دورية${\displaystyle \theta +(2\pi )=\theta }$وهذا يعني أن هاتين الزاويتين متطابقتان. وذلك لأن الدائرة يمكن أن تدور دورة كاملة قبل أن تعود إلى نفس الزاوية التي كانت عليها في البداية، مما يعني أنه يمكن تمثيل جميع الاتجاهات الممكنة ضمن فضاء${\displaystyle 2\pi }$وهذا يتعارض مع الانتشار الانتقالي، الذي لا يمتلك مثل هذه الدورية.

الاحتمال الشرطي لأن تكون الزاوية θ هو تقريبًا${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}}$.

وذلك لأن الجسيم، على مدى فترات زمنية طويلة، يكون قد دار عبر كامل نطاق الزوايا الممكنة، وبالتالي، يمكن أن تكون الزاوية θ أي قيمة بين θ₀ _و θ₀ ₊ 2π. يتوزع الاحتمال بشكل متساوٍ تقريبًا على كل زاوية عند فترات زمنية طويلة بما يكفي. ويمكن إثبات ذلك من خلال جمع احتمالات جميع الزوايا الممكنة. وبما أن هناك 2π زاوية ممكنة، فإن لكل منها احتمالًا قدره${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}}$، مجموع الاحتمالات الكلي يساوي 1، مما يعني وجود يقين في إيجاد الزاوية عند نقطة ما على الدائرة.

• معادلة الانتشار
• عوامل احتكاك بيرين
• زمن الارتباط الدوراني
• الانتشار الكاذب

• كانتور، سي آر؛ شيميل، بي آر (1980). الكيمياء الفيزيائية الحيوية. الجزء الثاني. تقنيات لدراسة التركيب والوظيفة البيولوجية . دبليو إتش فريمان.
• بيرغ، هوارد سي. (1993). المشي العشوائي في علم الأحياء . مطبعة جامعة برينستون.